教案：高中數(shù)學(xué)人教B版 必修 第一冊 函數(shù)的單調(diào)性

3.1.2函數(shù)單調(diào)性(第1課時)

教學(xué)課時：第1課時

教學(xué)目標(biāo)：

會用三種語言表述函數(shù)單調(diào)性；掌握用定義證明函數(shù)單調(diào)性的基本方法和步

驟。

在函數(shù)單調(diào)性的研究中，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察分析、歸納概括、語言表示的思維

過程，初步體會研究函數(shù)性質(zhì)的方法。培養(yǎng)函數(shù)思維能力。

通過單調(diào)性的學(xué)習(xí)樹立善于思考、敢于質(zhì)疑、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的精神。

教學(xué)重點(diǎn)：

形成函數(shù)單調(diào)性的形式化定義。

教學(xué)難點(diǎn)：

(1)觀察函數(shù)解析式，形成單調(diào)性的感性認(rèn)識；

(2)用符號語言表述函數(shù)單調(diào)性的定義。

教學(xué)過程：

一、觀察函數(shù)，形成感性認(rèn)識

問題1.請觀察下列函數(shù)，你能發(fā)現(xiàn)它們具備怎樣的變化狀態(tài)嗎？

(1)y=2x+3(2)y=x2(3)y=-3x(4)y=x3

學(xué)生活動1：思考問題1,觀察上述函數(shù)并用自然語言概括變化狀態(tài)。

預(yù)設(shè)：(l)y=2x+3當(dāng)x增大時，y也增大；

(2)y=x2當(dāng)時x>0,x增大時，y也增大。x<0時，x增大時，y減?。?/p>

(3)y=-3x當(dāng)x增大時，y減小；

(4)y=x3當(dāng)x增大時，y也增大。

設(shè)計(jì)意圖：由解析式觀察變化狀態(tài)，更能夠直觀看到隨著自變量x增大，函

數(shù)值y的變化趨勢，也利于學(xué)生用自然語言初步概括單調(diào)性的內(nèi)涵。其次，由解

析式觀察函數(shù)性質(zhì)也是今后研究函數(shù)必備的能力，選取比較簡單、易于觀察的解

析式著手。這樣可以逐步培養(yǎng)學(xué)生由解析式研究函數(shù)性質(zhì)的能力。

二、轉(zhuǎn)化語言，形成理性認(rèn)識

(-)由自然語言到圖形語言

問題2：

增函數(shù)：在定義域的某一部份上，y隨x的增大而增大；

減函數(shù)：在定義域的某一部份上，y隨x的增大而減小。

你認(rèn)為增函數(shù)、減函數(shù)的圖像會有什么特點(diǎn)呢？說明理由。

學(xué)生活動2：思考并提出看法：增函數(shù)圖形向上，減函數(shù)圖形向下。

師生分析如下：

增函數(shù)：當(dāng)自變量增大時，對應(yīng)圖像是從左至右變化；函數(shù)值增大，則圖像

從左下向右上。減函數(shù)：當(dāng)自變量增大時，對應(yīng)圖像是從左至右變化，函數(shù)值

減小，則圖像從左上向右下。

學(xué)生總結(jié)如下：

減函數(shù)

設(shè)計(jì)意圖：結(jié)合自然語言，引領(lǐng)學(xué)生分析函數(shù)圖像的特點(diǎn)。如：x增大，y

也增大，帶來了圖像向上的趨勢。進(jìn)一步在圖形上，從函數(shù)概念角度，揭示單調(diào)

性本質(zhì)。即增函數(shù)是：自變量小，對應(yīng)函數(shù)值也小。自變量大，對應(yīng)函數(shù)值也大;

減函數(shù)是：自變量小，對應(yīng)函數(shù)值大。自變量大，對應(yīng)函數(shù)值小。

（二）由自然語言、圖形語言到符號語言的轉(zhuǎn)化

問題3o你能用函數(shù)的符號語言來刻畫增函數(shù)和減函數(shù)嗎？

預(yù)設(shè)：增函數(shù)：當(dāng)Xi〈Xz時，f（Xi）＜f（x2）；減函數(shù)：當(dāng)X1〈X2時,f（Xi）＞f（x2）.

教師追問：你認(rèn)為這樣表述對嗎？為什么？

預(yù)設(shè):學(xué)生提出如下反例，并板書在黑板上：

I

設(shè)計(jì)意圖：通過問題3的探究及教師的追問，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考調(diào)整單調(diào)

性的符號語言的準(zhǔn)確性，從而攻克單調(diào)性符號語言表述中的難點(diǎn)''任意性"的理

解。進(jìn)一步，從符號語言上再次感受x與y的對應(yīng)特點(diǎn)。

三、探究證明，總結(jié)方法

例I0判斷并證明函數(shù)f(x)=x"x>0)的單調(diào)性。

教師活動：展示例題，巡視學(xué)生完成情況，板書典型“假證”做法，組織學(xué)

生辨析，并說明理由。

辨析如下證明過程是否正確？

對任意的0<玉<尤2，f(.X2)=X2°

22

?/0<x,<x2Xj<x2

即:日)</a)。

預(yù)設(shè)：學(xué)生通過辨析會發(fā)現(xiàn)，這是在用求證的結(jié)論來論證結(jié)論，

顯然不是證明。正確的證明如下：

證明：對任意的0<為<%2，

fM-/&)=X；-X；=&-X2X%+W)

?/0<%)<x2,%]-x2<0,/.JC,+x2>0,(%]-x2X%,+x2)<0

即/(%))</(X2)o

所以,函數(shù)f(x)=x"x>0)為增函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)置已經(jīng)學(xué)過的簡單的二次函數(shù)來進(jìn)行論證，使學(xué)生感受到：自

然語言和圖形語言都無法達(dá)到論證的嚴(yán)謹(jǐn)性，也進(jìn)一步感受到用符號語言表述的

必要性，以及將符號語言作為定義的必然。從而，感受到作差法以及后續(xù)因式分

解恒等變形的原因。

例2。判斷函數(shù)f(x)=3x+5,x￡[T,6]的單調(diào)性,并求這個函數(shù)的最值。

教師活動：展示例2,組織學(xué)生證明，教師巡視。

預(yù)設(shè)：學(xué)生證明如下：

任取Xi,x2e[-1,6],且x,<x2,則XI-X2<0,那么

f(x))-f(x2)=(3X,+5)-(3X2+5)=3(x)-x2)<0,

所以，這個函數(shù)是增函數(shù).

從而，這個函數(shù)的最小值是f(T)=2,最大值是f(6)=23.

師生共同探討最值定義：

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)橛蚯襒oeD:如果對任意xeD,都有f(x)Wf(x0),

則稱f(x)的最大值為f(x(j),而Xo稱為的x)的最大值點(diǎn);如果對任意xwD,都有

f(x)2f(x。)，則稱f(x)的最小值為f(X。)，而X