高考數(shù)二輪專題突破預(yù)測演練提能訓(xùn)練 第1部分 專題一 第三講 基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程及函數(shù)的應(yīng)用 文（以真題和模擬題為例 含解析）

"《創(chuàng)新方案》屆高考數(shù)學(xué)（文科）二輪專題突破預(yù)測演練提能訓(xùn)練（浙江專版）：第1部分專題一第三講基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程及函數(shù)的應(yīng)用（以年真題和模擬題為例，含答案解析）"一、選擇題1．設(shè)a＝0.50.5，b＝0.30.5，c＝log0.30.2，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)<b<cC．b<a<c D．a(chǎn)<c<b解析：選C根據(jù)冪函數(shù)y＝x0.5的單調(diào)性，可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b<a<1；根據(jù)對數(shù)函數(shù)y＝log0.3x的單調(diào)性，可得log0.30.2>log0.30.3＝1，即c>1.所以b<a<c.2．(·遼寧高考)已知函數(shù)f(x)＝ln(eq\r(1＋9x2)－3x)＋1，則f(lg2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,2)))＝()A．－1B．0 C．1D．2解析：選D由已知，得f(－x)＝ln(eq\r(1＋9x2)＋3x)＋1，所以f(x)＋f(－x)＝2.因為lg2，lgeq\f(1,2)互為相反數(shù)，所以f(lg2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,2)))＝2.3．(·日照模擬)已知函數(shù)f(x)＝lnx＋2x，若f(x2－4)<2，則實數(shù)x的取值范圍是()A．(0，eq\r(5)) B．(－eq\r(5)，eq\r(5))C．(2，eq\r(5)) D．(－eq\r(5)，－2)∪(2，eq\r(5))解析：選D由已知得函數(shù)f(x)為(0，＋∞)上的增函數(shù)，且f(1)＝2，所以0<x2－4<1，則x∈(－eq\r(5)，－2)∪(2,eq\r(5))．4．某公司租地建倉庫，已知倉庫每月占用費y1與倉庫到車站的距離成反比，而每月庫存貨物的運費y2與倉庫到車站的距離成正比．據(jù)測算，如果在距離車站10千米處建倉庫，這兩項費用y1、y2分別是2萬元、8萬元，那么要使這兩項費用之和最小，倉庫應(yīng)建在離車站()A．5千米處 B．4千米處C．3千米處 D．2千米處解析：選A設(shè)倉庫到車站的距離為x千米，由題意得y1＝eq\f(k1,x)，y2＝k2x，其中x>0，又當(dāng)x＝10時，y1＝2，y2＝8，故k1＝20，k2＝eq\f(4,5).所以y1＋y2＝eq\f(20,x)＋eq\f(4,5)x≥2eq\r(\f(20,x)·\f(4,5)x)＝8，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(20,x)＝eq\f(4,5)x，即x＝5時取等號．5．已知符號函數(shù)sgn(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))則函數(shù)f(x)＝sgn(x－1)－lnx的零點個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：選C依題意得，當(dāng)x－1>0，即x>1時，f(x)＝1－lnx，令f(x)＝0得x＝e>1；當(dāng)x－1＝0，即x＝1時，f(x)＝0－ln1＝0；當(dāng)x－1<0，即x<1時，f(x)＝－1－lnx，令f(x)＝0得x＝eq\f(1,e)<1.因此，函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為3.6．已知函數(shù)f(x)＝ax＋x－b的零點x0∈(n，n＋1)(n∈Z)，其中常數(shù)a，b滿足2a＝3,3b＝2，則nA．－1 B．－2C．1 D．2解析：選Aa＝log23>1，b＝log32<1，令f(x)＝0，得ax＝－x＋b.在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y＝ax和y＝－x＋b的圖像(圖略)，由圖可知，兩函數(shù)的圖像在區(qū)間(－1,0)內(nèi)有交點，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(－1,0)內(nèi)有零點．所以n＝－1.7．(·太原模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,|x－4|)，x≠4，,a，x＝4，))若函數(shù)y＝f(x)－2有3個零點，則實數(shù)a的值為()A．－4 B．－2C．0 D．2解析：選D如圖，當(dāng)函數(shù)y＝f(x)－2有3個零點時，等價于函數(shù)y＝f(x)的圖像和y＝2的圖像有3個交點，此時必有a＝2.8．(·沈陽模擬)已知關(guān)于x的方程eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＝eq\f(1＋lga,1－lga)有正根，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(0,1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)，10))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)，1)) D．(10，＋∞)解析：選C令f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，g(x)＝eq\f(1＋lga,1－lga)，由方程eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＝eq\f(1＋lga,1－lga)有正根，即f(x)，g(x)的圖像在(0，＋∞)上有交點，如圖可知0<eq\f(1＋lga,1－lga)<1，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1＋lga,1－lga)>0，,\f(1＋lga,1－lga)<1，))整理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<lga<1，,\f(2lga,lga－1)>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<lga<1，,lga<0或lga>1，))即－1<lga<0，則eq\f(1,10)<a<1.9．已知兩條直線l1：y＝a和l2：y＝eq\f(18,2a＋1)(其中a>0)，l1與函數(shù)y＝|log4x|的圖像從左至右相交于點A，B，l2與函數(shù)y＝|log4x|的圖像從左至右相交于點C，D.記線段AC和BD在x軸上的投影長度分別為m，n.當(dāng)a變化時，eq\f(n,m)的最小值為()A．4 B．16C．211 D．210解析：選C設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，D(xD，yD)，則xA＝4－a，xB＝4a，xC＝4－，xD＝4，則eq\f(n,m)＝eq\f(4a－4,4－4－a)，分子與分母同乘以4，可得eq\f(n,m)＝4a＋eq\f(18,2a＋1)＝2.又2a＋eq\f(36,2a＋1)＝2a＋1＋eq\f(36,2a＋1)－1≥2eq\r(2a＋1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(36,2a＋1))))－1＝11，當(dāng)且僅當(dāng)2a＋1＝6，即a＝eq\f(5,2)時等號成立，所以eq\f(n,m)的最小值為211.10．(·濟(jì)南模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3，－1<x≤0，,fx－1＋1，x>0，))若函數(shù)g(x)＝f(x)－x的零點按從小到大的順序排列成一個數(shù)列，則該數(shù)列的通項公式為()A．a(chǎn)n＝eq\f(nn－1,2) B．a(chǎn)n＝n(n－1)C．a(chǎn)n＝n－1 D．a(chǎn)n＝2n－2解析：選C當(dāng)x∈(－1,0]時，f(x)＝x3，其端點為(0,0)，然后將其圖像向右平移1個單位，再向上平移1個單位得到x∈(0,1]的圖像，其中一端點為(1,1)，….如此平移下去，分別得到x∈(1,2]，x∈(2,3]，…的圖像，其端點分別為(2,2)，(3,3)，…，又其圖像與直線y＝x的交點的橫坐標(biāo)即為函數(shù)g(x)＝f(x)－x的零點，易知零點分別為0,1,2,3，…，故其通項公式為an＝n－1.二、填空題11．已知函數(shù)f(x)＝2x－eq\f(1,2x)，函數(shù)g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx，x≥0，,f－x，x<0，))則函數(shù)g(x)的最小值是________．解析：當(dāng)x≥0時，g(x)＝f(x)＝2x－eq\f(1,2x)為單調(diào)增函數(shù)，所以g(x)≥g(0)＝0；當(dāng)x<0時，g(x)＝f(－x)＝2－x－eq\f(1,2－x)為單調(diào)減函數(shù)，所以g(x)>g(0)＝0，所以函數(shù)g(x)的最小值是0.答案：012．(·濰坊模擬)若關(guān)于x的方程kx＋1＝lnx在區(qū)間[1，e2]上有解，則實數(shù)k的取值范圍是________．解析：原方程在區(qū)間[1，e2]上有解，即方程k＝eq\f(lnx－1,x)在區(qū)間[1，e2]上有解，也就是函數(shù)y＝k和y＝eq\f(lnx－1,x)的圖像在區(qū)間[1，e2]上有交點．因為y＝eq\f(lnx－1,x)的導(dǎo)數(shù)為eq\f(2－lnx,x2)，所以可得函數(shù)y＝eq\f(lnx－1,x)在[1，e2]上單調(diào)遞增，可知函數(shù)y＝eq\f(lnx－1,x)在x＝e2處取得最大值eq\f(1,e2)，在x＝1處取得最小值－1，所以函數(shù)y＝eq\f(lnx－1,x)在[1，e2]上的值域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，eq\f(1,e2)))，從而－1≤k≤eq\f(1,e2).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，eq\f(1,e2)))13．函數(shù)y＝f(x)滿足feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5,4)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,4)))，當(dāng)x∈[－1,4]時，f(x)＝x2－2x，則f(x)在區(qū)間[0,2012]上零點的個數(shù)為________．解析：根據(jù)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5,4)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,4)))，可得fx＋eq\f(5,2)＝－f(x)，進(jìn)而得f(x＋5)＝f(x)，即函數(shù)y＝f(x)是以5為周期的周期函數(shù)．當(dāng)x∈[－1,4]時，f(x)＝x2－2x，在[－1,0]內(nèi)有一個零點，在(0,4]內(nèi)有x1＝2，x2＝4兩個零點，故在一個周期內(nèi)函數(shù)有三個零點．又因為2012＝402×5＋2，故函數(shù)在區(qū)間[0,2010]內(nèi)有402×3＝1206個零點，在區(qū)間(2010,2012]內(nèi)的零點個數(shù)與在區(qū)間(0,2]內(nèi)零點的個數(shù)相同，即只有一個零點，所以函數(shù)f(x)在[0,2012]上零點的個數(shù)為1207.答案：120714．屆大學(xué)畢業(yè)生小趙想開一家服裝專賣店，經(jīng)過預(yù)算，該門面需要裝修費為20000元，每天需要房租水電等費用100元，受經(jīng)營信譽度、銷售季節(jié)等因素的影響，專賣店銷售總收益R與門面經(jīng)營天數(shù)x的關(guān)系是R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x2，0≤x≤400，,80000，x>400，))則總利潤最大時，該門面經(jīng)營的天數(shù)是________．解析：由題意，知總成本C(x)＝20000＋100x.所以總利潤P(x)＝R(x)－C(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300x－\f(x2,2)－20000，0≤x≤400，,60000－100x，x>400，))P′(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300－x，0≤x≤400，,－100，x>400.))令P′(x)＝0，得x＝300，易知當(dāng)x＝300時，總利潤最大．答案：30015．(·西城模擬)已知函數(shù)f(x)＝e|x|＋|x|.若關(guān)于x的方程f(x)＝k有兩個不同的實根，則實數(shù)k的取值范圍是________．解析：f(－x)＝f(x)，因此函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝ex＋x是增函數(shù)，此時f(x)＝ex＋x≥f(0)＝1，因此要使方程f(x)＝k有兩個不同的實根，即函數(shù)y＝f(x)的圖像與直線y＝k有兩個不同的交點，結(jié)合圖形可知，實數(shù)k的取值范圍是(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)16．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax＋bx－cx，其中c>a>0，c>b>0.(1)記集合M＝{(a，b，c)|a，b，c不能構(gòu)成一個三角形的三條邊長，且a＝b}，則(a，b，c)∈M所對應(yīng)的f(x)的零點的取值集合為________；(2)若a，b，c是△ABC的三條邊長，則下列結(jié)論正確的是________(寫出所有正確結(jié)論的序號)．①任意x∈(－∞，1)，f(x)>0；②存在x0∈R，使ax0，bx0，cx0不能構(gòu)成一個三角形的三條邊長；③若△ABC為鈍角三角形，則存在x0∈(1,2)，使f(x0)＝0.解析：(1)由題設(shè)f(x)＝0，a＝b?2ax＝cx?eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))x＝eq\f(1,2)，又a＋b≤c，a＝b?eq\f(a,c)≤eq\f(1,2)?eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))x≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，x>0，所以eq\f(1,2)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x?0<x≤1.(2)由題設(shè)a＋b>c?eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)>1，又0<eq\f(a,c)<1,0<eq\f(b,c)<1，?x∈(－∞，1)?eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\