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文檔簡(jiǎn)介
第十節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及其運(yùn)算
1.導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義
(1)了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景.
(2)理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.
2.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算
(1)能根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)y=C(C為常數(shù)),y=x,),=*
1
)'—x,y=/,y~y[x的導(dǎo)數(shù).
(2)能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則
求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
(3)能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)(僅限于形如火ax+切的復(fù)合函數(shù))的導(dǎo)數(shù).
ZHISHIHUIGU................
抓主干?知識(shí)回顧>穩(wěn)固根基
知識(shí)點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義
導(dǎo)數(shù)的概念
(1)函數(shù)y在X=xo處的導(dǎo)數(shù):
稱函數(shù)在x=x()處的瞬時(shí)變化率
&o+Ar)-/Uo)
—lim±為函數(shù)y=/(x)在x=的處的導(dǎo)數(shù),記作了'(&)或y1\x
1由AxAo
=X()f即
...AEi-A^o+Ax)—/(xo)
f(M=h理。加=卜理0瓦?
(2)導(dǎo)數(shù)的幾何意義:
函數(shù)應(yīng)r)在點(diǎn)xo處的導(dǎo)數(shù),(xo)的幾何意義是在曲線y=/(x)上點(diǎn)P(xo,血)處的切線的斜
率(瞬時(shí)速度就是位移函數(shù)s⑺對(duì)時(shí)間f的導(dǎo)數(shù)).相應(yīng)地,切線方程為y—yo=fQo)(x-xo).
(3)函數(shù)式x)的導(dǎo)函數(shù):
稱函數(shù)/W=liAm(),空士誓也為府)的導(dǎo)函數(shù).
易誤提醒
1.求曲線切線時(shí),要分清在點(diǎn)P處的切線與過P點(diǎn)的切線的區(qū)別,前者只有一條,而
后者包括了前者.
2.曲線的切線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不一定只有一個(gè),這和研究直線與二次曲線相切時(shí)有
差別.
[自測(cè)練習(xí)]
1.(2015?陜西一檢)已知直線>=一x+m是曲線y=f—31nx的一條切線,則〃2的值為
()
A.0B.2
C.1D.3
3
解析:因?yàn)橹本€y=—x+"z是曲線—31nx的切線,所以令y'=2x—;=—1,得
3
x=1,x=一5(舍),即切點(diǎn)為(1,1),又切點(diǎn)(1,1)在直線y=-x+加上,所以加=2,故選B.
答案:B
2.(2015?洛陽期末)函數(shù)/U)=eXsinx的圖象在點(diǎn)(0,犬0))處的切線的傾斜角為()
解析:因?yàn)?(x)=e*sinx+e'cosx,所以/(0)=1,即曲線)=段)在點(diǎn)(0,10))處的切
線的斜率為1,所以在點(diǎn)(0,_/(0))處的切線的傾斜角為也故選C.
答案:c
知識(shí)點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算
1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式
(sinx)1=cosx,(cosx)'="sin(")'=ax\na,(ev)'=貯,(log㈤=二°,(Inx)'
x'
2.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
⑴[f(x)±g(x)]'=f'(x)土/(%).
(2)[f(x)g(x)]'=fa)*x)+/g詼'(x).
⑶照=-W。).
3.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
復(fù)合函數(shù)y=Xg(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=/("),〃=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為丹'=%'%’,
即v對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于v對(duì)“的導(dǎo)數(shù)與“對(duì)x的導(dǎo)激的乘積.
易誤提醒
1.利用公式求導(dǎo)時(shí),一定要注意公式的適用范圍及符號(hào),如(/)'=研廠1中且“
GQ,(cosx)'=_sinx.
2.注意公式不要用混,如(")'=?加4,而不是
3.利用公式求導(dǎo)時(shí)要特別注意除法公式中分子的符號(hào),防止與乘法公式混淆.
[自測(cè)練習(xí)]
3.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是()
A1+0,=1+?
B.dog")'=焉
A
C.(3)=3log3e
D.(Aosx)*1=_2sinx
解析:(工+:)'=『+(:)'=1—5;(3*)'=34113:(fcosx)'=(x2)/cosx+f(cosx)'
=2xcosx-^sinx.
答案:B
4.若函數(shù)./U)=2'+lnx且/(a)=0,則2〃ln2〃=()
A.1B.-1
C.-In2D.In2
解析:f'(x)=2xln2+p由/(a)=2°ln2+^=0,得2aIn2=一:,則。2%出2=—1,
即2aIn2a=-l.
答案:B
研|考|向KAODIANYANJIU..........
?考點(diǎn)研究》強(qiáng)技提能
考點(diǎn),一導(dǎo)致的運(yùn)算I良舌森.需1
[題組訓(xùn)練]
1.(2015?濟(jì)寧模擬)已知人x)=x(2014+lnx),/'3))=2015,則沏=()
A.e2B.1
C.In2D.e
解析:由題意可知/(x)=2014+lnx+x/=2015+lnx.由/(必)=2015,得lnxo=O,
解得x()=1.
答案:B
2.若函數(shù)/x)=lnx-/'(—l)f+3x-4,則/'(1)=.
解析:?"(x)=!一V(T)x+3,
???r(-D=-l+2/'/(-1)+3,
解得/(-1)=一2,二,⑴=1+4+3=8.
答案:8
3.己知力(x)=sinx+cosx,記加。)=力'(x),(x),…,=fn-\'(?c)(nGN*,
”22),則力③+及0------咦。點(diǎn))=-
解析:及(x)=/i‘(x)=cosx—sinx,
力(x)=(cosx-sinx)'=—sinx—cosx,
A(x)=-cosx+sinx,yj(x)=sinx+cosx,
以此類推,可得出fn(x)=fn+4(x),
又:力。)十£(x)+%(x)+力(x)=0,
'/(f)+及0------卜h0166)
=5岫像+/)+魂+從劭=0.
答案:0
》規(guī)律方法
求導(dǎo)運(yùn)算應(yīng)遵循的兩個(gè)原則
(1)求導(dǎo)之前,應(yīng)利用代數(shù)、三角恒等式等變形對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn),然后求導(dǎo),這樣可以
減少運(yùn)算量,提高運(yùn)算速度,減少差錯(cuò).
(2)有的函數(shù)雖然表面形式為函數(shù)的商的形式,但在求導(dǎo)前利用代數(shù)或三角恒等式等變
形將函數(shù)先化簡(jiǎn),然后進(jìn)行求導(dǎo),有時(shí)可以避免使用商的求導(dǎo)法則,減少運(yùn)算量.
考點(diǎn)二導(dǎo)4^.的幾何意義|霹。黑
導(dǎo)數(shù)的幾何意義為高考熱點(diǎn)內(nèi)容,考查題型多為選擇、填空題,也常出現(xiàn)在解答題中前
幾問,難度較低.歸納起來常見的命題探究角度有:
1.求切線方程問題.
2.確定切點(diǎn)坐標(biāo)問題.
3.已知切線問題求參數(shù).
4.切線的綜合應(yīng)用.
探究一求切線方程問題
Injr—9r
1.(2015?云南一檢)函數(shù)兀c)=、?的圖象在點(diǎn)(1,一2)處的切線方程為()
A.2x~y~4=0B.2%+y=0
C.x-y—3=0D.x+y+1=0
I—]nx
解析:/(x)=『,則/(1)=1,故該切線方程為),一(一2)=彳一1,即》一)-3=().
答案:c
探究二確定切點(diǎn)坐標(biāo)問題
2.(2015?洛陽期末)已知直線如x+2y-3=0,函數(shù)y=3x+cosx的圖象與直線/相切
于P點(diǎn),若/,加,則尸點(diǎn)的坐標(biāo)可能是()
(兀3儲(chǔ)(TI3兀、
A?SFTJ
3兀
C售5)子-2
解析:因?yàn)橹本€機(jī)的斜率為一;,/J_m,所以直線/的斜率為2.因?yàn)楹瘮?shù)y=3x+cosK
的圖象與直線/相切于點(diǎn)P,設(shè)尸(〃,h),則b=3〃+cos〃且y'L=?=3—sina=2,所以sin
a=\,解得4=,+2E伙£Z),所以。=¥+6E(A£Z),
所以尸(]+2%兀,苧+6E)(Z£Z),
當(dāng)k=0時(shí),砥y),故選B.
答案:B
探究三已知切線求參數(shù)范圍
3.(2015?河北五校聯(lián)考)若曲線G:y=af(a>0)與曲線C2:y=e”存在公共切線,則a
的取值范圍為()
A后,+8)B.(0,f
C信,+°°)D.(0,J
解析:結(jié)合函數(shù)〉二加儂〉。)和y=e"的圖象可知,要使曲線G:>=加3>0)與曲線Q:
產(chǎn)e'存在公共切線,只要加=e"在(0,+8)上有解,從而令力⑴=*(心>0),則力'(x)
—(x-2)已"*"
=一~一~=-p-,令。)=0,得X=2,易知〃(X)min=/2(2)=彳,所以
答案:C
探究四切線的綜合應(yīng)用
4.(2015?重慶一診)若點(diǎn)尸是函數(shù)_Ax)=f—Inx圖象上的任意一點(diǎn),則點(diǎn)尸到直線x—y
-2=0的最小距離為()
A.乎B.A/2
C2D.3
解析:由/'(x)=2_x-1=1得x=1(負(fù)值舍去),所以曲線了=/0)=/—Inx上的切線斜
|]一]一2|
率為1的點(diǎn)是(1/),所以點(diǎn)P到直線1一)>一2=0的最小距離為—J也,故選B.
答案:B
》規(guī)律方法
導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切點(diǎn)處切線的斜率,應(yīng)用時(shí)主要體現(xiàn)在以下三個(gè)方面:
⑴已知切點(diǎn)A(xo,.大刈))求斜率A,即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值:k—f(xd).
(2)已知斜率2,求切點(diǎn)A3,?)),即解方程,(為)=左
(3)已知過某點(diǎn)M(xi,凡⑴)(不是切點(diǎn))的切線斜率為左時(shí),常需設(shè)出切點(diǎn)A(M),TUo)),利
用仁”當(dāng)求解.
易錯(cuò)防范系列|
VIICUOFANGFANXILIEI4.混淆“在某點(diǎn)處的切線”與“過某點(diǎn)的切線”致誤
【典例】若存在過點(diǎn)(1,0)的直線與曲線y=/和>=加+竽X—9都相切,則a等于
()
,一25八,421
A.一1或一石B.-1或彳
C.一;或-HD.一/或7
[解析]因?yàn)?gt;=必,所以y'=3/,
設(shè)過(1,0)的直線與了=/相切于點(diǎn)(xo,就,
則在該點(diǎn)處的切線斜率為左=3高,
所以切線方程為y—A^=3XO(X—xo),即y=3?—4,又(1,0)在切線上,則xo=O或X。
31525
=2,當(dāng)必=0時(shí),由y=0與yua^+q-x—9相切,可得〃=一石,
3272715
當(dāng)時(shí),由y=N-x—彳與了二混+甲一9相切,可得a=—1,所以選A.
[答案]A
[易誤點(diǎn)評(píng)]沒有對(duì)點(diǎn)(1,0)的位置進(jìn)行分析,誤認(rèn)為是切點(diǎn)而失誤.
[防范措施]
(1)對(duì)于曲線切線方程問題的求解,對(duì)曲線的求導(dǎo)是一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn),因此求導(dǎo)公式,求導(dǎo)
法則及導(dǎo)數(shù)的計(jì)算原則要熟練掌握.(2)對(duì)于已知的點(diǎn),應(yīng)首先確定其是否為曲線的切點(diǎn),
進(jìn)而選擇相應(yīng)的方法求解.
[跟蹤練習(xí))(2015?蘭州一模)己知直線y=2x+l與曲線y=V+“x+b相切于點(diǎn)(1,3),則
實(shí)數(shù)b的值為.
解析:因?yàn)楹瘮?shù)jHV+ax+b的導(dǎo)函數(shù)為),'=3f+a,所以此函數(shù)的圖象在點(diǎn)(1,3)處
[3+a=2,a=~\,
的切線斜率為3+a,所以[_]+a+b解得,
b=3.
答案:3
IGENZONGJIANCE
時(shí)?跟蹤檢測(cè)>查漏補(bǔ)缺
A組考點(diǎn)能力演練
1.(2015?太原一模)曲線),=/上點(diǎn)P處的切線的傾斜角為:,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()
A.(0,0)B.(2,4)
C.Q,專)D.&
JT11
解析:因?yàn)?,=~,所以=2x,tan4=2x,所以x=],代入y=f,得了=不因此點(diǎn)
尸的坐標(biāo)為(;,;),故選D.
答案:D
2
2.(2015?寶雞質(zhì)檢)曲線y=l一而在點(diǎn)(一1,一1)處的切線方程為()
A.y=2x+lB.y=2x~l
C.y=—2x~3D.y=—2x~2
2xx+2—x2
解析:;y=l一不短=不適,二y'=(x+2)2=(x+2產(chǎn)>'h=-i=2,...曲線在點(diǎn)(一1,
—1)處的切線的斜率為2,二所求切線的方程為y+l=2(x+l),即),=2x+l,故選A.
答案:A
3.已知函數(shù)y=/(x)的圖象如圖所示,則,(0)與,(切)的大小關(guān)系是
)
A.fM>f(xB)
B.fM<f(xB)
C.f(xQ=f(%fi)
D.不能確定
解析:分別作出曲線y=7(x)上A,8兩點(diǎn)的切線,設(shè)曲線y=./(x)上A,B兩點(diǎn)的切線的
斜率分別為以,ku,則由圖可知無>以,即/(xA)<f(JCB),故選B.
答案:B
4.己知y=/(x)是可導(dǎo)函數(shù),如圖,直線y=fcc+2是曲線y=?r)在x=3處的切線,令
g(x)=MM,g'(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù),貝Ijg'(3)=()
、尸兆)
:kx+2
03~~x
A.-1B.0
C.2D.4
解析:由題圖可知曲線y=./(x)在x=3處切線的斜率等于一看⑶=一;??-g(x)=求入),
???g'。)=段)+^'(幻,???/(3)=H3)+3/‘(3),又由題圖可知#3)=1,所以屋(3)=1+
3X
3,=0.
答案:B
5.已知函數(shù)Kr)=lnx+tan/(x),若使得,(沏)=貝刈)成立
的&滿足MV1,則a的取值范圍為()
三匹
B.I
D(0,§
端,9
解析:(x)=-,:.f'(xo)=~,由/(Xo)=y(xo),得三=lnXo+tana,Atana=——
入AO40人0
Inxo>l,即tana>l,又a£(07CTt
lnM).又O<xo<l,???1£,故選B.
不2,
答案:B
6.(2015?長(zhǎng)春二模)若函數(shù)段)=乎,則/(2)=
i"1-'Inxp71-In2
解析:由/(x)=-p—,付/(2)=-4-
小心1—In2
答案:—^―
7.如果,(x)是二次函數(shù),且/(x)的圖象開口向上,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,5),那么曲線y
=/(x)上任意一點(diǎn)的切線的傾斜角a的取值范圍是.
解析:根據(jù)已知可得/(x))小,即曲線y=?r)上任意一點(diǎn)的切線的斜率無=tana)
小,結(jié)合正切函數(shù)的圖象,可知?yj.
三5
答案:3'I
8.(2015?高考全國(guó)卷II)已知曲線y=x+lnx在點(diǎn)(1,1)處的切線與曲線y=ax2+(a+2)x
+1相切,則〃=.
解析:法一:=1+",>?y'|.v=i=2,.?.y=x+lnx在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y—1
=2(x-l),???y=2]-1.又切線與曲線)=加+伍+2)無+1相切,當(dāng)〃=0時(shí),y=2x+l與y
|y=ac2+(a+2)x+1,
=2%—1平行,故。20,由彳得加+0¥+2=0,?.?/=/—8。=0,/.
ly=2x-\,
4=8.
法二:"=l+p”馬=2,;.y=x+lnx在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為),-1=2(L
1),.?.y=2x—1,又切線與曲線丫=加+(〃+2)犬+1相切,當(dāng)<7=0時(shí),y=2x+1與y=2x
一1平行,故〃力。.:)/=2〃/+(〃+2),?,?令2or+〃+2=2,得x=-/代入y=2x—1,
得y=—2,?,?點(diǎn)(一g,—2)在y=ax2+(a+2)x+1的圖象上,故一2=aX(―。+3+
2)X(-£)+1,.?.“=8.
答案:8
9.已知函數(shù)—a)f—a(a+2)x+b(a,R).
(1)若函數(shù)兀r)的圖象過原點(diǎn),且在原點(diǎn)處的切線斜率為-3,求小〃的值;
(2)若曲線y=;U)存在兩條垂直于y軸的切線,求a的取值范圍.
解:/'(x)=3X2+2(1—a)x~a(a+2).
伏0)=6=0,
(1)由題意得,,
\f(0)=-a(a+2)=-3,
解得匕=0,<?=-3或1.
(2):曲線y=/(x)存在兩條垂直于),軸的切線,
二關(guān)于x的方程/'(x)=3/+2(l-a)x-a3+2)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,
/.J=4(l-a)2+12a(a+2)>0,即4a2+4a+l>0,
.,.a#—
,“的取值范圍是(-8,一'u(—J,+8).
10.(2016?臨沂一模)已知函數(shù),小;)=/3-2『+3必》:62的圖象為曲線C.
(1)求過曲線C上任意一點(diǎn)切線斜率的取值范圍;
(2)若在曲線C上存在兩條相互垂直的切線,求其中一條切線與曲線C的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)
的取值范圍.
解:(1)由題意得/(x)=/一4x+3,
則,(幻=。-2)2—1,-1,
即過曲線C上任意一點(diǎn)切線斜率的取值范圍是|-1,+8).
(2)設(shè)曲線C的其中一條切線的斜率為k,
'4一1,
則由(2)中條件并結(jié)合(1)中結(jié)論可知,,一*1,
解得一1W-0或121,
故由一1W/一4x+3<0或/—4x+321,
得仲一8,2-V2]U(l,3)U[2+V2,+°°).
B組高考題型專練
1.(206高考福建卷)若定義在R上的函數(shù)應(yīng)0滿足負(fù)0)=—1,其導(dǎo)函數(shù)/(x)滿足
f(x)>k>],則下列結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是()
A.血B.娘〉吉
(占D.循■)>尚
解析:取滿足題意的函數(shù)外)=2%—1,若取仁,,則所以排除A;
11
Iok
若取則=/10)=19>ll=-j-j—,所以排除D;取滿足題意
io-1
的函數(shù)y(x)=10x—1,若取k=2,則./Q)=/(;)=4>l=E7f=/7[,所以排除B.故結(jié)論一定
錯(cuò)誤的是C.
答案:C
2.(2014.高考江西卷)若曲線y=xlnx上點(diǎn)P處的切線平行于直線2r-y+l=0,貝U點(diǎn)P
的坐標(biāo)是.
解析:y'=lnx+x.:=1+lnx,直線2x—y+1=0的斜率為2.設(shè)P。&n),則l+ln〃?
=2,解得山=e,所以〃=elne=e.即尸(e,e).
答案:(e,e)
3.(2015?高考全國(guó)卷I)已知函數(shù)<x)=a『+x+l的圖象在點(diǎn)(1/1))處的切線過點(diǎn)(2,7),
則a—.
解析:因?yàn)榉睤ua^+x+l,所以/(Jt)=3ar+l,所以段)在點(diǎn)(1,川))處的切線斜率
為k=3a+l,又/U)=a+2,所以切線方程為y—(。+2)=(3。+1)@一1),因?yàn)辄c(diǎn)(2,7)在切線
上,所以7—(a+2)=3a+l,解得a=l.
答案:1
4.(2015?高考天津卷)已知函數(shù)x£(0,+°°),其中。為實(shí)數(shù),/(元)為?r)
的導(dǎo)函數(shù).若/(1)=3,則。的值為.
解析:,(x)=〃(lnx+xT)=a(lnx+l),因?yàn)?(1)=3,所以/(1)=〃=3.
答案:3
5.(2015?高考陜西卷)設(shè)曲線y=e「在點(diǎn)(0,1)處的切線與曲線),=(x>0)上點(diǎn)尸處的切線
垂直,則尸的坐標(biāo)為.
解析:y'=ev,則y=e*在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率及切=1,又曲線y=%x>0)上點(diǎn)P處
的切線與y=e”在點(diǎn)(0,1)處的切線垂直,所以y=:(x>0)在點(diǎn)尸處的切線的斜率為一1,設(shè)尸(a,
b),則曲線y=:(x>0)上點(diǎn)P處的切線的斜率為y'k=“=—。-2=—[,可得〃=],又p(〃,
匕)在)>=:上,所以匕=1,故尸(1,1).
答案:(1,1)
第十一節(jié)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)研究中的應(yīng)用
1.函數(shù)的單調(diào)性
了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系;能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,
會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次).
2.函數(shù)的極值
了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件;會(huì)用導(dǎo)數(shù)求
函數(shù)的極大值、極小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次).
ZHISHIHUIGU................
抓主干?知識(shí)回顧>穩(wěn)固根基
知識(shí)點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
I.函數(shù);(x)在某個(gè)區(qū)間①,制內(nèi)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系
(1)若na)>o,則./w在這個(gè)區(qū)間上是增加的.
⑵若,(x)<0,則兀c)在這個(gè)區(qū)間上是減少的.
(3)若f(x)=0,則|x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是常數(shù).
2.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的一般步驟
(1)求f/(x).
(2)在定義域內(nèi)解不等式f'(x)>0或f'(x)<0.
(3)根據(jù)結(jié)果確定兀0的單調(diào)區(qū)間.
易誤提醒
1.在某個(gè)區(qū)間(a,加上,若/'(x)>0,則於)在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增;若/3<0,
則Xx)在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減;若/6)=0恒成立,則兀c)在這個(gè)區(qū)間上為常數(shù)函數(shù);若/G)
的符號(hào)不確定,則火x)不是單調(diào)函數(shù).
2.若函數(shù)y=_/(x)在區(qū)間(a,份上單調(diào)遞增,則,'(x)>0,且在(a,份的任意子區(qū)間,等
號(hào)不恒成立;若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,與上單調(diào)遞減,則/((%)<0,且在(a,份的任意子區(qū)
間,等號(hào)不恒成立.
[自測(cè)練習(xí)]
I.函數(shù)段)=x+elnx的單調(diào)遞增區(qū)間為()
A.(0,+°°)B.<―0°,0)
C.(一8,0)和(0,+8)D.R
解析:函數(shù)定義域?yàn)?0,+°°),f(x)=l+1>0,故單調(diào)增區(qū)間是(0,+°°).
答案:A
2.若函數(shù),&0=^+/+m工+1是R上的單調(diào)增函數(shù),則相的取值范圍是.
解析:?.,火X)=9+*+1,
.".f(jc)=3x2+2x+/n.
又:丸x)在R上是單調(diào)增函數(shù),:.f(x)20恒成立,.?./=4-12mW0,即小2T
答案:+8)
知識(shí)點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值
1.函數(shù)的極大值
在包含沏的一個(gè)區(qū)間(a,與內(nèi),函數(shù)y=/(x)在任何一點(diǎn)的函數(shù)值都小至M點(diǎn)的函數(shù)值,
稱點(diǎn)xo為函數(shù)y=Ax)的極大值點(diǎn),其函數(shù)值1網(wǎng))為函數(shù)的極大值.
2.函數(shù)的極小值
在包含xo的一個(gè)區(qū)間(a,3內(nèi),函數(shù)y=/(x)在任何一點(diǎn)的函數(shù)值都大王xo點(diǎn)的函數(shù)值,
稱點(diǎn)沏為函數(shù)yfx)的極小值點(diǎn),其函數(shù)值八X。)為函數(shù)的極小值.極大值與極小值統(tǒng)稱為
極值,極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).
易誤提醒/(xo)=O是xo為7(x)的極值點(diǎn)的非充分非必要條件.例如,,穴工)=必,/(0)
=0,但x=0不是極值點(diǎn);又如人x)=H,x=0是它的極小值點(diǎn),但了(0)不存在.
[自測(cè)練習(xí)]
3.函數(shù)段)的定義域?yàn)殚_區(qū)間(a,b),導(dǎo)函數(shù)/'(x)在(a,力內(nèi)
的圖象如圖所示,則函數(shù)式》)在開區(qū)間(a,6)內(nèi)有極小值點(diǎn)()/^\b
A.1個(gè)B.2個(gè)
C.3個(gè)D.4個(gè)
解析:導(dǎo)函數(shù)/'(X)的圖象與X軸的交點(diǎn)中,左側(cè)圖象在X軸下方,右側(cè)圖象在X軸
上方的只有一個(gè),故選A.
答案:A
4.若函數(shù)人%)=/+如2+3犬―9在x=-3時(shí)取得極值,則a等于()
A.2B.3
C.4D.5
解析:f'(x)=3f+2ar+3,由題意知/'(-3)=0,即3X(—3)2+2X(-3)a+3=
0,解得a=5.
答案:D
KAODIANYANJIU..........
研考向?考點(diǎn)研究》強(qiáng)技提能
考點(diǎn)一"利用導(dǎo)數(shù)研窕函數(shù)的單調(diào)性|HE!UO援器
[典題悟法]
典例.1(2015?高考全國(guó)卷II)已知函數(shù)<x)=lnx+a(l—x).
(1)討論兀0的單調(diào)性;
(2)當(dāng)次x)有最大值,且最大值大于2a—2時(shí),求a的取值范圍.
[解](1求x)的定義域?yàn)?0,+8),,。
若aWO,則/(x)>0,
所以/U)在(0,+8)單調(diào)遞增.
若a>0,則當(dāng)xd(0,J)時(shí),/(x)>0;
當(dāng)xcg,+8)時(shí),f(x)<0.
所以./(x)在(0,5)單調(diào)遞增,
在g+8)單調(diào)遞減.
⑵由⑴知,當(dāng)a<0時(shí),於)在(0,+8)無最大值;當(dāng)〃>0時(shí),貝x)在處取得最大值,
最大值為O=ln'+4(1—5)=—"Ina+a~1.
因此《0>2a—2等價(jià)于Ina+a~\<0.
令g(a)=lna+〃-1,則g(〃)在(0,+8)單調(diào)遞增,§(1)=0.
于是,當(dāng)0<?<1時(shí),g(a)<0;當(dāng)a>\時(shí),g(a)>0.
因此,。的取值范圍是(0,1).
?規(guī)律方法
利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)注意兩點(diǎn)
(1)在區(qū)間內(nèi),(x)>0(/'(x)<0)是函數(shù)段)在此區(qū)間上為增(減)函數(shù)的充分不必要條件.
(2)可導(dǎo)函數(shù)./U)在(a,8)內(nèi)是增(減)函數(shù)的充要條件是:Vxe(a,b),都有
f(x)>0(f(x)W0),且/'(x)在(a,b)的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零.
[演練沖關(guān)]
1.已知函數(shù)y(x)=mlnx—5/(機(jī)GR),求函數(shù)?r)的單調(diào)區(qū)間.
1mZ72-
解:函數(shù)於)=Mnx—/的定義域是(0,+°°)./(幻=1-x=—―.
-f
當(dāng)初40時(shí),/(x)^—=~x<0,
函數(shù)j(x)=m\nx—*在(0,+8)上為減函數(shù).
當(dāng)機(jī)>0時(shí),令(x)=0,得:x=y[^i或一6i(舍去).
當(dāng)xe(O,而)時(shí),f(x)>0,
.7/(力在(0,,石)上是增函數(shù).
當(dāng)+°°)H+,f(x)<0,
;?J[x)在,+8)上是減函數(shù).
綜上所述,當(dāng)加WO時(shí),段)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+8),當(dāng)機(jī)>0時(shí),犬犬)的單調(diào)遞增區(qū)
間為(0,,京),單調(diào)遞減區(qū)間為(、佃,+°°).
考點(diǎn)、二已如單調(diào)性求參第L范囹IHE200■J落
[典題悟法]
典例2(2015?福州模擬)已知函數(shù)/)=導(dǎo)一3一依(a6R).
乙V
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)人X)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)_/(x)在[-1,1]上為單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
3eA13
[解](1)當(dāng)4=1時(shí),yu)=]■一/一寸,
f'(x)==[(e平-3a+2]=^^-1)(砂一2),
令/'(x)=0,得e"=l或e'=2,即x=0或1=ln2;
令/'(x)>0,得x<0或x>ln2:
令f'W<0,貝”0<x<ln2.
???#%)在(-8,o],[In2,+8)上單調(diào)遞增,在(0,In2)上單調(diào)遞減.
eA1
⑵于'(工尸>最一,
令ev=f,由于工£[—1,1],
「11
令一)="恥已,ej,
,11Z2—2
h⑺=2_/=苗,
.,.當(dāng)啦)時(shí),h'(/)<0,函數(shù)/?⑺為單調(diào)減函數(shù);
當(dāng).阪e]時(shí),h'(z)>0,函數(shù)〃⑺為單調(diào)增函數(shù).
故人⑺在e上的極小值點(diǎn)為t=^2.
又〃(e)=5+:</(3=叁+e,
,也W/i⑺4e+4
???函數(shù)段)在上為單調(diào)函數(shù),若函數(shù)在[-L1]上單調(diào)遞增,則對(duì)/£1,e
恒成立,所以cW巾;若函數(shù)危)在[-1,1]上單調(diào)遞減,則心對(duì)~fe恒成立,所
以心心,
綜上可得aW啦或〃2e+土.
?規(guī)律方法
已知函數(shù)單調(diào)性,求參數(shù)范圍的兩個(gè)方法
(1)利用集合間的包含關(guān)系處理:y=/(x)在假,份上單調(diào),則區(qū)間色,切是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間
的子集.
(2)轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題:即“若函數(shù)單調(diào)遞增,則f'(x)》0;若函數(shù)單調(diào)遞
減,則/'(x)W0”來求解.
提醒:犬彳)為增函數(shù)的充要條件是對(duì)任意的xd(a,b),都有/'(x)》0且在5,6)內(nèi)的
任一非空子區(qū)間上了'(x)W0.應(yīng)注意此時(shí)式子中的等號(hào)不能省略,否則漏解.
[演練沖關(guān)]
2.已知函數(shù)人¥)=e"-or(aeR,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)討論函數(shù)/U)的單調(diào)性;
(2)若。=1,函數(shù)8。)=。一相求幻一+x在(2,+8)上為增函數(shù),求實(shí)數(shù)機(jī)的取
值范圍.
解:⑴函數(shù)7U)的定義域?yàn)镽,/a)=e'一〃.
當(dāng)“W0時(shí),f(x)>0,.\/U)在R上為增函數(shù);
當(dāng)〃>0時(shí),由/'(x)=0得x=lna,
則當(dāng)x£(—8,Ino)時(shí),,(x)<0,,函數(shù)段)在(一8,E〃)上為減函數(shù),
當(dāng)x£(ln。,+8)時(shí),f(x)>0,
/.函數(shù)人¥)在(Ina,+8)上為增函數(shù).
(2)當(dāng)〃=1時(shí),g(x)=(x—團(tuán))(。"一幻一e'+f+羽
:ga)在(2,+8)上為增函數(shù),
:?g'(x)=xex—fnex+m+1^0在(2,+8)上恒成立,
比€刀+1
即“2—[i—]在(2,+8)上恒成立,
.xer+1
令h(x)=&\_],X£(2,+°°),
(。')2一北2?"e"(e"一x-2)
hf(x)=
(—1)2(eA-l)2
令L(x)=cv—x—2,
L'(犬)=?,-l>0在(2,+8)上恒成立,
即£a)=e"一%一2在(2,+8)上為增函數(shù),
即L(x)>〃2)=e2-4>0,:.h'(x)>0,
xe'H-1
即/2(x)=;i_]在(2,+8)上為增函數(shù),
2e2+l
J/I(X)>/2(2)=e2_j?
2e2+l
e-1
考點(diǎn)三利用導(dǎo)研究極值|京z隹猴?齋
[典題悟法]
典例3設(shè)函數(shù)以+b.
討論函數(shù)小inx)在(甘,野內(nèi)的單調(diào)性并判斷有無極值,有極值時(shí)求出極值.
[解]/(sinx)=sin2x-tzsinx+b=sinx(sinx-a)+b,一,4<會(huì)
.7T兀
[/(sinx)]z=(2sinx-〃)cosx,—gqq.
因?yàn)橐籫aq,
所以cosx>0,-2<2sinx<2.
①aW-2,時(shí),函數(shù)式sinx)單調(diào)遞增,無極值.
②a22,時(shí),函數(shù)共sinx)單調(diào)遞減,無極值.
③對(duì)于一2<。<2,在(甘,號(hào)內(nèi)存在唯一的xo,使得2sinxo=a.—時(shí),
函數(shù)/(sinx)單調(diào)遞減;
7T
xoWK,時(shí),函數(shù)/sinx)單調(diào)遞增.
因此,一2<a<2,86R時(shí),函數(shù)./(sinx)在沏處有極小值
犬sinxo)=/g)=8一半
[演練沖關(guān)]
3.(206太原一模)已知函數(shù)??)=(『一av+〃)e'-f,aGR.
(1)若函數(shù)兀0在(0,十8)上單調(diào)遞增,求”的取值范圍;
(2)若函數(shù)火x)在x=0處取得極小值,求a的取值范圍.
解:(1)由題意得/'(x)=x[(x+2—Q)e*—2]=
.?+2一看-a),xGR,
??7(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,
.?./(x)20在(0,+8)上恒成立,
2
,x+2—在(0,+8)上恒成立,
2
又函數(shù)g(x)=x+2一最在(0,+8)上單調(diào)遞增,
,aWg(0)=0,
.?.a的取值范圍是(-8,0].
(2)由(1)得/(x)=xeG+2一看一a),xCR,
2
令/(x)=0,則x=0或x+2—£—〃=(),即x=0或g(x)=a,
2
?.?g(x)=x+2—a在(-8,十8)上單調(diào)遞增,其值域?yàn)镽,
,存在唯一為()£R,使得g(x())=4,
①若M)>0,當(dāng)大£(一8,0)時(shí),g(x)<〃,f(x)>0;當(dāng)犬£(0,xo)時(shí),g(x)<a,f(x)<0,
,危)在x=0處取得極大值,這與題設(shè)矛盾.
②若沏=0,當(dāng)無£(—8,0)時(shí),g(R)<〃,,。)>0;當(dāng)無£(0,+8)時(shí),g(x)>a,,(*)>0,
???.大幻在x=0處不取極值,這與題設(shè)矛盾.
③若xo〈O,當(dāng)x£(x(),0)時(shí),g(x)>aff(x)<0;當(dāng)x£(0,+°°)H+,g(x)>a9f(x)>0,:.
/(x)在R=0處取得極小值.
綜上所述,xo<O,,〃=ga())<g(O)=O,
*.a的取值范圍是(一8,0).
C思想方法系列|
□IXIANGFANGFAXILIEI8.分類討論思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用
HY—n
【典例】(2015?貴陽期末)已知函數(shù)式x)=」k(aWR,aWO).
(1)當(dāng)〃=-i時(shí),求函數(shù)y(x)的極值;
(2)若函數(shù)/(x)=y(x)+1沒有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
[思維點(diǎn)撥](1)求/(X)后判斷段)在(-8,+8)上的單調(diào)性,可求極值.
(2)分類討論凡r)在(-8,+8)的單調(diào)性,利用極值建立所求參數(shù)”的不等式求解.
—1x-2
[解]⑴當(dāng)a=-l時(shí),,/?=一^―,/(x)==.
由/(x)=0,得x=2.當(dāng)x變化時(shí),f(x),兀v)的變化情況如下表:
X(-°°,2)2(2,+8)
f(X)—0+
於)極小值
所以函數(shù)fix)的極小值為負(fù)2)=一《,函數(shù)fix')無極大值.
ae'—(ax—a)e'—</(%—2)
(2)F(x)=/(x)=-----云-----=----最----
①當(dāng)a<0時(shí),F(xiàn)(x),尸(x)的變化情況如下表:
X(一8,2)2(2,+8)
尸(X)一0+
F(x)極小值
若使函數(shù)尸(x)沒有零點(diǎn),當(dāng)且僅當(dāng)尸(2)=善+1>0,
解得tz>—e2,所以此時(shí)一e2<〃<0;
②當(dāng)〃>0時(shí),F(xiàn)(X)9F(x)的變化情況如下表:
X(一8,2)2(2,+8)
F'(%)+0一
F(x)極大值
z[0、el———10e—io
因?yàn)镕(2)>F(l)>0,且/(1--)=----1jQ—<--JQ<0,
el——el——
aa
所以此時(shí)函數(shù)F(x)總存在零點(diǎn).
..,,a(vx-1)7.
(或:當(dāng)x>2時(shí),F(xiàn)(x)=e,t+1>1,
,,.a(x-1),r,
當(dāng)x<2時(shí),令尸(x)='了+1<0,即o(x-l)+ey),
由于a(x-1)+ex<a(x—1)+e*12,
22
令a(x—l)+e2W0,得xWl一腎,即xWl一7時(shí),F(xiàn)(x)<0,
即F(x)存在零點(diǎn))
綜上所述,所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是(一e^O).
[思想點(diǎn)評(píng)]分類討論思想在導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的應(yīng)用中運(yùn)用普遍常見的分類討論點(diǎn)有:
(l?(x)=0是否有根.
(2)若/(x)=0有根,根是否在定義域內(nèi).
(3)若/(幻=0有兩根,兩根大小比較問題.
IGENZONGJIANCE
時(shí)?
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