成考專起點升本數(shù)學(二)第二章 一元函數(shù)微分學

/(工0+Ax)-f(1Q)

即f(x0)=lim

Ax-?O△x

如果記Xzo+Ax,則當Ax0時ZT%,于是上式又可寫為

/（工。）="（工）一~。）

工JCQ

如果上式的極限不存在，則稱函數(shù)人工）在點“處不可導.如果函數(shù)f（x）在區(qū)間（a,6）內(nèi)的每

一點工都可導，則稱人工）在（a，6）內(nèi)可導,/（工）稱為函數(shù)/（工）在區(qū)間（。,6）內(nèi)的導（數(shù)）函數(shù)，簡稱

為導數(shù)，記作

八必,，3*喀

△y_f(網(wǎng)+AJ)-f工(0)

反映的是自變量"從z。改變到％+Ax時，函數(shù)f（z）的平均變化速

△x

率，稱為函數(shù)的平均變化率，而導數(shù)r（H°）=lim善反映的是函數(shù)在點工。處的變化速率，稱為函數(shù)

Ar-0AZ

在點入處的變化率.

2.左導數(shù)與右導數(shù)

（1）左導數(shù)：/.5）如果當△x-O-時，笈的極限存在,則稱此極限值為函數(shù)f（z）在々處的

左導數(shù)，記為（死），即

/(x+Ax)~/(xp)

f-(x0)=lim誓=lim0

Ar—?O7△x—*0△.7

⑵右導數(shù)，+5）如果當?shù)蘐。+時含的極限存在，則稱此極限值為函數(shù)/（X）在4處的

右導數(shù)，記為f+（工。），即

/(20+△■!)-f(Ho)

f+(x0)=lim留=lim

Ay?O~*~△x

根據(jù)函數(shù)在一點存在極限的充分必要條件是左右兩個極限存在且相等，同時我們可得到函數(shù)

/（X）在工。點可導的充分必要條件是/-（%）與f+（x?）都存在且相等.

函數(shù)人工）在閉區(qū)間［:a,可上可導是指：八工）在開區(qū)間（a,6）內(nèi)每一點都可導，而在左端點a是指

右導數(shù)lim-f（a）=尸（a）存在；而在右端點6是指左導數(shù)lim八公一］“）=/（6）存在.

對于函數(shù)f（z）在點與處可導的定義，需要更進一步的理解為：

C、—rf（H°+II）->

JII

其中方塊||為△工或Ax的函數(shù)，且當0時，||f0.只要符合上面的結構式，其極限值

亦為函數(shù)〃力在點”處的導數(shù).

3.導數(shù)的幾何意義

設曲線方程為y=/（z）,則由導數(shù)的定義可知，函數(shù)y=f（z）在點

判處的導數(shù)/（%）就是曲線在點處切線的斜率（見圖2-

D.EP

f（x0）=lim-=tana（ar）

由直線的點斜式方程，易知曲線y=/（z）在點處的切線

方程為圖2—1

=

y-y<>/(xoXx—x0).

法線方程為y—%=一7專J(N一々I

4.可導與連續(xù)的關系

定理1如果函數(shù)y=/(z)在點石處可導，則它在工。處必定連續(xù)

由這個定理的逆反形式可知，如果函數(shù)/(x)在“處不連續(xù)，則

f(z)在工。處必定不可導，所以用此定理可以判斷函數(shù)人工)在4處不

可導.但要注意，這個定理的逆定理不成立.即函數(shù)y=f(z)在4處

連續(xù)，它在％處不一定可導，所以連續(xù)只是可導的必要條件而不是充分

條件，例如函數(shù)，=I工I在％=0處就是這種例子，如圖2—2.

從直觀上可以看出，曲線y=l工|在々=0處是連續(xù)的，但沒有切

線，所以在否=0處不可導.我們將在后面的典型例題中給出嚴格的證明.

二、導數(shù)的四則運算法則和基本求導公式

1.導數(shù)的四則運算

設函數(shù)“=M(X),V=在點X處可導，則

(1)[〃(了)士了=wz(x)士vf(.x)；

(2)[“(工)行(工)了=uCx)v(.x)+u(x)v(,x)i

⑶[翳)="，3弋屋—)(伏工)片0)

(4)「CU(%)T=cu(z)'(c為常數(shù))

2.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式

(1)0=0<c為常數(shù)),

=2rAi(a為實數(shù))，

(3)(logjc)'=-p-(a>0,a/0),

aNina

(4)(In#)'=—,

JC

(5)(a*)'=a"Ina(a>0,a考1),

(6)3)'=e，,

f

(7)(sinrc)=COSJC9

F

(8)(COSJC)=—sinjr9

z2*1

(9)(tanjc)=secJC=9

COS2oc

(10)(COtjr)Z=-CSC2JC----：~~2-

sinJC

z

(11)(secjr)=secjr?tame9

R

(12)(CSCJC)=—cscrr?cotjr9

(13)(arcsinrr),=―:]?(—1VnV1),

Jl—二

(14)(arccos^s)z------:1(—1Va:V1),

——

(15)(arctanjr)z=

1%

(16)(arccotx)/=——~r.

1+X

3.復合函數(shù)求導公式

設y=/(u),u=d工)，且/(a)及叭力都可導，則復合函數(shù)y=/［即z)］的導數(shù)為

半=半.半=/(“).，⑴

axaudrT

復合函數(shù)求導法則可以用于多層復合的情形.也即y=f(u)9u=g(v)=(p(x).且/(〃)，

g?,⑺都可導，則復合函數(shù)y=/Eg(以外)］的導數(shù)為

查_蟲.如dv

drdudedx

注意在導數(shù)的最后的表達式中只能是1的函數(shù)，而不能含有中間變量！例如y=sinx2，應看

成y=siniz,〃=/的復谷函數(shù)，此時有半=理?半=cosu-2x2JTCOSJ:2.

drauax

4.分段函數(shù)導數(shù)

設z=%為分段函數(shù)/(H)的一個分界點，若在工=工0處f(T)連續(xù)，且在工=%左右鄰近兩

倒的表達式右(力和fz(z)的導數(shù)相等，即

Z(z0)=fl(xo)

則/(X)在Z=々點處可導，且

/(Xo)=/(4)=￡(工0)

這表明:分段函數(shù)在分界點導數(shù)是否存在問題，可歸結為在該點處是否連續(xù)以及在該點兩側的

“導數(shù)狀態(tài)”是否一致的問題.

三、隱函數(shù)的導數(shù)

設方程F(z,y)=0表示一個隱函數(shù)(一般認為自變量是z,函數(shù)是y),例如

x2+-r2=0

就表示一個隱函數(shù).

對隱函數(shù)求導數(shù)，可以采用以下兩個方法之一.

⑴如果能從F(z,y)=O解出y=F(z),則可以用以前對顯函數(shù)求導數(shù)的方法處理.不過這種

方法有時用不上，因為有些隱函數(shù)是不能解出顯函數(shù)y=/(x)的.

⑵將F(H,?)=0的兩邊各項分別對自變量工求導數(shù)，計算時要將y看成z的函數(shù)，將'的某

個函數(shù)(例如/)看成工的復合函數(shù)，用復合函數(shù)求導數(shù)的公式計算；最后再解出J的表達式(在表

達式中允許保留變量，).

四、對數(shù)求導法

所謂對數(shù)求導法，就是先對所給的函數(shù)式的兩邊分別取對數(shù)，再用隱函數(shù)求導數(shù)的方法求導數(shù)

Z需要注意的是在“的表達式中不允許保留y,式中的3應用相應的工的函數(shù)式代替之.

對數(shù)求導法主要用于：

⑴多個函數(shù)的連乘除的求導數(shù).用對數(shù)求導法可以簡化這類題目的計算.

(2)森指函數(shù)的求導數(shù).

五、高階導數(shù)

高階導數(shù)的概念

如果函數(shù)y=/(z)的導數(shù)/(了)在工處可導，就稱的導數(shù)為函數(shù)y=八工)的二階導數(shù)，

記作

〃/〃(\d2/d?于

y，/

按照導數(shù)的定義，函數(shù)/(z)在點Z處的二階導數(shù)就是下列極限:

/(■z+Ax)—f(工)

f(x)=lim

AT-*0△z

/(x)的二階導數(shù)/=，(z)的導數(shù)，就稱作函數(shù)y=八工)的三階導數(shù)，記作

一=-3守，翳

一般地，我們定義八幻的n階導數(shù)為其n—l階導數(shù)的導數(shù)，即如果/"(幻的n-l階導數(shù)的導

數(shù)存在，就稱這個導數(shù)為原來的函數(shù)y=/(x)的n階導數(shù)，記作

產(chǎn),尸＞(外,黑，黑

axax

即有［尸叮=嚴(“=2,3,4…)

二階和二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù).函數(shù)f(x)的各階導數(shù)在點4處的值，記為

f(工0),f(工0)，F(xiàn)(xo)，尸)5)

或y，:y，…，嚴

六、微分

1.微分的定義

如果函數(shù)y=f(H)在點H的某一領域內(nèi)有定義，且當自變量在點H處取得改變量Az時，函數(shù)y

的改變量可表示為

=AAx+O(AX)(AX-*0),

其中A是與Ar無關的量,o(Ar)當Ar0時，是比Az更高階的無窮小量，則稱AAJ?為y=

/(x)在點N處的微分，記為dy或df(力，即

dy=AAx

此時稱函數(shù)y=/(x)在點工處可微.

由于當工為自變量時，&c=Ar,這樣

dy=Adx

當A￡0時，函數(shù)的微分dy也稱為函數(shù)改變量dy的線性主部.

2.微分的幾何意義

設函數(shù)y=f(z)的圖像如圖2—3所示,M(z,y)為曲線上的一定

點，過M點作曲線的切線，則此切線的斜率為/(Z)=tana.當自變量

在點工處取得改變量Ar時，就得到曲線上另外一點+

△y).由圖2-3易知

MN==4y

且NT=MN?tana=f(z)?AJ:=dy

因為，函數(shù)y=f(H)的微分dy就是過點M(工,y)的切線的縱坐標

的改變量.圖中線段TM'是與dy之差，它是較Ax的高階無窮小量

3.可微與可導的等價關系

定理2函數(shù)y=在點工處可微的充分必要條件是“工)在點工處可導，且A(工)=/(z),

即

，

dy=d1y(1)=/(x)djr

由于自變量&z=dzXO,所以上式可寫成

孚=八x)

QX

導數(shù)》也稱為微(分的)商.

4.微分的計算

函數(shù)y=/(x)的微分，可用以下二式計算

dy=f(x)djc

dy=f1+2c

前一式用于計算心的表達式，后一式用于計算z=z。處有改變量時dy的數(shù)值.例如，求函

數(shù)y=lar的微分，

dy=(IruO'dz=-dx

x

又如，求函數(shù)y=/當n由1改變到1.01時的微分，

dy=(x2)Ax=2x^x

由所給條件△%=1.01-1=0.01

所以dv=2?1?(0.01)=0.02

5.微分公式

(l)d(c)=0(c為常數(shù))

(2)d(xa)=ax^dx(a為任意實數(shù))

(3)d(logx)=-p—dx(a>0,a#1)

axlna

(4)d(lnx)=-dx

x

(S)d(a1)=ax\nadx(a>0,a豐1)

(6)d(ex)=eJdx

⑺d(sinx)=cosjrdjr

⑻d(cosz)=-siardr

(9)d(tarkr)=-\—dx=sec2xdx

cos\r

(lO)d(cotx)----rV~dx=—esc2jrdx

sinz

(ll)d(secx)=sear-tarirdj;

(12)d(cscx)=-csar?cotrdi

(13)d(arcsinr)=--dj：(—1VzV1)

?J\—x2

(14)d(arccosx)----二1-cLr(-1Vn(1)

—x2

(15)d(arctaar)=T——j-dx

1+z

(16)d(arccotx)=-―rdjr

1-rx

6.微分的運算法則

(l)d(ui77)=dtt±d”

(2)d(如)=kduCk為常數(shù))

(3)d(zzv)=xjdu+ud*u

。)

(4)d/u.\-udu-ud-u(V

\v/v

7.一階微分形式不變性

所謂一階微分形式的不變性是指對于函數(shù)y=/(“)，無論”是自變量還是中間變量，其一階段

微分都具有形式：

dy=/z(tt)du

事實上，當"是中間變量〃=叭工)時，由復合函數(shù)的求導公式得

dj=ydx=f(”)/(z)dx=f(u)dtt

典型例題

例一、選擇題

1.

(x2+1,-1x&0

設函數(shù)，(幻=7°，則f(“)在點z=0處()

A.可導B.連續(xù)但不可導

C.不連續(xù)D.無定義

分析：V/(0—0)=lim/(x)=lim(xz+1)=1

x-?0-x-*0-

y(0+0)==1

X-0+

所以在H=0處J(H)連續(xù)，又

“小

f-(0)=1h-m/-<--0---+---A---x-)-----/--(-0--)-=lim--(---3-----+---1------1-=c0

Ax-?O△z.o-Ar

r+(0)=lim八0+”)z2(0)=lim=1=o

Ax-*O*△XAr-O*AX

即有f.(0)=r+(0)=0,所以/(x)在H=0點可導.

答：A

2.

2xsin—,x0

設/(x)=x，在點N=0處()

19x=0

A.無定義B.不連續(xù)

C.可導D.連續(xù)但不可導

分析：:limf(z)=lim2xsin工=0Wf(0)

x-oX

/(x)在％=0點不連續(xù)

答：B

3.

設y=z*則dy=()

A.―—-dxB.

xey—1r=M"

xey-1j

工D.

c.ey

分析:=(xey)z=ey+xey?y

(1—xe>)j，=ey

/.dy=v，dr=；----dx

，，1—rey

答：B

4.

設f(0)=0且極限lim核存在，則lim&^等于()

X-*OxX—0T.

A./(x)B./(0)C./(0)D.4-/(0)

分析：由導數(shù)的定義及已知條件可知

lim口=lim一，⑹=/(0),

一QXx-0X-0

所以應選B.

答：B

5.

若y=/(")在u處可導，且u=e，，則dy等于()

A./(e')dyB.f(e')eHdr

C.[/(e')了de'D.[f(e')Te'dx

分析：因為y=/(ex)

則y=f(eI)(eI)z=f(e1)?e”

故dy=f(x)dr=f(ex)e*dz

所以B式正確，A式不正確.

又因為UXe，)了表示fg對工的導數(shù)，不表示對片的導數(shù)，也就是="1*,所以

C式和D式都不正確.

答：B

6.

已知函數(shù)y=/(x)在點4處可導，且

..________h________=1_

“啰f(工e—2A)—/(x0)4,

則/(死)等于()

A.-4B.-2C.2D.4

分析:化為導數(shù)定義的結構式即可.

因為fe?f(x0—2h)—y(x0)V-??/(x0—2/i)—/(x0)f八

----------^2h------------(-2)

_]_1

-2f(x0)4'

所以f(z。)=-2,應選B.

答：B

7.

設函數(shù)f(外在z=2處可導，且r(2)=1則

limf(2+h)—f(2—h)

A-*0h

等于()

A.0B.1C.2D.3

分析：由于/(2)=1,可知應該由導數(shù)的定義入手去求極限.注意到導數(shù)定義是函數(shù)的增量與

自變量增量之比的極限，其中函數(shù)的增量為八與一/(%),而所給極限的分子中沒有函數(shù)值y(x0).

所以應該將分子變形，化成導數(shù)定義的標準結構式，再求其極限.

lim-2+〃)一/X2i)=Hm，(2+/Q—八2)[—[f(2—二-f(2)[

h—ohh-*oh

=lim小±4二/⑵+lim任.一/⑵

iohA-*O-h

=/(2)4-/(2)=2/(2)=2

所以應該選C.

答：c

8.若下列各極限都存在，其中不成立的是()

A.lim衣)一八豆=/(o)B.lim二二二八工9.)=/(Xo)

r-*0X,z-^x工工0

C.lim+2?s=/(XO)D.lim'工。)一/5二3=f(工,)

A-?0hAr-*oZ\JC

分析:這是導數(shù)定義的概念題，顯然選項A、B都正確，對于選項C,若用上面的結構式，則有

lim-工。+21一人工。).2=2/(x0)

ioLrl

所以應選c.

對于選項D,則有

lim/(々)一=工。3)=1加"("3—1(_i)=/(Xo)

Ax—0Ax—0一△]

答：c

9.

A.—1B.0C.1D.—T.

分析：按照導數(shù)的定義，這個極限的含意是f(z)=1皿在工。=1的導數(shù)，可得

f(x)=(lnx)z=—

x

所以Z(1)=I

答：c

10.函數(shù)/(x)在工。處的左導數(shù)?-(x?)以及右導數(shù)/+(x0)存在且相等，是/(X)在工。處可

導的()

A.必要條件B.充分條件

C.必要充分條件D.既非必要又非充分條件

分析：因為按/(X)在4處可導的定義，就是要求極限

1./(x)-/(x)

lim------------0-

rx-xQ

存在，而該極限存在的必要充分條件是極限

[./(x)—y(x)

lim------------0-

r-*x0工工0

和

/(X)—/(x)

,lrim------------0--

都存在且相等，即/一(4)和/+(%)都存在且相等.

答：C

11.

再教/(e)在點]=工0處連續(xù)是/(工)在10處可導的()

A.充分條件

B.必要條件

C.充分必要條件

D.既非充分條件也非必要條件

分析：由函數(shù)連續(xù)與可導的關系定理，函數(shù)在一點可導必連續(xù)，而連續(xù)不一定可導，故應選

擇B.

這里注意連續(xù)不一定可導，例如：

又f(工)=(―1—)'=一(1二±.)=--L._-

X3(1一工)2(1-X)2

故d/(x)=f(x)dx=1--ycLr.

(1-x)

答：A

例二、填空題

1.

設/(x)=,則lim，("+△：)-/(#=.

2fo△X---------

分析：?；lim八兀+午)二小)=/(K)

2—0△JC

而人力)=(ef'=eSiM(sioz)'=e^cosz

于是/(K)=[bcosHI-=-1

答：-1

2.

設函數(shù)y=Inarcsin在,則y=.

分析：用復合函數(shù)求導公式，則有

y=111

arcsin\[x—x2A/X

所以應填~~—T=.

2-Jx-xzarcsin-Jx

宏.

I=I■

1

2J1一壬arcsin^J'x

3.

設函數(shù)/(x)=(1+/)arctanx,貝ljf(0)=.

分析：利用(如)'的公式計算.

所以f(x)=(1-Fxz)7arctanx4-(1+x2)(arctaaz)7

=2xarctanjc+(1+/).----

1+x2

=2xarctanx+1

所以r(o)=i.

答：1

4.

曲線y=or?+6上點(1,2)處的切線斜率為1,則Q=,b=.

分析：???，=(ar2+6)'=2az

由題設yI.=2azI=2a=1

IX-1I

于是a=:，又(1,2)是曲線y=az?+。上的點，即滿足此方程

1Q

所以有2=0+6=5+6,解得6=y

故應填a=9

答：

13

T9~2

5.

設函數(shù)/(十)=d+?+1,則/(x)=.

分析：該題主要是考查函數(shù)概念及基本導數(shù)公式.由已知條件應該先求出/(x)的表達式，然后

「1]

再求導，因此先用!換fg)中的Z,則得/T=仆)，同時也用《換右邊的Z,得到/(1)=：

Lx.

+x+1,再對X求導.

所以人力=-^+1.

答：

2,,

一尹+1

6.設y=V—2z+3,Ar=0.1,則在z=1處的改變量△、=,微分d?

分析：Ay=—yCx)

=(x+△JC)3—2(x+△])+3—(x3—2x+3)

=(3x2—2)Ax+3Z(AN)2+(Ax)3

dy=(3x2—2)Az

123

Ay|_v=(3?I-2)(0.1)+3?1?(0.1)+(0.1)=0.131

的1=，=(3?l2-2)(0.1)=0.1

答：0.131;0.1

7.

設函數(shù)y=e81則y〃=_______.

分析:先求y再求

由于y=e8"?(―siru:)

則y=(e00^)r(—siar)一十五但皿)'

=60°^(—sinx)2—e8ax?COSJ:

=e8sx(sim2x-COSJT)

答：

e81a(sin2x—COSJ?)

8.

設y=皿，貝=?

xI工-1------------I工=1------------

分析J-(1n_(Ina:)’?z-Inx?(1)’_1—lor

Vx2x2

(1—Inz)'?/一(i—Inj；)?(x2)f

=----------------------?----------------------

_21nz-3

=~p-

故，LT=P1,T=-3.

答：1;-3

9.

設函數(shù)y=cos(er),則y(0)=.

分析:用復合函數(shù)求導公式有

y=-sin(e'x)?e-x?(—1)

=e-xsin(e-i),

則有y(0)=(e-xsine-x)(…

=sinl

答：sinl

10.

函數(shù)f(z)=x(x-l)(x-2)(x-3)(x-4)的/(O)=.

分析:如果利用函數(shù)乘積的導數(shù)公式計算亦較麻煩，但是注意到函數(shù)乘積導數(shù)的五項中，只有第

一項不含小其余四項均含有以因此求出，(外再用z=0代入后，只有第一項為(0—1)(0—2)(0—

3)(0-4)=4!而其余各項均為0,事實上：

f(x)=(x—l)(x—2)(x—3)(x—4)+x(x—2)(x—3)(x—4)+x(x-1)(x—3)(x

4)+x(x-1)(x—2)(x—4)+x(x—1)(x—2)(x—3)

所以r(o)=，(工)|,_。=4!

答：4!

例三、解答題

1.

求函數(shù)/(x)=loga2：(a>0,Q半1)的導數(shù).

分析:用導數(shù)的定義求導數(shù)

Z(x)=(IO&H)'=lim八f("

*-oh

=Hmloga(z+%)—lOgaZ

A-0h

Hmloga(三芋)

log”lim(l+—)+,+

A-0X

logd=-^logae=北3

答:上

2.

求由方程=si”+e，確定的函數(shù)y（z）的導數(shù).

分析：方程xy2=siny+e，兩邊對工求導，得

].y2+z.2y.y，=COSJ?/+/

?

整理化簡，并解出y',得

(2xy-cosj)y=ex—y2

，ex-y

y=----------

2xy-cosy

答:丁=f二丈-

2xy-cos1y

3.設函數(shù)

嗎）=5z

1+3x2

求/（了）..

分析：首先求函數(shù)f（z）,因為

5

5?—

心）5xzX

l+3x2J_+3

/十§(—)z+3

X

5x

所以/(x)=

X2-1-3

5(x2+3)—5x?2x15—5公=5(3-x2)

從而

(f+3)2(d+3>—(/+3/

分5(3—/)

育：(/+3)2

4.

設函數(shù)y=（1+幻+,求/

分析：這是塞指函數(shù)，宜用對數(shù)求導法.

兩邊取對數(shù)得Iny=-ln(l+z)=x~x?ln(l+z)

x

等式兩邊對Z求導得

—?y=-x~2ln(1+x)+x~xz—7—

y1+1

答…]+叫.皿―

5.

設/(-)=二^，設求/(x)及/(I).

x1十J.

1

1129,VO

分析:令t=一,則z=:，于是/(?)=-z-----=匚匚

XtJ1_L11+z

—~r1

用x代替2,得/(x)=上

1十N

所以小)=(系)’=一舟方

從而r⑴一言可一十

“2_1

答：(13工)2，2

6.

若'G)=3求，⑴及/信)?

分析:應該先用復合函數(shù)求導，再求出/(X).

2G)=，G)d,

所以,G)一京

則有f9=—

答----—1

0-21

7.

設f(x)=sin(lnx),求f(x).

分析:/(z)=Csin(lnjc)y=cos(lnx)?(lor)'=—cos(lnz)

x

f'(z)=[—cos(lru:)y=(—)z?cos(lrir)+—?[cos(lnx)]'

xxx

----^-COS(IILT)+—?[-sin(lnr)?(1ILT)T

XX

=---y[cos(lar)+sindnr)]

答:/'(n)----yCcos(lrir)+sin(lar)]

8.

設曲線y=Sor,試求曲線的平行于直線2z+2y+3=0的切線方程.

分析:設已知直線為/,易求得直線/的斜率4=-1.

因為過曲線？=川皿上點（z，y）的切線的斜率為

y=（zlm）'=Irir-|-x?—=1+Inx

x

又因為所求切線與直線/平行，所以

y=k=1

即1+laz=-1

得Inx=-2

從而x=e-2

將1=「代入曲線方程，得

y|z-.-*=xlnr|=一2e_2

于是切點為（z~）=（eT,-2eT）,所以平行于直線/的切線方程為

y+2e~2=—（x「e-z）

即x+^+e-2=0

答：Z+V+=0

9.

/31x2

設函數(shù)y=求y-

(x-2)2

分析：由于函數(shù)式為多個函數(shù)的連乘除的形式，用對數(shù)求導法為好.

因為ln,=ln(^-z+2

x—2)2

=21nx—ln(1—Z)+守口水1+2)—21n(z—2)]

等式兩邊對z求導，可得

1,21z,1121

一y?yx；1-x(-1)+虧3?x--\-1X—3=-?x—L方

所以已+占+?兩一而號]

_/7z+2「2|1|12

1—xV(x—2)2Lxx—13(3+2)3(x—2)

,=上.3p+2~rA_j_+—_____

1—xv(x—2)2Lx+x—13(x+2)3(x—2)J

10.

求曲線y=2/+3］在點（1,5）處的切線與法線方程.

分析：???：/=(2x2+3x)/=4x+3

；?]=4X1+3=7

故過點(1,5)處的切線方程為y-5=7(z—D

即：y=7x—2

過點(1,5)處的法線方程為y—5=一：(工一1)

1.36

即Hny=-yx+y

結-136

答:y=-yx+y

11.

求y=Incosx的導數(shù).

分析：設y—lnu,u=cosx,則可將y=Incox看成復合函數(shù)，此時〃為中間變量.因為

半=,

duu

d〃/、/.

(cosx；=-sinx9

由復合函數(shù)的導數(shù)公式，有

*'=半=孚?半=—(-sioz)

ckcdudru

=—(-sinx)=-tanx.

cosx

答:一taar

12.

設y1；/)3，試求.

分析:先取對數(shù)，得

出=ln7(TT^7=Tln(TTP7=當H一千山(1+z?

即

Iny=春lar--^-ln(l+x2)

03

上式兩邊同時對Z求導，得

1,2132x

一5x51+x2

故

xz

i+x2y?陵5(1+/)

答:：/=

號7?犢—5(1+/)

13.

求y=cosln(l+2x)的導數(shù).

分析:，=[cosln(l+2x)y

=[-sinln(l+2x)][ln(l+2力丁

=[-sinln(l4-2x)3?77J0、?(1+2xY

(1H-2x)

2

=-sinln(l+2x)?77,0、

(1+2x)

一2

=i.sinln(l+2x).

14-Zox

副"急?nln(l+2x).

14.

設f(x)=zlar,試求f(x)及f(1).

分析/(力=(xlnj7)z=(>!)'?Iru:+z?(Im)'=lorH-x?——laz+1

x

/'(>r)=[/(幻了=(lar+l)z=—

x

于是/(l)=/(x)|x_1=±|x_i=1

15.

設函數(shù)？=y（H）由方程/+/=1確定,求乎.

分析：該方程可解出y1),

此時y=＞（x）為顯函數(shù)，用導數(shù)公式可求得半.

如果不解出y=?（z）,而將方程中的y看成為工的復合函數(shù)，則有/+3（工）了=1,此時的

程的兩邊對工求導，但是一定要注意：其中的y（z）是工的復合函數(shù)，應用復合函數(shù)求導公式可得，

解:將方程/+y2=1,兩邊對N求導2z+2y?孚=0

=一三

所以dy

dxy

16.

求/(x)=(sinx)e的導數(shù).

分析：先對函數(shù)f(z)=(sinx)e,取對數(shù)，有l(wèi)n/(x)=