2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習課后限時集訓(xùn)42空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其表面積體積理

PAGE課后限時集訓(xùn)42空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其表面積、體積建議用時：45分鐘一、選擇題1．下列說法中正確的是()A．斜三棱柱的側(cè)面展開圖一定是平行四邊形B．水平放置的正方形的直觀圖有可能是梯形C．一個直四棱柱的主視圖和左視圖都是矩形，則該直四棱柱就是長方體D．用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分形成的幾何體就是圓臺[答案]D2．一個球的表面積是16π，那么這個球的體積為()A.eq\f(16,3)π B.eq\f(32,3)πC．16π D．24πB[設(shè)球的半徑為R，則S＝4πR2＝16π，解得R＝2，則球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π.]3．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，在《九章算術(shù)》中將底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽馬”．若某“陽馬”的三視圖如圖所示，其中主視圖和左視圖是腰長為1的兩個全等的等腰直角三角形，則該“陽馬”的表面積為()

A．1＋eq\r(2) B．1＋2eq\r(2)C．2＋eq\r(2) D．2＋2eq\r(2)C[由三視圖可得該“陽馬”的底面是邊長為1的正方形，高為1，則表面積為1＋2×eq\f(1,2)×1×1＋2×eq\f(1,2)×eq\r(2)×1＝2＋eq\r(2)，故選C.]4．用長為8，寬為4的矩形做側(cè)面圍成一個圓柱，則圓柱的軸截面的面積為()A.32 B.eq\f(32,π)C.eq\f(16,π) D.eq\f(8,π)B[若8為底面周長，則圓柱的高為4，此時圓柱的底面直徑為eq\f(8,π)，其軸截面的面積為eq\f(32,π)；若4為底面周長，則圓柱的高為8，此時圓柱的底面直徑為eq\f(4,π)，其軸截面的面積為eq\f(32,π).]5．(2019·哈爾濱模擬)將半徑為3，圓心角為eq\f(2π,3)的扇形圍成一個圓錐，則該圓錐的內(nèi)切球的表面積為()A．π B．2πC．3π D．4πB[半徑為3，圓心角為eq\f(2π,3)的扇形弧長為2π，故其圍成的圓錐母線長為3，底面圓周長為2π，得其底面半徑為1，如圖，MB＝1，AB＝3,∴AM＝2eq\r(2)，由相似可得eq\f(ON,MB)＝eq\f(AO,AB)，得ON＝eq\f(\r(2),2)，∴S球＝4π×eq\f(1,2)＝2π.故選B.]二、填空題6.有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形(如圖所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，則這塊菜地的面積為________．2＋eq\f(\r(2),2)[如圖1，在直觀圖中，過點A作AE⊥BC，垂足為E.圖1圖2在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝eq\f(\r(2),2).而四邊形AECD為矩形，AD＝1，∴EC＝AD＝1，∴BC＝BE＋EC＝eq\f(\r(2),2)＋1.由此可還原原圖形如圖2.在原圖形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝eq\f(\r(2),2)＋1，且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，∴這塊菜地的面積S＝eq\f(1,2)(A′D′＋B′C′)·A′B′＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋1＋\f(\r(2),2)))×2＝2＋eq\f(\r(2),2).]7．(2019·全國卷Ⅲ)學(xué)生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為長方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體，其中O為長方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm，3D打印所用原料密度為0.9g/cm3.不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為________g.118．8[由題易得長方體ABCD-A1B1C1D1的體積為6×6×4＝144(cm3四邊形EFGH為平行四邊形，如圖所示，連接GE，HF，易知四邊形EFGH的面積為矩形BCC1B1面積的一半，即eq\f(1,2)×6×4＝12(cm2)，所以V四棱錐O-EFGH＝eq\f(1,3)×3×12＝12(cm3)，所以該模型的體積為144－12＝132(cm3)，所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為132×0.9＝118.8(g)．]8．(2019·中原六校聯(lián)考二模)已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有頂點都在球O的球面上，該三棱柱的五個面所在的平面截球面所得的圓大小相同，若球O的表面積為20π，則三棱柱的體積為______6eq\r(3)[因為三棱柱ABC-A1B1C1的五個面所在的平面截球面所得的圓的大小相同，所以該三棱柱的底面是等邊三角形，設(shè)三棱柱底面邊長為a，高為h，截面圓的半徑為r，球半徑為R,∵球O的面積為20π，4πR2＝20π，解得R＝eq\r(5)，底面和側(cè)面截得的圓的大小相同，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(3))))2,∴a＝eq\r(3)h，①又∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(3))))2＝R2，②由①②得a＝2eq\r(3)，h＝2，三棱柱的體積為V＝eq\f(\r(3),4)×(2eq\r(3))2×2＝6eq\r(3).故選A.]三、解答題9．若圓錐的表面積是15π，側(cè)面展開圖的圓心角是60°，求圓錐的體積．[解]設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線為l，則2πr＝eq\f(1,3)πl(wèi)，得l＝6r.又S錐＝πr2＋πr·6r＝7πr2＝15π，得r＝eq\r(\f(15,7))，圓錐的高h＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(36r2－r2)＝eq\r(35)·r＝eq\r(35)·eq\r(\f(15,7))＝5eq\r(3)，V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×eq\f(15,7)×5eq\r(3)＝eq\f(25\r(3),7)π.10.如圖所示，正四棱臺的高是17cm，兩底面邊長分別為4cm和16cm，求棱臺的側(cè)棱長和斜高．[解]設(shè)棱臺兩底面的中心分別為O′和O，B′C′，BC的中點分別為E′，E，連接O′B′，O′E′，O′O，OE，OB，EE′，則四邊形O′E′EO，OBB′O′均為直角梯形．在正方形ABCD中，BC＝16cm，則OB＝8eq\r(2)cm，在正方形A′B′C′D′中，B′C′＝4cm，則O′B′＝2eq\r(2)cm，O′E在直角梯形O′OBB′中，BB′＝eq\r(OO′2＋OB－O′B′2)＝19(cm)；在直角梯形O′OEE′中，EE′＝eq\r(OO′2＋OE－O′E′2)＝5eq\r(13)(cm)．所以這個棱臺的側(cè)棱長為19cm，斜高為5eq\1．用一個平面去截正方體，則截面圖形有下述四個結(jié)論：①正三角形；②正方形；③正五邊形；④正六邊形其中所有正確結(jié)論的編號是()A．①②③ B.①②④C．②③④ D.①②③④B[用一個平面去截正方體，則截面的情況為：①截面為三角形時，可以是銳角三角形、等腰三角形、等邊三角形，但不可能是鈍角三角形、直角三角形；②截面為四邊形時，可以是梯形(等腰梯形)、平行四邊形、菱形、矩形、正方形，但不可能是直角梯形；③截面為五邊形時，不可能是正五邊形；④截面為六邊形時，可以是正六邊形．]2．已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC＝2，則此棱錐的體積為()A.eq\f(\r(2),6) B.eq\f(\r(3),6)C.eq\f(\r(2),3) D.eq\f(\r(2),2)A[由于三棱錐S-ABC與三棱錐O-ABC底面都是△ABC，O是SC的中點，因此三棱錐S-ABC的高是三棱錐O-ABC高的2倍，所以三棱錐S-ABC的體積也是三棱錐O-ABC體積的2倍．在三棱錐O-ABC中，其棱長都是1，如圖所示，S△ABC＝eq\f(\r(3),4)×AB2＝eq\f(\r(3),4)，高OD＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2)＝eq\f(\r(6),3)，∴VS-ABC＝2VO-ABC＝2×eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(\r(2),6).]3．(2019·全國卷Ⅱ)中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖1)．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有____________個面，其棱長為____________．圖1圖226eq\r(2)－1[依題意知，題中的半正多面體的上、下、左、右、前、后6個面都在正方體的表面上，且該半正多面體的表面由18個正方形，8個正三角形組成，因此題中的半正多面體共有26個面．注意到該半正多面體的俯視圖的輪廓是一個正八邊形，設(shè)題中的半正多面體的棱長為x，則eq\f(\r(2),2)x＋x＋eq\f(\r(2),2)x＝1，解得x＝eq\r(2)－1，故題中的半正多面體的棱長為eq\r(2)－1.]4.如圖，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，F(xiàn)C＝4，AE＝5.求此幾何體的體積．[解]法一：(分割法)如圖，取CM＝AN＝BD，連接DM，MN，DN，用“分割法”把原幾何體分割成一個直三棱柱和一個四棱錐．則V幾何體＝V三棱柱＋V四棱錐．由題知三棱柱ABC-NDM的體積為V1＝eq\f(1,2)×8×6×3＝72.四棱錐D-MNEF的體積為V2＝eq\f(1,3)×S梯形MNEF×DN＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(1＋2)×6×8＝24，則幾何體的體積為V＝V1＋V2＝72＋24＝96.法二：(補形法)用“補形法”把原幾何體補成一個直三棱柱，使AA′＝BB′＝CC′＝8，所以V幾何體＝eq\f(1,2)V三棱柱＝eq\f(1,2)×S△ABC×AA′＝eq\f(1,2)×24×8＝96.1.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90°，點D為側(cè)棱BB1上的動點，當AD＋DC1最小時，三棱錐D-ABC1的體積為________．eq\f(1,3)[將直三棱柱ABC-A1B1C1的兩側(cè)面展開成矩形ACC1A1，如圖，連接AC1，交BB1于D，此時AD＋DC1最小．∵AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90°，點D為側(cè)棱BB1上的動點，∴當AD＋DC1最小時，BD＝1，此時三棱錐D-ABC1的體積為VD-ABC1＝VC1-ABD＝eq\f(1,3)·S△ABD·B1C1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)AB·BD·B1C1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×2＝eq\f(1,3).]2．(2019·吉林長春三模)我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)·商功》中闡述：“斜解立方，得兩塹堵．斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑．陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也．”若稱為“陽馬”的某幾何體的三視圖如圖所示，圖中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，對該幾何體有如下描述：①四個側(cè)面都是直角三角形；②最長的側(cè)棱長為2eq\r(6)；③四個側(cè)面中有三個側(cè)面是全等的直角三角形；④外接球的表面積為24π.其中正確的描述為