高中數(shù)學選修課高考考點

高中數(shù)學選修課高考考點

一'重難點及考點：

重點：函數(shù)，數(shù)列，三角函數(shù)，平面向量，圓錐曲線，立體幾何，導數(shù)

難點：函數(shù)、圓錐曲線

高考相關(guān)考點：

1.圓錐曲線方程：橢圓、雙曲線、拋物線、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、軌跡問題、圓錐曲線的應

用

2.排列、組合和概率：排列、組合應用題、二項式定理及其應用

3.概率與統(tǒng)計：概率、分布列、期望、方差、抽樣、正態(tài)分布

4.導數(shù)：導數(shù)的概念、求導、導數(shù)的應用

5.復數(shù)：復數(shù)的概念與運算

二'高考數(shù)學文理科的差別

1文科

函數(shù)部分：定積分、復合函數(shù)的導數(shù)、導數(shù)的幾何意義不考；函數(shù)次數(shù)不能超過三次；

立體幾何部分：空間向量、向量方法都不考；角度只要求直線與平面的，不要求異面直線和二面角；圓

錐曲線部分：直線與圓錐曲線、曲線方程都不考；

概率部分：計數(shù)原理、二項式、離散型、正態(tài)分布、幾何概率都不考；數(shù)學歸納法不考；

（1）理科：理解兩條異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的概念

文科：了解兩條異面直線所成角及二面角的概念，理解并會求直線與平面所成角。

（2）理科：能用坐標法解決簡單的直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系等問題。

文科：能用坐標法解決簡單的直線與拋物線的位置關(guān)系等問題。

（3）理科：了解方程的曲線與曲線的方程的對應關(guān)系。

文科：無

（4）理科：空間向量與立體幾何（整大塊）

文科：無

（5）?（一）導數(shù)概念及其幾何意義：1.了解導數(shù)概念的實際背景。2.理解導數(shù)的幾何意義。

文科：無

（6）理科：能求簡單的復合函數(shù)（僅限于形如f（ax+b））的導數(shù)。文科：無

（7）理科：無特別提示的限制文科：1.了解函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)的關(guān)系；能利用導數(shù)研究函數(shù)的

單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（對多項式函數(shù)不超過三次）。2.了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件

和充分條件；會用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值（對多項式函數(shù)不超過三次）；會求閉區(qū)間上函數(shù)的最

大值、最小值（對多項式函數(shù)不超過三次）。

（8）理科（三）數(shù)學歸納法：了解數(shù)學學歸納法的原理，能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命

題。文科：無

（9）理科：計數(shù)原理文科：無

-1-

③若P/4,但4np則P是4必要而不充分條件;

④若png且qnp,則，是夕的充要條件;

⑤若且4聲P,則〃是4的既不充分也不必要

條件.

11、從斐合與集合之間的關(guān)系上看：

已知A=｛中滿足條件p｝,B=｛中滿足條件q｝：

①若A=則p是4充分條件;

②若BqA,則〃是g必要條件；

③若A直B,則P是q充分而不必要條件；

三'理科選修數(shù)學考點

④若B￡A,則”是4必要而不充分條件；

專題一：常用邏輯用語⑤若A=B,則p是夕的充要條件；

1、命題：可以判斷真偶的語句叫命題：

邏輯聯(lián)結(jié)詞：“或”“且”“非”這些詞就叫做邏輯⑥若且8(ZA,則p是q的既不充分也不必要

聯(lián)結(jié)詞；

簡單命題：不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題；條件.

復合命題：由簡單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題.4、復合命題

常用小寫的拉丁字母P，4，r,S,……表示命⑴復合命題有三種形式：〃或<7(”vq)；，且g

題.(〃△<7)；非〃(「，).

2、四種命題及其相萬關(guān)系⑵復合命題的真假判斷

“?；?”形式復合命題的真假判斷方法：一真必真；

“，且4”形式復合命題的真假判斷方法：一假必假；

“非P”形式復合命題的真假判斷方法：真假相對.

5、全稱量詞與存在量詞

⑴午稱量■詞與華稱命題

短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱

量詞，并用符號“V”表示.含有全稱量詞的命題，叫

否命題逆否命題做全稱命題.

四種命題的真假性之間的關(guān)系：⑵存在量詞與特稱命題

⑴、兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做

⑵、兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性存在量詞，并用符號“3”表示.含有存在量詞的命題，

沒有關(guān)系.叫做特稱命題.

3、充分條件、必要條件與充要:條件⑶令稱命題與特稱命題的符號表示及否丘

⑴、一般地，如果已知png,那么就說:P是g的①全稱命題P：VxeM,p(x),它的否定：

充分條件，4是〃的必要條件；

若。=q,則，是夕的充分必要條件，簡稱充要條件.3xeM,^p(x).全稱命題的否定是特稱命題.

⑵、充分條件，必要條件與充要條件主要用來區(qū)分命00

題的條件P與結(jié)論4之間的關(guān)系：②特稱命題P：3xeM,p(x),,它的否定:

I、從邏輯推理關(guān)系上看：

①若pnq,則p是4充分條件，g是P的必要條件;

VxeM，-P(x).特稱命題的否定是全稱命題.

②若pnq,但qRP,則P是4充分而不必要條件;1

專題二：圓錐曲線與方程

-2-

畫麗園I

焦點的位置焦點在X軸上焦點在y軸上

A

圖形夕

絲|_巴=1（。>〃>0）

標準方程

a2h2a2h2

第一定義到兩定點F、F的距離之和等于常數(shù)2。，BP|MF\+\MF|=2?（2?>|FF\）

121212

Mb__,\

與一定點的距離和到一定直線的距離之比為常數(shù)e,即_Fe(0<e<1)

第二定義

d

范圍一b《xW。且一aVyVa

A（-。,0）、A（4z,0）A（0,-〃）、A（0,〃）

1212

頂點

B（0,4）、B（0#）B（-"0）、BG,0）

1212

軸長長軸的長=2。短軸的長=28

對稱性關(guān)于X軸、y軸對利K,關(guān)于原點中心對稱

F（-c,0）、F（c,0）/（0,-c）、F（0,c）

焦點

1212

焦距IFFI=2c（c2=a2-b2）

12

離心率

a\a2\a2V〃2

,a2必

準線方程x=±一y=±—

cc

焦半徑左焦半徑：Mq=a+”下焦半徑：M'|=a+q

M（xy）

0.0右焦半徑：|MF|=a-e無上焦半徑：|MF|=a一分

20八20

焦點三角形面積S=b2tan_（0=ZFMF）

AA/FF212

12

通徑過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑：門"'|=一

a

(焦點)弦長公式A（xy）,B（xy）,|-8|=3+&2k-x|=3+力J（x-x）2-4xx

1,12,21112X1212

焦點的位置焦點在X軸上焦點在y軸上

NT

「形*—

..yt——韭，斗

r\0

/

標準方程上一卷=1（。>0力>0）￥二上_=1（”〉0力〉0）

Q2C12。2

第一定義到兩定點F、F的距離之差的絕對值等于常數(shù)2。，BP||MF-\MF||=2a（0<2a<|FF|）

121212

.Mb

=e（e>

第二定義與一定點的距離和到一定直線的距離之比為常數(shù)e,即_：1）

d

范圍九〈一。或尤2。，yeR了4一。或丁2。，xeR

A（-〃,0）、AG,0）A（0,-a）、

頂點A（0,6/）

1212

軸長實軸的長=2。虛軸的長=28

對稱性關(guān)于X軸、y軸對稱,關(guān)于原點中心對稱

F（-c,0）,F（c,0）F（0,-c）、

焦點F（0,c）

1212

焦距IFFI=2c（C2=Q2+枚）

11>?

CIc2la2+h2Jb2

離心率e=/憶+混（e>1）

+a2=+a2

準線方程X—

cc

±s=±fx

漸近線方程y=y

ab

M在右支（左焦:叫I”‘左焦:慳用=%+Q

M在上支《

焦半徑|右焦：|MF|二eq-a右焦：|MF|=ey?！猘

叫丁。）M在左支J左焦:|叫=-標"'左焦:叫=-eyo-a

M在下支《

［右焦：|叱=_ex°+a右焦:此|=y+a

u

焦點三角形面積s=b2cot_（0=ZFMF）

AMFF

12212

Z?2

通徑過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑：KI-

2.雙曲線

3.拋物線

-3-

y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py

標準方程

(p>0)(p>0)(p>0)(P>0)

定義與一定點尸和一條定直線/的距離相等的點的軌跡叫做拋物線（定點F不在定直線/上）

(0,0)

頂點

離心率e=1

對稱軸X軸y軸

范圍x>0x<0”0y<0

F卜T°^UY

焦點

x=-P-X_Py=~i

準線方程A------y=-2

22

焦半徑

㈣=x+L|A/F|=-x+￡慳尸|=>°+§|A/F|=—y+IL

M(xy)

0.0

通徑過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦稱為通徑：|=2p

焦點弦長

|A卻=%+x+p

公式

參數(shù)P的幾

參數(shù)P表示焦點到準線的距離，。越大，開口越闊

何意義

關(guān)于拋物線焦點弦的幾個結(jié)論：

設(shè)A3為過拋物線y2=2px（p〉0）焦點的弦，義1。）、3（1。）,直線A5的傾斜角為9,則

1122

P22P

（1）xx=_,yy=_p2；（2）|AB|=____

124121Sin20

⑶以A3為直徑的圓與準線相切；

n

（4）焦點/對A、8在準線上射影的張角為一；

2

1^12

⑸

\FB\~~P

專題三：定積分

a=x<x<---<x<x<???<%=b將區(qū)間［。，切

01Z-1in

1、定積分的概念

等分成〃個小區(qū)間，在每個小區(qū)間［x,x］上任取一點

如果函數(shù)/W在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，用分點/-1i

-4-

&(i=1,2,???,〃)，作和式(8)/cosxdx=sinx+c

i

1

L=￡/(4)—=X----/&),,當〃―8時，上(9)Jsincixdx---cosax+c(aw0)

n1*35n?a

鼻】i=l⑩Jcoscixdx=_sinax+c(aw0)

a

述和式無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)/(X)在

4、定積分的性質(zhì)

⑴1"kj\x)dx=k[bf{x}dx

區(qū)間口,切上的定積分.記作Jbf(x)dx,即(k為常數(shù));

h

卜()=limSb-a(g)⑵//(X)士g(x)公=J'f{x}dx+\g{x}dx；

a

afxdx—n~fj，這里，與b分別叫aaa

X=1⑶「f(x)dx=bf(x)dx+f(x)cbc(其中a<c<0);

做積分下限與積分上限，區(qū)間加叫做積分區(qū)間，函

⑷利用函數(shù)的奇偶性求定積分：若/(X)是旬上

數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，/(》)〃叫

的奇函數(shù),則1f(x)dx=O;若/W是［-。,。］上的偶

做被積式.

說明：函數(shù)，則Lf(x)dx=2?k(x)dx

(1)定積分的值是一個常數(shù)，可正、可負、可為零；-a0

用定義求定積分的四個基本步驟：①分割；②

(2)5、定積分的幾何意義

近似代替；③求和；④取極限.

2、微積分基本定理(牛頓-萊布尼茲公式)定積分〃f(x)dx表示在區(qū)間&h］上的曲線

如果F'(x)=f(x),且f(x)在［a,b］上可積,則

y=/(x)與直線工=。、x=》以及工軸所圍成的平面

\y(x)dx=FMl=F(b)-F(a),

圖形(曲邊梯形)的面積的代數(shù)和，即

\hf(x)dx^S-S(在x軸上方的面積取

[其中尸(X)叫做/(X)的一個原函數(shù)，因為a謝上方X軸下方

正號，在X軸下方的面積取負號)

(/(尤)+C)=F(x)=f(x)]6、求曲功梯形面積的方法與步驟

⑴畫出草圖，在直角坐標系中畫出曲線或直線的大致

3、常用足積分公式

圖像；

(i)\Odx=c(。為常數(shù))⑵借助圖形確定出被積函數(shù)，求出交點坐標，確定積

分的上、下限；

(2)Jl〃r=x+c⑶寫出定積分表達式；

⑷求出曲邊梯形的面積和，即各積分的絕對值的和.

Xa+I

7、定枳分的簡單應用

(3)Jx^dx=----+c(aw-l)

a+1⑴定積分在幾何中的應用：

1幾種常見的曲邊梯形面積的計算方法：

⑷J—公=1*卜c(1)x型區(qū)域：

①由一條曲線y=/(x)(其中0)與直線

(5)Je^dx=6+c

x=a,x=b(a<b)以及x軸所圍成的曲邊梯形的面

⑹Ja*dx=+c(a>0,awl)積：S=^f(x)dx(如圖⑴：

Ina

(7)1sinxdx=-cosx+c

圖(4)

圖⑴(2)y型區(qū)域:

②由一條曲線y=/(x)(其中/(x)<0)與直線①由一條曲線y=f(x)(其中xN0)與直線

x=a,x=b(a<b)以及x軸所圍成的曲邊梯形的面積:y=a,y=b(a<b)以及y軸所圍成的曲邊梯形的面積，

J7(.r)dx=—[v(x)dx(如圖(2)；可由^=/(*)得*=也3)，然后利用S=J%(y@求

S=

a1a

出(如圖(5)：

AA

圖(2)

圖⑸

③由一條曲線y=f(x)②由一條曲線y=/(x)(其中0)與直線

y=a,y=b(a<b)以及y軸所圍成的曲邊梯形的面

【當aKxKc時，/(%)>0=>J"(x)20；

積，可由y=f(x)先求出x=/i(y),然后利用5=

a

一求出(如圖

當cWxWb時，f(x)<0=>\hf[x)dx<0.]J%(y)d>=(6)；

caa

與直線x=a,x=b(a<b)以及x軸所圍成的曲邊梯形

y=fXb\

的面積：S=J°/(x)

ac

w

=\cf[x)dx-\bf[x}dx.(如圖⑶；

圖⑹

③由兩條曲線y=f(x),y=g(x)與直線

y=a,y=5(0<8)所圍成的曲邊梯形的面積，可由

y=f(x),y=g(x)先分中求出*=勺(刃,

x=h(y)，然后利用5="〃(y)-/z(y)|dy求出(如

212

圖⑺：

④由兩條曲線y=f(x)，y=g(x)(f(x)>g(x))與

直線x=a,x=〃a</>)所圍成的曲邊梯形的面積：

S=1"/(x)dx-^h尿力公上［X應］也如

①變速直線運動的路程?檢驗猜想。

作變速直線運動的物體所經(jīng)過的路程S,等于其速3、合情推理

度函數(shù)丫=丫⑺"⑺>0）在時間區(qū)間L力]上的定積歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀

察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納、類比，然后提

分，即S=J"y（f）力..出猜想的推理.

a歸納推理和類比推理統(tǒng)稱為合情推理,通俗地說，

②變力作功合情推理是指“合乎情理”的推理.

物體在變力尸（X）的作用下做直線運動，并且物體沿4、演繹推理

從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)

著與F（x）相同的方向從x=a移動到x=b（a<b）,論，這種推理稱為演繹推理.

簡言之，演繹推理是由一般要特殊的推理.

演繹推理的一般模式-----.二三段論包括

那么變力F（x）所作的功W=]bF（x）dx.

⑴大前提一已知的一般原理；

專題四：推理與證明⑵小前提一所研究的特殊情況；

⑶結(jié)論一據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷.

用集合的觀點來理解：若集合M中的所有元素都

具有性質(zhì)P,S是M的一個子集，那么S中所有元素

從推理所得的結(jié)論來看，合情推理的結(jié)論不一定正

確，有待進一步證明；演繹推理在前提和推理形式都

正確的前提下，得利的結(jié)論-理正確.

5、直接證明與間接證明

⑴綜合法：利用已知條件和某些數(shù)學定義、公理、定

1、歸納推理理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導出所要證明

把從個別事實中推演出一般性結(jié)論的推理,稱為歸的結(jié)論成立.

（2。:—戶。'）-1-（an。）

納推理（簡稱歸納）.框圖表示：

簡言之,歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般要點：順推證法；由因?qū)Ч?

的推理。⑵分析法：從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋找使它成立

歸納推理的一般步驟：的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定

一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理

?通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)；

等）為止.

?從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般命題

(("A)一M到-十姆!r

（猜想）；框圖表示:

?證明（視題目要求，可有可無）.要點：逆推證法；執(zhí)果索因.

2、類比推理⑶反證法：一般地,假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的

由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明

些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理了原命題成立.的證明方法.它是一種間接的證明方法.

稱為類比推理（簡稱類比）.反證法法證明一個命題的一般步驟：（1）

簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理.（反設(shè)）假設(shè)命題的結(jié)論不成立；（2）（推

類比推理的一般步驟：理）根據(jù)假設(shè)講行推理.百.到導HI矛盾為I匕（3）（歸

?找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征：謬）斷言佃田不成立，（4）（結(jié)論）

?用一類對象的己知特征去推測另一類對象的特征，肯審原命題的結(jié)論成立.____________

從而得出一個猜想；6、和學歸納法

-4-

數(shù)學歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)〃的命題的一種方法.

-5-

瞰溺幽嬲翳S-個值〃”M)5、常見的運算規(guī)律

時命題成立；°°(1)|z|=|z|；(2)Z+N=2a,Z-=2bi；

題城弘繼箱雪覆媒單〃=以n〃。水GN*)時命

(3)Z-Z_=IZI2=2=tz2+Z?2;(4)N=Z；(5)Z=0OZeR

時命題也成立.

只要完成了這兩個步驟，就可以斷定命題對從〃。開

始的所有正整數(shù)”都成立.(6)j4"+1=i,/4/J+2=—1/4〃+3=—Z,l4n+4=1；

用數(shù)學歸納法可以證明許多與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學

畬翱琲瑪翳等式、不等式、數(shù)列通項公式、兒

(7)(1±_±z；(8)=LIZi=~i,(以Y=±i

1-z1+z<72J

專題五：數(shù)系的擴充與復數(shù)

-1+J3/

1、復數(shù)的概念(9)設(shè)3=——于一是1的立方虛根，則

⑴虛數(shù)單位，；

⑵復數(shù)的代數(shù)形式z=a+bi(a,beR)；1+CO+0)2=0,G)3n+1=3,33"+2=GT,(D3n+3=1

⑶復數(shù)的實部、虛部，虛數(shù)與純虛數(shù).6、復數(shù)的幾何意義

2、復數(shù)的分類復平面：用來表示復數(shù)的直角坐標系，其中X軸叫

做復平面的實軸，y軸叫做復平面的虛軸.

復數(shù)z=a+4(a,bGR)

|復數(shù)z=a+〃復平面內(nèi)的點Z(a,b)|

實數(shù)S=o)

純虛數(shù)(。=0力/0)|復數(shù)z=a+6i<->平面向量OZ|

虛數(shù)SwO)

.非純虛數(shù)(aw0力#0)

3、相關(guān)公式專題六：排列組合與二項式定理一

1、基本計數(shù)原理

(1)a+bi=c+dioa=〃，且c=d

⑴分類加法計數(shù)原理：(分舉相加)

⑵a+Z?i=O=a=Z?=O做一件事情，完成它有〃類辦法，在第一類辦法中有

(3)|z|="+bi\=Ja2+b2m種不同的方法，在第二類辦法中有機種不同的方

12

法……在第"類辦法中有機“種不同的方法.那么完成

(4)z-=a-bi

這件事情共有N=m+m+…+機種不同的方法.

z，丁指兩復數(shù)實部相同，虛部互為相反數(shù)(互為共12n

扼復數(shù)).⑵分步乘法計數(shù)原理：(分步相乘)

4、復數(shù)運算做一件事情，完成它需要〃個步驟，做第一個步驟有

⑴復數(shù)加減法：(“+人i)土(c+△/')=Gz±c)+G±cZ)?；m種不同的方法，做第二個步驟有“種不同的方

12

法……做第九個步驟有加種不同的方法.那么完成這

⑵復數(shù)的乘法：n

()()()()件事情共有N=m￥機2x…xm”種不同的方法.

a+bic+di=ac-bd+bc+adi.2、?!非列上工組合

⑴徘■列定乂；.一般地,從〃個不同的元素中任取

a+4=(a+bi)(c-di)加(/〃W〃)個元素,按照一定的順序排成一列，叫做從

⑶復數(shù)的除法：音EKE

n個不同的元素中任取機個元素的一個排列.

=(ac+hd)+Gc-〃d)iac+bd+be-ad.

⑵組合定義：一般地,從〃個不同的元素中任取

----------------------------=-----------------------1

C2+d2C2+J2C2+d2個元素并成一組，叫做從〃個不同的元素中

(類似于無理數(shù)除法的分母有理化一虛數(shù)除法的分二

任取機個元素的一個組合.

母賣熱化)

-6-

⑶排列數(shù)：從〃個不同的元素中任取加（加<〃）個元素些元素要在某特殊位置時可采用插