寧夏銀川市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

Page18寧夏銀川市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（考試時間：120分鐘，滿分：150分）一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)滿意，是的共軛復(fù)數(shù)，則下列說法中不正確的是（

）A.實部與虛部之積為 B.的共軛復(fù)數(shù)為C.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第三象限 D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算化簡得，進(jìn)而依據(jù)復(fù)數(shù)的實部和虛部可推斷A，依據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義可推斷B，依據(jù)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點可推斷C，依據(jù)復(fù)數(shù)模長的計算可推斷D.【詳解】由得，對于A,復(fù)數(shù)的虛部為1，實部為2，故A正確，對于B,的共軛復(fù)數(shù)為,B正確，對于C,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，故點在第一象限，C錯誤，對于D，，D正確，故選：C2.在等差數(shù)列中，，則的值為（）A.6 B.8 C.12 D.13【答案】C【解析】【分析】依據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)可求得的值，再依據(jù)即可計算出最終結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以，所以，故選：C.【點睛】本題考查等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)的應(yīng)用，難度一般.在等差數(shù)列中，已知，則有.3.等比數(shù)列中，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題設(shè)結(jié)合等比數(shù)列通項公式求得公比，進(jìn)而求.【詳解】由題設(shè)，，又，可得，∴.故選：A4.為慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，安康市某學(xué)校開展“唱紅色歌曲，誦紅色經(jīng)典”歌詠競賽活動，甲、乙兩位選手經(jīng)驗了7場初賽后進(jìn)入決賽，他們的7場初賽成果如莖葉圖所示．下列結(jié)論正確的是（）A.甲成果的極差比乙成果的極差大B.甲成果的眾數(shù)比乙成果的中位數(shù)大C.甲成果的方差比乙成果的方差大D.甲成果的平均數(shù)比乙成果的平均數(shù)小【答案】D【解析】【分析】對于A，分別求出極差推斷，對于B，求出甲的眾數(shù)和乙成果的中位數(shù)推斷，對于C，依據(jù)數(shù)據(jù)的離散程度推斷，對于D，分別求出平均數(shù)推斷即可.【詳解】甲成果的極差為，乙成果的極差為，故A錯誤；甲成果的眾數(shù)為85分，乙成果的中位數(shù)為87分，故B錯誤；由莖葉圖的數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，可判定甲成果的數(shù)據(jù)更集中，乙成果的數(shù)據(jù)更分散，所以甲成果的方差比乙成果的方差小，故C錯誤；甲成果的平均數(shù)為分，乙成果的平均數(shù)為分，故D正確．故選：D5.2024年3月，樹人中學(xué)組織三個年級的學(xué)生進(jìn)行“慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年”黨史學(xué)問競賽.經(jīng)統(tǒng)計，得到前200名學(xué)生分布的餅狀圖（如圖）和前200名中高一學(xué)生排名分布的頻率條形圖（如圖），則下列命題錯誤的是（）A.成果前200名的200人中，高一人數(shù)比高二人數(shù)多30人B.成果第1-100名的100人中，高一人數(shù)不超過一半C.成果第1-50名的50人中，高三最多有32人D.成果第51-100名的50人中，高二人數(shù)比高一的多【答案】D【解析】【分析】依據(jù)餅狀圖和條形圖供應(yīng)的數(shù)據(jù)推斷．【詳解】由餅狀圖，成果前200名的200人中，高一人數(shù)比高二人數(shù)多，A正確；由條形圖知高一學(xué)生在前200名中，前100和后100人數(shù)相等，因此高一人數(shù)為，B正確；成果第1-50名的50人中，高一人數(shù)為，因此高三最多有32人，C正確；第51-100名的50人中，高二人數(shù)不確定，無法比較，D錯誤．故選：D．6.拋擲一顆質(zhì)地勻稱的骰子，記事務(wù)為“向上的點數(shù)為1或4”，事務(wù)為“向上的點數(shù)為奇數(shù)”，則下列說法正確的是（）A.與互斥 B.與對立C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)互斥事務(wù)和對立事務(wù)的定義推斷．求出事務(wù)，然后計算概率．【詳解】與不互斥，當(dāng)向上點數(shù)為1時，兩者同時發(fā)生，也不對立，事務(wù)表示向上點數(shù)為之一，∴．故選：C．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查互斥事務(wù)和對立事務(wù)，考查事務(wù)的和，駕馭互斥事務(wù)和對立事務(wù)的定義是解題關(guān)鍵．推斷互斥事務(wù)，就看在一次試驗中兩個事務(wù)能不能同時發(fā)生，只有互斥事務(wù)才可能是對立事務(wù)，假如一次試驗中兩個事務(wù)不能同時發(fā)生，但非此即彼，即必有一個發(fā)生，則它們?yōu)閷α⑹聞?wù)．而不互斥的事務(wù)的概率不能用概率相加，本題．7.對高三某班級的學(xué)生進(jìn)行體能測試，所得成果統(tǒng)計如圖所示，則該班級學(xué)生體能測試成果的中位數(shù)為（）A.82.5 B.83 C.83.5 D.85【答案】A【解析】【分析】由頻率分布直方圖求得頻率0.5對應(yīng)的數(shù)即得．【詳解】由頻率分布直方圖成果在的頻率是，而成果在區(qū)間上的頻率是0.4，因此中位數(shù)在區(qū)間上，設(shè)中位數(shù)是，則，解得．故選：A．8.為了慶祝中國青年團(tuán)100周年，校團(tuán)委組織了一場慶?；顒?，要用警戒線圍出400平方米矩形活動區(qū)域，則所用警戒線的長度的最小值為（）A.30米 B.50米 C.80米 D.110米【答案】C【解析】【分析】設(shè)該矩形區(qū)域的長為x米，則寬為米，利用基本不等式計算即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)該矩形區(qū)域的長為x米，則寬為米，則所用警戒線的長度為米，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號.則所用警戒線的長度的最小值為80米.故選：C9.已知，，且，則的最小值為（

）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】B【解析】【分析】由基本不等式求最小值.【詳解】明顯，，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立．故選：B．10.下列說法錯誤的是A.命題“若，則”的逆否命題是“若，則”B.“”是“”的充分不必要條件C.若為假命題，則、均為假命題D.命題：“，使得”，則非：“，”【答案】C【解析】【分析】由命題的逆否命題為將條件、結(jié)論互換,再同時進(jìn)行否定,可得A正確；由“”的充要條件為“”,可得B正確；由“且”命題的真假可得C錯誤；由特稱命題的否定為全稱命題可得D正確，得解.【詳解】解:對于選項A,命題的逆否命題為將條件、結(jié)論互換,再同時進(jìn)行否定,可得命題“若，則”的逆否命題是“若，則”,即A正確；對于選項B,“”的充要條件為“”,又“”是“”的充分不必要條件,即B正確；對于選項C,為假命題，則、至少有1個為假命題,即C錯誤；對于選項D,由特稱命題的否定為全稱命題可得命題：“，使得”，則非：“，”,即D正確,故選.【點睛】本題考查了四種命題關(guān)系、充分必要條件及特稱命題與全稱命題，重點考查了簡潔的邏輯推理，屬基礎(chǔ)題.11.若不等式成立的充分條件為，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知中不等式成立的充分條件是，令不等式的解集為A，可得，可以構(gòu)造關(guān)于a的不等式組，解不等式組即可得到答案.【詳解】解：不等式成立的充分條件是，設(shè)不等式的解集為A，則，當(dāng)時，，不滿意要求；當(dāng)時，，若，則，解得.故選：A.12.若實數(shù)滿意約束條件，且最大值為1，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先畫出可行域，依據(jù)目標(biāo)函數(shù)幾何意義得到，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得到的最大值.【詳解】由題知不等式組表示的可行域如下圖所示：目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為，由圖易得，直線在時，軸截距最大.所以.因為，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，取“”.故選：A【點睛】本題主要考查基本不等式求最值問題，同時考查了線性規(guī)劃，屬于中檔題.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13.假如復(fù)數(shù)滿意，則的最大值是___________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義及復(fù)數(shù)的模公式，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)，則因為，所以，即.令，則，當(dāng)，即時，取得最大值為，即，所以的最大值是.故答案為：14.某中學(xué)為了了解學(xué)生收看空中課堂的詳細(xì)狀況，利用分層抽樣的方法從中學(xué)三個年級的學(xué)生中隨機(jī)抽取了名進(jìn)行問卷調(diào)查，其中從高一年級的學(xué)生中抽取了名，從高二年級的學(xué)生中抽取了名，若高三年級共有學(xué)生名，則該中學(xué)共有學(xué)生____________名．【答案】【解析】【分析】首先求出樣本中高三年級抽取的學(xué)生數(shù)，即可求出該中學(xué)共有的學(xué)生數(shù)；【詳解】解：依題意可得樣本中高三年級抽取了名學(xué)生，所以該中學(xué)共有學(xué)生名學(xué)生；故答案為：15.向平面區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投入一點，則該點落在曲線下方的概率為______.【答案】【解析】【分析】由題意畫出圖形，分別求出正方形及陰影部分的面積，再由幾何概型概率面積比得答案．【詳解】作出平面區(qū)域，及曲線如圖，，．向平面區(qū)域，內(nèi)隨機(jī)投入一點，則該點落在曲線下方的概率為．故答案為：．【點睛】本題主要考查幾何概型概率的求法，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的理解駕馭水平．16.從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名同學(xué)，將他們的身高（單位：厘米）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖）.用頻率分布直方圖估計的小學(xué)生的身高的平均值為_________【答案】124.5【解析】【分析】依據(jù)頻率分布直方圖，計算身高的平均值【詳解】因為直方圖中的各個矩形的面積之和為1，所以有10×（0.005+0.035+a+0.020+0.010）＝1，解得a＝0.030；依據(jù)頻率分布直方圖，計算平均數(shù)為105×0.05+115×0.35+125×0.3+135×0.2+145×0.1＝124.5cm故答案為124.5cm【點睛】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，考查了平均數(shù)的計算問題，是基礎(chǔ)題目．三、解答題:本大題共6小題，共計70分.解答應(yīng)寫出文字說明．證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù).（1）求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】（1）最小正周期為，增區(qū)間為；（2）最大值為，最小值為1.【解析】【分析】(1)利用二倍角的正余弦公式及協(xié)助角公式化簡函數(shù)，再結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)計算作答.(2)由(1)及已知求出函數(shù)的相位的范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)計算作答.【小問1詳解】依題意，，則有的最小正周期為，由得，，，所以的最小正周期為，單調(diào)增區(qū)間為.【小問2詳解】由(1)知，當(dāng)時，，因正弦函數(shù)在上遞增，在上遞減，因此，當(dāng)，即時，取最大值，當(dāng)，即時，取最小值1，所以在區(qū)間上的最大值為，最小值為1.18.如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點，且．（1）證明：平面平面；（2）若，求四棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）由底面可得，又，由線面垂直的判定定理可得平面，再依據(jù)面面垂直的判定定理即可證出平面平面；（2）由（1）可知，，由平面學(xué)問可知，，由相像比可求出，再依據(jù)四棱錐的體積公式即可求出．【詳解】（1）因為底面，平面，所以，又，，所以平面，而平面，所以平面平面．（2）[方法一]：相像三角形法由（1）可知．于是，故．因為，所以，即．故四棱錐的體積．[方法二]：平面直角坐標(biāo)系垂直垂直法由（2）知,所以．建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)．因為，所以，，，．從而．所以，即．下同方法一.[方法三]【最優(yōu)解】：空間直角坐標(biāo)系法建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，所以，，，，．所以，，．所以．所以，即．下同方法一.[方法四]：空間向量法由，得．所以．即．又底面，在平面內(nèi)，因此，所以．所以，由于四邊形是矩形，依據(jù)數(shù)量積的幾何意義，得，即．所以，即．下同方法一.【整體點評】(2)方法一利用相像三角形求出求出矩形的另一個邊長，從而求得該四棱錐的體積；方法二構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，利用直線垂直的條件得到矩形的另一個邊長，從而求得該四棱錐的體積；方法三干脆利用空間直角坐標(biāo)系和空間向量的垂直的坐標(biāo)運算求得矩形的另一個邊長,為最常用的通性通法，為最優(yōu)解；方法四利用空間向量轉(zhuǎn)化求得矩形的另一邊長.19.某商店為了更好地規(guī)劃某種產(chǎn)品的進(jìn)貨量，該商店從某一年的銷售數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽取了組數(shù)據(jù)作為探討對象，如表（噸）為該商品的進(jìn)貨量，（天）為銷售天數(shù)：/噸/天（1）依據(jù)上述供應(yīng)的數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的回來方程，并預(yù)料進(jìn)貨量為時的銷售天數(shù)；（結(jié)果四舍五入）；（2）在該商品進(jìn)貨量不超過噸的前提下任取個值，求該商品進(jìn)貨量恰好有個值不超過噸的概率.參考數(shù)據(jù)和公式：，，，.【答案】（1）回來直線方程為，預(yù)料進(jìn)貨量為時的銷售天數(shù)約為天（2）【解析】【分析】（1）計算出、，利用最小二乘法求出、的值，可得出回來直線方程，將代入回來直線方程，可得出結(jié)果；（2）列舉出全部的基本領(lǐng)件，并確定所求事務(wù)所包含的基本領(lǐng)件，利用古典概型的概率公式可求得所求事務(wù)的概率.【小問1詳解】解：，，所以，，所以，，所以回來直線方程為，當(dāng)時，，預(yù)料進(jìn)貨量為時的銷售天數(shù)為天.【小問2詳解】解：進(jìn)貨量不超過噸有、、、、，共個，任取個的基本領(lǐng)件有：、、、、、、、、、，共種結(jié)果，恰好有次不超過噸的基本領(lǐng)件有：、、、、、，共種結(jié)果，所以所求的概率為.20.新一輪的疫情使得人們的出行受到了極大的限制．在黨和政府的正確指揮，全國人民的共同努力下，疫情得到了有效限制，使出行旅游成為可能.年“十一”黃金周，某旅行社報名去紅色革命圣地西柏坡、井岡山兩地旅游、學(xué)習(xí)的游客共有人，旅行社將去這兩個目的地的游客分別分為三批組織旅游，為了做好游客的行程支配，旅行社對參與旅游的游客人數(shù)（單位：名）作了如下統(tǒng)計：第一批其次批第三批西柏坡井岡山已知在參與兩地旅游的人中，參與其次批西柏坡游的頻率是．（1）現(xiàn)用分層抽樣的方法在全部游客中抽取人，幫助旅途后勤工作，問應(yīng)在第三批參與旅游的游客中抽取多少人？（2）已知，，求第三批參與旅游的游客中到西柏坡旅游的人數(shù)比到井岡山旅游的人數(shù)多的概率．【答案】（1）人（2）【解析】【分析】（1）利用頻率公式可求得的值，可求得的值，再利用分層抽樣可求得在第三批參與旅游的游客中所抽取的人數(shù)；（2）由已知可得出，求出的取值范圍，將“第三批參與旅游的游客中到兩地旅游的人數(shù)”記為，設(shè)“到西柏坡旅游的人數(shù)比到井岡山旅游的人數(shù)多”為事務(wù)，列舉出全部的基本領(lǐng)件，并確定事務(wù)所包含的基本領(lǐng)件，利用古典概型的概率公式可求得所求事務(wù)的概率.【小問1詳解】解：因為其次批參與西柏坡游的頻率是，所以．解得，所以，第三批參與旅游的總?cè)藬?shù)為，現(xiàn)用分層抽樣的方法在全部游客中抽取名游客，則應(yīng)在第三批參與旅游的游客中抽取人.【小問2詳解】解：由（1）知，，，，所以，，，若將“第三批參與旅游的游客中到兩地旅游的人數(shù)”記為，則滿意該事務(wù)的基本領(lǐng)件有：、、、、、、、、、、、、