高中數(shù)學微點2 阿波羅尼斯圓的逆用（學生版＋解析）

專題1阿波羅尼斯圓及其應(yīng)用微點2阿波羅尼斯

圓的逆用

專題1阿波羅尼斯圓及其應(yīng)用

微點2阿波羅尼斯圓的逆用

【微點綜述】

當題目給了阿氏圓和一個定點，我們可以通過下述方法快速找到另一個定點，便于計算，令

pA

圓0與直線0A相交于M,N兩點設(shè)點E為0A上一點，且滿足熬=2，由阿氏圓定理

PE

募=幾，m=2,則===AXOE^(\+X)R-OA@

同理AM=/lME=R+tM=/l(OE+R),二XOE=(1—②

o

由①②消OA得：2M)E=2R,即角=工，即H=2OE,由①②消R得：OA=X2OE,

OE

因此，滿足條件的點E在阿氏圓的圓心和定點A的連線上，且<=2或空=萬.

【典例刨析】

例1.(2022.湖南.臨澧一中高二開學考試)

1.阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，他對圓錐曲線有深刻系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中

在他的代表作《圓錐曲線論》一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點

M與兩定點4,B的距離之比為"1>0,，#1),那么點例的軌跡就是阿波羅尼斯圓.下面我

們來研究與此相關(guān)的一個問題，已知圓。：/+尸=1上的動點M和定點A(-g,O),B(l,

1),則21MAi+|MB|的最小值為()

A.y/6B.5/7

c.VioD.VH

2.阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨

匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知

動點M與兩定點A,8的距離之比為“2>0,4/1),那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓，

簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系中，圓0：/+/=1、點和點M為

圓O上的動點，則21MAl-IMBI的最大值為()

A5而3夜

A?D?--------C?D?

2222

3.古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯(約前262—前190年)的著作《圓錐曲線論》是古代光輝的

科學成果，著作中有這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)女(女>0且&H1)的點的

軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.已知。(0,0),A(3,0),圓

C:(x-2y+y2=/(r>0)上有且僅有一個點「滿足歸川=2儼。|,則/?的取值為()

A.1B.5C.1或5D.不存在

4.已知點P是圓(x-4『+(y-4)2=8上的動點，A(6,-l),O為坐標原點，則PO+2PA的

最小值為.

5.已知圓C：(x-l)2+(y-l)2=l,定點P是圓C上的動點，5(2,0),。是坐標原點，則

41PO+的最小值為.

例6.(2022江西?南昌八中高二月考)

6.古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯(約公元首262?公元前190年)的著作《圓錐曲線論》是

古代世界光輝的科學成果，著作中有這樣一個命題:平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)4(k>0

且欠#1)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.已知0(0,0),A(3,0),圓

C:(X-2)2+/=r2(/>1)上有且僅有一個點p滿足|尸A|=21PO|,則r的取值為.

【針對訓練】

7.阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠，

他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿

波羅尼斯圓就是他的研究成果之一.指的是：己知動點M與兩定點Q,尸的距離之比

耦=44>0,431),那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知動點M的軌跡是阿波羅尼

斯圓，其方程為產(chǎn)+丫2=1,其中，定點。為x軸上一點，定點尸的坐標為=

若點3(1,1),貝網(wǎng)網(wǎng)+|MB|的最小值為()

答案第2頁，共4頁

A.VioB.而C.y/]5D.V17

8.阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠，

他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿波羅

尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：己知動點例與兩個定點的距離之比為2（2>0，￥1）,

那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓.若已知圓0：/+產(chǎn)=1和點點8（4,2）,M為

圓。上的動點，則21MAi+|MB|的最小值為

（2022安徽?合肥六中高二期中）

9.古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯（約公元前262~公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代

世界光輝的科學成果，著作中有這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)

4伙>0且《*1）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.已知圓O：f+y2=l和

A（-〈,0）,點8（1,1）,M為圓。上動點，則的最小值為.

（2022上海金山中學高二期末）

10.古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯在他的巨著《圓錐曲線論》中有一個著名的幾何問題：在平面

上給定兩點A、B,動點尸滿足尸川=川尸（其中2是正常數(shù)，且久川），則尸的軌跡是一

個圓，這個圓稱之為“阿波羅尼斯圓現(xiàn)已知兩定點M（-1,0）、N（2,l）,尸是圓0:/+丁=3

上的動點，則6|尸訓+|「川的最小值為

11.阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)的點的

軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.若平面內(nèi)兩定點A、8間的距離為2,動點P

滿足爵=&，求照『+1尸肝的最小值.

（2022?江蘇省江陰高級中學高三開學考試）

12.希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定點A8

的距離之比為定值4（4/1）的點的軌跡是圓后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿

波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系X。），中，A（-2,1）,8（-2,4）,點戶是滿足

4=；的阿氏圓上的任一點，則該阿氏圓的方程為;若點。為拋物線E:

V=4x上的動點，。在y軸上的射影為“，則夕陽+儼。|+|。用的最小值為

答案第4頁，共4頁

專題1阿波羅尼斯圓及其應(yīng)用微點2阿波羅尼

斯圓的逆用

專題1阿波羅尼斯圓及其應(yīng)用

微點2阿波羅尼斯圓的逆用

【微點綜述】

當題目給了阿氏圓和一個定點，我們可以通過下述方法快速找到另一個定點，便于計算,

PA

令圓0與直線0A相交于M,N兩點設(shè)點E為0A上一點，且滿足7后=久，由阿氏圓

PE

定理黑費則.==AXOE=(\+X)R-OA

@

同理4W=RWE=>R+OA=/l(OE+R),20E=(l-/l)R+0A②

由①②消0A得：2入0E=2R,即與=久，即R=/IOE,由①②消R得：OA=A2OE,

OE

因此，滿足條件的點E在阿氏圓的圓心和定點A的連線上，且￡R=4或2f)A=萬.

【典例刨析】

例1.(2022.湖南?臨澧一中高二開學考試)

1.阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，他對圓錐曲線有深刻系統(tǒng)的研究，主要研究成果

集中在他的代表作《圓錐曲線論》一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是:

己知動點M與兩定點A,2的距離之比為2a>0,%#1),那么點M的軌跡就是阿波羅尼

斯圓.下面我們來研究與此相關(guān)的一個問題，已知圓O：/+),2=1上的動點時和定點

4(-；,0),B(l,1),則21M+的最小值為()

A.76B."

c.VioD.Tn

2.阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時期數(shù)學

三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的

是：已知動點M與兩定點A,B的距離之比為44>0,4x1),那么點M的軌跡就是阿

試卷第5頁，共3頁

波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系中，圓。：/+力1、點和

點M為圓。上的動點，則21M4|-|M3|的最大值為（）

A.-B.叵C.-D.—

2222

3.古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯（約前262—前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代光

輝的科學成果，著作中有這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)女僅>0且

kwl）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.已知0（0,0）,A（3,0）,圓

C:（x—2『+y2=/（r>0）上有且僅有一個點尸滿足|P4|=2|PO|,則r的取值為（）

A.1B.5C.1或5D.不存在

4.已知點尸是圓（x-4『+（y-4）2=8上的動點，A（6,-l）,。為坐標原點，則PO+2B4

的最小值為.

5.已知圓C：（x-iy+（y—1）、1,定點尸是圓C上的動點，B（2,0）,O是坐標原點,

則42PO+PB的最小值為.

例6.（2022江西?南昌八中高二月考）

6.古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯（約公元首262?公元前190年）的著作《圓錐曲線論》

是古代世界光輝的科學成果，著作中有這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)

女（女>0且左H1）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.已知0（0,0）,43,0）,

圓C:0-2）2+丁=r2（r>1）上有且僅有一個點P滿足Ift4|=2|PO|,則r的取值為

【針對訓練】

7,阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與歐兒里得、阿基米德并稱為亞歷山大時期數(shù)學三

巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》

一書，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一.指的是：己知動點"與兩定點。,P的距離

之比照="2>°乂=D，那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知動點M的軌跡是阿

\MP\

波羅尼斯圓，其方程為-+>2=1,其中，定點。為X軸上一點，定點P的坐標為

卜;,0）,2=3,若點8（1,1）,則3|孫+|M可的最小值為（）

A.VioB.Tnc.715D.V17

8.阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學三

試卷第6頁，共3頁

巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果在他的代表作《圓錐曲線》一

書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩個定點48的距離

之比為2G＞0,原1）,那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓.若已知圓O：N+產(chǎn)1和點

《-”0）,點8（4,2）,M為圓。上的動點，則21MAi+|MB|的最小值為

（2022安徽?合肥六中高二期中）

9.古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯（約公元前262~公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是

古代世界光輝的科學成果，著作中有這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)

4伏＞0且％豐1）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.已知圓O:-+/=1和

A（-〈,0）,點8（1,1）,M為圓。上動點，則的最小值為_______.

2z

（2022上海金山中學高二期末）

10.古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯在他的巨著《圓錐曲線論》中有一個著名的幾何問題：在

平面上給定兩點A、B,動點P滿足必|=川依|（其中2是正常數(shù)，且61）,貝”的軌

跡是一個圓，這個圓稱之為“阿波羅尼斯圓現(xiàn)已知兩定點用（-1,0）、N（2,l）,尸是圓

O：V+尸=3上的動點，則61PM+|PN|的最小值為

11.阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)左（左＞0,左/1）的

點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.若平面內(nèi)兩定點A、B間的距離為2,

動點戶滿足舄=&,求|%『+1依『的最小值.

（2022?江蘇省江陰高級中學高三開學考試）

12.希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定

點AB的距離之比為定值4禧1）的點的軌跡是圓，，.后來，人們將這個圓以他的名字命

名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系xOy中，A（-2,l）,8（-2,4）,

點尸是滿足4=；的阿氏圓上的任一點，則該阿氏圓的方程為;若

點。為拋物線E:V=4x上的動點，。在V軸上的射影為H,則；|PB|+|PQ|+|QM的

最小值為.

試卷第7頁，共3頁

參考答案:

1.c

【分析】討論點M在X軸上與不在x軸上兩種情況，若點M不在x軸上，構(gòu)造點K(-2,0),

可以根據(jù)三角形的相似性得到黑^=^^=2,進而得到21K4|+|MB|=|M8|+|MN，最后

根據(jù)三點共線求出答案.

【詳解】①當點M在x軸上時，點M的坐標為(一1,0)或(1,0).

若點M的坐標為(-1,0),則21KAi+|M你=2xg+J(l+iy+F="①;

若點M的坐標為(1,0),則21AMi+|MB|=2x'+=4.

②當點M不在無軸上時，取點K(-2,0),如圖，

因為NMOK=ZAOM,

所以AMOSAOM，則器^需=2,

所以|MA]=2|MA|,則2\MA\+\MB\=\MB\+\MK\.

易知IMBI+IMA閆BK],

所以|MB|+附用的最小值為|B/q.

因為B(l,1),K(—2,0),

所以(2|MA|+|M5|)min

=\BK\=_2-1『+(0-l『=M.

又加＜1+石＜4,所以21MAi+|M8|的最小值為布.

故選：C

2.B

試卷第8頁，共9頁

.,..\MA\1

【分析】令21MAi=|MC|,則謁=5，由阿氏圓的定義可知：C（-2,0）,由數(shù)形結(jié)合可知

2|肱4|-|知8同加。|-|"目的最大值.

【詳解】設(shè)M（x,y）,令21M4|=|MC|,則局j=5，

由題知圓/+丁=1是關(guān)于點A、。的阿波羅尼斯圓，且人;，

設(shè)點c（，〃,〃），則幽=J卜+力+?=1，

|MC|?。?—喻2+（y_.y2

221

整理rm4得R：/2+y2+-2-m--+-4-丹2―〃-I

y=

333

比較兩方程可得：丹吧=0，y=o,M+「=l,即加=—2,〃=0,點C（—2,0）,

當點M位于圖中M的位置時，21MAi-IMBRMCI-|MB|的值最大，最大為忸。=孚.

故選：B.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，圓上動點問題，解題的關(guān)鍵是通

過數(shù)形結(jié)合知兩線段距離差的最值是在兩端點為起點的的射線上，屬于一般題.

3.C

【分析】直接設(shè)點P（x,y）,根據(jù)|%|=2|PO|可以求得點P的軌跡為圓，根據(jù)題意兩圓有且

僅有一個公共點，則兩圓外切或內(nèi)切，可得|CCj=r+/;或|CCj=|r-/;|.

【詳解】設(shè)點P（x,y）

???|PA|=21Poi即7（x-3）2+y2=2^x2+y2

整理得：（x+lp+y2=4

點P的軌跡為以G（—1,0）為圓心，半徑，i=2的圓，

?.?圓C:（X—2）2+V=/的c（2,0）為圓心，半徑7?的圓

試卷第9頁，共9頁

由題意可得：3=|CG|=r+｛或3=|CG|=|r-H

，r=l或r=5

故選：C.

4.10

【分析】解法1：借助阿波羅尼斯圓的逆用，得至IJR9+2PA=2(HV+PA),進而根據(jù)三點

共線即可求出最值；

解法2：將尸O+2PA=舊+/+2^/(x-6)2+(y+l)2轉(zhuǎn)化為

=2(7(X-3)2+(>>-3)2+7(x-6)2+(y+l)2j,進而結(jié)合進而根據(jù)三點共線即可求出最值.

【詳解】解法1：阿波羅尼斯圓的逆用

假設(shè)4(旭,〃)，使得PO=2/VV,

貝|Jy]x2+y2=2^(x-/n)2+(y-?)'，

從而可得3/-8加上+4m2+3/-8〃y+4/=0,

從而可知圓心坐標為(《-，號)，

所以普=4,y=4,解得機="=4,即4(3,3).

所以PO+2P4=2(PA'+以)N2A'A

=2,(6-3)2+(T_3)2=10.

即PO+2E4的最小值為10.

解法2：代數(shù)轉(zhuǎn)逆法

由(x-4)?+(y-4)2=8,得d+丁=8x+8y-24.

PO+2PA=Jx2+y2+27(x-6)2+(y+l)2

2222

=2(7(x-3)+(^-3)+7(x-6)+(y+l)j

2222

7(X-3)+(J--3)+J(x-6)+(y+l)表示的是動點(x,y)與(3,3)和(6,-1)之間的距離之

試卷第10頁，共9頁

和，當且僅當三點共線時，和最小，

故PO+2PA>2j（6-3『+（3+1）2=2x5=10.

5.亞

【分析】解法1：阿波羅尼斯圓的逆用，設(shè)8'（，”,〃），使得PB=6PB'，利用兩點間的距離

公式化簡可求得B'GT），得直線B8'與圓C相交，^42PO+PB=42^PO+PB'）>y[2OB',

從而可求得其最小值，解法2：代數(shù)轉(zhuǎn)逆法，-J1PO+PB=y/2ylx2+y2+7（X-2）2+/

,可得當點共線，且尸在OB’之間時取

得最小值.

【詳解】解：解法1：阿波羅尼斯圓的逆用

設(shè)B'WM，使得PB=y/iPB'，

則（X-2丫+V=2[（x-/+（y-〃）2],

整理，得V-4（m-l）x+y2-+2（/+n2—2）=0,

即［x-2(加一l)f+(y_2〃y=2m2+2n2-8m+8=2(/n-2)2+2n2

所以2(m—1)=1,2n=\,從而8'(|,￡|.

經(jīng)驗證，知直線BB'與圓C相交.

從而叵PO+PB=>/2(PO+PB')>41OB'

所以6Po+PB的最小值為右.

解法2：代數(shù)轉(zhuǎn)逆法

41PO+PB=可￡+H+^x-2）2+y2

試卷第11頁，共9頁

所以?PO+PB的最小值為班.

故答案為：非

【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查點與圓的位置關(guān)系，考查阿波羅尼斯圓的逆用，解題的關(guān)鍵

是根據(jù)阿波羅尼斯圓，設(shè)8'（，”,〃），使得=化簡后將問題轉(zhuǎn)化為

42PO+PB=42{PO+PB'）＞42OB',考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.

6.5

【分析】設(shè)動點P（x,y）,根據(jù)題意求出點尸的軌跡方程可知軌跡為圓，由題意可知兩圓相

外切，再討論內(nèi)切和外切列方程即可得求解.

22

【詳解】設(shè)動點尸（了》）,由1PAi=2|PQ|,W（x-3）+y=4x+4/（

整理得（x+l）2+V=4,即點P的軌跡方程為：（X+1）2+/=4,

又因為圓C:（x-2）2+y2=/（r＞1）上有且僅有一個點P滿足（x+l『+y2=4,

所以兩圓相切，

圓（*+1）2+丁=4的圓心坐標為（TO）,半徑為2,

圓C：（x-2）2+產(chǎn)=/什＞0）的圓心坐標為⑵。），半徑為,，兩圓的圓心距為3,

當兩圓外切時，廠+2=3,得〃=1,因為廠＞1,故尸=1舍去，

當兩圓內(nèi)切時，|r-2|=3,r＞l,得r=5.

故答案為：5.

7.D

【分析】設(shè)。（。,0）,用（x,y）,根據(jù)譚=幾和r+V=l求出a的值，由

3\MP\+\MB\=\MQ\+\MB\,兩點之間直線最短，可得31Mpi+1M3的最小值為怛。|,根

據(jù)坐標求出忸即可.

【詳解】設(shè)Q（a，O）,"（Q）,所以|何Q|=J（x-a）2+y2,由尸（-川，

試卷第12頁，共9頁

所以|加=收\(+；)+/，因為?M瑞QI"且彳=3,所以VF^Jpy-_3

'3+,

整理可得V+V+紀上x=Jl,又動點例的軌跡是/+/=1,所以4

48￡

.~~8

解得〃=一3,所以。(一3,0),又|M0|=3|MP|,

所以31Mpi+|M8|=|MQ|+|M8|2|8Q|,

因為所以31Mpi+|M8|的最小值忸Q|=J(I+3)2+(1-0)2=如,

當M在位置或時等號成立.

故選：D

【分析】設(shè)M(x,y),令2\MA\=\MC\,根據(jù)圓x2+y2=I是關(guān)于點A、C的阿波羅尼斯圓，且4=；,

求得點C坐標，再連接8C,由直線段最短求解.整理得：

【詳解】設(shè)例(x,y),令21AMl=|MC|,則牒^=；，

由題知圓N+V=l是關(guān)于點A、C的阿波羅尼斯圓，且4=；，

1_

2

MTE/日2。2m+42n〃廣+〃~一1

整理得：x+y+-----x+——y=------------------------

比較兩方程可得：2(=0，yC/九2+〃，-1

U,-----------------------=],

3

即加二-2,片0,所以點C(-2,0),

試卷第13頁，共9頁

如圖所示:

當點M位于圖中用八的位置時，21MAi+|MB|=|MC|+|MB|的值最小，最小為2布.

故答案為：2&J

9.叵

2

【分析】根據(jù)阿波羅尼斯圓的性質(zhì)，結(jié)合兩點間線段最短進行求解即可.

【詳解】令21MAi=|MC|,則隅=g.

由題意可得圓/+丁=1是關(guān)于點A,C的阿波羅尼斯圓，且N=g

由題意得該圓的方程為丁+V=1,

2m+4=0,

\tn=—2

所以2n=0,解得

22,"=（）

m+n~

---------=11

3

所以點C的坐標為（一2,0）,所以21A例+|MB|=|MC|+pV倒，

因此當點M、C、B在同一條直線上時，21M4|+|四+的值最小，且為

7（l+2）*2+（l-O）2=VI（）.

故最小為畫.

22

故答案為：叵

2

10.726

【分析】在x軸上取5（-3,0）,由MOP可得|PS|=6|PM，可得抬儼M+|PMN