高考數(shù)二輪專題突破預測演練提能訓練 第3部分 專題一 第二講“4道”保分題專練卷(三) 文（以真題和模擬題為例 含解析）

“4道”保分題專練卷(三)1．(·陜西五校聯(lián)考)已知向量m＝(sinx，eq\r(3)sinx)，n＝(sinx，－cosx)，設(shè)函數(shù)f(x)＝m·n，若函數(shù)g(x)的圖像與f(x)的圖像關(guān)于坐標原點對稱．(1)求函數(shù)g(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,6)))上的最大值，并求出此時x的值；(2)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，A為銳角，若f(A)－g(A)＝eq\f(3,2)，b＋c＝7，△ABC的面積為2eq\r(3)，求邊a的長．解：(1)由題意得f(x)＝sin2x－eq\r(3)sinxcosx＝eq\f(1－cos2x,2)－eq\f(\r(3),2)sin2x＝eq\f(1,2)－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，所以g(x)＝－eq\f(1,2)－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))).因為x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,6)))，所以2x－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)，\f(π,6))).所以當2x－eq\f(π,6)＝－eq\f(π,2)，即x＝－eq\f(π,6)時，函數(shù)g(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,6)))上的最大值為eq\f(1,2).(2)由f(A)－g(A)＝eq\f(3,2)，得1－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A＋\f(π,6)))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A－\f(π,6)))＝eq\f(3,2)，化簡得cos2A＝－eq\f(1,2)，又因為0<A<eq\f(π,2)，所以A＝eq\f(π,3).由題意知S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝2eq\r(3)，解得bc＝8，又b＋c＝7，所以a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－2bc(1＋cosA)＝49－2×8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))＝25.故所求邊a的長為5.2.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點E在線段PC上，PC⊥平面BDE.(1)證明：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝1，AD＝2，求二面角B-PC-A的正切值．解：(1)證明：∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD.同理由PC⊥平面BDE可證得PC⊥BD.又∵PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC.(2)如圖，設(shè)BD與AC交于點O，連接OE.∵PC⊥平面BDE，BE、OE?平面BDE，∴PC⊥BE，PC⊥OE.∴∠BEO即為二面角B-PC-A的平面角．由(1)知BD⊥平面PAC.又∵OE、AC?平面PAC，∴BD⊥OE，BD⊥AC.故矩形ABCD為正方形，∴BD＝AC＝2eq\r(2)，BO＝eq\f(1,2)BD＝eq\r(2).由PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD得PA⊥BC.又∵BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB.而PB?平面PAB，∴BC⊥PB.在Rt△PAB中，PB＝eq\r(PA2＋AB2)＝eq\r(5)，在Rt△PAC中，PC＝eq\r(PA2＋AC2)＝3.在Rt△PBC中，由PB·BC＝PC·BE得BE＝eq\f(2\r(5),3).在Rt△BOE中，OE＝eq\r(BE2－BO2)＝eq\f(\r(2),3).∴tan∠BEO＝eq\f(BO,OE)＝3，即二面角B-PC-A的正切值為3.3．(·山東高考)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若數(shù)列{bn}滿足eq\f(b1,a1)＋eq\f(b2,a2)＋…＋eq\f(bn,an)＝1－eq\f(1,2n)，n∈N*，求{bn}的前n項和Tn.解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d.由S4＝4S2，a2n＝2an＋1得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝8a1＋4d，,a1＋2n－1d＝2a1＋2n－1d＋1，))解得a1＝1，d＝2.因此an＝2n－1，n∈N*.(2)由已知eq\f(b1,a1)＋eq\f(b2,a2)＋…＋eq\f(bn,an)＝1－eq\f(1,2n)，n∈N*，當n＝1時，eq\f(b1,a1)＝eq\f(1,2)；當n≥2時，eq\f(bn,an)＝1－eq\f(1,2n)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n－1)))＝eq\f(1,2n).所以eq\f(bn,an)＝eq\f(1,2n)，n∈N*.由(1)知an＝2n－1，n∈N*，所以bn＝eq\f(2n－1,2n)，n∈N*.又Tn＝eq\f(1,2)＋eq\f(3,22)＋eq\f(5,23)＋…＋eq\f(2n－1,2n)，eq\f(1,2)Tn＝eq\f(1,22)＋eq\f(3,23)＋…＋eq\f(2n－3,2n)＋eq\f(2n－1,2n＋1)，兩式相減得eq\f(1,2)Tn＝eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,22)＋\f(2,23)＋…＋\f(2,2n)))－eq\f(2n－1,2n＋1)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2n－1)－eq\f(2n－1,2n＋1)，所以Tn＝3－eq\f(2n＋3,2n).4．某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標準分成8個等級，等級系數(shù)ξ依次為1,2，…，8.從某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取30件，相應的等級系數(shù)組成一個樣本，數(shù)據(jù)如下：該行業(yè)規(guī)定產(chǎn)品的等級系數(shù)ξ≥7的為一等品，等級系數(shù)5≤ξ＜7的為二等品，等級系數(shù)3≤ξ＜5的為三等品．(1)試分別估計該廠生產(chǎn)產(chǎn)品的一等品率、二等品率和三等品率；(2)從樣本的一等品中隨機抽取2件，求所抽得的2件產(chǎn)品等級系數(shù)都為8的概率．解：(1)由樣本數(shù)據(jù)知，30件產(chǎn)品中，一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件．∴樣本中一等品的頻率為eq\f(6,30)＝0.2，二等品的頻率為eq\f(9,30)＝0.3，三等品的頻率為eq\f(15,30)＝0.5，故估計該廠生產(chǎn)產(chǎn)品的一等品率、二等品率和三等品率分別為0.2,0.3,0.5.(2)樣本中一等品有6件，其中等級系數(shù)為7的有3件，等級系數(shù)為8的也有3件．記等級系數(shù)為7的3件產(chǎn)品分別為C1、C2、C3，等級系數(shù)為8的3件產(chǎn)品分別為P1、P2、P3，則從樣本的一等品中隨機抽取2件的所有可能情況為：(C1，C2)，(C1，C3)，(C1，P1)，(C1，P2)，(C1，P3)，(C2，C3)，(C2，P1)，(C2，P2)，(C2，P3)