高中數(shù)學競賽講義

紋學亮恭講義

書目

第一章集合.................................2

第二章函數(shù).................................15

§2.1函數(shù)與其性質(zhì)..................15

§2.2二次函數(shù)...................21

§2.3函數(shù)迭代...................28

§2.4抽象函數(shù)...................32

第三章數(shù)列................................37

§3.1等差數(shù)列與等比數(shù)列...............37

§3.2遞歸數(shù)列通項公式的求法...........44

§3.3遞推法解題.......................48

第四章三角平面對量復(fù)數(shù).................51

第五章直線、圓、圓錐曲線..................60

第六章空間向量簡潔幾何體.................68

第七章二項式定理與多項式..................75

第八章聯(lián)賽二試選講..................82

§8.1平幾名定理、名題與競賽題……82

§8.2數(shù)學歸納法...................99

§8.3排序不等式...................103

第一章集合

集合是中學數(shù)學中最原始、最基礎(chǔ)的概念，也是中學數(shù)學的起始單元,

是整個中學數(shù)學的基礎(chǔ).它的基礎(chǔ)性體現(xiàn)在：集合思想、集合語言和集合

的符號在中學數(shù)學的很多章節(jié)如函數(shù)、數(shù)列、方程與不等式、立體幾何與

解析幾何中都被廣泛地運用.在高考試題和數(shù)學競賽中，很多問題可以用

集合的語言加以敘述.集合不僅是中學數(shù)學的基礎(chǔ)，也是支撐現(xiàn)代數(shù)學大

廈的基石之一，本章主要介紹集合思想在數(shù)學競賽中出現(xiàn)的問題.

§1.1集合的概念與運算

【基礎(chǔ)學問】

一.集合的有關(guān)概念

1.集合：具有某些共同屬性的對象的全體，稱為集合.組成集合的對

象叫做這個集合的元素.

2.集合中元素的三個特征：確定性、互異性、無序性.

3.集合的分類：無限集、有限集、空集九

4.集合間的關(guān)系：

二.集合的運算

1.交集、并集、補集和差集

差集：記A、B是兩個集合，則全部屬于A且不屬于B的元素構(gòu)成的集

合記作A\3.即A\B={xeA且

2.集合的運算性質(zhì)

⑴A{JA-A,AC\A=A（某等律）;

（2）AUB=BUA,405=504佼換律）;

（3）（AU8）UC=AU（8UC）,（4n3）nc=ACKBPIC）（結(jié)合律）；

（4）AU（8nc）=（AUB）n（AUc）,An（Buc）=（AnB）u（Anc）（安排律）；

（5）An（8UA）=A,AU（AA3）=A（汲取律）；

(6)Cu(G,A)=A(對合律)；

(7)G,(An3)=(CuA)U(Cu8),Cu(AU8)=(C〃A)n(C")(摩根律)

(8)A\(BUQ=(A\B)n(A\C),A\(BnQ=(A\B)U(A\Q.

3.集合的相等

(1)兩個集合中元素相同，即兩個集合中各元素對應(yīng)相等；

(2)利用定義,證明兩個集合互為子集；

(3)若用描述法表示集合，則兩個集合的屬性能夠相互推出(互為充要

條件)，即等價；

(4)對于有限個元素的集合，則元素個數(shù)相等、各元素的和相等、各元

素之積相等是兩集合相等的必要條件.

【典例精析】

【例1］在集合｛1,2,…中，隨意取出一個子集,計算它的各元素之和.則全

部子集的元素之和是.

K分析X已知｛1,2,???,〃｝的全部的子集共有2"個.而對于Vie｛l,2,…明顯

｛1,2,...,〃｝中包含/的子集與集合｛1,2,...,"1,，+1,.-,〃｝的子集個數(shù)相等.這就說

明i在集合｛1,2,…，川的全部子集中一共出現(xiàn)2“T次，即對全部的i求和，可得

5.=2"-'(fi).

/=1

【解】集合｛12…的全部子集的元素之和為2"-(+2+…+〃)=2fxp

K說明X本題的關(guān)鍵在于得出｛12…中包含i的子集與集合

｛1,2,...,”覃+1,...,“｝的子集個數(shù)相等.這種一一對應(yīng)的方法在集合問題以與

以后的組合總是中應(yīng)用特別廣泛.

［例2］已知集合A=｛x|x2+3x+2<0｝,8=｛x|x2_4ax+3a2<0｝且AuB,求參

數(shù)4的取值范圍.

K分析X首先確定集合A、B,再利用AuB的關(guān)系進行分類探討.

【解】由已知易求得A={x|-2vx<-l},3={x[(x-q)(x-3q)<0}

當Q>0時，B={x\a<x<3a],由Aq3知無解;

當"0時，B=M明顯無解；

當。<0時，B={x\?)a<x<ci}y由AqB解得一1Wq.

綜上知，參數(shù)a的取值范圍是.

K說明R本題中,集合的定義是一個二次三項式,則尋于集合B要分類探討

使其取值范圍數(shù)字化,才能通過條件求出參數(shù)的取值范圍.

2

[例3]IzL知xGR,yeR+,合A—[x+x+i,—x,—x-1},8={—y,—jy+1}.右

A=B,則犬+產(chǎn)的值是()

A.5B.4C.25D.10

【解】???(x+l)2zo,.-./+》+12-x,且?.?/+-1>0與集合中元素的互異性知

+X+1w—x,BpX—1y止匕日寸1應(yīng)有~X"+X+1>—X>—X—1.

而y￡R",從而在集合B中，y+l>-^>-y.

x-+x+l=y+l⑴

由A=5,得|一萬=一上(2)

2

-x-l=-y⑶

由⑵⑶解得x=l,y=2,代入⑴式知x=l,y=2也滿意⑴式.

x2+y2-12+22-5.

K說明』本題主要考查集合相等的的概念，假如兩個集合中的元素個數(shù)相

等，則兩個集合中對應(yīng)的元素應(yīng)分別相等才能保證兩個集合相等.而找到

這種對應(yīng)關(guān)系往往是解決此類題目的關(guān)鍵.

[例4]已知集合A={x,y,lgW},8={0,|x|,y}.若A=B,求

(xH--)+(x2H--j-)+....+(X-0"8H---M")的值.

yy產(chǎn)

K分析X從集合A=B的關(guān)系入手,則易于解決.

【解】?.?A=5,.?1+肛+0肛)'幻+》,依據(jù)元素的互異性，由B知XHO,"O.

xxy-lg(xy)=0

,/OGBMA=B,/.OeA,^HWIg(-xy)=0,從而個=1.

又由leA與A=B,得IGB.

所以[孫=1或[孫=1,其中x=y=l與元素的互異性沖突！

[Ix|=1[y=1

所以x=y-1,代入得：

(x+1)+(x2+y)+....+產(chǎn)+$)=(一2)+2+(一2)+2+.....+(-2)+2=0.

K說明U本題是例4的拓展,也是考查集合相等的概念,所不同的是本題利

用的是集合相等的必要條件，即兩個集合相等，則兩個集合中，各元素之

和、各元素之積與元素個數(shù)相等.這是解決本題的關(guān)鍵.

[例5]已知A為有限集，且AuN*,滿意集合A中的全部元素之和與全部

元素之積相等,寫出全部這樣的集合A.

【解】設(shè)集合A=何嗎,…M}(">1)且"4<%<???%,由

4++,'?+〃〃=Q]?...，

an>n[neN*),得naH24+出+…+〃“=4,%凡之(〃一1)!,/i>(n-l)!

〃=2或〃=3(事實上，當〃>3時，有(/?-1)!>(n-l)(n-2)>(n-1)-2>n).

當〃=2時，％?。2=%+。2V2%,二a]<2,.\q=1,而1。1+。2，「?〃工2.

當〃=3時，4?%?%=4+2+%<3a3，,4?%<3,q=l,tz2=2.

由2%=3+%,解得。3=3.

綜上可知，A={1,2,3}.

K說明X本題依據(jù)集合中元素之間的關(guān)系找到等式,從而求得集合A.在解

決問題時，應(yīng)留意分析題設(shè)條件中所給出的信息，依據(jù)條件建立方程或不

等式進行求解.

【例6】已知集合「={》|/一3》+2<0},5={》|/一2辦+4<0},若5=/>,求實數(shù)

a的取值組成的集合A.

【解】P={x|1<x<2},/(x)=x2-2ax+a.

①當△=(—2a)2—4a<0,即0<a<l時，S=。，滿意SqP；

②當A=(-2a)2-4a=0,即a=0或a=1時，

若a=0,則5={0},不滿意S=P,故舍去；

若a=l時，則5={1},滿意S=

③當A=(—2a)2—4a>0時，滿意S=P等價于方程f一2ax+a=0的根介于1和

2之間.

A>0a<0或Q>1

<-^<2

即I1<a<2

2U>Q

/(1)>01-tz>0

/(2)>04-3^>0

綜合①②③得0<aWl,即所求集合A={a|0<a〈l}.

K說明X先探討特殊情形(S=0),再探討一般情形.解決本題的關(guān)鍵在于對

△分類探討,確定。的取值范圍.本題可以利用數(shù)形結(jié)合的方法探討△>().

[例7](2005年江蘇預(yù)賽)已知平面上兩個點集

M={(x,y)||x+y+l|>^2(?+/),x,jeR),

N={(x,y)||x-a|+|y-l|41,x,ywR}.若MNw0,則a的取值范圍是

【解】由題意知M是以原點為焦點、直線

x+y+\=0為準線的拋物線上與其凹口內(nèi)側(cè)的

點集，N是以（?,1）為中心的正方形與其內(nèi)部的點集（如圖）.

考察MN=0時，a的取值范圍：

令y=1,代入方程|x+y+l|=>/2（犬+力,

得x2-4x-2=0?解出得x=2±>/6.所以，

當?<2-76-1=1-76時，M\N=0........③

令y=2,代入方程|x+y+l|=,得x2-6x-l=0.解出得

》=3±布.所以，當a>3+M時，MN=0........④

因此，綜合③與④可知，當1-V6<?<3+V1O,即

?G[1-V6,3+V101時，

MN片0.故填ll-V6,3+V10J.

【例8】已知集合4={4，4，%，%}，3=其中q<%<%<知，

a,,?4eN.若AC]B={ai,a4},%+a4=10.且AU3中的全部兀素之和為

124,求集合AB.

【解】<4<4<與<4，且AC8={。1，。4}，,4=a；，又4GN,所以4=1.

又4+4=1。，可得知=9,并且a；=4或al-a4-

若a；=9,即生=3,貝（J有1+3+/+9+a；+81=124,解得q=5或4=_6（舍）

此時有4={1,3,5,9},3={1,9,25,81}.

若a；=9,即%=3,此時應(yīng)有%=2,則AUB中的全部元素之和為100,124.

不合題意.

綜上可得，A={1,3,5,9},B={1,9,25,81）.

K說明R本題的難點在于依據(jù)已知條件推斷集合A、B中元素的特征.同時

上述解答中運用發(fā)分類探討的思想.分類探討是我們解決問題的基本手段

之一,將問題分為多個部分,每一部分的難度比整體都要低,這樣就使問題

變得簡潔明白.

【例9】滿意條件Ig(x0-g(/)區(qū)4|x-X2l的函數(shù)g(x)形成了一個集合M,其

中玉,馬￡/?,并且X；芯41,求函數(shù))，=/(x)=x2+3x-2(xeR)與集合M的關(guān)系.

K分析11求函數(shù)"x)=x2+3x—2集合M的關(guān)系，即求該函數(shù)是否屬于集合M,

也就是推斷該函數(shù)是否滿意集合M的屬性.

【解】)-f(x2)1=1(X：+3再+2)-(x；+3X2+2)|=|x1-x2|-|X]+x2+31

?。r，|/G)-/(>2)|=g|X|-x">4|X]-a|.

oo2

由此可見，f(x)eM.

K說明》本題中M是一個關(guān)于函數(shù)的集合.推斷一個函數(shù)/3)是否屬于M,

只要找至一個或幾個特殊的看使得/5)不符合M中的條件即可證明

/(x)任

【例10】對集合{1,2,…,2008}與每一個非空子集定義唯一“交替和”如下：

把子集中的數(shù)按遞減依次排列,然后從最大數(shù)起先,交替地加減相繼各數(shù)，

如{1,2,4,69}的“交替和”是9-6+4-2+1=6,集合{7,10}的“交替和”是10

-7=3,集合{5}的“交替和”是5等等.試求A的全部的“交替和”的總和.

并針對于集合{1,2,}求出全部的“交替和”.

K分析》集合A的非空子集共有22008-1個，明顯，要想逐個計算“交替和”

然后相加是不行能的.必需分析“交替和”的特點，故可采納從一般到特殊

的方法.如{1,2,3,4)的非空子集共有15個,共“交替和”分別為：{1}1;{2}

2;{3}3;{4}4;{1,2}2-1;{1,3}3-1;

{1,4}4-1;{2,3}3-2;{2,4}4-2;{3,4}4-3;{1,2,3)

3-2+1;{1,2,4}4-2+1;

{1,3,4}4-3=1;⑵3,4}4-3+2;{1,2,3,4}4-3+2-1.從以上寫出的

“交替和”可以發(fā)覺,除⑷以外,可以把｛1,2,3,4｝的子集分為兩類:一類

中包含4,另一類不包含4,并且構(gòu)成這樣的對應(yīng):設(shè)A,是｛1,2,3,4｝中一個

不含有的子集，令4與｛4｝UA相對應(yīng)，明顯這兩個集合的“交替和”的和為

4,由于這樣的對應(yīng)應(yīng)有7對,再加上｛4｝的“交替和”為4,即｛1,2,3.4｝的

全部子集的“交替和”為32.

【解】集合J2,…,2008｝的子集中,除了集合｛2008｝,還有Z?008-2個非空子集.

將其分為兩類:第一類是含2008的子集,其次類是不含2008的子集,這兩

類所含的子集個數(shù)相同.因為假如4是其次類的，則必有A,1｛2008｝是第一

類的集合；假如鳥是第一類中的集合，則鳥中除2008外，還應(yīng)用

1,2,……,2007中的數(shù)做其元素，即B,中去掉2008后不是空集,且是其次

類中的.于是把“成對的”集合的“交替和”求出來,都有2008,從而可得

A的全部子集的“交替和”-（22m-2）x2008+2008=22007x2008.

2

同樣可以分析｛1,2,…，因為〃個元素集合的子集總數(shù)為2"個（含九

定義其“交替和”為0）,其中包括最大元素〃的子集有2"T個,不包括”的子

集的個數(shù)也是2"T個，將兩類子集一一對應(yīng)（相對應(yīng)的子集只差一個元素“）,

設(shè)不含〃的子集“交替和”為S,則對應(yīng)的含〃子集的“交替和”為〃-S,

兩者相加和為〃.故全部子集的“交替和"為

K說明U本題中"退到最簡"，從特殊到一般的思想與分類探討思想、對

應(yīng)思想都有所體現(xiàn),這種方法在數(shù)學競賽中是常用的方法，在學習的過程

中應(yīng)留意強化.

【例11】一支人數(shù)是5的倍數(shù)的且不少于1000人的游行隊伍，若按每橫

排4人編隊，最終差3人；若按每橫排3人編隊，最終差2人；若按每橫

排2人編隊，最終差1人，求這支游行隊伍的人數(shù)最少是多少？

K分析U已知游行隊伍的總?cè)藬?shù)是5的倍數(shù)，則可設(shè)總?cè)藬?shù)為5〃.“按每

橫排4人編隊，最終差3人”，從它的反面去考慮，可理解為多1人，同

樣按3人、2人編隊都可理解為“多1人”，明顯問題轉(zhuǎn)化為同余問題.5〃

被4、3、2除時都余地，即5〃-1是12的倍數(shù)，再由總?cè)藬?shù)不少于1000人

的條件，即可求得問題的解.

【解】設(shè)游行隊伍的總?cè)藬?shù)為5〃(〃eN+),則由題意知5〃分別被4、3、2

除時均余1,即5〃-1是4、3、2的公倍數(shù)，于是可令5〃-l=12m("z€N+),

由此可得：〃=坦羅①要使游行隊伍人數(shù)最少，則式①中的相應(yīng)為最少

正整數(shù)且12機+1為5的倍數(shù)，應(yīng)為2.于是可令6=5q+2(peN+),由此可得:

〃=#12.(5p+2)+l]=12p+5,5”260P+25②

所以60p+2521000,p>16-.

4

取p=17代入②式，得5〃=60xl7+25=1045

故游行隊伍的人數(shù)最少是1045人.

K說明X本題利用了補集思想進行求解，對于題目中含有“至少”、“至多”、

“最少”、“不都”、“都”等詞語，可以依據(jù)補集思想方法，從詞義氣反面

(反義詞)考慮，對原命題做部分或全部的否定，用這種方法轉(zhuǎn)化命題，

常常能起到化繁為簡、化難為易的作用，使之尋求到解題思想或方法，實

現(xiàn)解題的目的.

【例12】設(shè)〃wN且〃215,都是｛1,2,3,…，〃｝真子集，4n5=放，

且AU5=“，2,3,…，〃｝.證明：A或者8中必有兩個不同數(shù)的和為完全

平方數(shù).

【證明】由題設(shè)，口，2,3,眉的任何元素必屬于且只屬于它的真子

集A,8之一.

假設(shè)結(jié)論不真，則存在如題設(shè)的{1,2,3,…，眉的真子集A3,

使得無論是A還是8中的任兩個不同的數(shù)的和都不是完全平方數(shù).

不妨設(shè)則3e人，否則1+3=22,與假設(shè)沖突，所以365.同

樣6仁3,所以6GA,這時10eA,,即.因“215,而15或者在A

中，或者在B中，但當15￡A時，因16A,1+15=42,沖突；當15G

因10WB,于是有10+15=52,仍舊沖突.因此假設(shè)不真，即結(jié)論成立.

【賽向點撥】

L中學數(shù)學的第一個內(nèi)容就是集合，而集合又是數(shù)學的基礎(chǔ).因此，深刻

理解集合的概念,嫻熟地進行集合運算是特別重要的.由于本節(jié)中涉與的

內(nèi)容較多,所以抓好概念的理解和應(yīng)用尤其重要.

2.集合內(nèi)容幾乎是每年的高考與競賽的必考內(nèi)容.一般而言，一是考查集

合本身的學問；二是考查集合語言和集合思想的應(yīng)用.

3.對于給定的集合,要正確理解其含義,弄清元素是什么，具有怎樣的性質(zhì)

這是解決集合問題的前提.

4.集合語言涉與數(shù)學的各個領(lǐng)域,所以在競賽中，集合題是普遍而又基本

的題型之一.

【針對練習】

（A組）

1.（2006年江蘇預(yù)賽）設(shè)在xOy平面上，0<y<x2,04x41所圍成圖形的面

積為g,則集合”={（x,y）］忸一國<1},N={（x,y）|帆2/+1}的交集所表

示的圖形面積為（）

A.-B.-C.1D.-

333

2.（2006年陜西預(yù)賽）為實數(shù)，集合M={%},P={a,0}J：xfx表示把集合

M中的元素X映射到集合P中仍為X,則a+b的值等于（）

A.-1B.0C.1D.±1

3.（2004年全國聯(lián)賽）已知加{（x,y），+2/=3},N={（x,y）|>=mr+M，若對

于全部的均有McNw。,則人的取值范圍是

A.[4?B.（44）C--當當）D.[-孚孚

4.（2005年全國聯(lián)賽）記集合

T={0,123,4,5,6},M嗚+$+$+$|a"T,i=1,2,3,4},

將M中的元素按從大到小的依次排列，則第2005個數(shù)是（）

55636

^尸2

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A.73F

c.1IoVD.。

一

-『3

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73

5.集合A,B的并集AUB={ai,a2,a3},當且僅當AWB時，81）與8"）視

為不同的對，則這樣的（A,B）對的個數(shù)有（）

A.27B.28.C.26D.25

6.設(shè)\={n\100^/7^600,nG2,則集合A中被7除余2且不能被57整除

的數(shù)的個數(shù)為.

7.已矢口4={X苗-4x+3<0,xeR},B={x|2'-x+a^0,fix2-2（a+7）x+5^0,xe/?）.

A^B,則實數(shù)。的取值范圍是.

8.設(shè)M={1,2,3,…，1995},A是M的子集且滿意條件:當時，15x史A,

則A中元素的個數(shù)最多是.

9.（2006年集訓試題）設(shè)〃是正整數(shù)，集合M={1,2,…，2〃}.求最小的

正整數(shù)4,使得對于M的任何一個A元子集，其中必有4個互不相同的元

素之和等于________________

10.^iA={a\a—x1-y1,x,yeZ},

求證：(l)2k-leA(kez)；(2)4M-2任A(keZ).

11.(2006年江蘇)設(shè)集合A=xlogI(3-x)N-2,B=L—>1.若

[2JIX-aJ

AB^0,求實數(shù)a的取值范圍.

12.以某些整數(shù)為元素的集合P具有下列性質(zhì)：①P中的元素有正數(shù)，有

負數(shù)；②P中的元素有奇數(shù)，有偶數(shù)；③一1eP;④若x,丁￡「，則》+)，￡

P試推斷實數(shù)0和2與集合P的關(guān)系.

(B組)

1.設(shè)S為滿意下列條件的有理數(shù)的集合：①若“65,6GS,則a+b￡S,

abeS;②對任一個有理數(shù)r,三個關(guān)系r￡S,一「仁5,r=0有且僅有

一個成立.證明：S是由全體正有理數(shù)組成的集合.

2.S/,S3為非空集合,對于1,2,3的隨意一個排列iJZ,若xeS”ywSj,

則x-yeS?

(1)證明：三個集合中至少有兩個相等.

(2)三個集合中是否可能有兩個集無公共元素？

3.已知集合：A={(x,刈ax+y=l},8={(x,y)|x+ay=l},C={(x,y)|l+)2=]}問

(1)當a取何值時，(AU3)nC為含有兩個元素的集合？

(2)當a取何值時，(AUB)nC為含有三個元素的集合？

4.已矢口A={(x,y)|x2+y2+4x+4y+7=0,x,y€7?},

fi={(x,j)|xy=-10,x,je/e}.

⑴請依據(jù)自己對點到直線的距離，兩條異面直線的距離中“距離”的相

識,給集合A與B的距離定義；

⑵依據(jù)⑴中的定義求出A與5的距離.

5.設(shè)集合尸={不小于3的正整數(shù)},定義P上的函數(shù)如下：若“eP,定義

/(〃)為不是〃的約數(shù)的最小正整數(shù)，例如"7)=2,/(12)=5.記函數(shù)7的值域

為M.證明：19eM,99生M.

6.為了搞好學校的工作，全校各班級一共提了P（PeM）條建議.已知有些

班級提出了相同的建議，且任何兩個班級都至少有一條建議相同，但沒有

兩個班提出全部相同的建議.求證該校的班級數(shù)不多于個.

【參考答案】

A組

1.解：MAN在xOy平面上的圖形關(guān)于x軸與y軸均對稱，由此的

圖形面積只要算出在第一象限的圖形面積乘以4即得.為此，只要考慮在

第一象限的面積就可以了.由題意可得，MAN的圖形在第一象限的面積為

A=l_l=l.因此MAN的圖形面積為二所以選B.

2363

2.解：由M-P,從而—=0,a=1,即4==故a+b=1.從而選C.

a

3.解：MNw0相當于點（0,b）在橢圓f+2y2=3上或它的內(nèi)部

...更a,..「逅故選A.

322

4.解：用口丹…4（表示k位p進制數(shù)，將集合M中的每個數(shù)乘以73得

32

M'={0^-7+a2-7+a3-7+a41a,.GT,z=1,2,3,4}={[axa2a3aA]71a,eT,i=1,2,3,4）.

M,中的最大數(shù)為[6666L=[2400L0.在十進制數(shù)中，從2400起從大到小依次

排列的第2005個數(shù)是2400—2004=396.而[396ho=[llO4]7將此數(shù)除以7",

便得M中的數(shù)±+?+3.故選C.

7727374

5.解：A=6時，有1種可能；A為一元集時，B必需含有其余2元，共有6

種可能；A為二元集時，B必需含有另一元.共有12種可能；A為三元集時,

B可為其任一子集.共8種可能.故共有1+6+12+8=27個.從而選A.

6.解：被7除余2的數(shù)可寫為7A+2.由100W7A+2W600.知14WK85.

又若某個k使7k+2能被57整除，則可設(shè)74+2=57〃即

人=顯尸=地尹=8〃+啖

即〃一2應(yīng)為7的倍數(shù).設(shè)上7研2代入，得依57研16.14W57研16W85.

/./ZFO,1.于是所求的個數(shù)為85-(14-1)-2=70.

7.解：依題意可得A={x[l<x<3},設(shè)/(x)=2i+a,g(*)=/一2(a+7)x+5

要使AcB,只需/(x),g(x)在(1,3)上的圖象均在x軸的下方，則

/(3)W0,

g⑴WO,g(3)W0,由此可解得結(jié)果.

8.解：由于1995=15133,所以，只要〃>133,就有15〃>1995.故取出全

部大于133而不超過1995的整數(shù).由于這時己取出了159=135,-

15133=1995.故9至133的整數(shù)都不能再取，還可取1至8這8個數(shù)，

即共取出1995—133+8=1870個數(shù)，這說明所求數(shù)21870.

另一方面，把k與15k配對，(k不是15的倍數(shù)，且lWkW133)共

得133—8=125對，每對數(shù)中至多能取1個數(shù)為A的元素，這說明所求數(shù)

41870,綜上可知應(yīng)填1870.

9解:考慮M的"2元子集P={z?—1,n,"1,…，2〃}.P中任何4個不

同元素之和不小于(〃-D+加(〃+1)+(〃+2)=4〃+2,所以42〃+3.將

M的元配為〃對，氏=(/,2n+1—7%對M的任一z?+3元子

集A,必有三對耳，線，線同屬于AQ；、八、九兩兩不同).又將M的元配為

〃一1對，C,(7,對M的任一班3元子集A,必有

一對q同屬于A,這一對q必與B.,B,.,紇中至少一個無公共元素，這4個

元素互不相同，且和為2n+1+2〃=4〃+1,最小的正整數(shù)A=n+310.

10.解：(DVk,k-16Z且2A-1=1—-1)2,2k-11A;

(2)假設(shè)4k-2w4(nZ),則存在x,yeZ,使4"2=f-y唧(x-j)(x+j)=2(2fc-1)(*)

由于x-y與x+y具有相同的奇偶性，所以(*)式左邊有且僅有兩種可能:

奇數(shù)或4的倍數(shù)，另一方面，(*)式右邊只能被4除余2的數(shù)，故(*)

式不能成立.由此，4%-2史A(AGZ).

11.解：A={x|-14x<3},B=|x|(x-a)(x-3a)<01.

當a>0時，B=|x|0<a<x<3a}?由A得0<a<3;

當a<0時，3={x[3a<x<a<0},由A3工0得a>T;

當a=0時，fi={x|x2<O)=0,與A5*0不符.

綜上所述，a€(-1,0)J(0,3).

12.解：由④若x,yGP,則x+y￡尸可知，若則AxeP(keN)

⑴由①可設(shè)x,yCP,且x>0,y<0,則一yx=|y|x(|y〕《N)

故xy,—yxP,由④,0=(—yx)+xy《P.

(2)2eP.若2WP,則P中的負數(shù)全為偶數(shù)，不然的話，當一(2Z+1)

ep(kwN)時，一1=(—2k-1)+2k6P,與③沖突.于是，由②知P

中必有正奇數(shù).設(shè)-2機,2〃-我們?nèi)∵m當正整數(shù)q,使

q-1-2m|>2n-l,貝U負奇數(shù)-2"?+(2〃一1)eP.前后沖突

B組

1.證明：設(shè)隨意的r￡Q,rWO,由②知r￡S,或一r6S之一成立.再由

①，若r《S,則產(chǎn)GS;若一r^S,則/=(-/■)?(-r)eS.總之，r2eS.

取尸1,則leS.再由①，2=l+leS,3=1+2GS,…，可知全體正整數(shù)都

屬于S.

設(shè)p,qeS,由①pqwS,又由前證知口■wS,所以Knpq-LwS.因此，S含

q-qq-

有全體正有理數(shù).再由①知，0與全體負有理數(shù)不屬于s.即s是由全體正

有理數(shù)組成的集合.

2.證明：(1)若則y-xwS*,(y-x)-y=-xwS,,所以每個集

合中均有非負元素.

當三個集合中的元素都為零時，命題明顯成立.

否則，設(shè)’,$2,S3中的最小正元素為a,不妨設(shè)設(shè)〃為S2,S3中最小的

非負元素，不妨設(shè)bwS?,則〃一“

若b>0,則0W萬一“<6,與b的取法沖突.所以）=0.

任取xeS1,因0仁S2,故x—0=x￡S3.所以S]aS3,同理S3aS].

所以&=

（2）可能.例如$=,=｛奇數(shù)｝,§3=｛偶數(shù)｝明顯滿意條件,和$2與$3都

無公共元素.

3.解:（AUB）nC=（ABC）U（5nC）.AAC與5CIC分另IJ為方程組

（I）廳,（II）]￥?二

的解集.由（I）解得（x,y）=（0,1）=（烏，工）；由（1【）解

\+al+a

得

（1）使（AUB）DC恰有兩個元素的狀況只有兩種可能：

^T=o2a

1+。21

①:+"；②'

2

產(chǎn)=1\-a=0

U+6Z一八2

由①解得a=0；由②解得4=1.

故4=0或1時，（AU8）nC恰有兩個元素.

（2）使（AU8）nC恰有三個元素的狀況是：上==匕勺

\+a\+a-

解得。=一1±近，故當。=-1土加時，（AU8）nC恰有三個元素.

4.解：（1）設(shè)4=min由闈（即集合A中的點與集合B中的點的距離的最

PcAP.（=R'1"I

小值)，

則稱d為A與B的距離.

⑵解法一：,/A中點的集合為圓(x+2)2+(y+2>=l,圓心為〃(-2,-2),令

P(x,y)是雙曲線上的任一點，貝”MP「=(x+2)2+(y+2)2=x2+V+4(x+y)+8

=(x+J)2-2J^+4(X+j)+8=(x+y)2+4(x+j)+28

^t=x+y,則|MP『=『+4f+28=?+2)2+24I/

當t=—2時，即[盯=一1°有解，

[x+j=-2“________

/.|MP\m.n=2>/6/.J=276-1,

解法二：如圖，P是雙曲線上的任一點，Q為圓

(x+2>+(y+2)2=l上任一點,圓心為M.明顯，|PQ|+|MQ閆MP|(當P、Q、M

三點共線時取等號)??.d=|MP|n,n-1.

5.解：記〃=18!時,由于1,2,...18都是〃的約數(shù),故此時/(〃)=19.從

而19eA/.

若存在〃eP,使/(〃)=99,則對于小于99的正整數(shù)左，均有后|〃，從而

9|n,ll|n,但是(9,11)=1,由整數(shù)理論中的性質(zhì)9XH=99是〃的一個約數(shù)，

這是一個沖突！從而99任M.

6.證明：假設(shè)該校共有〃7個班級，他們的建議分別組成集合\,4。

這些集合中沒有兩個相同(因為沒有兩個班級提出全部相同的建議)，而

任何兩個集合都有相同的元素，因此任何一個集合都不是另外一個集合的

補集。這樣在A，中至多有A(全部P條建議所組成的集合)的

Lx2'=2i個子集，所以〃區(qū)20T.

2

其次章函數(shù)

§2.1函數(shù)與其性質(zhì)

一、函數(shù)的基本性質(zhì)：

1.函數(shù)圖像的對稱性

(1)奇函數(shù)與偶函數(shù)：奇函數(shù)圖像關(guān)于坐標原點對稱，對于隨意xe。，

都有/(-x)=-/(x)成立；偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱,對于隨意xe。,

都有/(-x)=/(x)成立。

(2)原函數(shù)與其反函數(shù)：原函數(shù)與其反函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對稱。

若某一函數(shù)與其反函數(shù)表示同一函數(shù)時，則此函數(shù)的圖像就關(guān)于直

線y=x對稱。

(3)若函數(shù)滿意/3=/(2〃7),則〃x)的圖像就關(guān)于直線x=a對稱；若函數(shù)

滿意/(x)=-/(2a-x),則/(x)的圖像就關(guān)于點(a,0)對稱。

(4)互對稱學問：函數(shù)y=f(x-a)與y=/(a-x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱。

2.函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)的單調(diào)性是針對其定義域的某個子區(qū)間而言的。推斷一個函

數(shù)的單調(diào)性一般采納定義法、導(dǎo)數(shù)法或借助其他函數(shù)結(jié)合單調(diào)性

的性質(zhì)(如復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性)

特殊提示：函數(shù))，=x+@(a>0)的圖像和單調(diào)區(qū)間。

X

3.函數(shù)的周期性

對于函數(shù)y=/(x),若存在一個非零常數(shù)7,使得當x為定義域中的

每一個值時,都有f(x+T)=/(x)成立，則稱y=/(x)是周期函數(shù)，7稱

為該函數(shù)的一個周期。若在全部的周期中存在一個最小的正數(shù)，

就稱其為最小正周期。

(1)若r是y=/(x)的周期，則"("仁Z)也是它的周期。

(2)若y=/(x)是周期為7的函數(shù)，則y=/3+b)(aH0)是周期為二的周期函

a

數(shù)。

(3)若函數(shù)y=/(x)的圖像關(guān)于直線x="和x=b對稱，則y=/(x)是周期為

2(“-切的函數(shù)。

(4)若函數(shù)y=/(x)滿意/(x+a)=-/(x)(a#O),則y=/(x)是周期為2a的函數(shù)。

4.函數(shù)的最值：

常規(guī)求法：配方法、判別式法、不等式法、換元法、構(gòu)造法

5.Gauss(高斯)函數(shù)

對于隨意實數(shù)X,我們記不超過x的最大整數(shù)為舊，通常稱函數(shù)y=[x]

為取整函數(shù)。又稱高斯函數(shù)。又記{x}=x-[x],則函數(shù)y={x}稱為小數(shù)

部分函數(shù)，它表示的是x的小數(shù)部分。

高斯函數(shù)的常用性質(zhì)：

(1)對隨意xeR,均有x-l<[x]Vx<[x]+l(2)對隨意xwR,函數(shù)y={x}的

值域為[0,1)

(3)高斯函數(shù)是一個不減函數(shù)，即對于隨意與，電€凡若占4%,則[4]4區(qū)]

(4)若”eZ,xeR,則有[x+川=〃+[x],{"+x}={x},后-一個式子表明y={x}是周期

為1的函數(shù)。

(5)若則[x]+[)[4[x+y]V[x]+[y]+l(6)若〃eN*,xeR,貝

二、應(yīng)用舉例:

例1.已知f(x)是一次函數(shù)，且/o(x)=1024X+1023.求/*)的解析式.

例2.已知f(x)=^土!■(a,b是常數(shù)，外力2),且/(x)fd)=k(l)求匕⑵荀(〃D)=±求

2x+ax2

n-3n>1000

例3.函數(shù)/(〃)=求f(84)

,/(/(?+5)),?<1000

函數(shù)迭代中的“穿脫”技巧

設(shè)函數(shù)y=f(x),并記f?(x)=f(f(f…(fx)…),其中n是正整數(shù),fn(x)

叫做函數(shù)f(x)的n次迭代,函數(shù)迭代是一種特殊的函數(shù)復(fù)合形式,在現(xiàn)代

數(shù)學中占有很重要的地位,尤其是近年來在國內(nèi)外數(shù)學競賽屢次出現(xiàn),成

為熱點問題之一,以引起廣在數(shù)學愛好者的關(guān)注.由f(x)(或f“(x)的表達

式“穿上"或“脫去"n-l個函數(shù)符號得出fn(x)(或f(x))的函數(shù)迭代問

題,這里我們對數(shù)學競賽中穿脫問題的解題技巧作簡潔介紹和粗淺的探

究.

1程序化穿脫

“穿"，"脫“函數(shù)符號是一種有序的過程,由內(nèi)至外一層層穿

±f,或從外至內(nèi)一層層脫去f,往往是一種程序化的模式,

例已知f(x)=X,求f(X).

71+%2n

2試驗法穿脫

很多狀況下,求解穿脫問題并非只是一種程序化的操作,還須要用

敏銳的思維和眼光去發(fā)覺穿脫過程所蘊含的規(guī)律性,試驗是發(fā)覺的源泉,

是發(fā)覺規(guī)律的金鑰匙.

例函數(shù)定義在整數(shù)集上,且滿意

f(n)=n-3(n^lOOO)

f[f(n+5)](n<1000求f(84)

例21對隨意的正整數(shù)k,令ft(k)定義為k的各位數(shù)字和的平方.對

于B2令f?(k)=fi(f“l(fā)(k)),求fl988(11).

3周期性穿脫

在求解函數(shù)迭代問題時我們常常要借助于函數(shù)的周期性,利用周

期性穿脫要能達到進退自如,做到需穿插則穿,需脫則脫,從而優(yōu)化解

題過程.

例定義域為正整數(shù)的函數(shù),滿意:

f(n)=n-3(n21000)

f[f(n+7)](n<1000.

試求f(90)

練習

1.設(shè)n是自然數(shù),f(n)為d+1(十進制)的數(shù)字之和,f,(n)=f(n),

求的均。(1990)值.

2.已知f(x)=注11.設(shè)f35(X)=皂(X),求f28(X).

X+1

例4.求函數(shù)丫=%+42-3%+2的值域。

y=x+y]x2-3x+2=>y/x2-3x+2=y-x>0

兩邊平方得y2,從而且x=*-----

22y-3o

由y_x=y"二.3/+220n1<y二或y22。

2y-32y-32

2)

任取y22,由x=。----,易知x22,子與皂/-3x+2N0。

2y-3

任取l<y<2,同樣由x=亡*,易知xWl。

22y-3

丁—3x+220°

因此,所求函數(shù)的值域為。3)U0+哈。

2

例5⑴設(shè)x,y是實數(shù)，且滿意卜3+2004(1)=［求x+y的值

(y-l)3+2004(.y-l)=l

(2)若方程/-2osin(cosx)+a2=0有唯一'解，求a

20072007

例6：解方程、不等式：(1)x+log2(2'-31)=5(2)(X+8)+X

+2x+8=0

(3)(x2-20x+38)3+4x2+152<x3+84x

Ex1.求y=(3x-1)(依2-6x+5+1)+(2X-3)(74X2-12X+13+1)的圖象與x軸交點

坐標。

解:y=(3x-1)(7(3X-1)2+4+1)+(2X-3)("(2x-3>+4+1)

令/⑺=?廬7+1),可知fQ)是奇函數(shù),且嚴格單調(diào),所以

y=f(3x-l)+/(2x-3)，當y=b時，f(3x-1)=-/(2x-3)=/(3-2x),

先以3x-l=3-2x,故x={,即圖象和x軸交點坐標為氣,6

若函數(shù)于3為單調(diào)的奇函數(shù),且fg+f?)=0,則x\+x『a。若遇

兩個式子結(jié)構(gòu)相同,不妨依此構(gòu)造函數(shù),若剛好函數(shù)能滿意上述性質(zhì),則

可解之。

3

Ex2.設(shè)函數(shù)/(x)=x+log2(x+7^+1)?則對隨意實數(shù)a,b,〃+心0是

/(。)+/(份20的()

A.充分必要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分又不必要條件

探求探討函數(shù)的有關(guān)性質(zhì),歷年來都是數(shù)學競賽的命題熱點之一,例

如探求函數(shù)的周期性,函數(shù)的不等式證明,以與解反函數(shù)的不等式等問題。

而解決這類問題的方法就是要“穿脫”函數(shù)符號“f”,下面我們從詳細

的例子談一談“穿脫”的技巧與方法.

1.單調(diào)性穿脫法

對于特殊函數(shù)的單調(diào)性,我們可以依據(jù)函數(shù)值相等或函數(shù)的單調(diào)性對

函數(shù)“f”進行“穿脫〃，進而達到化簡的目的,由此使問題獲得解答.

已知函數(shù)f(X)在區(qū)間(-9,+9)上是增函數(shù),a和b是實數(shù).試證:

⑴證明命題:假如a+b20則f(a)+f(b)^f(-a)+f(~b).

⑵推斷⑴中的逆命題是否正確,并證明你的結(jié)論.

2反函數(shù)穿脫法

敏捷自如地處理原函數(shù)f(x)與反函數(shù)f-l(x),并能嫻熟地運用

f-1(f(x))=x,f(fT(x))=x進行穿脫函數(shù)符號“f”,這是極為常用而

又重要的方法.

引理若f(x),g(x)互為反函數(shù),且f(a+b)=f(a)f(b),則

g(mn)=g(m)+g(n)

例已知函數(shù)f(x)滿意:①fC)=1；②函數(shù)的值域為［T,□；③嚴格遞

減;④f(xy)=f(x)+f(y).試求:⑴求證:，不在f(x)的定義域內(nèi)⑵求不等

式的解集

1—x2

3定義探求法

在求解有關(guān)函數(shù)方程的問題時,我們常常會遇到要證明某函數(shù)為周期

性函數(shù),此時我們一般采納周期函數(shù)的定義來求解,探求函數(shù)的有關(guān)性質(zhì).

例設(shè)a>0,f(x)是定義在實數(shù)集上的一個實值函數(shù)，且對每一實數(shù)x,

有

__________

f(x+a)3+"。)-"(切2

⑴證明:f(x)是周期函數(shù);

⑵對a=l,詳細給出一個這樣的特別數(shù)的函數(shù)f(x)

例7.設(shè)a>l,a,8均為實數(shù)，試求當。改變時，函數(shù)y=(a+sine)(4+sin。)的

1+sin。

最小值。

例8.設(shè)/(X)是定義在Z上的一個實值函數(shù)，/⑴滿意

f/U+?)+/(x-y)=2/(x)/(y)?求證：/⑴是周期為4的周期函數(shù)。

[7(1)=0②

例9.已知函數(shù)f(x)對隨意實數(shù)x,都有f(x+m)=一息,求證f(x)是

周期函數(shù)

三、練習

1.集合M由滿意如下條件的函數(shù)/(x)組成：當內(nèi),々耳T1］時，有

|/(%)-〃4)歸4歸-訃對于兩個函數(shù)引(力=幺-2%+5"(力=炯,以下關(guān)

系中成立的是()

A.J\eM,f2eM-,C.f^M,f2eM-,D.fteM,f2iM-,

2.設(shè)/(x)=g，記/(x)=/(x),若源(》)=/(力(x)),則人006*)=()

,八1-1+Xnx-1

A、xB>一一C>D、

xl-xx+i

3.若(Jo鄉(xiāng)3)"(Jo既3)。(/o自3)(_7。既3)->’,則()

(A)xy20(向x+y20(0xj^O(〃)x+y^0

4.定義在實數(shù)集上的函數(shù)f(x),對一切實數(shù)x都有￡?+1)=儀2—*)成

立，