函數(shù)的應(yīng)用必考題型分類訓(xùn)練-沖刺2023年高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)、重難點(diǎn)題型解題方法與策略+真題演練（新高考專用）（解析版）-高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)重點(diǎn)

專題05函數(shù)的應(yīng)用必考題型分類訓(xùn)練

O1二年高考真題練】

一.選擇題（共3小題）

1.（2021?甲卷）青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量.通常用

五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足L

=5+/gV.己知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為

（）（1%3"L259）

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

【分析】把乙=4.9代入L=5+/gV中，直接求解即可.

【解答】解：在L=5+/gV中，￡=4.9,所以4.9=5+-%即”=-0.1,

解得V=1001=---=——--=——-——七0.8,

1O0-11/1-259

所以其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為0.8.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了對數(shù)與指數(shù)的互化問題，也考查了運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

2.（2021?北京）某一時(shí)段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水

平面上積聚的深度，稱為這個(gè)時(shí)段的降雨量（單位：加〃）.24〃降雨量的等級劃分如下：

等級24〃降雨量（精確到0.1）

..........

小雨0.1?9.9

中雨10.0?24.9

大雨25.0?49.9

暴雨50.0?99.9

..........

在綜合實(shí)踐活動中，某小組自制了一個(gè)底面直徑為200/wm高為300mm的圓錐形雨量器.若

一次降雨過程中，該雨量器收集的24/7的雨水高度是150叩”（如圖所示），則這24/?降

雨量的等級是（）

【分析】利用圓錐內(nèi)積水的高度是圓錐總高度的一半，求出圓錐內(nèi)積水部分的半徑，求出圓

錐的體積，求出平面上積水的厚度，由題意即可得到答案.

【解答】解：圓錐的體積為vqsh[r2jTh，

因?yàn)閳A錐內(nèi)積水的高度是圓錐總高度的一半，

所以圓錐內(nèi)積水部分的半徑為4?x---x200=50TOn,

將r=50,/?=150代入公式可得V=125000H(皿/),

圖上定義的是平地上積水的厚度，即平地上積水的高，

平底上積水的體積為V=Sh,且對于這一塊平地的面積，即為圓錐底面圓的面積，

所以S=7T?@X200)2=10000兀(加2),

則平地上積水的厚度h=125000兀(mm),

10000K0

因?yàn)?0<12.5<25,

由題意可知，這一天的雨水屬于中雨.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了空間幾何體在實(shí)際生活中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握錐體和柱體體積公

式的應(yīng)用，考查了邏輯推理能力與空間想象能力，屬于中檔題.

3.(2021?天津)設(shè)芯R,函數(shù)/(x)'，若函數(shù)/(x)在

x-2(a+l)x+a+5

區(qū)間(0,+8)內(nèi)恰有6個(gè)零點(diǎn)，則,Z的取值范圍是()

旦](紅

A.(2,U(5,11]B.(工,2]U11]

424424

1]

C.(2,U[,3)D.(工,2)U[H,3)

4444

【分析】分x<“，X》”兩種情況討論，當(dāng)XV”時(shí)，且[時(shí)，于(X)有4個(gè)零點(diǎn),

9<x式紅，F(xiàn)(x)有5個(gè)零點(diǎn)，旦〈X(衛(wèi)，/(X)有6個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)x>“時(shí)，gp2<a

4飛44個(gè)4

WS,7(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)-2a+5<0時(shí)，即a>互，/'(x)有1個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)a=2時(shí)，/Xx)

22

有一個(gè)零點(diǎn)，綜合兩種情況，即可求解.

【解答】解：?.了(x)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)恰有6個(gè)零點(diǎn)

又???二次函數(shù)最多有兩個(gè)零點(diǎn)，

???當(dāng)xVa時(shí)，f(x)=0至少有四個(gè)根，

V/(x)=cos(2wc-2na)=COS[2TT(jr-a)],

...令f(x)=0,即2兀(x-a)=^-+k兀kez,

.k1

,,x=yq+a，

X'/xe(0,+8),

即-2a-^<k<

a'

①當(dāng)xVa時(shí)，-5W-4,f(x)有4個(gè)零點(diǎn)，即工(行<9,

24

-6W_2aq<-5,f(X)有5個(gè)零點(diǎn)，即旦《《馬

-7W_2a-/<-6,…)有6個(gè)零點(diǎn)，即￥《<苧

②當(dāng)時(shí)，f(x)=7-2(q+1)x+a2+5,

/.△=b2-4ac=4(〃+l)2-4(6?2+5)=8〃-16=0,解得〃=2,

當(dāng)a<2時(shí)，△<(),f(x)無零點(diǎn)，

當(dāng)a=2時(shí)，△=0,f(x)有1個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)a>2時(shí)，f(a)-2aCa+l)+J+5=-2a+5,

'：f(x)的對稱軸x=a+l,即f(a)在對稱軸的左邊,

...當(dāng)-2a+520時(shí)，即2<aW8,f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，

2

當(dāng)-2a+5<0時(shí)，即a>^-,f(x)有1個(gè)零點(diǎn)，

2

綜合①②可得，若函數(shù)/(X)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)恰有6個(gè)零點(diǎn)，則需滿足:

4%44%49<a4也

:或.H或<44,

_/

2<a4.a〉1^a=2a<2

解得ae(2,9u(5,111.

424

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了余弦函數(shù)和二次函數(shù)，需要學(xué)生掌握分類討論的思想，且本題綜合性強(qiáng),

屬于難題.

二.填空題（共3小題）

-X2+2,X41,

4.（2022?浙江）己知函數(shù)八x）=11則/V（上））=_迢_；若當(dāng)

x+--1,x>1,228

x

切時(shí)，lW/（x）W3,則b-a的最大值是3+JQ.

【分析】直接由分段函數(shù)解析式求/（/（1））;畫出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合得答案.

2

-X2+2,x41

【解答】解：???函數(shù)/（x）=|1，.寸（工）=-2+2=工，

xJ-1,x>1244

：./-（/（A））=/（工）=Z+A-

244728

作出函數(shù)/（X）的圖象如圖：

由圖可知，若當(dāng)切時(shí)，W3,則人-”的最大值是2依質(zhì)-（-1）=3+\忌

故答案為：2L3+V3.

28

【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)值的求法，考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

a2x-1x<0

5.（2022?上海）若函數(shù)f（x）=（x+ax>0,為奇函數(shù)，求參數(shù)〃的值為1.

0x=0

【分析】由題意，利用奇函數(shù)的定義可得/（-X）=-/（X），故有/（-1）=-f（1），

由此求得a的值.

a2x-1x<0

【解答】解：：函數(shù)/（x）=（x+ax>0-為奇函數(shù)，=-/（%），

0x=0

'.f(-1)=-/(1),-a2-1=-(a+1),BPa(a-1)=0,求得a=0或a=1.

'-1,x<0

當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=<0,x=0,不是奇函數(shù)，故aWO：

x,x>0

'x-1,x<0

當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=，0,x=0,是奇函數(shù)，故滿足條件，

x+1,x>0

綜上，a—I,

故答案為：1.

【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)的奇偶性的定義和性質(zhì)，屬于中檔題.

6.(2022?天津)設(shè)a6R,對任意實(shí)數(shù)x,記/(x)—min[\x\-2,x2-ax+3a-5}.若/(x)

至少有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為[10,+8).

【分析】設(shè)g(x)-ax+3a-5,h(x)=|x|-2,分析可知函數(shù)g(x)至少有一個(gè)零點(diǎn)，

可得出A2O,求出a的取值范圍，然后對實(shí)數(shù)”的取值范圍進(jìn)行分類討論，根據(jù)題意可得

出關(guān)于實(shí)數(shù)a的不等式，綜合可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解答】解：設(shè)g(x)=^-ax+3a-5,h(x)=W-2,由|x|-2=0可得x=±2.

要使得函數(shù)/(尤)至少有3個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)g(x)至少有一個(gè)零點(diǎn)，

貝必=/-4(3a-5)

解得0?2或4》10.

①當(dāng)a=2時(shí)，g(x)—x2-2x+l,作出函數(shù)g(x)、h(x)的圖象如圖所示:

此時(shí)函數(shù)/(x)只有兩個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意；

②當(dāng)aV2時(shí)，設(shè)函數(shù)g(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為xi、X2(xi<%2),

要使得函數(shù)/(%)至少有3個(gè)零點(diǎn)，則X2W-2,

，包<-2

所以，{2"，解得460;

g(-2)=5a-l>0

③當(dāng)a=10時(shí)，g(x)=7-10x+25,作出函數(shù)g(x)、h(x)的圖象如圖所示:

由圖可知，函數(shù)/(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3,滿足題意；

④當(dāng)〃>10時(shí);設(shè)函數(shù)g(X)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為A3、X4(X3<X4),

要使得函數(shù)/(X)至少有3個(gè)零點(diǎn)，則X3》2,

'且>2

可得｛2，解得。>4,此時(shí)a>10.

g(2)=a-l>0

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍是［10,+8).

故答案為：［10,+°°).

【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)、轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中難題.

三.解答題(共3小題)

7.(2021?上海)已知一企業(yè)今年第一季度的營業(yè)額為1.1億元，往后每個(gè)季度增加0.05

億元，第一季度的利潤為0.16億元，往后每一季度比前一季度增長4%.

(1)求今年起的前20個(gè)季度的總營業(yè)額；

(2)請問哪一季度的利潤首次超過該季度營業(yè)額的18%?

【分析】(1)由題意可知，可將每個(gè)季度的營業(yè)額看作等差數(shù)列，則首項(xiàng)小=1.1,公差4

=0.05,再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解即可.

(2)解法一：假設(shè)今年第一季度往后的第〃(〃6N*)季度的利潤首次超過該季度營業(yè)額的

18%,則0.16X(1+4%)n>(1.1+0.05M)78%,令f(〃)=0.16X(1+4%)n-(1.1+0.05〃)

?18%,(”€N*),遞推作差可得當(dāng)1W”W9時(shí)，f(〃)遞減；當(dāng)”210時(shí)，/(〃)遞增，

注意到/(I)<0,所以若/(〃)>0,則只需考慮"210的情況即可，再驗(yàn)證出/(24)<

0,/(25)>0,即可得到利潤首次超過該季度營業(yè)額的18%的時(shí)間.

解法二：設(shè)今年第一季度往后的第〃(〃WN*)季度的利潤與該季度營業(yè)額的比為劭，則土生

an

=1?04(1.05+0.05n)=］+()04(1-/6_),所以數(shù)列｛〃“｝滿足〃1>白2>〃3>〃4=〃5V

1.1+0.05n22+n

a6Va7V...，再由425，〃26的值即可判斷出結(jié)果.

【解答】解：(1)由題意可知，可將每個(gè)季度的營業(yè)額看作等差數(shù)列，

則首項(xiàng)m=l.l,公差d=0.05,

.?.520=20(71+20120-1)(/=20X1.1+10X19X0.05=31.5,

2

即營業(yè)額前20季度的和為31.5億元.

(2)解法一：假設(shè)今年第一季度往后的第n季度的利潤首次超過該季度營業(yè)額的

18%,

則0.16X(1+4%)n>(1.1+0.05/1)78%,

令f(〃)=0.16X(1+4%)n-(1.1+0.05〃)78%,(nGN*),

即要解了(〃)>0,

則當(dāng)“22時(shí)，/(〃)-/<?-1)=0.0064?(1+4%)-0.009,

令/(〃)-/(n-1)>0,解得：“210,

即當(dāng)1W〃W9時(shí)，f(M)遞減：當(dāng)〃210時(shí)，/(〃)遞增，

由于/(I)<0,因此/(〃)>0的解只能在〃》10時(shí)取得，

經(jīng)檢驗(yàn),f(24)<0,f(25)>0,

所以今年第一季度往后的第25個(gè)季度的利潤首次超過該季度營業(yè)額的18%.

解法二：設(shè)今年第一季度往后的第〃(neN*)季度的利潤與該季度營業(yè)額的比為如，

則211+1=L。411.U5+H.05n.l=?g4_1.04_[+0.04(1-26),

an1.1+0.05n22+n22+n

數(shù)列｛“”｝滿足a\>a2>a3>a4=a5<a6<ai<...，

注意到，425=0.178…，426=0.181…，

.?.今年第一季度往后的第25個(gè)季度利潤首次超過該季度營業(yè)額的18%.

【點(diǎn)評】本題主要考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，考查了等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，同時(shí)考查了學(xué)生的

計(jì)算能力，是中檔題.

8.(2022?上海)已知函數(shù)/(X)的定義域?yàn)镽,現(xiàn)有兩種對/(x)變換的操作：牛變換：

/(x)-fCx-t)；3變換：\f(x+t)-/(x)I，其中f為大于。的常數(shù).

(1)設(shè)/(、)=2*,f=l,g(x)為-x)做甲變換后的結(jié)果，解方程：g(x)=2；

(2)設(shè)f(x)=7,h(x)為/(x)做3變換后的結(jié)果，解不等式：f(x)(x)；

(3)設(shè)f(x)在(-8,0)上單調(diào)遞增，f(x)先做<p變換后得到u(x),u(x)再做3

變換后得到h\(x)；/(x)先做3變換后得到v(x),v(x)再做<p變換后得到hi(x).若

加(x)=h2(x)恒成立，證明：函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞增.

【分析】(1)推導(dǎo)出g(x)=/(x)-/(x-1)—2X-2V1-2X'—2,由此能求出x.

(2)推導(dǎo)出/引(x+f)2-/=|2比+尸|,當(dāng)xW-主時(shí)，F(xiàn)(x)(x)恒成立；當(dāng)X>-主

22

時(shí)，2fx+Pw/,由此能求出/(x)(x)的解集.

(3)先求出u(x)=f(x)-f(x-z),從而h\(x)=\f(x+r)-f(x)-[f(x)-f(x

-r)]b先求出v(x)=\f(x+f)-f(x)\,從而hi(x)=|/(x+f)-f(x)|-\f(x)-/

(x-/)I，由h\(x)=hi(x),得/(x+f)-f(x)-[f(x)-f(x-t)]\=\f(x+r)-f

(x)|-[f(x)-fCx-t)I，再由/(x)在(-8,o)上單調(diào)遞增，能證明函數(shù)/(x)在

R上單調(diào)遞增.

【解答】解：(1)v/(x)=2A,r=l,g(x)為/(x)做<p變換后的結(jié)果，g(x)=2,

???gG)=/(x)-f(x-l)=2'-2廠1=2=1=2,

解得x=2.

(2)V/(x)=/,h(x)為/(x)做3變換后的結(jié)果，/(x)2/z(x),

工/冽(x+r)2-/|=|2及+尸|,

當(dāng)xW-主時(shí)，f(x)2/z(x)恒成立；

2

當(dāng)x>-主時(shí)，2a+於</,

2

解得(1+72)t，或xW(1-V2)t，

綜上，不等式：/(x)27?(x)的解集為(-8,(1-&)r]U[(1+V2)6+8).

(3)證明：f(X)先做(p變換后得到〃(X),U(X)再做3變換后得到加(X),

.'.u(x)—f(x)-/(x-f),hi(x)—\f(x+r)-f(x)-\f(x)-f(x-t)]|,

f(x)先做3變換后得到V(x),v(x)再做<p變換后得到hi(x),

v(x)=\f(x+力-f(x)I，hi(x)=\f(x+r)-f(x)I-\f(x)-f(x-z)|,

V/zi(x)=h2(x),/(x)在(-8,o)上單調(diào)遞增，

：.\fCx+t)-f(x)-[f(x)-f(x-t)H=|/(x+Z)-f(x)I-1/(x)-f(x-t)I，

f(x+t)-f(x)>f(x)-f(x-t)

f(x+t)-f(x)>0對f>0恒成立，

.f(x)>f(x-t)

...函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞增.

【點(diǎn)評】本題考查方程、不等式的解的求法，考查函數(shù)是增函數(shù)的證明，考查函數(shù)變換的性

質(zhì)、抽象函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

9.(2022?乙卷)已知函數(shù)/(x)=ln(1+x)+axe'x.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程；

(2)若/(x)在區(qū)間(-1,0),(0,+8)各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.

【分析】(1)將。=1代入，對函數(shù)/(x)求導(dǎo)，求出，(0)及/(0),由點(diǎn)斜式得答案；

(2)對函數(shù)/(無)求導(dǎo)，分〃，0及〃V0討論，當(dāng)時(shí)容易判斷不合題意，當(dāng)〃V0時(shí)，

^g(x)=R-(---2)>利用導(dǎo)數(shù)判斷g(X)的性質(zhì)，進(jìn)而判斷得到函數(shù)f(X)的單調(diào)性

ex

并結(jié)合零點(diǎn)存在性定理即可得解.

【解答】解：(1)當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=/〃(1+x)+此汽則f，(x)=^+e-x_xe-x,

1+x

：.f(0)=1+1=2,

又f(0)=0,

.?.所求切線方程為y=2x；

(2)釬(x”JSQ，

x

1+xe

若a20,當(dāng)-l<x<0時(shí)，f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，則f(x)<f(0)=0,不合題

息；

故aVO，f，(x)亙<1-/))，令g(x)=]+且(1-』)一,注意到

1+xexex

_/八_i//\_a(X-1+V2)(X-1-V2)

g⑴-1，g(0)T+a，g(x)=-------------------------------------'

e

令g’G)VO,解得或又>1偵,令/(X)>o,m1-V2<x<1W2,

???g(x)在(-1,1-V2),(1W2,Q)單調(diào)遞減，在(1-&,1/)單調(diào)遞增，

且x>l時(shí)，g(x)>0,

①若g(0)=1+〃20,當(dāng)x>0時(shí)，g(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，不合題意；

②若g(0)=l+〃V0,g(0)g(1)<0,則存在刈€(0,1),使得g(xo)=0,

且當(dāng)屆(0,xo)時(shí)，g(無)Vg(xo)=0,f(x)單調(diào)遞減，則/(xo)<f(0)=0,

當(dāng)x>l時(shí)，/(x)>ln(1+x)+tz>0,fCe'a-1)>0,則由零點(diǎn)存在性定理可知/(x)在

(xo,ea-1)上存在一個(gè)根，

當(dāng)時(shí)，g(X)<0,/(X)單調(diào)遞減，f(1-V^)〉f(0)=0,

當(dāng)時(shí)，f(x)<ln(1+x)-ae<0,f(eae-1)<0,則由零點(diǎn)存在性定理

可知/(X)在(6短-1,1-加)上存在一個(gè)根.

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-8,-1).

【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，零點(diǎn)問題，考查分類

討論思想及運(yùn)算求解能力，屬于難題.

◎【二年自主招生練】

一.選擇題(共5小題)

1.(2022?上海自主招生)/(x)=|x+l|+|x|-|x-2|,/(/(x))+1=0根的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.0

【分析】根據(jù)絕對值的意義，求出/G)的表達(dá)式，利用換元法轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)問

題進(jìn)行求解即可.

【解答】解：當(dāng)xW-1時(shí)，f(x)=-(x+1)-x+(x-2)=-x-3,

當(dāng)-1<x<0時(shí)，f(x)=x+1-x+(x-2)=x-1,

當(dāng)0<xW2時(shí)，f(x)=x+l+x+(x-2)=3x-l,

當(dāng)x>2時(shí)，f(x)=x+l+x-(x-2)=x+3,

作出了(x)的圖象如圖：

設(shè)t—f(x),

由/(f)+1=0,得/'(f)=-1,

得t—0或r=-2,

當(dāng)f=0時(shí)，f(x)=0,有兩個(gè)根，

當(dāng)f=-2時(shí)，/(x)=-2,有1個(gè)根，

綜上『"(X))+1=0的根的個(gè)數(shù)為3個(gè)，

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)絕對值的意義求出函數(shù)/(x)的表達(dá)式，利

用換元法轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題.

2.(2021?北京自主招生)恰有一個(gè)實(shí)數(shù)x使得4-依-1=0成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

為()

B.(-co,3%)c.D.(-8,警)

A.(_8,版)

2

【分析】首先分析x=0不是方程的根，故將其轉(zhuǎn)化為a=x21，繼而轉(zhuǎn)化為與

X

f(x)=x2」的圖像僅有一個(gè)交點(diǎn)，對函數(shù)/(x)求導(dǎo)研究其單調(diào)性即可.

X

【解答】解：觀察可知x=0不是方程的根，故對原方程轉(zhuǎn)化為2=乂2」，

X

故轉(zhuǎn)化為y=a與f(x)僅有一個(gè)交點(diǎn)，

X

構(gòu)造f(xAx?」，f'(x)=2x+-y)令，(X)>°，解得x>J；—

xX2-V2

故函數(shù)/(X)在(-8,單調(diào)遞減，在,0),(0,+8)單調(diào)遞增,

-V2

艮F車

-V22

當(dāng)Rf-8時(shí)，f(x)--+OO,xf+8時(shí)，f(x)+8,

月.x-*0時(shí)，f(x)f+8,xf()+時(shí)，f(%)f-0°,

故要使得y=〃與/(x)僅有一個(gè)交點(diǎn)，

即a的取值范圍是(-8,卓)

故選:B.

【點(diǎn)評】本題主要考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性及極值，屬于中檔題.

3.(2022?上海自主招生)使3上"+(x-3)sin(工-3)+kcos(x-3)=0有唯一的解的人

有()

A.不存在B.1個(gè)C.2個(gè)D.無窮多個(gè)

【分析】令3-x=r,則3"+tsinf+kcosr=0,構(gòu)造函數(shù)/(t)=3川+fsim+fax>sr,且reR,得出

f(t)為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性，假設(shè)有f(fi)=0,必有/(-“)=0,與題設(shè)矛盾,

則只有f(0)=0,即可得出答案.

【解答】解：令3-x=f,則3"+fsin/+&cos/=0,設(shè)/(f)=3I,I+Zsin/+Z:cosr,且/eR,

則/'(-f)=3「"+(-/)sin(-t)+kcos(-/)=3w+/sin/+^cosr=/(t),

:.f(t)為偶函數(shù)，則f函數(shù)G)的圖象關(guān)于)，軸對稱，

由偶函數(shù)的對稱性，若/(f)=0的零點(diǎn)不為f=0,則有/'(力)—0,必有/'(-n)=0,不

滿足了。)=0的唯一性，

???只能是/(0)=0,即3l3+0+kcos0=0,解得％=7,故%只有唯——個(gè)，

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)思想

的應(yīng)用，屬于中檔題.

4.(2022?山西自主招生)己知定義在R上的函數(shù)/(%)滿足如下條件：①函數(shù)/(x)的

圖象關(guān)于y軸對稱；②對于任意xeR,f(x)=f(2-x)；③當(dāng)xe［0,1］時(shí)、f(x)

④g(x)=/(4x).若過點(diǎn)(-1,0)的直線/與函數(shù)g(x)的圖象在JtG［0,2］上恰有8

個(gè)交點(diǎn)，則直線/斜率4的取值范圍是()

A.(0,*)B,(0,看)C.(0,1)D.(0,苧)

【分析】結(jié)合①②可知/(X)是周期為2的函數(shù)，再結(jié)合④可知g(x)是周期為工的函數(shù)，

2

結(jié)合③作出g(x)在［0,2］上的圖像，然后利用數(shù)形結(jié)合即可求解.

【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)/(X)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以f(x)為偶函數(shù)，即/(-x)=f

(x),

又因?yàn)閷τ谌我鈞€R,f(x)=/(2-x),所以f(x)=f(2-x)=/(-x),

從而/(x)=f(x+2),即/(x)是周期為2的函數(shù)，

因?yàn)間(x)=/(4x),則g(x)圖像是f(x)的圖像的橫坐標(biāo)縮短為原來的工得到，

4

故g(%)也是偶函數(shù)，且周期為2X2=JL,

42

結(jié)合當(dāng)x(0,1］時(shí)，f(x)=|>x，可作出g(x)在［0,2］的圖像以及直線/的圖像，如下圖

過點(diǎn)(-1,0)的直線/與函數(shù)g(x)的圖象在［0,2］上恰有8個(gè)交點(diǎn),

則只需0<%<?AM=K-,

11

即直線/斜率k的取值范圍是（0,且）.

11

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的奇偶性、周期性及圖象的伸縮變化，也考查了數(shù)形結(jié)合思想，關(guān)

鍵點(diǎn)是作出圖象，屬于中檔題.

5.（2021?北京自主招生）已知國為高斯函數(shù)，市+即+/］=x解的組數(shù)為（）

A.30B.40C.50D.60

【分析】由題意可知［三］，［二］,［三］GZ,所以［?1］+［?1］+［三］=*=三+三+二-二_,即有

23523523530

｛三｝+｛三｝+｛三｝=工，分｛與、｛三｝、｛與的可能取值求解即可.

23530235

【解答】解：因?yàn)槭厥伧齔,則疣Z.

因此［三］+［三］+［三］=x=_l+2_+三-

23523530

所以{三}+{_1}+{3}=JL,

23530

因?yàn)椋目赡苋≈禐?和工;｛3｝的可能取值為o,工，2；｛馬的可能取值為o,1,2,

22333555

—3,，-4.，

55

因此旦的可能取值有2X3X5=30種要能性，

30

考慮30（2+電+￡）=15a+10Z?+6c,其中a,b,cGZ.

235

因?yàn)?,3,5兩兩互質(zhì)，容易得到15a+106+6c三15a+106+6c三灰，〃od）3,15a+10Z?+6c

三c（w?M5）.

因此方程解的組數(shù)為30.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)與方程思想，也考查了推理能力，屬于難題.

二.填空題（共8小題）

6.（2022?北京自主招生）函數(shù)y=7-x和y=coslOKx在第1、4象限內(nèi)有17個(gè)交點(diǎn).

【分析】求出余弦函數(shù)的周期與最小值，二次函數(shù)的零點(diǎn)與最小值，然后判斷函數(shù)y=7-x

和y=cosl0mr在第1、4象限內(nèi)的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

【解答】解：函數(shù)y=7-x的零點(diǎn)為x=0,x=l,對稱軸為x=L,最小值為二；

24

y=coslOTtr的周期為工，最小值為7,最大值為1,

5

［0,1］內(nèi)，函數(shù))，=COS10TLX有5個(gè)周期，圖象與y=/-X的圖象，有10個(gè)交點(diǎn).

x>l時(shí)，x=.l立⑸時(shí)y=l,兩個(gè)函數(shù)沒有交點(diǎn)，在(1,上內(nèi)，兩個(gè)函

222

數(shù)的圖象有7個(gè)交點(diǎn).

所以函數(shù)y=7-x和y=cosl0nx在第1、4象限內(nèi)有17個(gè)交點(diǎn).

【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，是中檔題.

7.(2022?上海自主招生)sin(2022TCX)=/實(shí)根個(gè)數(shù)為4044.

【分析】設(shè)f(x)=sin(2022iu),g(x)=/,求出f(x)的周期，由f(x)的最大值為

1,A-G［-1,1］,時(shí)，OWg(x)W1,利用/(x)的周期，得出兩者圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而

得出答案.

【解答】解：設(shè)/(x)=sin(2022TLT),g(x)=/,

：.g(-1)=g(1)=1,x>l或x<-1時(shí)，g(x)>1,f(x)Wl,兩者無交點(diǎn)，

：.f(x)=sin(2022TCX)的周期為_=_J_,在［0,1］上有1011個(gè)周期，在［-

2022H1011

1,0)上有1011個(gè)周期，

/(-1)=sin(-2022n)=0,/(I)=sin(2022n)=0,x=-1在/(x)增區(qū)間上，x=

1在/(x)增區(qū)間上，

因此在［-1,1］上的每個(gè)區(qū)間［-1+工一，-1+±L)(&€N*,AW2021)上，

10111011

f(x)與g(x)的圖象都是兩個(gè)交點(diǎn)，共4044個(gè)交點(diǎn)，即原方程有4044個(gè)解.

故答案為：4044.

【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，屬于中檔題.

8.(2022?山西自主招生)為了創(chuàng)建全國文明城市，呂梁市政府決定對市屬轄區(qū)內(nèi)老舊小區(qū)

進(jìn)行美化改造，如圖，某小區(qū)內(nèi)有一個(gè)近似半圓形人造湖面，。為圓心，半徑為一個(gè)單位，

現(xiàn)規(guī)劃在△0C￡>區(qū)域種花，在△08。區(qū)域養(yǎng)殖觀賞魚，若NA0C=NC0。，且使四邊形

OCOB面積最大，則cos乙40C=「I.

-8一

A

【分析】設(shè)N40C=NC0D=a（0<a<2L）,表示出四邊形0CDB面積S,然后利用導(dǎo)

2

數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)取最值的條件，即可得到答案.

【解答】解：設(shè)/AOC=NCOO=a（0<a<—）,

2

因?yàn)镺C=OB=OO=1,

所以四邊形OCDB的面積S=-1-xIXIXsinCl+^-XIXIXsin（2兀-2a）=

（sin2a+sina>

1

S'=~2'（2cos2a+cosa）=5（4cosa+cosa-1>

令S'=o,解得cosa=漏-1或=是二1,

BijnV33-1

即a=arccos----------，

o

又cosa在（0,-ZL）上單調(diào)遞減，

2

所以當(dāng)aC（0,arcc。/^二即cosaw（立常二1,1）時(shí)，S單調(diào)遞減，

當(dāng)a€（arccos叵二上，―）,即cosae（0,翌21）時(shí)，S單調(diào)遞增，

828

所以當(dāng)cos/AOC=恁-l時(shí),四邊形OCDB的面積最大.

8

故答案為：運(yùn)」.

8

【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是建立符合條件的函數(shù)模型，分析

清楚問題的邏輯關(guān)系是解題的關(guān)鍵，此類問題求解的一般步驟是：建立函數(shù)模型，進(jìn)行函數(shù)

計(jì)算，得出結(jié)果，再將結(jié)果反饋到實(shí)際問題中指導(dǎo)解決問題，考查了邏輯推理能力與化簡運(yùn)

算能力，屬于中檔題.

9.（2022?北京自主招生）已知Y1-X2=4X3-3X，則該方程所有實(shí)根個(gè)數(shù)與所有實(shí)根乘積

的比值為12.

【分析】采用三角換元，々x=cos。(0G[O,n]),代入題干中的式子解得心可得x,寫出

比值，再由三角函數(shù)的恒等變換求解.

【解答】解：令x=cos。(ee[O,TT1),

則原方程.化為J]_cos：8=4cos0~3cos09

即sin0=2cos30+2cos30-cos0-2cos0=2cos30-cos0-2(1-cos20)cos0

=cos0(2COS20-1)-2sin20cos0=cos0cos20-sin0sin20=cos(26+0)=cos30,

TT

即sine=cos3*得cos(""^""一?)=cos30，

,-■ee[O,TT],-?--^-ee[f，-y]，30€[0,3兀],

30:^-8或38=^-0+2?；?8=8-5+2兀或38=-(5-8)■

解得gJL或e=且L或8=空或0=工(舍).

8844

3兀

???方程4l-x2二4x3-3x的全部解為X=CQs-^■或co』/或

可得所求值為一-一臺2一萬廠=一-——3

兀兀、,兀、

COS-^-COSg-COS-COS-^-COSvT%)cos(兀丁)

3612

=12.

兀兀冗nn兀

cos-^-sirr^-cos^-sirr^-cos^-sirry

故答案為：12.

【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查換元法的應(yīng)用，訓(xùn)練了三角函數(shù)的化簡求

值，是中檔題.

10.(2022?山西自主招生)已知4#0,*>0,若f(x)=b|ox+6|-|a2x+廬1-2必有兩零點(diǎn)

XI,X2,且Xl+R2V0,則包的取值范圍是_(0,—)_.

b3

,2

【分析】由/'(x)=0,得2x+ll=l2-x+ll+2,V0,作出y=|比+1|,y=|4+l|+2的圖象,

ab2

數(shù)形結(jié)合得到無解；r>l,不可能有2個(gè)交點(diǎn)；-々<一上，依+1|=|4+1|+2,

t2t

由此能求出結(jié)果.

【解答】解：由/'(x)=0,得b\ax+b\-\(^x+b1\-2/=0,

(1)(2)

如圖（1）,f〈0,大致作出y=n+1|,y=|Px+l|+2的圖象，

此時(shí)若有兩個(gè)交點(diǎn)，則必有尸<f,解得f>l,與f<0矛盾，舍;

(2);>0,

①?>6--L>-1,不可能有2個(gè)交點(diǎn)；

t2t

②f=l,t2=t,—_—>不可能有兩個(gè)交點(diǎn)；

如圖(2)-_1_<」，|/A-+l|=k2x+l|+2,

t2t

當(dāng)|/x+l|=|Px+l|+2,

當(dāng)xO」■時(shí)，y=|/x+l|=-tx-1,

t

當(dāng)工=_」-時(shí)，y=—.i,

t2t

a：；-l<2時(shí)，^-<t<P

此時(shí)若有兩個(gè)交點(diǎn)，且X1+X2V0,

(o

-tXi-l=txi+1+2

則11，解得＜

9

+=++

tx2ltX212

Vxi+JC2<0,

3

h：」__]二2時(shí)，同處也不可能.

c：工_]>2時(shí)，0<7<』，

t3

"tx<+l=txi+l+2

此時(shí)若有2個(gè)交點(diǎn)，則I

-tX2-l=_t乂2-]+2

Rl+JC2=0,

綜上，o＜旦〈2.

b3

故答案為：（0,1）.

3

【點(diǎn)評】本題考查兩數(shù)比值的取值范圍的求法，考查函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)圖象等基礎(chǔ)知識，考查

數(shù)形結(jié)合思想、運(yùn)算求解能力、推理論證能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是中檔題.

11.（2022?南京自主招生）方程XI+X2+X3+3X4+3X5+5X6=7的非負(fù)整數(shù)解個(gè)數(shù)為81.

【分析】討論六個(gè)字母的取值，通過分類討論，分別求解即可.

【解答】解：方程XI+%2+X3+3X4+3X5+5X6=7的非負(fù)整數(shù)解，

令a=xi+%2+與，b—x4+x5＞c=x6,可知c6{0,1},b€{0,1,2},a€{0,1,2,3,4,5,

6,7},

又a+3h+5c=l,

a—1,xi,xi,A3可取{3,3,1；4,2,1；7,0,0；2,5,0；3,4,0；1,6,0；1,5,

1；2,3,2],非負(fù)整數(shù)解個(gè)數(shù)為3+6+3+6+6+6+3+3=36組；

a=6,非負(fù)整數(shù)解個(gè)數(shù)為0組；

。=5,非負(fù)整數(shù)解個(gè)數(shù)為0組；

a=4,xi、％2、X3,取值為：0,0,4；0,1,3；0,2,2；1,1,2四種類型，X6為0,X4,

X5為0,1,

非負(fù)整數(shù)解個(gè)數(shù)為2X（3+6+3+3）=30組；

〃=3,非負(fù)整數(shù)解個(gè)數(shù)為0組；

a—2,xi、％2、X3,取值為：0,0,2；0,1,1；X6為1,%4.X5為0,0,

非負(fù)整數(shù)解個(gè)數(shù)為3+3=6組；

a=\,xi、我、X3,取值為：0,0,1；0,1,0；1,0,0；X6為0,X4,X5為0,2；2,0,

1,1;

非負(fù)整數(shù)解個(gè)數(shù)為3X3=9組；

a=0,非負(fù)整數(shù)解個(gè)數(shù)為0組；

共有：36+30+6+9=81.

另解：XI+%2+X3+3X4+3X5+5X6=7,

即為(xi+1)+(X2+1)+(X3+1)+3(X4+1)+3(%5+1)+5(X6+1)=21,

設(shè)yi=xi+l,y2—x2+hy3=x3+l,>4=x4+l,”=X5+1,y6=x6+l,

yi+)2+)3=zi,y4+”=z2,y6=z3,

可得ZI+3Z2+5Z3=21,其中zi23,Z222,Z32l,

由列舉法可得(zi,z2,z3)可為(4,4,1)、(5,2,2)、(7,3,1)、(10,2,1),

所以原方程的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)為C2cl+C2cl+c2cl+C2cl=9+6+30+36=81.

33416291

故答案為：81.

【點(diǎn)評】本題考查不定方程解的公式問題，排列組合的實(shí)際應(yīng)用，是難題.

12.(2021?北京自主招生)方程94/=心的正整數(shù)解(y,力d)的組數(shù)為無窮.

【分析】考慮到2"+2"=2"+i,?=0(mod3),n=0(modA),n=-1(mod5),取〃

=60k+24即可.

【解答】解:因?yàn)?"+2"=2"i,取〃=604+24,依N,

此時(shí)(220H8)3+(215H6)4=(2⑵+5)5,蛇N,

故方程=的正整數(shù)解(y,f,d)的組數(shù)為無窮，

故答案為：無窮.

【點(diǎn)評】本題考查方程根的求解，涉及公式2"+2"=2"+1的應(yīng)用，屬于難題.

13.(2021?北京自主招生)若XI,X2>->X7為非負(fù)整數(shù),則方程X1+JC2+…+X7=XWX7的解

有85組.

【分析】易知X1=X2=”=X7=O是滿足條件的一組解，故考慮非零情形，設(shè)0VXIWX2W…

WX7,得到X1=X2=X3=X4=1,進(jìn)而將命題轉(zhuǎn)化為X5X6X7=4+X5+X6+X7,得到X5W2,

分類討論即可得到答案.

【解答】解：顯然Xl=A2=-=；t7=0是滿足條件的一組解，且只要XI,…，力中有0,

則剩余的必須全為0,

下面只考慮用，X2,X7為非零的情形：

不妨設(shè)OVxi則X1X2…X7〈7X