以二次函數(shù)最值談銜接教學(xué)案例

【摘

要】初高中的教學(xué)銜接是高一數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點(diǎn)，如何更有效地銜接初高中數(shù)學(xué)知識(shí)的融合，幫助高一學(xué)生順利過渡到高中的學(xué)習(xí)，是每年高一教學(xué)初期必須面對(duì)并且需要解決的重要課題。本文借助“求二次函數(shù)的最值”這一知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)實(shí)踐案例，高效銜接初高中教學(xué)以溫故知新，問題銜接拓展，理論遷移應(yīng)用等方式進(jìn)行層層深入的探究和實(shí)踐性的思考，通過把握教學(xué)的銜接點(diǎn)，學(xué)生思維提升的關(guān)鍵點(diǎn)，理論遷移的切入點(diǎn)進(jìn)一步提高銜接教學(xué)的效率?！娟P(guān)鍵詞】初高中數(shù)學(xué)；銜接教學(xué)；二次函數(shù)最值；教學(xué)案例二次函數(shù)是連接初高中函數(shù)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵模塊，其中最值問題是初高中函數(shù)教學(xué)的重點(diǎn)，更是學(xué)生理解函數(shù)相關(guān)概念的痛點(diǎn)，以二次函數(shù)的最值作為初高中銜接教學(xué)的切入點(diǎn)，恰恰就可以讓高一學(xué)生從熟悉的知識(shí)中去層層深入突破難點(diǎn)和痛點(diǎn)。本文結(jié)合本校高一年級(jí)數(shù)學(xué)校本選修課程中一個(gè)專題模塊內(nèi)容——二次函數(shù)的最值問題進(jìn)行分析思考，談?wù)勅绾卧诮虒W(xué)過程中進(jìn)行初高中的教學(xué)銜接，提高銜接教學(xué)的效率，以下為課堂教師與學(xué)生實(shí)錄情況及分析。一、銜接教學(xué)教學(xué)實(shí)踐案例（一）溫故知新，鋪好銜接橋梁教師活動(dòng)1：引導(dǎo)學(xué)生回顧如何畫二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖像（在師生共同畫圖的過程中與學(xué)生一起回顧初中學(xué)習(xí)相關(guān)二次函數(shù)的開口分類，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，配方法等問題）學(xué)生活動(dòng)1：例題：已知二次函數(shù)f（x）=x2-2x+2，此函數(shù)有最大值還是最小值？如果有，求出函數(shù)f（x）的最值及此時(shí)ｘ的值。設(shè)計(jì)意圖1：通過讓學(xué)生回顧初中的二次函數(shù)的圖像問題，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固求二次函數(shù)的最值的方法，為下一環(huán)節(jié)高中二次函數(shù)的最值問題所涉及的數(shù)形結(jié)合與分類討論等做鋪墊。（二）環(huán)環(huán)相扣，做好銜接教師活動(dòng)２：總結(jié)在求解過程中可以用畫圖的方法，也可以用公式法，還可以用配方法，還有沒有其他更快的方法？進(jìn)一步提出，如果自變量x給定相應(yīng)的范圍，最小值會(huì)改變嗎？會(huì)有最大值嗎？可以求出來(lái)嗎？學(xué)生活動(dòng)２：例題變式1．分別求出二次函數(shù)f（x）=x2-2x+2在下列區(qū)間上的最小值與最大值①[-3，-1]

②[2，3]

③[-1，3]

④[0，3]設(shè)計(jì)意圖：此題是在例題的基礎(chǔ)上，通過給定區(qū)間求二次函數(shù)的最值，給定區(qū)間離對(duì)稱軸的情況，布置了一定難度的陷阱，實(shí)際課堂情況下多數(shù)高一學(xué)生都是不畫圖像，要么直接套用頂點(diǎn)公式求最值，要么直接代入不同區(qū)間兩端的端點(diǎn)求最值，從而容易導(dǎo)致錯(cuò)誤。設(shè)計(jì)本題的意圖，就是層層深入，拓寬學(xué)生的解題思路，理清解題步驟和流程，加強(qiáng)學(xué)生的畫圖分析能力，進(jìn)一步滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。（三）銜接接軌，深入探究在學(xué)生通過變式1的研究后，已經(jīng)初步體驗(yàn)到數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)解題中的重要性、實(shí)用性和操作流程，在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步深入研究“動(dòng)態(tài)的”數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生探究的興趣，提高數(shù)學(xué)思維及解題能力那就是水到渠成的事了。教師活動(dòng)３：引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)總結(jié)給定區(qū)間求二次函數(shù)的最值時(shí)，關(guān)鍵是如何巧妙利用數(shù)形結(jié)合，準(zhǔn)確清晰地判斷所給區(qū)間是否包含對(duì)稱軸，分析出給定區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)中哪個(gè)端點(diǎn)離對(duì)稱軸更遠(yuǎn)或更近，從而結(jié)合圖形，得出最大值或最小值。進(jìn)一步提出問題，若給定的區(qū)間變成一個(gè)“動(dòng)態(tài)”的區(qū)間，是否有最值？學(xué)生活動(dòng)3：例題變式2．求二次函數(shù)f（x）=x2-2x+2在區(qū)間[ｔ，ｔ＋１]上的最小值記為g（t），（1）試寫出函數(shù)g（t）的解析式，（2）作出g（t）的圖像并求出g（t）的最小值。解：（１）f（x）=（x-1）2+1當(dāng)t＋１≤１，即t≤０，g（t）=t2+1當(dāng)t＜１＜t＋１，即０＜t＜１，g（t）=f（1）=1當(dāng)t≥１，g（t）=f（t）=t2-2t+2綜上可知，g（t）的表達(dá)式是分段函數(shù)的形式，解答如下：g（t）=t2+1，t≤01，0＜t＜1t2-2t+2，t≥1教師活動(dòng)４：及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)用數(shù)形結(jié)合和分類討論思想進(jìn)行解決問題的關(guān)鍵點(diǎn)，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生思考總結(jié)上一題的類型是“軸定區(qū)間動(dòng)”，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生是否可以換一種模式，變成是“軸動(dòng)區(qū)間定”的類型。學(xué)生活動(dòng)４：例題變式３．求函數(shù)f（x）=x2-2ax+2在區(qū)間[－１，１]上的最小值記為g（a），（１）試寫出函數(shù)g（a）的解析式，（２）求出g（a）的最大值。引導(dǎo)學(xué)生以對(duì)稱軸在區(qū)間[－１，１]中的不同位置，結(jié)合圖像分情況討論g（a）解析式。設(shè)計(jì)意圖：二次函數(shù)在初高中數(shù)學(xué)教學(xué)中最大的區(qū)別在于其靜態(tài)的與動(dòng)態(tài)的區(qū)別，兩個(gè)變式題的設(shè)計(jì)正是為了實(shí)現(xiàn)二次函數(shù)由靜態(tài)升級(jí)到動(dòng)態(tài)的過程，讓高一學(xué)生更好地從初中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中，尤其是對(duì)二次函數(shù)的簡(jiǎn)單直覺認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步上升到高中的數(shù)形結(jié)合思想方法以及較為復(fù)雜的邏輯推理，為下面實(shí)際課堂教學(xué)問題的解決做好思維的鋪墊。教師活動(dòng)5：提出問題，為實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為求最值做好鋪墊過渡。例題變式4．函數(shù)f（x）=x2-2x+2-a≥0恒成立，求a得取值范圍。引導(dǎo)學(xué)生把所求的a看成未知數(shù)，故a≤x2-2x+2，即求g（x）=x2-2x+2的最小值。設(shè)計(jì)意圖：通過設(shè)置簡(jiǎn)單的恒成立問題，讓學(xué)生初步體驗(yàn)轉(zhuǎn)化等價(jià)思想，做好銜接教學(xué)的鋪墊。（四）銜接拓展，理論遷移例題變式5．函數(shù)f（x）=x2-2x+2-a≥0恒成立，求a的取值范圍。師生共同活動(dòng)6：引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比變式4、5的異同，同時(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化。教師引導(dǎo)一：讓學(xué)生類比思考是否能夠把a(bǔ)看成未知數(shù)，讓學(xué)生進(jìn)行探究。教師引導(dǎo)二：二次函數(shù)的值恒大于等于0，即二次函數(shù)的最小值大于等于0，相當(dāng)于方程f（x）=x2-2ax+2-a=0無(wú)解或一解。學(xué)生活動(dòng)二：則函數(shù)f（x）=x2-2ax+2-a的圖像與x軸無(wú)交點(diǎn)或只有一個(gè)交點(diǎn)，則△≤0，即（-2a）2-4（2-a）≤0，解得-2≤a≤1。設(shè)計(jì)意圖：將二次函數(shù)的最值問題進(jìn)一步拓展，強(qiáng)化了函數(shù)、方程、不等式這三者之間的轉(zhuǎn)化，更好地做到有效地銜接教學(xué)二次函數(shù)這一重點(diǎn)內(nèi)容。本人將在變式5的基礎(chǔ)上，給自變量限制一定范圍，讓學(xué)生進(jìn)行探究。例題變式6．已知二次函數(shù)f（x）=x2-2ax+2-a，當(dāng)x∈[-2，2]，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍。解：①當(dāng)a＜-2，f（x）min=f（-2）=4+4a+2-a≥0即a≥0，又∵a＜-2，∴a不存在。②當(dāng)-2≤a≤2，f（x）min=f（a）=a2-2a2+2-a≥0，解得-2≤a≤1，∴-2≤a≤1③當(dāng)a＞2，f（x）min=f（2）=4-4a+2-a=6-5a≥0，解得a≤∵a＞2，∴a不存在。綜上所述，得a的取值范圍為-2≤a≤1設(shè)計(jì)意圖：將二次函數(shù)的含參數(shù)的問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題，并進(jìn)一步通過數(shù)形結(jié)合滲透分類討論思想解決問題。通過上述教學(xué)過程，將最值問題上升到一定的高度，同時(shí)也將值域進(jìn)行系統(tǒng)地、有效地銜接教學(xué)。二、今后初高中銜接教學(xué)的三點(diǎn)建議基于以上課堂教學(xué)實(shí)踐案例整理分析，本人認(rèn)為教師要提高初高中銜接教學(xué)的效率問題，可從以下幾方面入手：（一）從思想認(rèn)識(shí)的根本上切實(shí)把握初高中銜接教學(xué)每年的高一都會(huì)聽到很多老師反映，初中各所學(xué)校也根據(jù)每年的中考要求及學(xué)校的實(shí)際情況對(duì)某些內(nèi)容做適當(dāng)調(diào)整，這就造成了很多高一老師不能精準(zhǔn)把握高一新生的起點(diǎn)，在教學(xué)過程中定位過高，自然而然就造成了教學(xué)過程的脫節(jié)，所以要想提高銜接教學(xué)的效果，首先教師必須從思想上改變觀念，不推卸責(zé)任，主動(dòng)關(guān)注學(xué)生初中學(xué)習(xí)的相關(guān)內(nèi)容及難度深度，以初高中為整體體系去構(gòu)建學(xué)生完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，來(lái)進(jìn)行系統(tǒng)教學(xué)。（二）從內(nèi)容上下功夫提高銜接教學(xué)的效率雖然高中數(shù)學(xué)相比初中數(shù)學(xué)增加了內(nèi)容的廣度和深度，但大多數(shù)知識(shí)都源自于初中，因此在教學(xué)過程中，教師在教學(xué)內(nèi)容的教學(xué)處理上，應(yīng)該理清初高中很多知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，把握銜接點(diǎn)，根據(jù)學(xué)生的情況來(lái)編寫合適的教案，從而結(jié)合初高中知識(shí)來(lái)整體把握教學(xué)。比如函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)、三角函數(shù)、平面幾何、立體幾何及概率等知識(shí)體系初高中都是聯(lián)系甚緊。又如上述二次函數(shù)模塊的教學(xué)，雖然教材并未單獨(dú)編寫，但卻貫穿整個(gè)高中階段。本人就以二次函數(shù)的值域問題進(jìn)行了較系統(tǒng)的銜接教學(xué)，從而提高教學(xué)的有效性和系統(tǒng)性。（三）從思維方法上下功夫提高銜接教學(xué)的效率很大一部分高一學(xué)生之所以未能適應(yīng)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，主要是初高中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維方式有較大的差異。初中教學(xué)中有很多內(nèi)容的學(xué)習(xí)都是比較注重直觀形象及直接具體化的，而高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)更注重抽象思維，推理演算推廣及間接問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化等，這就要求教師在教學(xué)過程中，注重學(xué)生的思維方式的銜接過渡。比如在講授《函數(shù)奇偶性》的教學(xué)過程中，如何做到更加符合高一學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和思維水平，有效結(jié)合圖形，然