2025版新教材高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何1.1空間向量及其運(yùn)算1.1.2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算課時(shí)作業(yè)新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

1．1.2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算必備學(xué)問(wèn)基礎(chǔ)練進(jìn)階訓(xùn)練第一層1．已知向量e1，e2，e3是兩兩垂直的單位向量，且a＝3e1＋2e2－e3，b＝e1＋2e3則(6a)·(eq\f(1,2)b)＝()A.15B．3C．－3D．52．在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，AA1＝c，則a·(b＋c)的值為()A.2B．1C．－1D．03．已知空間向量a，b，c兩兩夾角均為60°，其模均為1，則|a＋b－2c|＝()A.eq\r(2)B．eq\r(3)C．2D．eq\r(5)4．已知空間向量a，b，c滿意a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，則a與b的夾角為()A.30°B．45°C.60°D．以上都不對(duì)5．[2024·遼寧鞍山一中高二檢測(cè)]正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，O為棱B1D的中點(diǎn)，則有()A.eq\o(BC,\s\up6(→))·B1D1＝2B．eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)C.eq\o(AB,\s\up6(→))·AD1＝1D．BC1·eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)6.(多選)如圖所示，已知空間四邊形每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都為a，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，DC的中點(diǎn)，則下列向量的數(shù)量積等于a2的是()A.2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))B．2eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))C.2eq\o(FG,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))D．2eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))7．已知空間向量a，b，c滿意a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，則a·b＋b·c＋c·a的值為_(kāi)_______．8．空間四邊形OABC，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝eq\f(π,3)，則cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉的值為_(kāi)_______．關(guān)鍵實(shí)力綜合練進(jìn)階訓(xùn)練其次層1．設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))為空間單位向量，eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→))，〈eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OA,\s\up6(→))〉＝〈eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))〉＝60°，eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))，則|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝()A.eq\r(14)B．eq\r(15)C.eq\r(17)D．eq\r(23)2．設(shè)A，B，C，D是空間不共面的四點(diǎn)，且滿意eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，M為BC中點(diǎn)，則△AMD是()A.鈍角三角形B．銳角三角形C.直角三角形D．不確定3．平行六面體(底面是平行四邊形的棱柱)ABCD-A1B1C1D1中，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，AB＝AD＝AA1＝1，則AC1＝()A.eq\r(6)B．6C.3D．eq\f(3\r(2),2)4．如圖所示，平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝120°，若線段AC1＝eq\r(2)，則∠DAA1＝()A.30°B．45°C．60°D．90°5．[2024·山東菏澤高二檢測(cè)]在棱長(zhǎng)為4的正四面體P-ABC中，E是棱AB中點(diǎn)，則eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝()A.4B．－4C.2eq\r(3)D．eq\f(14,3)6．[2024·河北滄州高二檢測(cè)](多選)在棱長(zhǎng)均為1的四面體ABCD中，下列結(jié)論正確的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝0B.eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝0C.eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))D.|2eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|＝27．在空間四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝________．8．[2024·廣東順德一中高二檢測(cè)]已知棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD，M為BC中點(diǎn)，N為AD中點(diǎn)，則eq\o(BN,\s\up6(→))·eq\o(DM,\s\up6(→))＝________．9.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，點(diǎn)N為AA1的中點(diǎn)．(1)求eq\o(BN,\s\up6(→))的長(zhǎng)；(2)求cos〈BA1，10．[2024·安徽馬鞍山二中高二檢測(cè)]棱長(zhǎng)為1的正四面體(四個(gè)面都是正三角形)OABC中，若M是BC的中點(diǎn)，N在OM上且ON＝MN，記eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c.(1)用向量a，b，c表示向量eq\o(AN,\s\up6(→))；(2)若AP＝eq\f(1,3)AN，求|eq\o(OP,\s\up6(→))|.核心素養(yǎng)升級(jí)練進(jìn)階訓(xùn)練第三層1．(多選)已知ABCD-A1B1C1D1為正方體，則下列說(shuō)法正確的有()D.在面對(duì)角線中與直線A1D所成的角為60°的有8條2．[2024·山東新泰一中高二檢測(cè)]在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，向量eq\o(AB,\s\up6(→))在向量A1C1方向上的投影向量的模是________．3．如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝2，AA1＝2eq\r(2)，AD1＝2eq\r(5)，∠BAD＝60°，∠BAA1＝45°，AC與BD相交于點(diǎn)O.(1)求eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))；(2)求∠DAA1；(3)求OA1的長(zhǎng)．1．1.2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算必備學(xué)問(wèn)基礎(chǔ)練1．答案：B解析：∵向量e1，e2，e3是兩兩垂直的單位向量，且a＝3e1＋2e2－e3，b＝e1＋2e3，∴(6a)·(eq\f(1,2)b)＝3a·b＝3×(3e1＋2e2－e3)(e1＋2e3)＝9|e1|2－6|e3|2＝3.故選B.2．答案：D解析：由題意可知a⊥b，a⊥c，因此a·(b＋c)＝a·b＋a·c＝0.故選D.3．答案：B解析：|a＋b－2c|＝eq\r(（a＋b－2c）2)＝eq\r(a2＋b2＋4c2＋2a·b－4a·c－4b·c)＝eq\r(1＋1＋4＋2×1×1×\f(1,2)－4×1×1×\f(1,2)－4×1×1×\f(1,2))＝eq\r(3).故選B.4．答案：D解析：設(shè)a與b的夾角為θ，由a＋b＋c＝0，得a＋b＝－c，兩邊平方，得a2＋2a·b＋b2＝c2，因?yàn)閨a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，所以4＋2×2×3cosθ＋9＝16，解得cosθ＝eq\f(1,4).故選D.5．答案：B解析：對(duì)于A，eq\o(BC,\s\up6(→))·B1D1＝eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝1，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))2＝eq\f(1,2)，故B正確；對(duì)于C，AB⊥平面A1ADD1，則eq\o(AB,\s\up6(→))·AD1＝0，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，BC1＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋BB1，eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋DD1)，由垂直關(guān)系化簡(jiǎn)得BC1·eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)BB1·DD1＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝0，故D錯(cuò)誤．故選B.6．答案：AC解析：在空間四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))夾角為60°，所以2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2×|eq\o(AB,\s\up6(→))|×|eq\o(AC,\s\up6(→))|cos60°＝a2.故A正確；eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(DB,\s\up6(→))夾角為120°，所以2eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＝2×|eq\o(AD,\s\up6(→))|×|eq\o(DB,\s\up6(→))|cos120°＝－a2.故B錯(cuò)誤；因?yàn)辄c(diǎn)F，G分別是AD，DC的中點(diǎn)，所以FG∥AC且|eq\o(FG,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(AC,\s\up6(→))|，所以eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(FG,\s\up6(→))夾角為0°，所以2eq\o(FG,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2×|eq\o(FG,\s\up6(→))|×|eq\o(AC,\s\up6(→))|cos0°＝a2.故C正確；因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，所以EF∥BD，|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(BD,\s\up6(→))|，所以eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))夾角為120°，所以2eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝2×|eq\o(EF,\s\up6(→))|×|eq\o(CB,\s\up6(→))|cos120°＝－eq\f(1,2)a2.故D錯(cuò)誤．故選AC.7．答案：－13解析：因?yàn)閍＋b＋c＝0，所以(a＋b＋c)2＝0，則a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，因此a·b＋b·c＋c·a＝－eq\f(32＋12＋42,2)＝－13.8．答案：0解析：∵OB＝OC，∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OC,\s\up6(→))|coseq\f(π,3)－|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OB,\s\up6(→))|coseq\f(π,3)＝0，∴cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝0.關(guān)鍵實(shí)力綜合練1．答案：C解析：|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝eq\r(（2\o(OA,\s\up6(→))－\o(OB,\s\up6(→))＋3\o(OC,\s\up6(→))）2)＝eq\r(4\o(OA,\s\up6(→))2＋\o(OB,\s\up6(→))2＋9\o(OC,\s\up6(→))2－4\o(OA,\s\up6(→))·\o(OB,\s\up6(→))＋12\o(OA,\s\up6(→))·\o(OC,\s\up6(→))－6\o(OB,\s\up6(→))·\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\r(4＋1＋9－0＋12×\f(1,2)－6×\f(1,2))＝eq\r(17).故選C.2．答案：C解析：如圖，依據(jù)條件：eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→)))＝0，∴eq\o(AM,\s\up6(→))⊥eq\o(AD,\s\up6(→))，∴△AMD為直角三角形．故選C.3．答案：A解析：由空間向量可得AC1＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋AA1，AC12＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋AA1)2＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AD,\s\up6(→))2＋AA12＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋2eq\o(AD,\s\up6(→))·AA1＋2AA1·eq\o(AB,\s\up6(→))＝1＋1＋1＋2|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AD,\s\up6(→))|cos∠BAD＋2|eq\o(AD,\s\up6(→))|·|AA1|cos∠A1AD＋2|AA1|·|eq\o(AB,\s\up6(→))|cos∠A1AB＝3＋2cos60°＋2cos60°＋2cos60°＝6，所以|AC1|＝AC1＝eq\r(6).故選A.4．答案：C解析：∵AC1＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋AA1，∴AC12＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AD,\s\up6(→))2＋AA12＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·AA1＋2eq\o(AD,\s\up6(→))·AA1＝1＋1＋1＋2×1×1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋2×1×1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋2×1×1×cos∠DAA1＝2，∴cos∠DAA1＝eq\f(1,2)，∠DAA1＝60°，故選C.5．答案：B解析：如圖所示，若F為AC中點(diǎn)，連接PF，EF，又E是棱AB中點(diǎn)，所以EF∥BC且BC＝2EF，故PE，BC夾角為∠PEF或其補(bǔ)角，因?yàn)檎拿骟wP-ABC各棱長(zhǎng)為4，故四面體各面均為等邊三角形，所以PF＝PE＝2eq\r(3)，EF＝2，且cos∠PEF＝eq\f(\r(3),6)，而eq\o(PE,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))所成角為∠PEF的補(bǔ)角，故eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－|eq\o(PE,\s\up6(→))|·|eq\o(BC,\s\up6(→))|cos∠PEF＝－2eq\r(3)×4×eq\f(\r(3),6)＝－4.故選B.6．答案：ABC解析：如圖所示，取CD的中點(diǎn)M，連接AM，BM，∴AM⊥CD，BM⊥CD，AM∩BM＝M，AM，BM?平面ABM，所以CD⊥平面ABM，又AB?平面ABM，所以CD⊥AB，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，故A正確；因?yàn)閑q\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＋(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，故B正確；∵AD＝AB＝CB＝CD＝1，∠BAD＝∠BCD＝60°，又eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|·|eq\o(AB,\s\up6(→))|cos∠BAD＝1×1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝|eq\o(CB,\s\up6(→))|·|eq\o(CD,\s\up6(→))|cos∠BCD＝1×1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，所以eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))，故C正確；因?yàn)閨2eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|2＝4eq\o(AB,\s\up6(→))2＋4eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))2＝4＋4×1×1×cos120°＋1＝3，所以|2eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，故D不正確．故選ABC.7．答案：0解析：如圖，令eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.8．答案：－eq\f(1,2)解析：如圖，eq\o(BN,\s\up6(→))·eq\o(DM,\s\up6(→))＝(－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)))·(eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝(－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)))·(－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))2－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))2＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝1×1×eq\f(1,2)－eq\f(1,2)×12－eq\f(1,2)×1×1×eq\f(1,2)－eq\f(1,2)×12＋eq\f(1,4)×1×1×eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)×1×1×eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2).9．解析：(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，∴AB＝eq\r(2)，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(BA,\s\up6(→))＋\f(1,2)AA1))eq\s\up12(2)＝eq\o(BA,\s\up6(→))2＋eq\o(BA,\s\up6(→))·AA1＋eq\f(1,4)AA12＝2＋eq\f(1,4)×4＝3.∴|eq\o(BN,\s\up6(→))|＝eq\r(3).(2)BA1·CB1＝(eq\o(BA,\s\up6(→))＋BB1)(eq\o(CB,\s\up6(→))＋CC＝eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))·CC1＋BB1·eq\o(CB,\s\up6(→))＋BB1·CC1，eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝|eq\o(BA,\s\up6(→))||eq\o(CB,\s\up6(→))|·cos(π－∠ABC)＝eq\r(2)×1×cos135°＝－1，eq\o(BA,\s\up6(→))·CC1＝0，BB1·eq\o(CB,\s\up6(→))＝0，BB1·CC1∴BA1·|BA1|·|CB1|＝eq\r(6)·eq\r(5)＝eq\r(30)，∴cos〈BA1，CB1〉＝eq\f(3,\r(30))＝eq\f(\r(30),10).10．解析：(1)因?yàn)镸是BC的中點(diǎn)，N在OM上且ON＝MN，所以eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OM,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝－a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c.(2)由(1)可知：eq\o(AN,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c，因?yàn)锳P＝eq\f(1,3)AN，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(－a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c)＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,12)b＋eq\f(1,12)c，而|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a＋\f(1,12)b＋\f(1,12)c))\s\up12(2))，因?yàn)檎拿骟wOABC的棱長(zhǎng)為1，所以|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝eq\r(\f(4,9)a2＋\f(1,144)b2＋\f(1,144)c2＋\f(1,9)a·b＋\f(1,9)a·c＋\f(1,72)b·c)＝eq\r(\f(4,9)×12＋\f(1,144)×12＋\f(1,144)×12＋\f(1,9)×1×1×\f(1,2)＋\f(1,9)×1×1×\f(1,2)＋\f(1,72)×1×1×\f(1,2))＝eq\f(\r(83),12