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文檔簡介
2.2基本不等式【知識梳理】知識點一基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a+b,2)(1)基本不等式成立的條件:a>0,b>0.(2)等號成立的條件:當且僅當a=b時取等號.(3)其中eq\f(a+b,2)叫做正數(shù)a,b的算術平均數(shù),eq\r(ab)叫做正數(shù)a,b的幾何平均數(shù).知識點二幾個重要的不等式(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R).(2)eq\f(b,a)+eq\f(a,b)≥2(a,b同號).(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a+b,2)))2(a,b∈R).(4)eq\f(a2+b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a+b,2)))2(a,b∈R).以上不等式等號成立的條件均為a=b.知識點三用基本不等式求最值用基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a+b,2)求最值應注意:一正二定三相等.(1)a,b是正數(shù);(2)①如果ab等于定值P,那么當a=b時,和a+b有最小值2eq\r(P);②如果a+b等于定值S,那么當a=b時,積ab有最大值eq\f(1,4)S2.(3)討論等號成立的條件是否滿足.【基礎自測】1.若a,b∈R,且ab>0,則下列不等式中恒成立的是()A.a(chǎn)2+b2>2ab B.a(chǎn)+b≥2eq\r(ab)C.eq\f(1,a)+eq\f(1,b)>eq\f(2,\r(ab)) D.eq\f(b,a)+eq\f(a,b)≥22.下列等式中最小值為4的是()A.y=x+eq\f(4,x) B.y=2t+eq\f(1,t)C.y=4t+eq\f(1,t)(t>0) D.y=t+eq\f(1,t)3.已知a>0,b>0,a+b=2,則y=eq\f(1,a)+eq\f(4,b)的最小值是()A.eq\f(7,2)B.4C.eq\f(9,2)D.54.已知0<x<eq\f(1,2),則y=x(1-2x)的最大值為________.5.在如圖所示的銳角三角形空地中,欲建一個面積最大的內接矩形花園(陰影部分),則其邊長x為________m.【例題詳解】一、利用基本不等式比較大小例1(1)設,則下列不等式成立的是(
)A. B.C. D.(2)(多選)若,則(
)A. B.C. D.跟蹤訓練1(1)若,且,則下列不等式一定成立的是(
)A. B.C. D.(2)若,,a≠b,則,,2ab,中最大的一個是______.二、利用基本不等式求最值例2(1)已知,求的最小值;(2)已知,求的最大值.(3)已知都是正數(shù),若,求的最大值;(4)已知且,求的最小值.(5)已知.(=1\*romani)求的最小值;(=2\*romanii)求的最小值;(=3\*romaniii)求的最大值.(6)求解下列各題:(=1\*romani)求的最大值;(=2\*romanii)求的最小值.跟蹤訓練2(1)已知正數(shù)、滿足,求的最小值;(2)求函數(shù)的最小值.(3)已知x,y都是正數(shù),若,求的最大值;(4)若,且>0,求的最小值.(5)求下列函數(shù)的最值,已知,求的最小值;(6)已知正實數(shù),若,求的最大值;(7)若x>0,y>0,且,求的最小值.三、用基本不等式證明不等式例3(1)已知,,,求證:(=1\*romani);(=2\*romanii).(2)已知,求證:>.(3)已知,求證:.跟蹤訓練3設a,b,c均為正數(shù),且a+b+c=1,證明:(Ⅰ)ab+bc+ac;(Ⅱ).四、基本不等式在實際問題中的應用例4(1)某工廠利用不超過64000元的預算資金擬建一長方體狀的倉庫,為節(jié)省成本,倉庫依墻角而建(即倉庫有兩個相鄰的側面為墻面,無需材料),由于要求該倉庫高度恒定,不靠墻的兩個側面按照其底邊的長度來計算造價,造價為每米1600元,倉庫頂部按面積計算造價,造價為每平方米600元.在預算允許的范圍內,倉庫占地面積最大為(
).A.36平方米 B.48平方米C.64平方米 D.72平方米(2)某中學計劃在勞動實習基地的空地上用籬笆圍出一個面積為的矩形菜地,則需要的籬笆長度至少是___________m.跟蹤訓練4某單位安裝1個自動污水凈化設備,安裝這種凈水設備的成本費(單位:萬元)與管線、主體裝置的占地面積(單位:平方米)成正比,比例系數(shù)為,為了保證正常用水,安裝后采用凈水裝置凈水和自來水公司供水互補的用水模式.假設在此模式下,安裝后該單位每年向自來水公司繳納水費為,記為該單位安裝這種凈水設備費用與安裝設備后每年向自來水公司繳水費之和.(1)寫出關于的函數(shù)表達式;(2)求為多少時,有最小值,并求出的最小值.【課堂鞏固】1.如果0<a<b<1,P=,Q=,M=,那么P,Q,M的大小順序是(
)A.P>Q>M B.M>P>QC.Q>M>P D.M>Q>P2.若,,,則下列不等式恒成立的是(
)A. B.C. D.3.若,則有(
)A.最小值 B.最小值 C.最大值 D.最大值4.若、,且,則的最小值為(
).A. B. C. D.5.已知正數(shù)、滿足,若不等式恒成立,則實數(shù)的取值范圍是(
)A. B. C. D.6.(多選)已知,,則(
)A. B.C. D.7.若對任意,恒成立,則實數(shù)的取值范圍是___________.8.解答下列問題:已知,求函數(shù)最小值.9.已知,且,求的最小值.10.已知a>0,b>0,a+b=3.(1)求的最小值;(2)證明:.【課時作業(yè)】1.下列不等式恒成立的是(
)A.; B.;C.; D..2.若x,y滿,則(
)A. B. C. D.3.已知正實數(shù)滿足,則的最小值為(
)A.6 B.8 C.10 D.124.已知,則的最大值為()A.2 B.4 C.5 D.65.當時,函數(shù)的最小值為(
)A.B.C.D.46.已知,且,則的最大值為(
)A.2 B.5 C. D.7.當時,不等式恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是(
)A. B. C. D.8.如圖,正方形的邊長為,函數(shù)與交于點,函數(shù)與交于點,當(
)時,的值最小.A.1 B. C. D.29.(多選)若,則(
)A. B. C. D.10.(多選)已知a,b為正實數(shù),且,則(
)A.a(chǎn)b的最大值為8 B.的最小值為8C.的最小值為 D.的最小值為11.(多選)下列說法正確的有(
)A.的最小值為2B.已知x>1,則的最小值為C.若正數(shù)x、y滿足x+2y=3xy,則2x+y的最小值為3D.設x、y為實數(shù),若9x2+y2+xy=1,則3x+y的最大值為12.(多選)若.且,則下列不等式恒成立的是(
)A. B.C. D.13.若正數(shù)a,b滿足,則的最小值是__.某公司一年需要購買某種原材料400噸,計劃每次購買噸,已知每次的運費
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