工科數(shù)學(xué)分析 課件 8-1 二重積分的概念與性質(zhì)

第八章重積分

第一節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)工科數(shù)學(xué)分析北京理工大學(xué)第二學(xué)期二重積分的概念與性質(zhì)問題的提出二重積分的概念二重積分的存在性及幾何意義二重積分的性質(zhì)小結(jié)重積分引言在初等數(shù)學(xué)中，我們只會(huì)求規(guī)則體的體積，如正方體、長方體、球體、圓柱體、錐體等。清壽山石印章徐三庚刻

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Dimension:2.11"x0.84";56.61而對于一般曲頂柱體、曲底柱體的體積卻沒有辦法，而規(guī)則體的體積公式大多數(shù)是由幾何方法得來的，那么有沒有一種方法可以計(jì)算一般曲頂、曲底柱體的體積，從而給出計(jì)算體積的一個(gè)統(tǒng)一方法？二重積分的學(xué)習(xí)就是為了解決這個(gè)問題。從物理學(xué)的角度出發(fā)，我們常常需要對待解問題做一些簡化，如可以把一個(gè)薄板簡化為一個(gè)二維區(qū)域，但如果薄板各處密度不同，如何計(jì)算薄板的質(zhì)量？有時(shí)需要把一處淺水區(qū)域簡化成平面區(qū)域，但由于水里礦物質(zhì)等物質(zhì)分布不均導(dǎo)致海水密度不同，已知密度函數(shù)如何求海水質(zhì)量？所有這些問題在我們學(xué)習(xí)完二重積分就能解決了。正如我們在學(xué)習(xí)定積分概念時(shí)所強(qiáng)調(diào)的那樣，積分實(shí)質(zhì)上是對連續(xù)函數(shù)求和，是離散函數(shù)求和的極限。回憶一下我們使用定積分求曲邊梯形面積的步驟，首先對積分區(qū)域劃分，然后在每個(gè)小區(qū)間上任取一函數(shù)值與區(qū)間長度相乘，近似這一小段的面積，接著對這些小面積求和，最后使劃分逐漸加密，對上一步得到的和式取極限，極限值就是定積分值?？偠灾牟襟E：分割、近似、求和、取極限。接下來我們所學(xué)的各類積分的定義都遵從這四步驟。不同之處在于積分區(qū)域不同，導(dǎo)致積分元不同，所以各類積分不同之處在于積分元，能區(qū)別開積分元，就能區(qū)別出各類積分，這一點(diǎn)需要大家在接下來的學(xué)習(xí)中慢慢體會(huì)。柱體體積=底面積×高特點(diǎn)：平頂.柱體體積=？特點(diǎn)：曲頂.曲頂柱體１．曲頂柱體的體積一、問題的提出播放

求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、求和、取極限”的方法，如下動(dòng)畫演示．

求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、求和、取極限”的方法，如下動(dòng)畫演示．

求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、求和、取極限”的方法，如下動(dòng)畫演示．

求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、求和、取極限”的方法，如下動(dòng)畫演示．

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求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、求和、取極限”的方法，如下動(dòng)畫演示．

求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、求和、取極限”的方法，如下動(dòng)畫演示．求曲頂柱體的體積方法：分割、近似、求和、取極限步驟如下：用若干個(gè)小平頂柱體體積之和近似表示曲頂柱體的體積，先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，曲頂柱體的體積２．求平面薄片的質(zhì)量將薄片分割成若干小塊，取典型小塊，將其近似看作均勻薄片，所有小塊質(zhì)量之和近似等于薄片總質(zhì)量二、二重積分的概念積分區(qū)域積分和被積函數(shù)積分變量被積表達(dá)式面積元素對二重積分定義的說明：

在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域D，故二重積分可寫為D則面積元素為１、２、三、二重積分的存在性及幾何意義二重積分存在的充分條件二重積分的幾何意義當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是柱體的體積．當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分是柱體的體積的負(fù)值．性質(zhì)１當(dāng)為常數(shù)時(shí)，性質(zhì)２（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）四、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)３對區(qū)域具有可加性性質(zhì)４若為D的面積，性質(zhì)５若在D上特殊地則有性質(zhì)６性質(zhì)７（二重積分中值定理）（二重積分估值不等式）性質(zhì)8性質(zhì)8’解