湖南省三湘名校教育聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省三湘名校教育聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自已的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在本試卷和答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑，如有改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗；回答非選擇題時(shí)，將〖答案〗寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知命題，則為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)槿Q量詞命題的否定是存在量詞命題，而命題是全稱量詞命題，所以為“”.故選：B.2.已知，且為純虛數(shù)，則（）A.2 B.-2 C.1 D.-1〖答案〗D〖解析〗由題意可得為純虛數(shù)，所以，所以.故選：D.3.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則（）A. B. C.2 D.1〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，由正態(tài)分布的對(duì)稱性可知，所以.故選：B.4.已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為6，焦點(diǎn)為，則的漸近線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可得的焦點(diǎn)為，且實(shí)半軸長(zhǎng)為3，則虛半軸長(zhǎng)為，雙曲線的方程為，所以的漸近線方程為.故選：A.5.甲乙兩名大學(xué)生計(jì)劃今年五一假期分別從岳陽樓，常德桃花源，天門山，長(zhǎng)沙橘子洲頭，茶峒古鎮(zhèn)五個(gè)不同的景區(qū)隨機(jī)選三個(gè)景區(qū)前往打卡旅游，則兩人恰好有兩個(gè)景區(qū)相同的選法共有（）A.36種 B.48種 C.60種 D.72種〖答案〗C〖解析〗先從5個(gè)景點(diǎn)選出2個(gè)相同的，有種，再?gòu)氖Ｏ碌?個(gè)景點(diǎn)選兩個(gè)分配給甲乙二人，有，所以兩人恰好有兩個(gè)景區(qū)相同的選法共有種.故選：C.6.已知首項(xiàng)為3的數(shù)列滿足，則（）A.-2 B. C.2 D.3〖答案〗D〖解析〗由題意知首項(xiàng)為3的數(shù)列滿足，即，所以數(shù)列的周期是4，從而，故選：D.7.為了解某高中甲?乙兩個(gè)清北班一周內(nèi)的請(qǐng)假同學(xué)人數(shù)情況，采用樣本量比例分配分層隨機(jī)抽樣方法進(jìn)行了調(diào)查.已知甲班調(diào)查了40名同學(xué)，其一周內(nèi)請(qǐng)假人數(shù)的平均數(shù)和方差分別為5和1.65，乙班調(diào)查了60名同學(xué)，其一周內(nèi)請(qǐng)假人數(shù)的平均數(shù)和方差分別為4和3.5，據(jù)此估計(jì)該校兩個(gè)清北班一周內(nèi)請(qǐng)假人數(shù)的總體方差為（）A.2.6 B.3 C.3.4 D.4.1〖答案〗B〖解析〗因?yàn)榧装嗾{(diào)查了40人，則甲班所占比重為，乙班調(diào)查了60人，則乙班所占比重為，甲班平均數(shù)和方差分別為和乙班平均數(shù)和方差分別為和設(shè)調(diào)查的總樣本的平均數(shù)為和方差為則，故選：B.8.設(shè)是線段的中點(diǎn)，是直線外一點(diǎn).為線段上的兩點(diǎn)，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由于，即Q是的中點(diǎn)，知.設(shè)，同理得；同時(shí)，則，同理得.因此由題意，得.同理可得，結(jié)合，解得，所以，故選：D二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知隨機(jī)變量，則（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于，由題意可得服從二項(xiàng)分布，故，故正確；對(duì)于：因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D正確.故選：AD.10.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（為常數(shù)），則下列命題為真命題的是（）A.若，則B.若，則C.若為等差數(shù)列，則D.若為等比數(shù)列，則〖答案〗ACD〖解析〗當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，對(duì)于A，若，則，故，則，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B，若，則，故，則，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，若為等差數(shù)列，則當(dāng)時(shí)，是與無關(guān)的常數(shù)，故只能有，即；同時(shí)也是與無關(guān)的常數(shù)，且根據(jù)等差數(shù)列的定義可知，這兩個(gè)常數(shù)是同一個(gè)數(shù)，故，所以，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，若為等比數(shù)列，則當(dāng)時(shí)，，這是一個(gè)與無關(guān)的常數(shù)；同時(shí)也是與無關(guān)的常數(shù)，且根據(jù)等比數(shù)列的定義可知，這兩個(gè)常數(shù)是同一個(gè)數(shù)，故，得，故D選項(xiàng)正確，故選：ACD．11.已知函數(shù)的最小正周期為，則（）A.若曲線的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則B.若的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則C.若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則D.若區(qū)間內(nèi)有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，則〖答案〗ABD〖解析〗由題意可得的最小正周期為，又，則，所以，對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，得，因?yàn)椋?，故A正確；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，所以，得，因?yàn)?，所以，故B正確；對(duì)于C項(xiàng)，由可得，因，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，由可得，因?yàn)椋Y(jié)合正弦函數(shù)圖象得，解得，故D項(xiàng)正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若為奇函數(shù)，則__________.〖答案〗2024〖解析〗由題意得函數(shù)的定義域?yàn)镽,，，由函數(shù)為奇函數(shù)，有，即，解得.故〖答案〗為：2024.13.陶瓷藝術(shù)源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，人們的日常生活中隨處可見，尤其房屋裝飾中瓷磚拼接的藝術(shù)頗具美感.當(dāng)一些縱向長(zhǎng)度為1，橫向長(zhǎng)度為2的矩形瓷磚在垂直或水平方向上沒有間隙即恰好拼成矩形時(shí)，其鋪設(shè)方法被稱為瓷磚的“布置”.設(shè)縱向長(zhǎng)度為3，橫向長(zhǎng)度為的長(zhǎng)方形為.使用片磚的的“布置”方法總數(shù)為，則__________.〖答案〗11〖解析〗因?yàn)閚=2,所以需要用6塊瓷磚鋪成縱向長(zhǎng)度為3，橫向長(zhǎng)度為4的矩形，如圖所示：我們按水平瓷磚數(shù)量逐漸遞減的方式枚舉全部布置方法（6水平水平水平）.故.故〖答案〗為：11.14.若存在兩個(gè)不相等的正整數(shù)，使得對(duì)任意的都成立，則常數(shù)的所有可能取值構(gòu)成的集合為__________.〖答案〗〖解析〗由存在兩個(gè)不相等的正整數(shù)，使得，可得，又，則，因?yàn)轭}給不等式對(duì)任意滿足條件的自然數(shù)都成立，則是的最大值，根據(jù)組合數(shù)最大值的性質(zhì)，且，可知為奇數(shù)，且，所以.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.在銳角中，角所對(duì)邊分別為，且.（1）求；（2）若，求的周長(zhǎng).解：（1）因?yàn)橛烧叶ɡ淼?，因?yàn)闉槿切我粌?nèi)角，則，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，故；（2）由余弦定理得，則，即，即，因?yàn)?，則，所以的周長(zhǎng)為.16.將4個(gè)形狀?大小?顏色均相同的排球隨機(jī)放入4個(gè)編號(hào)為的排球筐內(nèi)，每個(gè)排球筐最多可容納5個(gè)排球，記編號(hào)為2的排球筐內(nèi)最終的排球個(gè)數(shù)為.（1）求編號(hào)為2的排球筐內(nèi)有球的概率；（2）求的分布列.解：（1）設(shè)事件“編號(hào)為的排球筐內(nèi)有球”為事件，則；（2）由題意，的可能取值為，，，，，所以，，，，.所以的分布列為：0123417.在平面直角坐標(biāo)系中，直線交橢圓于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為.（1）用含的式子表示的中點(diǎn)坐標(biāo)；（2）證明：直線過定點(diǎn).解：（1）由題意可得，設(shè)，則，聯(lián)立，得，則，，故中點(diǎn)坐標(biāo)為.（2）直線，當(dāng)時(shí)，，所以直線過定點(diǎn).18.如圖，直四棱柱的底面是菱形，，且直線與平面所成角為．（1）求直四棱柱的高；（2）在棱上是否能找到一點(diǎn)，使得平面與平面的夾角為？若能，求出的值；若不能，說明理由．解：（1）設(shè)，因?yàn)槔庵侵崩庵?，且底面是菱形，故兩兩垂直，如圖，以分別為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)榱庑沃?，，所以，設(shè)，則，，所以設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由,得，令得，，所以，因?yàn)橹本€與平面所成角為，所以，即，解得．（2）假設(shè)能找到這樣點(diǎn)，設(shè)，且，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由,得，令得，，則，由平面與平面的夾角為，可得，即，解得，所以能找到這樣的點(diǎn)，此時(shí)，，故．19.如圖為英國(guó)生物學(xué)家高爾頓設(shè)計(jì)的“高爾頓板”示意圖，每一個(gè)黑點(diǎn)代表釘在板上的一顆釘子，下方有從左至右依次編號(hào)為的格子（此時(shí)釘子層數(shù)為）.當(dāng)小球從板口下落時(shí)，它將碰到釘子并有的概率向左或向右滾下，繼續(xù)碰至下一層釣子，依次類推落入底部格子.記小球落入格子的編號(hào)為.定義.（1）直接寫出時(shí)的分布列；（2）證明：；（3）改變格子個(gè)數(shù)（釘子層數(shù)相應(yīng)改變），進(jìn)行次實(shí)驗(yàn)，第且次實(shí)驗(yàn)中向格子最大編號(hào)為的高爾頓板中投入個(gè)小球，記所有實(shí)驗(yàn)中所有小球落入的格子編號(hào)之和為.已知無交集的