湘教版高中數(shù)學選擇性必修第一冊第1章數(shù)列1-3-3等比數(shù)列的前n項和課件

1.等比數(shù)列前n項和公式2.在等比數(shù)列{an}中,對于a1,an,n,q,Sn這五個量,已知其中三個量就可利用通項公式

和前n項和公式求出另外兩個量.已知量首項、公比與項數(shù)首項、末項與公比求和公式Sn=

Sn=

1.3.3等比數(shù)列的前n項和1|

等比數(shù)列的前n項和1.當公比q>0且q≠1時,設(shè)A=

,等比數(shù)列的前n項和公式是Sn=A(qn-1),即Sn是關(guān)于n的指數(shù)型函數(shù).2.當公比q=1時,因為a1≠0,所以Sn=na1,即Sn是關(guān)于n的正比例函數(shù).2

|

等比數(shù)列前n項和的函數(shù)特征已知等比數(shù)列{an}的公比為q,前n項和為Sn,則Sn有如下性質(zhì):1.Sn+m=Sm+qmSn=Sn+qnSm,m,n∈N+.2.當k為奇數(shù)時,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…是等比數(shù)列;當q≠-1且k為偶數(shù)時,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…

是等比數(shù)列.3.設(shè)S偶與S奇分別是偶數(shù)項的和與奇數(shù)項的和.若項數(shù)為2n,則

=q;若項數(shù)為2n+1,則

=q.4.當q=1時,

=

;當q≠±1時,

=

.3

|

等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)1.等比數(shù)列的前n項和可以為0嗎?可以.比如1,-1,1,-1,1,-1的和.2.數(shù)列{an}的前n項和為Sn=an+b(a≠0,a≠1),則數(shù)列{an}一定是等比數(shù)列嗎?不一定.當q≠1時,等比數(shù)列的前n項和為Sn=

=

-

qn.可以發(fā)現(xiàn)當b=

-1時,數(shù)列{an}才為等比數(shù)列.知識辨析1.當條件與結(jié)論間的聯(lián)系不明顯時,可以用a1與q表示an與Sn,從而列方程組求解.2.求等比數(shù)列的前n項和時,若公比q未知,則要分q=1和q≠1兩種情況,然后根據(jù)前

n項和公式的特點選擇合適的公式求解.1等比數(shù)列前n項和公式及其應(yīng)用

典例設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和,已知S4=1,S8=17,求Sn.思路點撥思路一:設(shè)Sn=Aqn-A(A≠0)

由S4=1,S8=17,求出A,q

求出Sn.思路二:將S4=1,S8=17代入Sn=

中,求出a1,q

求出Sn.解析

解法一:設(shè)數(shù)列{an}的公比為q.由S4=1,S8=17,知q≠±1,故設(shè)Sn=Aqn-A(A≠0),∴

兩式相除,化簡得q4=16,∴q=±2.當q=2時,A=

,Sn=

(2n-1);當q=-2時,A=

,Sn=

[(-2)n-1].解法二:設(shè)數(shù)列{an}的首項為a1,公比為q,由S4=1,S8=17,知q≠±1,∴

兩式相除并化簡,得q4+1=17,即q4=16,∴q=±2.當q=2時,a1=

,Sn=

=

(2n-1);當q=-2時,a1=-

,Sn=

=

[(-2)n-1].1.恰當使用等比數(shù)列前n項和的相關(guān)性質(zhì)可以避繁就簡,不僅可以使運算簡便,還

可以避免對公比q的討論.解題時把握好等比數(shù)列前n項和性質(zhì)的使用條件,并結(jié)

合題設(shè)條件尋找使用性質(zhì)的切入點.2.利用等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)答題技巧(1)解決等比數(shù)列中高次方程問題時,為達到降冪的目的,在解方程組時經(jīng)常利用

兩式相除,以達到整體消元的目的.(2)在遇到奇數(shù)項和與偶數(shù)項和時,如果總項數(shù)為2n,要優(yōu)先考慮利用S偶=S奇·q,求公

比q.2等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)及其應(yīng)用

典例

(1)已知一個等比數(shù)列的首項為1,項數(shù)是偶數(shù),其奇數(shù)項之和為85,偶數(shù)項之和為170,則這個數(shù)列的項數(shù)為

(

)A.2

B.4

C.8

D.16(2)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若Sn=2,S3n=14,則S4n等于

(

)A.80B.30C.26D.16思路點撥

(1)利用

=q直接求解.(2)思路一:由Sn,S3n求出a1,q

求出S4n.思路二:當q≠-1時,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n成等比數(shù)列

求出S4n.思路三:易知q≠1,故可由Sn=

推出Sn,S3n,S4n之間的關(guān)系

求出S4n.思路四:令n=1,由S1=2,S3=14,求出q

求出S4n.CB解析

(1)設(shè)這個等比數(shù)列為{an},其項數(shù)為2k(k∈N+),公比為q,則其奇數(shù)項之和S奇=a1+a3+…+a2k-1=85,偶數(shù)項之和S偶=a2+a4+…+a2k=q(a1+a3+…+a2k-1)=qS奇=170,∴q=

=

=2,∴等比數(shù)列{an}的所有項之和S2k=

=22k-1=170+85=255,∴22k=256,解得k=4,∴這個等比數(shù)列的項數(shù)為8.故選C.(2)解法一:設(shè)等比數(shù)列{an}的首項為a1,公比為q,∵S3n=14≠3×2=3Sn,∴q≠1.由已知得,Sn=

=2①,S3n=

=14②,

,得q2n+qn-6=0,即(qn+3)(qn-2)=0.∵數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),∴qn+3>0,∴qn-2=0,即q=

.∴a1=

=2(

-1),∴S4n=

=

=2×15=30.解法二:易知q≠-1,∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n成等比數(shù)列,又Sn=2,S3n=14,∴(S2n-2)2=2×(14-S2n),即

-2S2n-24=0,解得S2n=6或S2n=-4,∵an>0,∴S2n=6.又∵

=

=2,∴S4n-S3n=Sn·23=16,∴S4n=S3n+16=30.解法三:設(shè)等比數(shù)列{an}的首項為a1,公比為q,由解法一知,q≠1,∴S4n=

=

=

+qn·

=Sn+qnS3n.這個式子表示了S4n,Sn,S3n之間的關(guān)系,要求S4n,只需求出qn即可.∵S3n=(a1+a2+…+an)+(an+1+an+2+…+a2n)+(a2n+1+a2n+2+…+a3n)=Sn+qnSn+q2nSn=Sn(1+qn+q

2n),∴

=1+qn+q2n=7,∴q2n+qn-6=0,解得qn=2或qn=-3.∵an>0,∴qn=2,∴S4n=Sn+qnS3n=2+2×14=30.解法四:設(shè)等比數(shù)列{an}的首項為a1,公比為q,注意到四個選項都是具體的數(shù)值,∴S4n是一個與n無關(guān)的定值,不妨令n=1,由解法一知,q≠1,則a1=S1=2,S3=

=14,即q2+q-6=0,解得q=2或q=-3.∵an>0,∴q=2,∴S4=

=2×15=30.1.分組求和法分組求和法適用于解決數(shù)列通項公式可以寫成cn=an+bn的形式的數(shù)列求和問

題,其中數(shù)列{an}與{bn}是等差數(shù)列或等比數(shù)列或可以直接求和的數(shù)列.其基本的

解題步驟為:(1)準確拆分,根據(jù)通項公式的特征,將其分解為可以直接求和的一些數(shù)列的和.(2)分組求和,分別求出各個數(shù)列的和.(3)得出結(jié)論,對拆分后每個數(shù)列的和進行組合,解決原數(shù)列的求和問題.2.錯位相減法利用等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)方法,一般可解決形如一個等差數(shù)列和一個等

比數(shù)列對應(yīng)項相乘所得數(shù)列的求和問題.這種方法主要用于求數(shù)列{an·bn}的前n

項和,其中{an},{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.3與等比數(shù)列有關(guān)的數(shù)列求和應(yīng)用錯位相減法的一般步驟:(1)兩邊同乘公比q,寫出Sn與qSn的表達式;(2)對

乘公比前后的兩個式子進行錯位相減,注意公比q≠1這一前提,如果不能確定公

比q是不是1,應(yīng)分兩種情況討論.

典例已知數(shù)列{an}滿足an=2an-1+2n-1(n∈N+,且n≥2),a4=81.(1)求數(shù)列{an}的前三項a1,a2,a3;(2)若數(shù)列

為等差數(shù)列,求實數(shù)p的值;(3)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.解析

(1)由an=2an-1+2n-1(n∈N+,且n≥2),得a4=2a3+24-1=81,解得a3=33,同理,得a2=13,a1=5.(2)∵數(shù)列

為等差數(shù)列,且

-

=

=

=1-

(n≥2,n∈N+),∴1-

是與n無關(guān)的常數(shù),∴1+p=0,即p=-1.(3)由(2)知,等差數(shù)列

的公差為1,∴

=

+(n-1)=n+1,∴an=(n+1)×2n+1,∴Sn=a1+a2+…+an=2×2+3×22+4×23+…+(n+1)×2n+n,記Tn=2×2+3×22+4×23+…+(n+1)×2n①,則2Tn=2×22+3×23+4×24+…+n×2n+(n+1)×2n+1②,①-②,得-Tn=2×2+(22+23+…+2n)-(n+1)×2n+1=4+

-(n+1)×2n+1=-n×2n+1,∴Tn=n×2n+1,∴Sn=n×2n+1+n=n(2n+1+1).解決等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問題的關(guān)鍵在于用好它們的有關(guān)知識,理順兩

個數(shù)列間的關(guān)系.注意運用等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本量,即a1,d與b1,q來表示數(shù)

列中的所有項,還應(yīng)注意等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的相互轉(zhuǎn)化.4等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用問題

典例已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn(n∈N+),數(shù)列{bn}是等比數(shù)列(n∈N+),a1=3,b1=1,b2+S2=10,a5-2b2=a3.(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式;(2)若cn=

設(shè)數(shù)列{cn}的前n項和為Tn,求T2n.解析

(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q.由題意得

解得

∴an=2n+1,bn=2n-1.(2)由(1)知,Sn=

=n(n+2),∴cn=

在數(shù)列{cn}的前2n項中,所有奇數(shù)項的和為1-

+

-

+…+

-

,所有偶數(shù)項的和為21+23+25+…+22n-1,∴T2n=

+(21+23+25+…+22n-1)=1-

+

=

-

.

通過數(shù)列在實際問題中的應(yīng)用發(fā)展邏輯推理和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)數(shù)列在實際問題中有廣泛的應(yīng)用,在此類問題中,建立數(shù)列模型是關(guān)鍵,在建

立數(shù)列模型的過程中發(fā)展數(shù)學建模的核心素養(yǎng),然后利用數(shù)列的通項公式、前n

項和公式、遞推公式等知識求解,在解模過程中發(fā)展邏輯推理的核心素養(yǎng).素養(yǎng)解讀

例題從社會效益和經(jīng)濟效益出發(fā),某地投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設(shè),并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè).根據(jù)規(guī)劃,2021年投入資金1000萬元,以后每年投入比上年減少10%.

預(yù)測顯示,2021年當?shù)芈糜螛I(yè)收入為300萬元,以后每年收入比上年增加20萬元.根

據(jù)預(yù)測,解答以下問題:(1)從2021年至2030年,該地十年的旅游業(yè)收入共計多少萬元?(2)從哪一年起該地的旅游業(yè)總收入將首次超過總投入?(參考數(shù)據(jù):0.96≈0.531,0.97≈0.478,0.98≈0.430,0.918≈0.15009,0.919≈0.13509)典例呈現(xiàn)信息提?、儆赏度胭Y金的相關(guān)信息可建立等比數(shù)列模型;②由旅游業(yè)收入的相

關(guān)信息可建立等差數(shù)列模型.解題思路

(1)通過構(gòu)建的等差數(shù)列模型,求等差數(shù)列的通項和前n項和,代入求值

即可.以2021年為第1年,設(shè)第n年旅游業(yè)收入為an萬元,則數(shù)列{an}是以300為首項,20為

公差的等差數(shù)列,設(shè)其前n項和為An,故an=300+20(n