湘教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第2章平面解析幾何初步2-5-2圓的一般方程練習(xí)含答案

2.5.2圓的一般方程基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練題組一對(duì)圓的一般方程的理解1.方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的圖形是半徑為r(r>0)的圓,則該圓的圓心在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限2.若點(diǎn)A(-1,1)在圓x2+y2-2x-y-a=0外,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A.a<3B.a<-3C.54<a<3D.-53.點(diǎn)M,N在圓x2+y2+kx+2y-4=0上,且點(diǎn)M,N關(guān)于直線x-y+1=0對(duì)稱,則該圓的面積為.

4.已知AB為圓C:x2+y2-2x+2y-3=0的直徑,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,1),則點(diǎn)B的坐標(biāo)為.

題組二圓的一般方程的求解5.(2022湖南岳陽(yáng)月考)過(guò)點(diǎn)M(-1,1),且圓心與已知圓C:x2+y2-4x+6y-3=0相同的圓的一般方程為.

6.(2022廣東肇慶期末)在平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過(guò)三點(diǎn)(0,1),(0,2),(1,3)的圓的方程為.

7.(2022湖南株洲月考)圓心在直線y=x上,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,1),B(3,-1)的圓的一般方程是.

8.已知圓C:x2+y2+Dx+Ey+3=0的圓心在直線x+y-1=0上,且圓心在第二象限,半徑為2,則圓的一般方程為.

題組三動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題9.已知點(diǎn)M(-2,0),N(2,0),則以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點(diǎn)P的軌跡方程是()A.x2+y2=4B.x2-y2=4C.x2+y2=4(x≠±2)D.x2-y2=4(x≠±2)10.當(dāng)點(diǎn)P在圓x2+y2=1上變動(dòng)時(shí),它與定點(diǎn)Q(3,0)的連線PQ的中點(diǎn)的軌跡方程是()A.x2+y2+6x+5=0B.x2+y2-6x+8=0C.x2+y2-3x+2=0D.x2+y2+3x+2=011.(2022湖南武岡二中月考)設(shè)A為圓(x-1)2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn),PA是圓的切線,且|PA|=1,求點(diǎn)P的軌跡方程.12.(2022湖南衡陽(yáng)月考)已知△ABC的邊AB的長(zhǎng)為4,若BC邊上的中線為定長(zhǎng)3,求頂點(diǎn)C的軌跡方程.能力提升練題組一圓的一般方程的求解與應(yīng)用1.(2021浙江麗水五校共同體階段性考試)已知圓C:x2+y2+2x-2my-4-4m=0(m∈R),則當(dāng)圓C的面積最小時(shí),圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最大值為()A.5B.6C.5-1D.5+12.(2022湖南明德中學(xué)月考)已知點(diǎn)P(7,3),圓M:x2+y2-2x-10y+25=0,點(diǎn)Q為圓M上一點(diǎn),點(diǎn)S在x軸上,則|SP|+|SQ|的最小值為()A.7B.8C.9D.103.(2020江蘇南京田家炳高級(jí)中學(xué)月考)如圖,某海面上有O,A,B三個(gè)小島(面積大小忽略不計(jì)),A島在O島的北偏東45°方向距O島402千米處,B島在O島的正東方向距O島20千米處.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),O的正東方向?yàn)閤軸的正方向,1千米為一個(gè)單位長(zhǎng)度,建立平面直角坐標(biāo)系.圓C經(jīng)過(guò)O,A,B三點(diǎn).(1)求圓C的方程;(2)若圓C區(qū)域內(nèi)有未知暗礁,現(xiàn)有一船D在O島的南偏西30°方向距O島40千米處,正沿著北偏東45°方向行駛,若不改變方向,試問(wèn)該船有沒有觸礁的危險(xiǎn)?題組二動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題4.已知點(diǎn)M(-3,4),若動(dòng)點(diǎn)N在圓x2+y2=4上運(yùn)動(dòng),以O(shè)M,ON為鄰邊作平行四邊形MONP,則點(diǎn)P的軌跡是()A.以(-3,4)為圓心,2為半徑的圓B.以(3,-4)為圓心,2為半徑的圓C.以(-3,4)為圓心,2為半徑的圓,除去點(diǎn)-95D.以(3,-4)為圓心,2為半徑的圓,除去點(diǎn)-955.(2021重慶八中月考)若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A,B之間的距離為2,動(dòng)點(diǎn)P滿足|PB|=2|PA|,則tan∠ABP的最大值為()A.22B.1C.2D.6.(2021安徽阜陽(yáng)太和一中月考)過(guò)點(diǎn)P(-5,0)作直線(1+2m)x-(m+1)y-4m-3=0(m∈R)的垂線,垂足為M,已知點(diǎn)N(3,11),則|MN|的取值范圍是.

7.已知圓x2+y2=4上一定點(diǎn)A(2,0),點(diǎn)B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn),P,Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)(A,P,Q三點(diǎn)均不重合).(1)求線段AP的中點(diǎn)的軌跡方程;(2)若∠PBQ=90°,求線段PQ的中點(diǎn)的軌跡方程.

答案與分層梯度式解析基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1.D圓的方程可化為x+a22+(y-a)2=-34a2-3a,故圓心坐標(biāo)為-a2,a,r2=-∴-34a2-3a>0,解得-4<a<0,故該圓的圓心在第四象限2.D圓的方程x2+y2-2x-y-a=0可化為(x-1)2+y-122=a+54,因?yàn)辄c(diǎn)A(-1,1)在圓x2+y2-2x-y-a=0外,所以(-1-1)23.答案9π解析圓x2+y2+kx+2y-4=0的圓心坐標(biāo)是-k由圓的性質(zhì),知直線x-y+1=0經(jīng)過(guò)圓心,∴-k2+1+1=0,解得∴圓x2+y2+4x+2y-4=0的半徑為12∴該圓的面積為9π.4.答案(2,-3)解析由x2+y2-2x+2y-3=0得,(x-1)2+(y+1)2=5,所以圓心坐標(biāo)為(1,-1).設(shè)B(x0,y0),又因?yàn)锳(0,1),所以由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得x0+0=2,y0+1=-2,解得5.答案x2+y2-4x+6y-12=0解析將圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x-2)2+(y+3)2=16,則圓心C的坐標(biāo)為(2,-3),故所求圓的半徑r=|CM|=(2+1)2+(-3-1)2=5,所以所求圓的方程為(x-2)2+(y+3)2=25,即6.答案x2+y2-3x-3y+2=0解析設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,因?yàn)閳A過(guò)(0,1),(0,2),(1,3)三點(diǎn),所以1+E+所以圓的方程為x2+y2-3x-3y+2=0.7.答案x2+y2-4x-4y-2=0解析設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,則圓心坐標(biāo)是-D由題意知-D2故所求圓的一般方程是x2+y2-4x-4y-2=0.8.答案x2+y2+2x-4y+3=0解析根據(jù)題意,得圓心坐標(biāo)為-D2,-E2.∵圓心在直線x+y-1=0上,∴-D2-E2-1=0,即D+E=-2.∴D2+E2=20.②由①②可得D=2,E又∵圓心在第二象限,∴D故圓的一般方程為x2+y2+2x-4y+3=0.9.C設(shè)P(x,y),由條件知PM⊥PN,且PM,PN的斜率肯定存在,故kMP·kNP=-1,即yx+2·所以x2+y2=4,當(dāng)P,M,N三點(diǎn)共線時(shí),不能構(gòu)成三角形,所以x≠±2,故所求軌跡方程為x2+y2=4(x≠±2).10.C設(shè)P(x1,y1),PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),∵Q(3,0),∴x=x又∵點(diǎn)P在圓x2+y2=1上,∴(2x-3)2+4y2=1,即x2+y2-3x+2=0,故選C.11.解析設(shè)P(x,y),圓(x-1)2+y2=1的圓心為B,則B(1,0),由題意得|PA|2+12=|PB|2,∴(x-1)2+y2=2.12.解析以直線AB為x軸,AB的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系(如圖),則A(-2,0),B(2,0),設(shè)C(x,y),BC的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x0,y0),∴2+x∵|AD|=3,∴(x0+2)2+y02將①代入②,并整理得(x+6)2+y2=36.∵點(diǎn)C不能在x軸上,∴y≠0.∴頂點(diǎn)C的軌跡方程為(x+6)2+y2=36(y≠0).能力提升練1.D由x2+y2+2x-2my-4-4m=0得(x+1)2+(y-m)2=m2+4m+5,因此圓心C的坐標(biāo)為(-1,m),半徑r=m2+4m+5=(m+2)2+1≥1,當(dāng)且僅當(dāng)m=-2時(shí),圓心到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d=(-1-0)2+(-2-0)2=5所以圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最大值為d+r=5+1.故選D.2.C由題意知,圓M的方程可化為(x-1)2+(y-5)2=1,所以圓心為M(1,5),半徑為1.如圖所示:作點(diǎn)P(7,3)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P'(7,-3),連接MP',交圓M于點(diǎn)Q,交x軸于點(diǎn)S,此時(shí)|SP|+|SQ|的值最小,否則,在x軸上另取一點(diǎn)S',連接S'P,S'P',S'Q.因?yàn)辄c(diǎn)P與點(diǎn)P'關(guān)于x軸對(duì)稱,所以|SP|=|SP'|,|S'P|=|S'P'|,所以|SP|+|SQ|=|SP'|+|SQ|=|P'Q|<|S'P'|+|S'Q|=|S'P|+|S'Q|.故(|SP|+|SQ|)min=|P'M|-1=(1-7)3.解析(1)由題圖可知A(40,40),B(20,0),設(shè)過(guò)O,A,B三點(diǎn)的圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,則F=0,4所以圓C的方程為x2+y2-20x-60y=0.(2)易知D(-20,-203),船D的航線所在直線l的斜率為1,故直線l的方程為x-y+20-203=0,由(1),知圓C的圓心為C(10,30),半徑r=1010,則圓心C到直線l的距離d=|10-30+20-203|2=106故該船有觸礁的危險(xiǎn).4.C如圖所示,設(shè)P(x,y),N(x0,y0),則線段OP的中點(diǎn)的坐標(biāo)為x2,y2,線段所以x2=又因?yàn)辄c(diǎn)N(x+3,y-4)在圓上,所以(x+3)2+(y-4)2=4.當(dāng)點(diǎn)P在直線OM上時(shí),有x=-95,y=125或x=-215因此點(diǎn)P的軌跡是以(-3,4)為圓心,2為半徑的圓,除去點(diǎn)-95,1255.B以經(jīng)過(guò)A,B的直線為x軸,線段AB的垂直平分線為y軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則A(-1,0),B(1,0),設(shè)P(x,y),∵|PB|=2|PA|,∴(x-1)整理,得x2+6x+y2+1=0,即(x+3)2+y2=8,即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以(-3,0)為圓心,22為半徑的圓,當(dāng)點(diǎn)P在如圖所示的P1或P2位置時(shí),tan∠ABP的值最大,最大值為22|PB|=6.答案[13-10,13+10]解析由(1+2m)x-(m+1)y-4m-3=0(m∈R),得m(2x-y-4)+(x-y-3)=0,令2x-y-4=0,x-y-3=0,解得x=1,y=-2,所以直線過(guò)定點(diǎn)(1,-2),設(shè)定點(diǎn)為Q.由題意知,點(diǎn)M在以PQ為直徑的圓上運(yùn)動(dòng),設(shè)該圓的圓心為C,易知C(-2,-1),半徑r=(-5-1)2+(0+2)22=10,則7.解析(1)設(shè)線段AP的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),x0≠2,則x=2+x02,又∵點(diǎn)P(x0,y0)在圓x2+y2=4上,∴(2x-2)2+(2y)2=4,∴(x-1)2+y2=1(x≠2),故線段AP的中點(diǎn)的軌跡方程為(x-1)2+y2=1(x≠2).(2)設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(