專題36二項(xiàng)式定理（理科）（教師版）

專題36二項(xiàng)式定理（理科）（核心考點(diǎn)精講精練）1.近幾年真題考點(diǎn)分布概率與統(tǒng)計(jì)近幾年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2022年全國乙（文科），第4題,5分莖葉圖計(jì)算平均數(shù)、中位數(shù)、概率2022年全國乙（文科），第14題,5分計(jì)數(shù)原理、排列、組合與概率2022年全國乙（理科），第10題,5分互斥事件、獨(dú)立事件求概率2022年全國乙（理科），第13題,5分計(jì)數(shù)原理、排列、組合與概率2022年全國乙（理科），第19題,12分2022年全國乙（文科），第19題,12分（1）求平均數(shù)；（2）求相關(guān)系數(shù)（3）估算樣本量2022年全國甲（文科），第17題,12分（1）求概率；（2）獨(dú)立性檢驗(yàn)2022年全國甲（文科），第6題,5分古典概型2022年全國甲（理科），第19題,12分（1）求概率；（2）離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望2022年全國甲（理科），第15題,5分古典概型立體幾何2022年全國甲（理科），第2題,5分2022年全國甲（文科），第2題,5分眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)比較，求極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差2023年全國乙（文科），第9題,5分計(jì)數(shù)原理、排列、組合與概率2023年全國乙（理科），第5題,5分2023年全國乙（文科），第7題,5分幾何概型圓環(huán)面積2023年全國乙（理科），第9題,5分計(jì)數(shù)原理與排列、組合2023年全國乙（理科），第17題,12分2023年全國乙（文科），第17題,12分（1）求樣本平均數(shù)，方差；（2）統(tǒng)計(jì)新定義2023年全國甲（文科），第4題,5分計(jì)數(shù)原理、排列、組合與概率2023年全國甲（理科），第6題,5分條件概率2023年全國甲（理科），第9題,5分計(jì)數(shù)原理與排列、組合2023年全國甲（理科），第19題,12分（1）離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）獨(dú)立性檢驗(yàn)2023年全國甲（文科），第20題,12分（1）求樣本平均數(shù)；（2）獨(dú)立性檢驗(yàn)2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】1.二項(xiàng)式定理描述了兩個(gè)數(shù)之和的整數(shù)次冪的展開式，通項(xiàng)公式為Tr+1=Cnrb(nr)a(r)，其中為從0到的整數(shù)，Cnr為組合數(shù)；2.二項(xiàng)式系數(shù)是二項(xiàng)式定理的核心，反映了組合數(shù)與冪的規(guī)律?？赡軙?huì)測(cè)試二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，例如對(duì)稱性、遞推關(guān)系和組合恒等式等；3.二項(xiàng)式展開式是二項(xiàng)式定理的核心，反映了兩個(gè)冪的和的整數(shù)次冪的結(jié)構(gòu)。可能會(huì)測(cè)試二項(xiàng)式展開式的結(jié)構(gòu)和各項(xiàng)之間的關(guān)系；4.二項(xiàng)式定理的特殊情況和實(shí)例也是命題的熱點(diǎn)。二項(xiàng)式定理在組合數(shù)學(xué)、概率論和微積分等領(lǐng)域的應(yīng)用，以及二項(xiàng)式定理的逆定理等；5.二項(xiàng)式定理的證明和推導(dǎo)方法也是命題的重點(diǎn)。數(shù)學(xué)歸納法、歸納法和組合數(shù)學(xué)等方法的應(yīng)用；【備考策略】1.能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理；2.會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題；【命題預(yù)測(cè)】1.二項(xiàng)式定理的展開式是關(guān)鍵，因?yàn)樗枋隽嗣總€(gè)項(xiàng)的系數(shù)和指數(shù)。展開式的形式和項(xiàng)數(shù)需要考慮二項(xiàng)式的次數(shù)、系數(shù)和指數(shù)的規(guī)律；2.二項(xiàng)式定理的系數(shù)和指數(shù)具有特定的性質(zhì)，對(duì)稱性、遞歸關(guān)系等。這些性質(zhì)可能需要對(duì)二項(xiàng)式的特征進(jìn)行深入分析；3.二項(xiàng)式定理在各種數(shù)學(xué)問題中都有應(yīng)用，組合數(shù)學(xué)、概率論、微積分等。應(yīng)用方面需要對(duì)各種數(shù)學(xué)領(lǐng)域有一定的了解，以及對(duì)二項(xiàng)式定理本身的各種特性的理解；4.二項(xiàng)式定理的證明和推導(dǎo)方法多種多樣，歸納法、數(shù)學(xué)歸納法、組合數(shù)學(xué)等?？赡艿淖C明和推導(dǎo)方法需要對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和二項(xiàng)式定理本身有深入的理解；知識(shí)講解一、二項(xiàng)式定理1.二項(xiàng)式定理:.2.通項(xiàng)公式:Tr+1=

Cnranrbr,它表示第項(xiàng)3.二項(xiàng)式系數(shù):二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為Cn0,Cn1,二、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)1.當(dāng)時(shí),Cnr與Cnn-r的關(guān)系是

2.二項(xiàng)式系數(shù)先增后減,中間項(xiàng)最大.當(dāng)為偶數(shù)時(shí),第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,最大值為

Cnn2;當(dāng)為奇數(shù)時(shí),第項(xiàng)和項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,最大值為

Cnn-12或C三、各二項(xiàng)式系數(shù)和1.展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)和:Cn0+Cn1+Cn2+…+Cn2.偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和,即Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+1.掌握二項(xiàng)展開式的三個(gè)重要特征(1)字母的指數(shù)按降冪排列由到0.(2)字母的指數(shù)按升冪排列由0到.(3)每一項(xiàng)字母的指數(shù)與字母的指數(shù)的和等于.2.關(guān)注三個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)(1)在二項(xiàng)式定理中,通項(xiàng)公式為是展開式的第項(xiàng),不是第項(xiàng).(2)二項(xiàng)式系數(shù)與展開式中項(xiàng)的系數(shù)是兩個(gè)不同的概念,在中,是該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù),該項(xiàng)的系數(shù)還與,有關(guān).(3)二項(xiàng)式系數(shù)的最值與指數(shù)的奇偶性有關(guān).當(dāng)為偶數(shù)時(shí),中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大;當(dāng)為奇數(shù)時(shí),中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,且同時(shí)取得最大值.求形如(a+b)n(n∈N*)的展開式中與特定項(xiàng)相關(guān)的量(常數(shù)項(xiàng)、參數(shù)值、特定項(xiàng)等)的步驟:第一步,利用二項(xiàng)式定理寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式Tk+1=Cnkan第二步,根據(jù)題目中的相關(guān)條件(如常數(shù)項(xiàng)要求指數(shù)為零,有理項(xiàng)要求指數(shù)為整數(shù)),先列出相應(yīng)方程(組)或不等式(組),解出k;第三步,把k代入通項(xiàng)公式中,即可求出Tk+1,有時(shí)還需要先求,再求k,才能求出T1.“賦值法”普遍適用于恒等式,是一種重要的方法,對(duì)形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b∈R)的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和,常用賦值法.2.若,則展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為,奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為,偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為.1.二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的確定方法:當(dāng)為偶數(shù)時(shí),展開式中第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,最大值為;當(dāng)為奇數(shù)時(shí),展開式中第項(xiàng)和第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,最大值為或.2.求二項(xiàng)展開式項(xiàng)的系數(shù)的最大值時(shí),先求系數(shù)為正數(shù)時(shí)項(xiàng)的系數(shù)的最大值,令第(r+1)項(xiàng)的系數(shù)最大,則滿足Tr+1的系數(shù)≥Tr對(duì)于幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開式中的特定項(xiàng)問題,一般都可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律,結(jié)合組合思想求解,但要注意適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分類方法,以免重復(fù)或遺漏.求形如的展開式中與特定項(xiàng)相關(guān)的量的步驟第一步,把三項(xiàng)的和看成是與兩項(xiàng)的和;第二步,根據(jù)二項(xiàng)式定理寫出的展開式的通項(xiàng);第三步,對(duì)特定項(xiàng)的次數(shù)進(jìn)行分析,弄清特定項(xiàng)是由的展開式中的哪些項(xiàng)和相乘得到的;第四步,把相乘后的項(xiàng)合并即可得到所求特定項(xiàng)的相關(guān)量.二項(xiàng)式定理應(yīng)用的題型及解法(1)在證明整除問題或求余數(shù)問題時(shí)要進(jìn)行合理地變形,使被除式(數(shù))展開后的每一項(xiàng)都含有除式的因式.(2)二項(xiàng)式定理的一個(gè)重要用途是做近似計(jì)算:當(dāng)不是很大,比較小時(shí),.考點(diǎn)一、通項(xiàng)公式的應(yīng)用1．求的展開式．【答案】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理展開即可.【詳解】所以的展開式為2．（2023年湖南省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）下列不屬于的展開式的項(xiàng)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】按照二項(xiàng)式定理直接展開判斷即可.【詳解】由二項(xiàng)式定理可知，，故不是展開式的項(xiàng).3．（2023屆江蘇省模擬數(shù)學(xué)試題）已知的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為243，則展開式中常數(shù)項(xiàng)為（）A．60 B．80 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)和求出，再由二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得，則的展開式第項(xiàng)，令，解得，所以.4．（2023屆福建省模擬數(shù)學(xué)試題）在的展開式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為.【答案】【分析】先由二項(xiàng)式系數(shù)最大確定,再由通項(xiàng)公式求含項(xiàng)的系數(shù)即可.【詳解】由只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大可得：.∴通項(xiàng)公式，令，解得.∴展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為.1．求的展開式．【答案】【分析】利用二項(xiàng)式定理展開即可【詳解】根據(jù)二項(xiàng)式定理得2．（2023年江蘇省質(zhì)量調(diào)研（三）數(shù)學(xué)試題）的展開式中常數(shù)項(xiàng)為.【答案】60【分析】根據(jù)題意結(jié)合二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式分析運(yùn)算.【詳解】∵展開式第項(xiàng)，∴當(dāng)時(shí)，，故展開式中常數(shù)項(xiàng)為.3．從的展開式各項(xiàng)的系數(shù)中任取兩個(gè)，其和為奇數(shù)的概率是.【答案】【分析】首先寫出二項(xiàng)式的展開式，即可得到各項(xiàng)系數(shù)有4個(gè)奇數(shù)、2個(gè)偶數(shù)，再根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算可得；【詳解】解：展開式的通項(xiàng)為，所以，即的展開式各項(xiàng)的系數(shù)中，有4個(gè)奇數(shù)、2個(gè)偶數(shù)，現(xiàn)從中任取兩個(gè)一共有種取法，其和為奇數(shù)的有種結(jié)果；故其和為奇數(shù)的概率.考點(diǎn)二、二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)1．若，則（

）A．448 B．112 C．112 D．448【答案】C【分析】，然后根據(jù)二項(xiàng)式展開式項(xiàng)的系數(shù)計(jì)算即可.【詳解】，.2．（2022年北京市高考數(shù)學(xué)試題）若，則（

）A．40 B．41 C． D．【答案】B【分析】利用賦值法可求的值.【詳解】令，則，令，則，故.3．的展開式中的系數(shù)是（

）A．60 B．80 C．84 D．120【答案】D【解析】的展開式中的系數(shù)是，借助組合公式：，逐一計(jì)算即可.【詳解】的展開式中的系數(shù)是因?yàn)榍?，所以，所以，以此類推?【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵點(diǎn)在于使用組合公式：，以達(dá)到簡化運(yùn)算的作用.4．若（），則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)賦值法分別令、，然后可得.【詳解】令，則，再令，則，∴.5．若，則．【答案】243/【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式可得，令，即可得解.【詳解】解：的展開式得通項(xiàng)為，則，令，則，即.1．（2023年湖南省模擬數(shù)學(xué)試題）已知，則（

）A． B．2 C．4 D．12【答案】C【分析】令，直接根據(jù)二項(xiàng)式定理求解即可.【詳解】令，則，故，中得系數(shù)為，中得系數(shù)為，所以.2．若，且，則實(shí)數(shù)的值可以為（

）A．1或 B． C．或3 D．【答案】A【分析】利用賦值法，分別令，和，，，再根據(jù)，求得的值．【詳解】在中，令可得，即，令，可得，∵，∴，∴，整理得，解得，或．3．若，則=（

）A．244 B．1 C． D．【答案】D【分析】分別令代入已知關(guān)系式，再兩式求和即可求解.【詳解】根據(jù)，令時(shí)，整理得：令x=2時(shí)，整理得:由①+②得，，所以.4．已知，若的展開式的第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則=（

）A．32 B．64 C．128 D．256【答案】D【分析】由題可得，再利用賦值法即得.【詳解】由題意可得，∴．令，得，∴．5．若，則的值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】分別把與代入題干所給的式子中，再求出的系數(shù)，即可得到答案.【詳解】令，得；令，得；展開式中的系數(shù)為2，故.所以.考點(diǎn)三、多項(xiàng)展開式問題1．的展開式中，的系數(shù)（

）A． B．5 C．35 D．50【答案】A【分析】利用展開式的通項(xiàng)公式即求.【詳解】的展開式第項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴，∴的系數(shù)為.2．（2023屆廣東省模擬數(shù)學(xué)試題）已知的展開式中的系數(shù)是20，則實(shí)數(shù).【答案】2【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式可得，則可得展開式中的系數(shù)，列方程即可得實(shí)數(shù)的值.【詳解】解：因?yàn)閯t展開式中的系數(shù)是，求得.3．（2023屆江蘇省模擬數(shù)學(xué)試題）展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為．【答案】－60【分析】根據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】，設(shè)該二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為，因?yàn)榈拇螖?shù)為，所以令，二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為，令，所以項(xiàng)的系數(shù)為.1．的展開式中的系數(shù)為（

）A．60 B．24 C． D．【答案】B【分析】首先寫出展開式通項(xiàng)，再考慮通項(xiàng)與相乘得到含的項(xiàng)，即可得系數(shù).【詳解】由的展開式通項(xiàng)為，所以的展開式項(xiàng)為，故系數(shù)為.2．的展開式中的系數(shù)是12，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】利用二項(xiàng)式定理將式子展開即可求解.【詳解】利用二項(xiàng)式定理展開得則的系數(shù)為.3．的展開式中，的系數(shù)為（

）A．80 B．40 C． D．【答案】D【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求解.【詳解】的展開式中含的項(xiàng)為，的展開式中含的項(xiàng)為，所以的展開式中，的系數(shù)為.考點(diǎn)四、整除或余數(shù)問題1．若是9的倍數(shù)，則自然數(shù)n為（

）A．4的倍數(shù) B．3的倍數(shù) C．奇數(shù) D．偶數(shù)【答案】C【分析】將化簡為，由此可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，又?的倍數(shù)，∴為偶數(shù)，即為奇數(shù)．2．設(shè)，且，若能被13整除，則a等于（

）A．0 B．1 C．11 D．12【答案】B【分析】由且可以被13整除，即其展開式中不含的項(xiàng)為余項(xiàng)，該余項(xiàng)與a的和能被13整除，即可得參數(shù)值.【詳解】由，展開式通項(xiàng)為，又可以被13整除，所以展開式中的項(xiàng)均可被13整除，余項(xiàng)為，要使能被13整除，且，則.3．已知，則除以10所得的余數(shù)是（

）A．2 B．3 C．6 D．8【答案】D【分析】依題意，再根據(jù)的展開式即可判斷；【詳解】解：，所以除以10的余數(shù)為8．4．（2023屆遼寧省教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)（一）數(shù)學(xué)試題）若，則被5除的余數(shù)是．【答案】4【分析】分別取，兩式相加可求得，進(jìn)而根據(jù)二項(xiàng)式定理展開，判斷被5除的余數(shù).【詳解】由題知，時(shí)，①，時(shí)，②，由①＋②得，，故，所以被5除的余數(shù)是4.5．被除所得的余數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】，而的展開式中除最后一項(xiàng)外，其它項(xiàng)均能被8整除，所以將其最后一項(xiàng)加上10，再除以8可得結(jié)果【詳解】，其中所有含有的項(xiàng)都能被整除，只剩下，被除所得的余數(shù)是，6．（2023屆浙江省模擬數(shù)學(xué)試題）除以100的余數(shù)是．【答案】1【分析】將化為，利用二項(xiàng)定理將其展開，即可求得答案.【詳解】，,由于是100的倍數(shù)，故除以100的余數(shù)等于.1．中國南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中，對(duì)同余除法有較深的研究．設(shè)a，b，為整數(shù)，若a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱a和b對(duì)模m同余，記為．若，，則b的值可以是（

）A．2022 B．2021 C．2020 D．2019【答案】B【分析】利用二項(xiàng)式定理可得，再利用二項(xiàng)式定理展開即可得解.【詳解】因?yàn)?四個(gè)選項(xiàng)中，只有時(shí)，除以10余數(shù)是1．2．設(shè)，且，若能被13整除，則（

）A．0 B．1 C．11 D．12【答案】D【分析】轉(zhuǎn)化為，利用二項(xiàng)式定理求解.【詳解】因?yàn)槟鼙?3整除，所以能被13整除因?yàn)?，且，所以?．除以78的余數(shù)是（

）A． B．1 C． D．87【答案】B【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理將已知合并得原式等于，再結(jié)合展開整理即可得答案.【詳解】因?yàn)樗裕说谝豁?xiàng)之外，其余每一項(xiàng)都含有的倍數(shù)，所以原式除以的余數(shù)為1.4．（2023年上海市模擬數(shù)學(xué)試題）被9除所得的余數(shù)為（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】D【分析】由題意可得：，結(jié)合二項(xiàng)展開式分析求解.【詳解】由題意可得：，可知的展開式為，當(dāng)時(shí)，均可被9整除；當(dāng)時(shí)，被9除所得的余數(shù)為7；綜上所述：被9除所得的余數(shù)為7.5．（2023年山西省模擬數(shù)學(xué)試題）除以8，所得余數(shù)為.【答案】7【分析】由，運(yùn)用二項(xiàng)式定理，結(jié)合整除的性質(zhì)，即可求解.【詳解】依題意，因?yàn)?6能被8整除，所以除以8，所得的余數(shù)為：.考點(diǎn)五、二項(xiàng)式的應(yīng)用1．在的展開式中，下列結(jié)論正確的是（

）A．第6項(xiàng)和第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等 B．奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為256C．常數(shù)項(xiàng)為86 D．有理項(xiàng)有2項(xiàng)【答案】B【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的特征，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】的展開式中共有10項(xiàng)，由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得展開式中的第5項(xiàng)和第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，故A錯(cuò)誤；由已知可得二項(xiàng)式系數(shù)之和為，且展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和相等，所以奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，故B正確；展開式的通項(xiàng)為，令，解得．故常數(shù)項(xiàng)為，故C不正確；有理項(xiàng)中x的指數(shù)為整數(shù)，故，2，4，6，8，故有理項(xiàng)有5項(xiàng)，故D錯(cuò)誤．2．關(guān)于的展開式，下列判斷錯(cuò)誤的是(

)A．展開式共有8項(xiàng) B．展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和為128C．展開式的第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為49 D．展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和為【答案】C【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】展開式共有項(xiàng)，故A正確．展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和為，故B正確．展開式的第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，故C錯(cuò)誤．展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和為，故D正確．3．某公司2021年實(shí)現(xiàn)利潤100萬元，計(jì)劃在以后5年中每年比一年利潤增長8%，則2026年的利潤是萬元.（結(jié)果精確到1萬元）【答案】147【分析】根據(jù)題意得出含指數(shù)的利潤表達(dá)式，利用二項(xiàng)式定理求近似值即可，【詳解】由題意可知，(萬元)，即2026年的利潤大約是147萬元.4．（2023屆東北三省聯(lián)合模擬考試數(shù)學(xué)試題）楊輝是我國古代數(shù)學(xué)史上一位著述豐富的數(shù)學(xué)家，著有《詳解九章算法》《日用算法》和《楊輝算法》.楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早500年左右，由此可見我國古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的.楊輝三角本身包含了很多有趣的性質(zhì)，利用這些性質(zhì)，可以解決很多數(shù)學(xué)問題，如開方、數(shù)列等.我們借助楊輝三角可以得到以下兩個(gè)數(shù)列的和.；若楊輝三角中第三斜行的數(shù)：1，3，6，10，15，…構(gòu)成數(shù)列，則關(guān)于數(shù)列敘述正確的是（

）A． B．C．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為 D．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為【答案】A【分析】確定，計(jì)算，得到A正確B錯(cuò)誤，取特殊值排除CD得到答案.【詳解】.對(duì)選項(xiàng)A：，正確；對(duì)選項(xiàng)B：，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，，錯(cuò)誤；1．已知二項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和是，則下列說法正確的有（

）A．展開式共有7項(xiàng) B．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)C．所有二項(xiàng)式系數(shù)和為128 D．展開式的有理項(xiàng)共有3項(xiàng)【答案】C【分析】運(yùn)用代入法，結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)和公式、通項(xiàng)公式以及二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)槎?xiàng)式的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和是，所以令可得：.A：因?yàn)?，所以展開式共有項(xiàng)，因此本選項(xiàng)說法不正確；B：因?yàn)椋远?xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)和第項(xiàng)，因此本選項(xiàng)說法不正確；C：因?yàn)椋运卸?xiàng)式系數(shù)和為，所以本選項(xiàng)說法正確；D：由B可知：，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)是有理項(xiàng)，故本選項(xiàng)說法不正.2．（2023屆山東省適應(yīng)性檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）在的展開式中,下列說法正確的是(

)A．常數(shù)項(xiàng)是 B．第四項(xiàng)和第六項(xiàng)的系數(shù)相等C．各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為 D．各項(xiàng)的系數(shù)之和為【答案】C【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理,的通項(xiàng)公式為,對(duì)于A,令進(jìn)行判斷;對(duì)于B,令和計(jì)算判斷即可;對(duì)于C,因?yàn)?所以各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為可進(jìn)行判斷;對(duì)于D,令即可進(jìn)行判斷.【詳解】根據(jù)二項(xiàng)式定理,的通項(xiàng)公式為,對(duì)于A,常數(shù)項(xiàng)為,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,第四項(xiàng)的系數(shù)為,第六項(xiàng)的系數(shù)為,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,因?yàn)?所以各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為,故C正確;對(duì)于D,令,各項(xiàng)的系數(shù)之和為,故D錯(cuò)誤.3．（2023年山東省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，它揭示了二項(xiàng)式展開式中的組合數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示，則下列關(guān)于“楊輝三角”的結(jié)論正確的是（

）楊輝三角A．在第10行中第5個(gè)數(shù)最大B．第2023行中第1011個(gè)數(shù)和第1012個(gè)數(shù)相等C．D．第6行的第7個(gè)數(shù)、第7行的第7個(gè)數(shù)及第8行的第7個(gè)數(shù)之和等于9行的第8個(gè)數(shù)【答案】D【分析】A、B選項(xiàng)由二項(xiàng)式系數(shù)的增減性即可判斷；C選項(xiàng)，由及即可判斷；D選項(xiàng)，由及即可判斷.【詳解】A選項(xiàng)，第10行，10是偶數(shù)，所以在時(shí)取得最大值，也就是在第10行中第6個(gè)數(shù)最大，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，第2023行是奇數(shù)，中間兩項(xiàng)最大，即和，也就是第2023行中第1012個(gè)數(shù)和第1013個(gè)數(shù)相等，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由可得，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，故選項(xiàng)D正確.【基礎(chǔ)過關(guān)】1．已知，若，則（

）A．992 B．－32 C．－33 D．496【答案】D【分析】先由求得，再通過賦值法令和求得即可.【詳解】由題意知：，則，解得；令，則，令，則，兩式相加得，則.2．已知，若的展開式的第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則=（

）A．32 B．64 C．128 D．256【答案】D【分析】由題可得，再利用賦值法即得.【詳解】由題意可得，∴．令，得，∴．3．（2023屆江蘇省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知，則的值為（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】根據(jù)，結(jié)合二項(xiàng)式定理求解即可.【詳解】因?yàn)?，展開式第項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，即.4．的展開式中的系數(shù)為（

）A．5 B．10 C．15 D．20【答案】C【分析】先求出項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，進(jìn)而可以求出的展開式中含的項(xiàng)，由此即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槎?xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，所以的展開式中含的項(xiàng)為，所以的系數(shù)為.5．已知2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理將多項(xiàng)式進(jìn)行展開，利用整除的性質(zhì)即可得到結(jié)論.【詳解】，∵能被11整除，∴要使能被11整除，則能被11整除，∵，∴，則，解得.6．的展開式中，下列結(jié)論正確的是.①．展開式共6項(xiàng) ②．常數(shù)項(xiàng)為64③．所有項(xiàng)的系數(shù)之和為729 ④．所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64【答案】③④【分析】利用二項(xiàng)展開式的特點(diǎn)判斷①；求出指定項(xiàng)判斷②；利用賦值法求出展開式系數(shù)和判斷③；利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)判斷④作答.【詳解】展開式的總項(xiàng)數(shù)是7，①不正確；展開式的常數(shù)項(xiàng)為，②不正確；取得展開式的所有項(xiàng)的系數(shù)之和為，③正確；由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)得展開式的所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，④正確.故選：③④7．二項(xiàng)式，則該展開式中的常數(shù)項(xiàng)是.【答案】180【解析】求得二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，令，即可求解展開式的常數(shù)項(xiàng)，得到答案.【詳解】由題意，二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，令，可得，即展開式的常數(shù)項(xiàng)是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定量的應(yīng)用，其中解答中熟記二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8．若二項(xiàng)武的展開式中含有非零常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)n的最小值是．【答案】7【分析】寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，令的指數(shù)為0，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】的展開式的通項(xiàng)，令，得，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，有最小值為7.9．在二項(xiàng)式的展開式中，若前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，則實(shí)數(shù).【答案】或【分析】結(jié)合二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式和等差中項(xiàng)的性質(zhì)列方程，化簡求得.【詳解】二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，所以，即，解得或.10．（2023屆廣東省調(diào)研數(shù)學(xué)試題）的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字做答）．【答案】－10【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求解.【詳解】解：的展開式的通項(xiàng)公式為，令，則的展開式中的系數(shù)為.11．若，則的值.【答案】【分析】根據(jù)賦值法分別令、，然后可得.【詳解】令，得，令，得，所以12．（2023屆湖北省調(diào)研數(shù)學(xué)試題）的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為．【答案】【分析】利用二項(xiàng)式定理即可求解.【詳解】的通項(xiàng)公式為，所以的展開式中含項(xiàng)為，所以展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為．13．的展開式的常數(shù)項(xiàng)是．【答案】70【分析】利用通項(xiàng)公式求解，常數(shù)項(xiàng)由三種情況合并而成，分別求解即可.【詳解】的通項(xiàng)公式為；當(dāng)時(shí)，中的常數(shù)項(xiàng)為；當(dāng)時(shí)，中的常數(shù)項(xiàng)為；當(dāng)時(shí)，；所以的展開式的常數(shù)項(xiàng)為；14．組合數(shù)被9除的余數(shù)是．【答案】8【分析】先求出，再利用二項(xiàng)式定理得到，求出組合數(shù)被除的余數(shù)是.【詳解】∵，∴，其中；∴該組合數(shù)被除的余數(shù)是8．15．設(shè)，則除以9所得的余數(shù)為．【答案】8【分析】根據(jù)已知條件將a寫為，即，展開后觀察式子即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，，所以除?所得的余數(shù)為8．16．在的展開式中，只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為．【答案】【分析】首先根據(jù)題意，可得，進(jìn)而可得其二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，令x的指數(shù)為3，可得r的值，最后將r的值代入通項(xiàng)可得其展開式中的項(xiàng)，即可得答案．【詳解】由題知，則，令，得，所以展開式中的系數(shù)為.17．（2023屆湖南省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知的展開式中第3項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.【答案】【分析】求出展開式有幾項(xiàng)，并寫出的展開式的通項(xiàng)，即可得到展開式中的常數(shù)項(xiàng).【詳解】由題意，在中，展開式中第3項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，∴，解得：，因此的展開式的通項(xiàng)為：，故的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.【能力提升】1．（2023屆浙江省原創(chuàng)預(yù)測(cè)卷一（全國1卷））若二項(xiàng)式的展開式中只有第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，若展開式的有理項(xiàng)中第項(xiàng)的系數(shù)最大，則（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】根據(jù)條件可得.寫出展開式的通項(xiàng)，則當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，該項(xiàng)為有理項(xiàng)，求得所有的有理項(xiàng)的系數(shù)，可解出的值.【詳解】由已知可得，.根據(jù)二項(xiàng)式定理，知展開式的通項(xiàng)為，顯然當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，該項(xiàng)為有理項(xiàng)，時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，.經(jīng)比較可得，，即時(shí)系數(shù)最大，即展開式的有理項(xiàng)中第5項(xiàng)的系數(shù)最大．2．已知的展開式共有13項(xiàng)，則下列說法中正確的有.①．所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為 ②．所有項(xiàng)的系數(shù)和為③．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第6項(xiàng)或第7項(xiàng) ④．有理項(xiàng)共5項(xiàng)【答案】②④【分析】根據(jù)展開式的通向公式以及二項(xiàng)式系數(shù)的的性質(zhì)求解判斷.【詳解】因?yàn)?，所以，所有奇?shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，故①錯(cuò)誤，令，得所有項(xiàng)的系數(shù)和為，故②正確，由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可知二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第7項(xiàng)，故③錯(cuò)誤，因?yàn)檎归_式通項(xiàng)為，當(dāng)為整數(shù)時(shí)，，3，6，9，12，共有5項(xiàng)，故④正確．故選：②④．3．已知的展開式中第5項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)數(shù)系數(shù)相等，且展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為1024，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為256B．展開式中第6項(xiàng)的系數(shù)最大C．展開式中存在常數(shù)項(xiàng)D．展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為45【答案】A【解析】由二項(xiàng)式的展開式中第5項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)數(shù)系數(shù)相等可知,由展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為1024可得,則二項(xiàng)式為,易得該二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)相同,利用二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱性判斷A,B；根據(jù)通項(xiàng)判斷C,D即可.【詳解】由二項(xiàng)式的展開式中第5項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)數(shù)系數(shù)相等可知,又展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為1024,即當(dāng)時(shí),,所以,所以二項(xiàng)式為,則二項(xiàng)式系數(shù)和為,則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為,故A錯(cuò)誤；由可知展開式共有11項(xiàng),中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,即第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,因?yàn)榕c的系數(shù)均為1,則該二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)相同,所以第6項(xiàng)的系數(shù)最大,故B正確；若展開式中存在常數(shù)項(xiàng),由通項(xiàng)可得,解得,故C正確；由通項(xiàng)可得,解得,所以系數(shù)為,故D正確,【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式的定理的應(yīng)用,考查系數(shù)最大值的項(xiàng),考查求指定項(xiàng)系數(shù),考查運(yùn)算能力.4．（2023屆湖南省模擬數(shù)學(xué)試題）若，則被8整除的余數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】根據(jù)題意，給自變量賦值，取和，兩個(gè)式子相減，得到的值，將構(gòu)造成一個(gè)新的二項(xiàng)式，根據(jù)二項(xiàng)展開式可以看出被8整除的結(jié)果，得到余數(shù)．【詳解】在已知等式中，取得，取得，兩式相減得，即，因?yàn)橐驗(yàn)槟鼙?整除，所以被8整除的余數(shù)為5，即被8整除的余數(shù)為5.5．（2023屆廣東省模擬數(shù)學(xué)試題）已知，的展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，寫出n的一個(gè)值為.【答案】3（答案不唯一）【分析】在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中,令的冪指數(shù)等于0,求出與的關(guān)系,可得的值.【詳解】二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，因?yàn)槎?xiàng)式的展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，所以有解，即，可得n的一個(gè)值為3.故答案為：3（答案不唯一）6．（2023屆湘豫名校聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題）若的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，則展開式中的系數(shù)為.【答案】【分析】令求得，寫出的展開式的通頂公式分別求出它的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)，再與的系數(shù)相結(jié)合即可得展開式中的系數(shù).【詳解】因?yàn)榈恼归_式中各項(xiàng)系數(shù)之和為,令,得,所以6.因?yàn)檎归_式的通頂公式為,令,得;令,得,所以展開式中的系數(shù)為.7．若n是正整數(shù)，則除以9的余數(shù)是.【答案】0或7【解析】根據(jù)二項(xiàng)式定理可知，，又，分n為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況討論余數(shù)即可.【詳解】根據(jù)二項(xiàng)式定理可知，，又所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，除以9的余數(shù)為0；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，除以9的余數(shù)為7.故答案為：0或7【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查二項(xiàng)式定理的整除問題，整除問題和求近似值是二項(xiàng)式定理中兩類常見的應(yīng)用問題，做題方法：（1）整除問題中要關(guān)注展開式的最后幾項(xiàng)，而求近似值則應(yīng)關(guān)注展開式的前幾項(xiàng)．（2）二項(xiàng)式定理的應(yīng)用基本思路是正用或逆用二項(xiàng)式定理，注意選擇合適的形式．8．已知，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件結(jié)合組合數(shù)計(jì)算公式變形和式的通項(xiàng)，再借助二項(xiàng)式性質(zhì)即可得解.【詳解】依題意，，當(dāng)時(shí)，，于是得.9．下列關(guān)于多項(xiàng)式的展開式的結(jié)論中，正確的是（）A．各項(xiàng)系數(shù)之和為1 B．各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和為C．不存在項(xiàng) D．常數(shù)項(xiàng)為【答案】D【分析】賦值法判斷A、B；根據(jù)已知多項(xiàng)式，結(jié)合二項(xiàng)式定理判斷C、D的正誤.【詳解】令得，故A錯(cuò)誤﹔取多項(xiàng)式，將代入多項(xiàng)式可得，故B錯(cuò)誤﹔由題設(shè)，，若要得到含項(xiàng)，只需個(gè)因式中個(gè)取，剩下個(gè)取，故C錯(cuò)誤;個(gè)因式中個(gè)取，個(gè)取，剩下個(gè)取，得5個(gè)因式中個(gè)取個(gè)取，剩下個(gè)取，得，5個(gè)因式中均取，得.故常數(shù)項(xiàng)為，D正確.10．已知的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為4，則的系數(shù)為（

）A．16 B．8 C．0 D．【答案】D【分析】根據(jù)系數(shù)和為4，令x=1代回原式，可求得n值，利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，分析計(jì)算，即可得答案.【詳解】因?yàn)楦黜?xiàng)系數(shù)和為4，所以令x=1，代入可得，解得，所以原式為，又展開式的通項(xiàng)公式為，令k=3，則，所以可得一個(gè)的系數(shù)為，令k=0，則，又展開式的通項(xiàng)公式為，令，，所以可得一個(gè)的系數(shù)為，令，，所以可得一個(gè)的系數(shù)為，令k=1，，所以可得一個(gè)的系數(shù)為，綜上：的系數(shù)為.【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是分析題意，要求的系數(shù)，則展開式中，需要出現(xiàn)、和的項(xiàng)，求得這些項(xiàng)的系數(shù)，再與相乘，可求得的系數(shù)，考查分析理解，計(jì)算求值的能力，屬難題.11．（2023屆湖南省模擬數(shù)學(xué)試題）“楊輝三角”是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現(xiàn).如圖所示，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都是1外，其余每個(gè)數(shù)都是其“肩上”的兩個(gè)數(shù)之和，例如第4行的6為第3行中兩個(gè)3的和.則下列命題中正確的是①．②．在第2022行中第1011個(gè)數(shù)最大③．記“楊輝三角”第行的第i個(gè)數(shù)為，則④．第34行中第15個(gè)數(shù)與第16個(gè)數(shù)之比為【答案】①③【分析】利用二項(xiàng)式定理，結(jié)合組合數(shù)運(yùn)算性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】①：所以①正確；②：第2022行是二項(xiàng)式的展開式的系數(shù)，故第2022行中第個(gè)數(shù)最大，所以②不正確；③：“楊輝三角”第行是二項(xiàng)式的展開式系數(shù)，所以，，因此③正確；④：第34行是二項(xiàng)式的展開式系數(shù)，所以第15個(gè)數(shù)與第16個(gè)數(shù)之比為，因此④不正確，故選：①③【真題感知】1．（2023年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為．【答案】【分析】由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式寫出其通項(xiàng)公式，令確定的值，然后計(jì)算項(xiàng)的系數(shù)即可.【詳解】展開式的通項(xiàng)公式，令可得，，則項(xiàng)的系數(shù)為.2．（2021年天津高考數(shù)學(xué)試題）在的展開式中，的系數(shù)是．【答案】160【分析】求出二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)，令的指數(shù)為6即可求出.【詳解】的展開式的通項(xiàng)為，令，解得，所以的系數(shù)是.3．（2022年全國新高考I卷數(shù)學(xué)試題）的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．【答案】28【分析】可化為，結(jié)合二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求解.【詳解】因?yàn)?，所以的展開式中含的項(xiàng)為，的展開式中的系數(shù)為284．（2021年浙江省高考數(shù)學(xué)