2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)微專(zhuān)題小練習(xí)專(zhuān)練32數(shù)列求和

專(zhuān)練32數(shù)列求和[基礎(chǔ)強(qiáng)化]一、選擇題1．若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n＋2n－1，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為()A．2n＋n2－1B．2n＋1＋n2－1C．2n＋1＋n2－2D．2n＋n－2答案：C解析：Sn＝(2＋22＋…＋2n)＋(1＋3＋5＋…＋2n－1)＝eq\f(2（1－2n）,1－2)＋eq\f(（1＋2n－1）n,2)＝2n＋1－2＋n2.2．等差數(shù)列{an}的公差為2，若a2，a4，a8成等比數(shù)列，則{an}的前n項(xiàng)和Sn＝()A．n(n＋1)B．n(n－1)C．eq\f(n（n＋1）,2)D．eq\f(n（n－1）,2)答案：A解析：∵a2，a4，a8成等比數(shù)列，∴aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝a2a8，∴(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)，得a1＝d＝2，∴Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d＝n(n＋1).3．?dāng)?shù)列1，eq\f(1,1＋2)，eq\f(1,1＋2＋3)，…，eq\f(1,1＋2＋3＋…＋n)，…的前n項(xiàng)和為()A．eq\f(n,n＋1)B．eq\f(2n,n＋1)C．eq\f(4n,n＋1)D．eq\f(n,2（n＋1）)答案：B解析：∵eq\f(1,1＋2＋3＋…＋n)＝eq\f(2,（1＋n）n)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，∴Sn＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋…＋\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n＋1)))＝eq\f(2n,n＋1).4．?dāng)?shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(n＋1)＋\r(n))))的前2018項(xiàng)的和為()A．eq\r(2018)＋1B．eq\r(2018)－1C．eq\r(2019)＋1D．eq\r(2019)－1答案：D解析：∵eq\f(1,\r(n＋1)＋\r(n))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)，∴S2018＝eq\r(2)－1＋eq\r(3)－eq\r(2)＋…＋eq\r(2019)－eq\r(2018)＝eq\r(2019)－1．5．已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足an＋1＋(－1)n＋1an＝2，則其前100項(xiàng)和為()A．250B．200C．150D．100答案：D解析：當(dāng)n＝2k－1時(shí)，a2k＋a2k－1＝2，∴{an}的前100項(xiàng)和S100＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100)＝50×2＝100，故選D.6．已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足：an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，a1＝1，a2＝2，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S2018＝()A．3B．2C．1D．0答案：A解析：∵an＋1＝an－an－1，a1＝1，a2＝2，∴a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1，a8＝2，…，故數(shù)列{an}是周期為6的周期數(shù)列，且每連續(xù)6項(xiàng)的和為0，故S2018＝336×0＋a2017＋a2018＝a1＋a2＝3.故選A.7．若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n＋1，令bn＝eq\f(1,a1＋a2＋…＋an)，則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn為()A．eq\f(n＋1,2（n＋2）)B．eq\f(3,4)－eq\f(2n＋3,2（n＋1）（n＋2）)C．eq\f(n－1,n＋2)D．eq\f(3,4)－eq\f(2n＋3,（n＋1）（n＋2）)答案：B解析：因?yàn)閍1＋a2＋…＋an＝eq\f(n（3＋2n＋1）,2)＝n(n＋2)，所以bn＝eq\f(1,n（n＋2）)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2)))，故Tn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)－\f(1,n＋1)－\f(1,n＋2)))＝eq\f(3,4)－eq\f(2n＋3,2（n＋1）（n＋2）)，故選B.8．已知數(shù)列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an＋2，n是奇數(shù)，,2an，n是偶數(shù)，))則數(shù)列{an}的前20項(xiàng)和為()A．1121B．1122C．1123D．1124答案：C解析：由題意可知，數(shù)列{a2n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，數(shù)列{a2n－1}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，故數(shù)列{an}的前20項(xiàng)和為eq\f(1×（1－210）,1－2)＋10×1＋eq\f(10×9,2)×2＝1123.選C.9．(多選)[2024·河北省六校聯(lián)考]等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，若a1＞0，S10＝S20，則()A．公差d＜0B．a(chǎn)16＜0C．Sn≤S15D．當(dāng)且僅當(dāng)Sn＜0時(shí)n≥32答案：ABC解析：因?yàn)镾10＝S20，所以a11＋a12＋…＋a19＋a20＝5(a15＋a16)＝0，又a1＞0，所以a15＞0，a16＜0，所以d＜0，Sn≤S15，故ABC正確；因?yàn)镾31＝eq\f(31（a1＋a31）,2)＝31a16＜0，故D錯(cuò)誤．故選ABC.二、填空題10．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1＋a3＋a11＝6，則S9＝________．答案：18解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.∵a1＋a3＋a11＝6，∴3a1＋12d＝6，即a1＋4d＝2，∴a5＝2，∴S9＝eq\f(（a1＋a9）×9,2)＝eq\f(2a5×9,2)＝18.11．設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前10項(xiàng)的和為_(kāi)_______．答案：eq\f(20,11)解析：∵an＋1－an＝n＋1，∴當(dāng)n≥2時(shí)，a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an－an－1＝n，∴an－a1＝eq\f(（2＋n）（n－1）,2)，∴an＝1＋eq\f(（n＋2）（n－1）,2)＝eq\f(n2＋n,2)(n≥2)又當(dāng)n＝1時(shí)a1＝1符合上式，∴an＝eq\f(n2＋n,2)∴eq\f(1,an)＝eq\f(2,n2＋n)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，∴S10＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋…＋\f(1,10)－\f(1,11)))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,11)))＝eq\f(20,11).12．[2024·黑龍江省牡丹江市第二高級(jí)中學(xué)段考]若i是虛數(shù)單位，則i＋2i2＋3i3＋…＋2023i2023＝________．答案：－1012－1012i解析：設(shè)S＝i＋2i2＋3i3＋…＋2023i2023，則iS＝i2＋2i3＋3i4＋…＋2023i2024，兩式相減得(1－i)S＝i＋i2＋i3＋…＋i2023－2023i2024＝eq\f(i（1－i2023）,1－i)－2023i2024＝eq\f(i（1＋i）,1－i)－2023＝－1－2023＝－2024，故S＝eq\f(－2024,1－i)＝eq\f(－2024（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝－1012－1012i.[能力提升]13．已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足2an＝an＋1＋an－1(n≥2，n∈N)，且a1＝1，a5＝9，bn＝Ceq\o\al(\s\up1(n－1),\s\do1(99))·an，則數(shù)列{bn}的前100項(xiàng)的和為()A．100×299B．100×2100C．50×299D．50×2101答案：A解析：由2an＝an＋1＋an－1知{an}為等差數(shù)列，又a1＝1，a5＝a1＋4d，∴d＝2，｀∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，∴{bn}的前100項(xiàng)的和S100滿(mǎn)足：S100＝Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(99))a1＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(99))a2＋…＋Ceq\o\al(\s\up1(99),\s\do1(99))a100，∴S100＝Ceq\o\al(\s\up1(99),\s\do1(99))a100＋Ceq\o\al(\s\up1(98),\s\do1(99))a99＋…＋Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(99))a1＝Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(99))a100＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(99))a99＋…＋Ceq\o\al(\s\up1(99),\s\do1(99))a1，∴2S100＝(a1＋a100)(Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(99))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(99))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(99))＋…＋Ceq\o\al(\s\up1(99),\s\do1(99)))＝200×299，∴S100＝100×299.14．已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足2a1＋22a2＋…＋2nan＝n(n∈N*)，數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,log2anlog2an＋1)))的前n項(xiàng)和為Sn，則S1·S2·S3·…·S10＝()A．eq\f(1,10)B．eq\f(1,5)C．eq\f(1,11)D．eq\f(2,11)答案：C解析：∵2a1＋22a2＋…＋2nan＝n(n∈N*)，∴2a1＋22a2＋…＋2n－1an－1＝n－1(n≥2)，∴2nan＝1(n≥2)，當(dāng)n＝1時(shí)也滿(mǎn)足，故an＝eq\f(1,2n)，故eq\f(1,log2anlog2an＋1)＝eq\f(1,log22－nlog22－（n＋1）)＝eq\f(1,n（n＋1）)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，Sn＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)＝1－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1)，∴S1·S2·S3·…·S10＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×…×eq\f(9,10)×eq\f(10,11)＝eq\f(1,11)，選C.15．設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝________．答案：－eq\f(1,n)解析：∵an＋1＝SnSn＋1＝Sn＋1－Sn，∴eq\f(1,Sn＋1)－eq\f(1,Sn)＝－1，∴數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))為等差數(shù)列，∴eq\f(1,Sn)＝eq\f(1,S1)＋(n－1)×(－1)＝－n.∴Sn＝－eq\f(1,n).16．把一個(gè)等腰直角三角形對(duì)折一次后再展開(kāi)得到的圖形如圖所示，則圖中等腰直角三角形(折痕所在的線(xiàn)段也可作為三角形的邊