高考數(shù)一輪復(fù)習(xí) 第十章 第二節(jié) 排列與組合突破熱點題型 文

第二節(jié)排列與組合考點一排列問題[例1]3名男生，4名女生，按照不同的要求排隊，求不同的排隊方案的方法種數(shù)：(1)選其中5人排成一排；(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；(3)全體站成一排，男、女各站在一起；(4)全體站成一排，男生不能站在一起；(5)全體站成一排，甲不站排頭也不站排尾．[自主解答](1)問題即為從7個元素中選出5個全排列，有Aeq\o\al(5,7)＝2520種排法．(2)前排3人，后排4人，相當(dāng)于排成一排，共有Aeq\o\al(7,7)＝5040種排法．(3)相鄰問題(捆綁法)：男生必須站在一起，是男生的全排列，有Aeq\o\al(3,3)種排法；女生必須站在一起，是女生的全排列，有Aeq\o\al(4,4)種排法；全體男生、女生各視為一個元素，有Aeq\o\al(2,2)種排法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(2,2)＝288種排法．(4)不相鄰問題(插空法)：先安排女生共有Aeq\o\al(4,4)種排法，男生在4個女生隔成的5個空中安排共有Aeq\o\al(3,5)種排法，故共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(3,5)＝1440種排法．(5)先安排甲，從除去排頭和排尾的5個位中安排甲，有Aeq\o\al(1,5)＝5種排法；再安排其他人，有Aeq\o\al(6,6)＝720種排法．所以共有Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(6,6)＝3600種排法．【互動探究】本例中若全體站成一排，男生必須站在一起，有多少種排法？解：(捆綁法)即把所有男生視為一個元素，與4名女生組成5個元素全排列，故有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(5,5)＝720種排法．【方法規(guī)律】1．解決排列問題的主要方法直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計算捆綁法相鄰問題捆綁處理，即可以把相鄰元素看成一個整體參與其他元素排列，同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法不相鄰問題插空處理，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空中除法法定序問題除法處理的方法，可先不考慮順序限制，排列后再除以定序元素的全排列2．解決排列類應(yīng)用題的策略(1)特殊元素(或位置)優(yōu)先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置．(2)分排問題直排法處理．(3)“小集團(tuán)”排列問題中先集中后局部的處理方法．1．(·遼寧高考)一排9個座位坐了3個三口之家，若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為()A．3×3!B．3×(3！)3C．(3！)4解析：選C把一家三口看成一個排列，然后再排列這3家，所以滿足題意的坐法種數(shù)為Aeq\o\al(3,3)(Aeq\o\al(3,3))3＝(3！)4.2．(·南充模擬)將5名實習(xí)教師分配到高一年級的3個班實習(xí)，每班至少1名，最多2名，則不同的分配方案有()A．30種B．90種C．180種D．270種解析：選B選分組，再排列．分組方法共有eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3),A\o\al(2,2))，因此共有eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)＝90.考點二組合問題[例2](1)若從1,2,3，…，9這9個整數(shù)中同時取4個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法的種數(shù)是()A．60B．63C．65(2)(·重慶高考)從3名骨科、4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5人組成一個抗震救災(zāi)醫(yī)療小組，則骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數(shù)是________(用數(shù)字作答)．[自主解答](1)因為從1,2,3，…，9中共有4個不同的偶數(shù)和5個不同的奇數(shù)，要使和為偶數(shù)，則4個數(shù)全為奇數(shù)，或全為偶數(shù)，或2個奇數(shù)和2個偶數(shù)，故有Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,4)＝66種不同的取法．(2)按每科選派人數(shù)分為3,1,1和2,2,1兩類．當(dāng)選派人數(shù)為3,1,1時，有3類，共有Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,5)＝200種選派方法．當(dāng)選派人數(shù)為2,2,1時，有3類，共有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,5)＝390種選派方法．故共有590種選派方法．[答案](1)D(2)590【方法規(guī)律】1．解決組合應(yīng)用題的一般思路首先整體分類，要注意分類時，不重復(fù)不遺漏，用到分類加法計數(shù)原理；然后局部分步，用到分步乘法計數(shù)原理．2．組合問題的常見題型及解題思路常見題型有選派問題，抽樣問題，圖形問題，集合問題，分組問題．解答組合應(yīng)用題時，要在仔細(xì)審題的基礎(chǔ)上，分清問題是否為組合問題，對較復(fù)雜的組合問題，要搞清是“分類”還是“分步”解決，將復(fù)雜問題通過兩個原理化歸為簡單問題．3．含有附加條件的組合問題的常用方法通常用直接法或間接法，應(yīng)注意“至少”“最多”“恰好”等詞的含義的理解，對于涉及“至少”“至多”等詞的組合問題，既可考慮反面情形即間接求解，也可以分類研究進(jìn)行直接求解．1．某校開設(shè)A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學(xué)從中選3門．若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法的種數(shù)為()A．30B．35C．42解析：選A法一：分兩種情況：(1)2門A,1門B，有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,4)＝12種選法；(2)1門A,2門B，有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)＝3×6＝18種選法．所以共有12＋18＝30種選法．法二：排除法：A類3門，B類4門，共7門，選3門，A，B各至少選1門，有Ceq\o\al(3,7)－Ceq\o\al(3,3)－Ceq\o\al(3,4)＝35－1－4＝30種選法．2．兩人進(jìn)行乒乓球比賽，先贏3局者獲勝，決出勝負(fù)為止，則所有可能出現(xiàn)的情形(各人輸贏局次的不同視為不同情形)種數(shù)為()A．10B．15C．20解析：選C分三種情況：恰好打3局，有2種情形；恰好打4局(一人前3局中贏2局，輸1局，第4局贏)，共有2Ceq\o\al(2,3)＝6種情形；恰好打5局(一人前4局中贏2局，輸2局，第5局贏)，共有2Ceq\o\al(2,4)＝12種情形．所有可能出現(xiàn)的情形種數(shù)為2＋6＋12＝20.高頻考點考點三排列與組合的綜合應(yīng)用1．排列與組合是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，也是高考命題的一個熱點，多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多為容易題或中檔題．2．高考對排列與組合綜合應(yīng)用題的考查主要有以下幾個命題角度：(1)相鄰問題；(2)相間問題；(3)特殊元素(位置)問題；(4)多元問題等．[例3](1)(·煙臺模擬)有4張分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的紅色卡片和4張分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的藍(lán)色卡片，從這8張卡片中取出4張卡片排成一行，如果取出的4張卡片所標(biāo)的數(shù)字之和等于10，則不同的排法共有______種(用數(shù)字作答)．(2)(·西安模擬)某地奧運火炬接力傳遞路線共分6段，傳遞活動分別由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，最后一棒火炬手只能從甲、乙兩人中產(chǎn)生，則不同的傳遞方法共有________種(用數(shù)字作答)．[自主解答](1)取出的4張卡片所標(biāo)數(shù)字之和等于10，共有三種情況：1144,2233,1234.所取卡片是1144的共有Aeq\o\al(4,4)種排法．所取卡片是2233的共有Aeq\o\al(4,4)種排法．所取卡片是1234，則其中卡片顏色可為無紅色，1張紅色，2張紅色，3張紅色，全是紅色，共有Aeq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(4,4)＋Aeq\o\al(4,4)＝16Aeq\o\al(4,4)種排法，所以共有18Aeq\o\al(4,4)＝18×4×3×2×1＝432種排法．(2)甲傳第一棒，乙傳最后一棒，共有Aeq\o\al(4,4)種方法．乙傳第一棒，甲傳最后一棒，共有Aeq\o\al(4,4)種方法．丙傳第一棒，共有Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(4,4)種方法．由分類加法計數(shù)原理得，共有Aeq\o\al(4,4)＋Aeq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(4,4)＝96種方法．[答案](1)432(2)96排列與組合綜合問題的常見類型及解題策略(1)相鄰問題捆綁法．在特定條件下，將幾個相關(guān)元素視為一個元素來考慮，待整個問題排好之后，再考慮它們“內(nèi)部”的排列．(2)相間問題插空法．先把一般元素排好，然后把特定元素插在它們之間或兩端的空當(dāng)中，它與捆綁法有同等作用．(3)特殊元素(位置)優(yōu)先安排法．優(yōu)先考慮問題中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置．(4)多元問題分類法．將符合條件的排列分為幾類，而每一類的排列數(shù)較易求出，然后根據(jù)分類計數(shù)原理求出排列總數(shù)．1．8名學(xué)生和2位老師站成一排合影，2位老師不相鄰的排法種數(shù)為()A．Aeq\o\al(8,8)Aeq\o\al(2,9)B．Aeq\o\al(8,8)Ceq\o\al(2,9)C．Aeq\o\al(8,8)Aeq\o\al(2,7)D．Aeq\o\al(8,8)Ceq\o\al(2,7)解析：選A相間問題用插空法，8名學(xué)生先排，有Aeq\o\al(8,8)種排法，產(chǎn)生9個空，2位老師插空，有Aeq\o\al(2,9)種排法，所以最終有Aeq\o\al(8,8)Aeq\o\al(2,9)種排法．2．3位男生和3位女生共6位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)為()A．360B．288C．216解析：選B先保證3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則有Ceq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(2,4)種排法，再從中排除甲站兩端的排法，所以所求排法種數(shù)為Ceq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(2,4)－2Ceq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,3)＝6×(6×12－24)＝288.3．將4名大學(xué)生分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案有________種(用數(shù)字作答)．解析：選出兩人看成一個整體，再全排列．共有Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(3,3)＝36種分配方案．答案：36———————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]———————————1個識別——排列問題與組合問題的識別方法識別方法排列若交換某兩個元素的位置對結(jié)果