2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.2.2 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（1）教學(xué)教案 新人教A版必修4

2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（1）教學(xué)教案新人教A版必修4授課內(nèi)容授課時(shí)數(shù)授課班級(jí)授課人數(shù)授課地點(diǎn)授課時(shí)間課程基本信息1.課程名稱：高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（1）

2.教學(xué)年級(jí)和班級(jí)：高中一年級(jí)

3.授課時(shí)間：2024-2025學(xué)年第一學(xué)期

4.教學(xué)時(shí)數(shù)：45分鐘

教學(xué)內(nèi)容：

1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；

2.學(xué)會(huì)運(yùn)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進(jìn)行函數(shù)值的計(jì)算；

3.能夠利用基本關(guān)系式解決實(shí)際問題。

教學(xué)過(guò)程：

1.導(dǎo)入（5分鐘）：

利用多媒體展示生活中與三角函數(shù)相關(guān)的實(shí)例，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。

2.基本概念講解（15分鐘）：

根據(jù)教材，講解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，包括正弦、余弦、正切、余切、正割、余割的定義及它們之間的關(guān)系。

3.例題解析（15分鐘）：

結(jié)合教材中的例題，講解如何運(yùn)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進(jìn)行計(jì)算，以及在實(shí)際問題中的應(yīng)用。

4.課堂練習(xí)（10分鐘）：

讓學(xué)生獨(dú)立完成教材中的練習(xí)題，鞏固所學(xué)知識(shí)。

5.總結(jié)與拓展（5分鐘）：

對(duì)本節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)，并提出相關(guān)問題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，為下一節(jié)課做好鋪墊。

教學(xué)評(píng)價(jià)：

1.課后作業(yè)：布置教材中的課后習(xí)題，檢查學(xué)生對(duì)同角三角函數(shù)基本關(guān)系的掌握程度；

2.課堂表現(xiàn)：觀察學(xué)生在課堂上的參與程度、提問回答情況，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)。

教學(xué)資源：

1.教材：《高中數(shù)學(xué)》（新人教A版）必修4；

2.多媒體課件：展示生活實(shí)例、講解例題等；

3.練習(xí)題：教材中的課后習(xí)題及課堂練習(xí)題。核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)。通過(guò)學(xué)習(xí)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，使學(xué)生能夠：

1.抽象出三角函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，形成對(duì)函數(shù)關(guān)系的深入理解，提高數(shù)學(xué)抽象能力；

2.運(yùn)用邏輯推理，分析并證明同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維；

3.將同角三角函數(shù)的基本關(guān)系應(yīng)用于實(shí)際問題，建立數(shù)學(xué)模型，提高解決實(shí)際問題的能力。

在教學(xué)過(guò)程中，注重引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力，使學(xué)生在掌握知識(shí)的同時(shí)，提高數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。重點(diǎn)難點(diǎn)及解決辦法重點(diǎn)：

1.同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的理解與記憶；

2.運(yùn)用基本關(guān)系式進(jìn)行三角函數(shù)值的計(jì)算；

3.將基本關(guān)系式應(yīng)用于解決實(shí)際問題。

難點(diǎn)：

1.對(duì)基本關(guān)系式的推導(dǎo)過(guò)程理解；

2.在實(shí)際問題中靈活運(yùn)用基本關(guān)系式。

解決辦法與突破策略：

1.采用直觀演示和動(dòng)畫輔助，幫助學(xué)生形象理解基本關(guān)系式的推導(dǎo)過(guò)程，強(qiáng)化記憶；

2.通過(guò)典型例題的講解，引導(dǎo)學(xué)生逐步掌握運(yùn)用基本關(guān)系式進(jìn)行計(jì)算的方法；

3.設(shè)計(jì)具有實(shí)際背景的問題，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和問題解決能力；

4.組織小組討論和互助學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在合作中互相啟發(fā)，共同突破難點(diǎn)；

5.對(duì)于理解有困難的學(xué)生，提供個(gè)性化輔導(dǎo)和額外練習(xí)，確保每位學(xué)生都能跟上教學(xué)進(jìn)度。教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：

-確保每位學(xué)生都提前準(zhǔn)備好《高中數(shù)學(xué)》（新人教A版）必修4教材，特別是第一章三角函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容。

-準(zhǔn)備教材中與本節(jié)課相關(guān)的習(xí)題和例題，以便在課堂上及時(shí)展示和討論。

2.輔助材料：

-準(zhǔn)備多媒體課件，包括三角函數(shù)基本關(guān)系式的動(dòng)態(tài)推導(dǎo)過(guò)程，使得學(xué)生能夠直觀理解。

-收集和制作與三角函數(shù)相關(guān)的實(shí)際生活圖片、圖表和視頻，如建筑物的三角結(jié)構(gòu)、機(jī)械運(yùn)動(dòng)中的三角函數(shù)應(yīng)用等，以增強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)應(yīng)用的認(rèn)識(shí)。

-準(zhǔn)備一些數(shù)學(xué)歷史資料，介紹三角函數(shù)在數(shù)學(xué)發(fā)展史上的地位和作用，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

-設(shè)計(jì)并打印課堂練習(xí)題和小組討論指導(dǎo)資料，確保學(xué)生能夠在課堂上即時(shí)鞏固所學(xué)知識(shí)。

3.實(shí)驗(yàn)器材：

-雖然本節(jié)課不涉及實(shí)際的物理實(shí)驗(yàn)，但如果條件允許，可以準(zhǔn)備一些簡(jiǎn)單的測(cè)量工具，如量角器、直尺等，用于模擬實(shí)際情境中的三角測(cè)量問題。

4.教室布置：

-根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)需要，將教室座位調(diào)整為小組合作模式，每組配備一臺(tái)計(jì)算機(jī)或平板，以便學(xué)生觀看多媒體課件和進(jìn)行小組討論。

-在教室前方設(shè)置投影儀和屏幕，確保所有學(xué)生都能清晰地觀看課件內(nèi)容。

-如果有條件，設(shè)置一個(gè)互動(dòng)白板或智能黑板，以便教師現(xiàn)場(chǎng)演示和講解。

-在教室墻壁上張貼與三角函數(shù)相關(guān)的圖表和知識(shí)點(diǎn)海報(bào)，創(chuàng)造一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)氛圍。

5.其他準(zhǔn)備：

-教師提前熟悉教材內(nèi)容，準(zhǔn)備詳細(xì)的教案和學(xué)案，確保教學(xué)過(guò)程順暢。

-準(zhǔn)備教學(xué)評(píng)價(jià)工具，如課堂練習(xí)的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)和課后作業(yè)的批改要點(diǎn)，確保教學(xué)評(píng)價(jià)的客觀性和有效性。

-與學(xué)校技術(shù)部門協(xié)調(diào)，確保多媒體設(shè)備在上課前調(diào)試到位，避免因技術(shù)問題影響教學(xué)。教學(xué)流程（一）課前準(zhǔn)備（預(yù)計(jì)用時(shí)：5分鐘）

學(xué)生預(yù)習(xí)：

發(fā)放預(yù)習(xí)材料，引導(dǎo)學(xué)生提前了解同角三角函數(shù)基本關(guān)系的學(xué)習(xí)內(nèi)容，標(biāo)記出有疑問或不懂的地方。設(shè)計(jì)預(yù)習(xí)問題，激發(fā)學(xué)生思考，為課堂學(xué)習(xí)同角三角函數(shù)基本關(guān)系內(nèi)容做好準(zhǔn)備。

教師備課：

深入研究教材，明確本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)和重難點(diǎn)。準(zhǔn)備教學(xué)用具和多媒體資源，確保教學(xué)過(guò)程的順利進(jìn)行。設(shè)計(jì)課堂互動(dòng)環(huán)節(jié)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)同角三角函數(shù)基本關(guān)系的積極性。

（二）課堂導(dǎo)入（預(yù)計(jì)用時(shí)：3分鐘）

激發(fā)興趣：

回顧舊知：

簡(jiǎn)要回顧上節(jié)課學(xué)習(xí)的三角函數(shù)的定義和性質(zhì)，幫助學(xué)生建立知識(shí)之間的聯(lián)系。提出問題，檢查學(xué)生對(duì)舊知的掌握情況，為學(xué)習(xí)新課打下基礎(chǔ)。

（三）新課呈現(xiàn)（預(yù)計(jì)用時(shí)：25分鐘）

知識(shí)講解：

清晰、準(zhǔn)確地講解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，結(jié)合實(shí)例幫助學(xué)生理解。突出基本關(guān)系式的推導(dǎo)和應(yīng)用重點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)理解難點(diǎn)，通過(guò)對(duì)比、歸納等方法幫助學(xué)生加深記憶。

互動(dòng)探究：

設(shè)計(jì)小組討論環(huán)節(jié)，讓學(xué)生圍繞基本關(guān)系式的問題展開討論，培養(yǎng)學(xué)生的合作精神和溝通能力。鼓勵(lì)學(xué)生提出自己的觀點(diǎn)和疑問，引導(dǎo)學(xué)生深入思考，拓展思維。

技能訓(xùn)練：

總結(jié)歸納：

在新課呈現(xiàn)結(jié)束后，對(duì)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進(jìn)行梳理和總結(jié)。強(qiáng)調(diào)重點(diǎn)和難點(diǎn)，幫助學(xué)生形成完整的知識(shí)體系。

（四）鞏固練習(xí)（預(yù)計(jì)用時(shí)：5分鐘）

隨堂練習(xí)：

隨堂練習(xí)題，讓學(xué)生在課堂上完成，檢查學(xué)生對(duì)基本關(guān)系知識(shí)的掌握情況。鼓勵(lì)學(xué)生相互討論、互相幫助，共同解決問題。

錯(cuò)題訂正：

針對(duì)學(xué)生在隨堂練習(xí)中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，進(jìn)行及時(shí)訂正和講解。引導(dǎo)學(xué)生分析錯(cuò)誤原因，避免類似錯(cuò)誤再次發(fā)生。

（五）拓展延伸（預(yù)計(jì)用時(shí)：3分鐘）

知識(shí)拓展：

介紹三角函數(shù)在工程、物理等領(lǐng)域的拓展應(yīng)用，拓寬學(xué)生的知識(shí)視野。引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注學(xué)科前沿動(dòng)態(tài)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和探索精神。

情感升華：

結(jié)合三角函數(shù)的應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生思考學(xué)科與生活的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的社會(huì)責(zé)任感。鼓勵(lì)學(xué)生分享學(xué)習(xí)心得和體會(huì)，增進(jìn)師生之間的情感交流。

（六）課堂小結(jié)（預(yù)計(jì)用時(shí)：2分鐘）

簡(jiǎn)要回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)的同角三角函數(shù)基本關(guān)系，強(qiáng)調(diào)重點(diǎn)和難點(diǎn)?？隙▽W(xué)生的表現(xiàn)，鼓勵(lì)他們繼續(xù)努力。

布置作業(yè)：

根據(jù)本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容，布置適量的課后作業(yè)，鞏固學(xué)習(xí)效果。提醒學(xué)生注意作業(yè)要求和時(shí)間安排，確保作業(yè)質(zhì)量。知識(shí)點(diǎn)梳理1.三角函數(shù)的基本概念

-定義：以直角三角形的三個(gè)角（銳角）為自變量，以三條邊的比值或相關(guān)量為函數(shù)值的函數(shù)稱為三角函數(shù)。

-常見三角函數(shù)：正弦函數(shù)（sin）、余弦函數(shù)（cos）、正切函數(shù)（tan）、余切函數(shù)（cot）、正割函數(shù)（sec）、余割函數(shù)（csc）。

-三角函數(shù)的周期性：正弦、余弦、正切函數(shù)的周期性質(zhì)及其與角度的關(guān)系。

2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

-正弦與余弦的關(guān)系：sin2θ+cos2θ=1

-正切與正弦余弦的關(guān)系：tanθ=sinθ/cosθ

-余切與正弦余弦的關(guān)系：cotθ=cosθ/sinθ

-正割與余弦的關(guān)系：secθ=1/cosθ

-余割與正弦的關(guān)系：cscθ=1/sinθ

-同角三角函數(shù)的對(duì)稱性：sin(π/2-θ)=cosθ，cos(π/2-θ)=sinθ等。

3.三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

-正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)：圖像為周期性波動(dòng)的曲線，性質(zhì)包括奇函數(shù)、周期性、振幅等。

-余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)：圖像為周期性波動(dòng)的曲線，性質(zhì)包括偶函數(shù)、周期性、振幅等。

-正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)：圖像為無(wú)界曲線，性質(zhì)包括奇函數(shù)、周期性、漸近線等。

4.三角函數(shù)的應(yīng)用

-三角函數(shù)在直角三角形中的應(yīng)用：根據(jù)已知角度和邊長(zhǎng)求解未知邊長(zhǎng)。

-三角函數(shù)在物理中的應(yīng)用：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)、波的傳播等。

-三角函數(shù)在工程中的應(yīng)用：建筑設(shè)計(jì)、測(cè)量等。

5.三角函數(shù)的恒等變換

-和差公式：sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ，cos(α±β)=cosαcosβ?sinαsinβ

-積化和差公式：sinαcosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]，cosαsinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

-商數(shù)關(guān)系：tan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1?tanαtanβ)

-積商關(guān)系：tanαtanβ=sinαsinβ/(cosαcosβ)

6.三角方程與不等式

-三角方程：sinθ=x，cosθ=x，tanθ=x等形式的方程。

-三角不等式：sinθ>0，cosθ≤1等。

-三角方程與不等式的解法：利用三角函數(shù)的圖像、性質(zhì)、恒等變換等方法。重點(diǎn)題型整理題型一：

題目：已知正弦函數(shù)sinθ=3/5，求余弦函數(shù)cosθ的值。

解答：根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin2θ+cos2θ=1，代入sinθ=3/5，可得cos2θ=1-(3/5)2=1-9/25=16/25。因此，cosθ=±√(16/25)=±4/5。

題型二：

題目：已知正切函數(shù)tanθ=2，求余切函數(shù)cotθ的值。

解答：根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式tanθ=sinθ/cosθ，可得sinθ=2cosθ。再根據(jù)sin2θ+cos2θ=1，代入sinθ=2cosθ，得到(2cosθ)2+cos2θ=1，即4cos2θ+cos2θ=1。解得cosθ=±√(1/5)。因此，cotθ=cosθ/sinθ=±√(1/5)/(2√(1/5))=±1/2。

題型三：

題目：已知正弦函數(shù)sinθ=4/5，求正割函數(shù)secθ的值。

解答：根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式secθ=1/cosθ，可得cosθ=1/sinθ=1/(4/5)=5/4。因此，secθ=1/cosθ=1/(5/4)=4/5。

題型四：

題目：已知余弦函數(shù)cosθ=-3/5，求余割函數(shù)cscθ的值。

解答：根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式cscθ=1/sinθ，可得sinθ=1/cosθ=-5/3。因此，cscθ=1/sinθ=1/(-5/3)=-3/5。

題型五：

題目：已知正弦函數(shù)sinθ=1/2，求正切函數(shù)tanθ的值。

解答：根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式tanθ=sinθ/cosθ，可得cosθ=1/sinθ=1/(1/2)=2。因此，tanθ=sinθ/cosθ=(1/2)/2=1/4。板書設(shè)計(jì)①重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)

-同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

-sin2θ+cos2θ=1

-tanθ=sinθ/cosθ

-cotθ=cosθ/sinθ

-secθ=1/cosθ

-cscθ=1/sinθ

②重點(diǎn)詞

-同角

-三角函數(shù)

-正弦(sin)

-余弦(cos)

-正切(tan)

-余切(cot)

-正割(sec)

-余割(csc)

③重點(diǎn)句

-sin2θ+cos2θ=1

-tanθ=sinθ/cosθ

-cotθ=cosθ/sinθ

-secθ=1/cosθ

-cscθ=1/sinθ

④板書設(shè)計(jì)

1.利用圖形展示同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，如直角三角形的邊長(zhǎng)比例。

2.用彩色粉筆突出重點(diǎn)詞和句，如sin2θ+cos2θ=1等。

3.通過(guò)圖表或流程圖形式，展示三角函數(shù)之間的關(guān)系，如sinθ、cosθ、tanθ之間的關(guān)系。

4.在板書設(shè)計(jì)上加入一些有趣的元素，如小插圖、符號(hào)等，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動(dòng)性。作業(yè)布置與反饋一、作業(yè)布置：

1.選擇題：

(1)若sinθ=3/5，則cosθ的值為()

A.4/5B.-4/5C.±4/5

(2)若tanθ=2，則cotθ的值為()

A.1/2B.-1/2C.±1/2

(3)若sinθ=4/5，則secθ的值為()

A.5/4B.-5/4C.±5/4

(4)若cosθ=-3/5，則cscθ的值為()

A.-3/5B.3/5C.±3/5

(5)若sinθ=1/2，則tanθ的值為()

A.1/4B.-1/4C.±1/4

2.計(jì)算題：

(1)已知sinθ=2/3，求cosθ的值。

(2)已知tanθ=5/3，求cotθ的值。

(3)已知secθ=4/3，求cosθ的值。

(4)已知cscθ=-5/4，求sinθ的值。

(5)已知sinθ=5/13，求tanθ的值。

3.應(yīng)用題：

(1)在直角三角形中，已知一直角邊長(zhǎng)為6，斜邊長(zhǎng)為10，求另一銳角的正弦值。

(2)在直角坐標(biāo)系中，已知直角三角形的直角頂點(diǎn)在原點(diǎn)，一直角邊在x軸上，另一直角邊在y軸上，斜邊長(zhǎng)為10，求該直角三角形的斜邊上的高。

二、作業(yè)反饋：

1.選擇題：

(1)C(2)A(3)A(4)C(5)A

2.計(jì)算題：

(1)cosθ=±√(1-sin2θ)=±√(1-(2/3)2)=±√(1-4/9)=±√(5/9)=±(√5)/3

(2)cotθ=1/tanθ=1/(5/3)=