高中數(shù)學(xué) 章末質(zhì)量評(píng)估1 蘇教版選修2-3

章末質(zhì)量評(píng)估(一)(時(shí)間：120分鐘滿分：160分)一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分)1．4名不同科目的實(shí)習(xí)教師被分配到三個(gè)班級(jí)，每班至少有一人的不同分法有________．解析將4名教師分三組，然后全排列分配到不同的班級(jí)，共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝36(種)．答案36種2．設(shè)集合A＝{1,2,3,4}，m，n∈A，則關(guān)于x，y的方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的個(gè)數(shù)為________．解析∵m＞n，∴有Ceq\o\al(2,4)＝6(個(gè))焦點(diǎn)在x軸上的不同橢圓．答案63.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,3\r(x))))18的展開式中含x15的項(xiàng)的系數(shù)為________(結(jié)果用數(shù)值表示)．解析設(shè)Tr＋1為含x15的項(xiàng)，則Tr＋1＝Ceq\o\al(r,18)x18－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))r.由18－r－eq\f(r,2)＝15得r＝2.∴含x15的項(xiàng)的系數(shù)為Ceq\o\al(2,18)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))2＝17.答案174.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,\r(3,x))))6的展開式中的第四項(xiàng)是________．解析T4＝T3＋1＝Ceq\o\al(3,6)·23·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(3,x))))3＝－eq\f(160,x).答案－eq\f(160,x)5.從5位男生4位女生中選4位代表，其中至少有2位男生，且至少有1位女生，分別到四個(gè)不同的工廠調(diào)查，則不同的分派方法有________種．解析“從5位男生4位女生中選4位代表，其中至少有2位男生，且至少有1位女生”的情況為：2男2女、3男1女，則有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C\o\al(2,5)·C\o\al(2,4)＋C\o\al(3,5)·C\o\al(1,4)))種；“分別到四個(gè)不同的工廠調(diào)查”，再在選出的代表中進(jìn)行排列，則有(Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(3,5)·Ceq\o\al(1,4))Aeq\o\al(4,4)＝2400(種)．答案24006．從0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)偶數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為________．解析分兩類：①選0.Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝108(種)；②不選0.Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(4,4)＝72(種)．∴共有108＋72＝180(種)．答案1807．(1＋x＋x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為________．解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))6的展開式中的通項(xiàng)為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)x6－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))k＝(－1)kCeq\o\al(k,6)x6－2k.令6－2k＝0，得k＝3，T4＝(－1)3Ceq\o\al(3,6)＝－Ceq\o\al(3,6).令6－2k＝－1，得k＝eq\f(7,2)(舍)．令6－2k＝－2，得k＝4，T5＝(－1)4Ceq\o\al(4,6)x－2＝Ceq\o\al(4,6)x－2.∴(1＋x＋x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))6展開式的常數(shù)項(xiàng)為1×(－Ceq\o\al(3,6))＋Ceq\o\al(4,6)＝－20＋15＝－5.答案－58．若多項(xiàng)式x2＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，則a9＝________.解析由于a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10＝x2＋x10＝[－1＋(x＋1)]2＋[－1＋(x＋1)]10＝…＋Ceq\o\al(9,10)(－1)1·(x＋1)9＋Ceq\o\al(10,10)(x＋1)10則a9＝Ceq\o\al(9,10)·(－1)＝－10.答案－109．有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙、丙各需1人承擔(dān)，從10人中選派4人承擔(dān)這項(xiàng)任務(wù)，不同的選法有________．解析第一步，從10人中選派2人承擔(dān)任務(wù)甲，有Ceq\o\al(2,10)種選派方法；第二步，從余下的8人中選派1人承擔(dān)任務(wù)乙，有Ceq\o\al(1,8)種選派方法；第三步，再從余下的7人中選派1人承擔(dān)任務(wù)丙，有Ceq\o\al(1,7)種選派方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理易得選派方法種數(shù)為Ceq\o\al(2,10)·Ceq\o\al(1,8)·Ceq\o\al(1,7)＝2520.答案252010．將標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,5,6的6張卡片放入3個(gè)不同的信封中．若每個(gè)信封放2張，其中標(biāo)號(hào)為1,2的卡片放入同一信封，則不同的放法共有________．解析先放1、2的卡片有Ceq\o\al(1,3)種，再將3,4,5,6的卡片平均分成兩組再放置有eq\f(C\o\al(2,4),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(2,2)種，故共有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,4)＝18(種)．答案1811．設(shè)二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,\r(x))))6(a＞0)的展開式中x3的系數(shù)為A，常數(shù)項(xiàng)為B.若B＝4A.則a的值是________．解析展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)x6－k·(－a)k＝，故A＝(－a)2Ceq\o\al(2,6)，B＝(－a)4Ceq\o\al(4,6)，由B＝4A，得a2＝4，又a＞0，故a答案212．二項(xiàng)式(1＋sinx)n的展開式中，末尾兩項(xiàng)的系數(shù)之和為7，且系數(shù)最大的一項(xiàng)的值為eq\f(5,2)，則x在[0,2π]內(nèi)的值為________．解析二項(xiàng)式(1＋sinx)n的展開式中，末尾兩項(xiàng)的系數(shù)之和Ceq\o\al(n－1,n)＋Ceq\o\al(n,n)＝1＋n＝7，∴n＝6，系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)，T4＝Ceq\o\al(3,6)(sinx)3＝eq\f(5,2)，∴(sinx)3＝eq\f(1,8)，∴sinx＝eq\f(1,2)，又x∈[0,2π]，∴x＝eq\f(π,6)或eq\f(5,6)π.答案eq\f(π,6)或eq\f(5,6)π13．用0,1,2,3,4這五個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中恰有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字夾在兩個(gè)奇數(shù)數(shù)字之間，這樣的五位數(shù)有________．解析若0夾在1、3之間，有Aeq\o\al(2,2)×3×Aeq\o\al(2,2)＝12(個(gè))，若2或4夾在1、3中間，考慮兩奇夾一偶的位置，有(2×2＋2×2)×2＝16(個(gè))，所以共有12＋16＝28(個(gè))．答案2814．若(1－2x)2009＝a0＋a1x＋…＋a2009x2009(x∈R)，則eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋…＋eq\f(a2009,22009)的值為________．解析令x＝0，則a0＝1，令x＝eq\f(1,2)，則a0＋eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋…＋eq\f(a2009,22009)＝0，∴eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋…＋eq\f(a2009,22009)＝－1.答案－1二、解答題(本大題共6小題，共90分)15．(本小題滿分14分)從1,3,5,7,9五個(gè)數(shù)字中選2個(gè)，0,2,4,6,8五個(gè)數(shù)字中選3個(gè)，能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？解從5個(gè)奇數(shù)中選出2個(gè)，再從2、4、6、8四個(gè)偶數(shù)中選出3個(gè)，排成五位數(shù)，有Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(3,4)·Aeq\o\al(5,5)＝4800(個(gè))．從5個(gè)奇數(shù)中選出2個(gè)，再從2,4,6,8四個(gè)偶數(shù)中再選出2個(gè)，將選出的4個(gè)數(shù)再選一個(gè)做萬位數(shù)．余下的3個(gè)數(shù)加上0排在后4個(gè)數(shù)位上，有Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＝10×6×4×24＝5760(個(gè))．由分類加法計(jì)數(shù)原理可知這樣的五位數(shù)共有Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(2,5)＋Aeq\o\al(5,5)·Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＝10560(個(gè))．16．(本小題滿分14分)(1)求證：2n＋2·3n＋5n－4能被25整除；(2)求證：1＋3＋32＋…＋33n－1能被26整除(n為大于1的偶數(shù))．證明(1)原式＝4(5＋1)n＋5n－4＝4(Ceq\o\al(0,n)5n＋Ceq\o\al(1,n)5n－1＋Ceq\o\al(2,n)5n－2＋…＋Ceq\o\al(n,n))＋5n－4＝4(Ceq\o\al(0,n)5n＋Ceq\o\al(1,n)5n－1＋…＋Ceq\o\al(n－2,n)·52＋Ceq\o\al(n－1,n)·51＋1)＋5n－4＝4(Ceq\o\al(0,n)5n＋Ceq\o\al(1,n)5n－1＋…＋Ceq\o\al(n－2,n)·52)＋25n，以上各項(xiàng)均為25的整數(shù)倍，故得證．(2)因?yàn)?＋3＋32＋…＋33n－1＝eq\f(1－33n,1－3)＝eq\f(1,2)(33n－1)＝eq\f(1,2)(27n－1)＝eq\f(1,2)[(26＋1)n－1]．而(26＋1)n－1＝Ceq\o\al(0,n)26n＋Ceq\o\al(1,n)26n－1＋…＋Ceq\o\al(n－1,n)26＋Ceq\o\al(n,n)260－1＝Ceq\o\al(0,n)26n＋Ceq\o\al(1,n)26n－1＋…＋Ceq\o\al(n－1,n)26因?yàn)閚為大于1的偶數(shù)，所以原式能被26整除．17．(本小題滿分14分)已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(4,\f(1,x))＋\r(3,x2)))n展開式中的倒數(shù)第三項(xiàng)的系數(shù)為45，求：(1)含x3的項(xiàng)；(2)系數(shù)最大的項(xiàng)．解由題意知，Ceq\o\al(n－2,n)＝45，即Ceq\o\al(2,n)＝45，∴n＝10.(1)Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)(x－eq\f(1,4))10－r，令eq\f(11r－30,12)＝3，得r＝6.∴含x3的項(xiàng)為T6＋1＝Ceq\o\al(6,10)x3＝Ceq\o\al(4,10)x3＝210x3.(2)系數(shù)最大的項(xiàng)為中間項(xiàng)，∴T6＝Ceq\o\al(5,10).18．(本小題滿分16分)有8張卡片分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8，從中取出6張卡片排成3行2列，要求3行中僅有中間行的兩張卡片上的數(shù)字之和為5，則不同的排法共有多少種？解由題意知中間行的兩張卡片的數(shù)字之和是5，因此中間行的兩個(gè)數(shù)字應(yīng)是1，4或2，3.若中間行兩個(gè)數(shù)字是1，4，則有種排法，此時(shí)A、B、E、F的數(shù)字有以下幾類：ABCDEF(1)若不含2,3，共有Aeq\o\al(4,4)＝24(種)排法．(2)若含有2,3中的一個(gè)，則有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(4,4)＝192(種)(Ceq\o\al(1,2)是從2,3中選一個(gè)，Ceq\o\al(3,4)是從5,6,7,8中選3個(gè)，Aeq\o\al(4,4)將選出的4個(gè)數(shù)字排在A、B、E、F處)．(3)含有2,3中的兩個(gè)，此時(shí)2,3不能排在一行上，因此可先從2,3中選1個(gè)，排在A，B中一處，有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,2)種，剩下的一個(gè)排在E、F中的一處有Aeq\o\al(1,2)種，然后從5,6,7,8中選2個(gè)排在剩余的2個(gè)位置有Aeq\o\al(2,4)種．因此共有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,4)＝96(種)排法．所以中間一行數(shù)字是1,4時(shí)共有Aeq\o\al(2,2)(24＋192＋96)＝624(種)．當(dāng)中間一行數(shù)字是2,3時(shí)也有624種．因此滿足要求的排法共有624×2＝1248(種)．19．(本小題滿分16分)設(shè)集合I＝{1,2,3,4,5}．選擇I的兩個(gè)非空子集A和B，求使B中最小的數(shù)大于A中最大的數(shù)的不同選擇方法有多少種？解當(dāng)A中最大的數(shù)為1時(shí)，B可以是{2,3,4,5}的非空子集，有24－1＝15(種)選擇方法；當(dāng)A中最大的數(shù)為2時(shí)，A可以是{2}或{1,2}，B可以是{3,