高等數(shù)學(xué)下練習(xí)冊

高等數(shù)學(xué)（下）練習(xí)冊

專業(yè)班級：___________________________________________

姓名：___________________________________________

學(xué)號：___________________________________________

西南科技大學(xué)城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研室編

第七、八章向量、空間解析幾何、多元微分法

一、填空題

1、從點A(2,—1,7)沿向量1=8；+9]-12%的方向取一段長|喜|=34,則點3().

2、己知兩個力耳=(1,2,3),云=(—2,3,T),則合力R的大小|了|=,合力了的

方向為.

3、設(shè)向量N=21+7,萬=忘+9，其中向=1,而=2,且若X_L瓦則Z=.

4、已知O4=i+3Z,OB=j+3k,則AA3C得面積是.

5、已知平面n過點(3,1-2)且過直線一=上于=1，則平面7i的方程為

二、選擇題

1、方程/+y2+Z?—2x+4y+2z=0表示的曲面是()

A、球面8、橢球面C、柱面。、錐面

2、若直線/：￡±。=上±±=三，平面萬：4x-2y-2z=3,貝”與"()

-2-73

A、平行3、垂直C、相交而不垂直D、/在平面乃內(nèi)

1+3y+2z+l=0

3、設(shè)直線/為《平面乃為4x-2y+z—2=0,則()

2x-y-10z+3=0

A、/〃乃B、Iu冗C、IL7TD、/n不但/與萬不垂直

4、己知向量1=(2,—1,1),求3,E所確定的平面方程為()

A>2x—y+z=0B、x+3y-z=0

C、2x-3y-6z-l=0Da,E不共面無法確定平面

5、球面V+y2+z2=9與平面x+z=l的交線在尤oy面上的投影方程是()

A、2x?+y~—2x—8=0B、y2+2z2-2z-8=0

2x~+y~—2x—8=0

C、x2+y2=9D、4

z=0

三、設(shè)a=(l,l,4),b=(1-2,2),求b在a方向上的投影向量.

四、當(dāng)％為何值時，平面x+Zy-2z-9=0

(1)過點(5,T,-6),(2)與平面2x+4y+3z—3=0垂直.

五、求過點（1,1,1）且與平面5：x-y+z=7和乃2：3x+2y—12z+5=0垂直的平面方程.

六、求直線上x—^2=^v—^3=1z—4與平面2x+y+z=6的交點坐標(biāo)與夾角.

112

七、求下列各極限

x

1、lim「MS)2、lim(l+sin(xy)]3、lim/孫——

■：4oXm(X'iO)而

1

l-cos(x2+y2),..x+y

4、lim(l+盯)”5、hm------——6、lim----?

XTO+sm(x-+y-)a”x+y

)TO+y—>-H?J

八、求下列偏導(dǎo)數(shù)

U2+V2

1、z=]ny]x2+y2,求4*廣2、s=，求慧

uv

2

x~

3、“=（1+盯））求復(fù)等.4、z=tan—，求、

y

5,z=(x2+y2)arctan—,求等.6、z=J"”,求警.

九、求下列高階偏導(dǎo)數(shù)

1、z=sin2（?x+/?y）,求富.2、z=W，求繇.

4222

3、z=X+y-4xy,求登,等,).

4、〃=》，求需，息,露.

十、設(shè)函數(shù)"二zarctan土，求證：柒+必+跨=0

ydxdydz~

十一、求下列函數(shù)的全微分

1、u=ln(x2+y2+z2),求d".2、z=cotQj),求dz.

3、設(shè)Z=A)巾：Y,y2),可微，求dz.

X上,

4、z=.r,求dz.5、z=xy+—,求dz.

4^7y

vHzHz

十二、設(shè)之二孫+0/〃）ii--,/(M)可微，求證：x------Fy-=z+xy.

xdxdy

z-x2+y2

十三、設(shè)V,求—d上y.

x2+2y2+3z2=20dx

十四、已知e*—z+孫=3,求在點（2,1,0）的全微分.

第八章微分法的應(yīng)用

一、填空題

1、曲線x=—L,丁=?$=產(chǎn)在/=1處的切線方程是,法平面方

1+zt

程是.

2、若曲線％=/廳=/"=/上一點尸，過該點的切線平行于平面x+2y+z=4,則該點

的坐標(biāo)為.

3、曲面xyz=/上任意一點的切平面與3個坐標(biāo)平面圍成的四面體體積是.

4,函數(shù)"=x+xy+個z在點(1,2,-1)處沿從點(1,2,-1)指向點(2,4,1)方向的方向?qū)?shù)是

5、設(shè)“=In。？+,2+Z?),則在點M(],2,-2)處的梯度grad〃是.

二、選擇題

1、球面2：/+丫2+22=]4上點初(1,2,3)處的法線方程是()

A、B、

C、。、

2、f(x,y)=x2y+f,則/(x,y)在點P(l,2)處的梯度grad/是()

A、(4,2)B、(4,5)C、(3,5)D、(3,2)

3、設(shè)直線/：(x+y+b=Q在平面乃上而平面乃與曲面Z=/+y2相切與點(1廠2,5),

x+oy-z-3=0

則。力的值是()

A、。=-51=-2B、a=5,b=2

Ca=-5,b=2D、a=5,b=-2

4、已知')-/-丁，則/(國丁)在駐點(2,-2)取得()

A、極大值8、極小值C、不取得極值。、是否取得極值無法確定

’22

5、設(shè)/(%>)=恒2+)2)3/2，刀〉M，則/(x,y)在點(0,0)

0,x2+y2=0

A、可微8、偏導(dǎo)數(shù)存在但不可微C、偏導(dǎo)數(shù)不存在D,不連續(xù)

三、求曲面3/+y2-z2=27在點(3,1,1)處的切平面與法線方程.

四、試證：曲面五++=(a>0)上任何點處的切平面在各坐標(biāo)軸上的截距之和

等于a.

五、給定曲線「：x=f,y=6cosf,z=6sinf,求證：存在一個定向量a,使「的切向量成

定角.

六、求函數(shù)的極值

1、求z=x2+盯+>2+x-y+l的極值.

2、求由方程/+;/+22一2%+2y-42-10=0所確定函數(shù)2=/(乂丁)的極值.

X-+y-+Z--3x=。在點處的切線方程和法平面方程.

七、求曲線《(1514)

2x-3y+5z-4=0

公.xh,卡、丁3zdzu-v

八、設(shè)z=arctan—,而x=〃+y,y=〃一u,求證：---1---=-----

ydudvw2+v27

九、求下列條件極值

1、用拉格朗日法求/(x,y,z)=qz在條件x+y+z=l下的極值.

2、在xoy平面上求一點使它到x=0,y=0,&x+2y-16=0三平面的距離平方和最小.

3、求內(nèi)接于半徑為。的球有最大體積的正方體.

十、求曲面f+y2+z?+XZ+yz=2的最高、最低點的坐標(biāo).

第九章重積分

一、填空題

1、若。是由|x|+|y|?l所確定的區(qū)域，則“"+Zcr=.

D

2、若。是由圓周V+y2=i及坐標(biāo)軸在第一象限圍成的閉區(qū)域，利用極坐標(biāo)計算

2222

3、D:7F<x+y<4/,則jjsinJx+y?dxdy=

D

dxdydz

4、若C:由x=O,y=0*=0,犬+丁+2=1所圍成，則

Q(1+x+y+z)”*

5、利用三重積分計算平面-+^+-1(。＞0力＞0,。＞0)和坐標(biāo)面圍成的幾何體體積是

abc

二、選擇題

1、若R:x2+/<l(x>0,y>0),D：+y~41,則I=JJJl-爐-)廣de,12

D

4“Jj2_y2db的大小關(guān)系是()

D、

A、/,>12B、/j<12C、1{=12D、4/2不相等

2、設(shè)f(x,y)為連續(xù)函數(shù)，則()

A、工辦廠/3'"B、^dy^f[x,y}dx

c、工辦j；J(x,y)dxf(x,y)dx

2y

3、設(shè)。是平面上以A(l/)，3(—1,1)和C(—1,—1)為頂點的三角形，。是它的第一象限部

分，則”(盯+cosxsiny)如(y=()

D

A、2“cosxsinydxdyB、2JJxydxdy

Di

C、4jj(xy+cosxsiny)dxdyD、0

A

4、若C是由曲面r+y2=2z,及平面Z=2所圍成的閉區(qū)域，則川'(x2+y2)dy=()

Q

A>4TTB、2兀C>7iD—7c

3

5、

三、畫出平面區(qū)域，并計算二重積分

1、-y2M0,D：0<.y<sinx,O<x<^.

D

2、11(d+^2)4。,。由y=x,y=%+a,y=3〃(Q>0)共同圍成.

D

四、先交換積分順序再計算:

五、求由曲面Z=/+y2,及2二6-2/一、2所圍成的立體體積.

六、求”，六一/一丁,^,其中。由_?+/=&圍成.

D

七、利用極坐標(biāo)計算下列二重積分

1、[Jarctan—t/cr,其中。是由圓周V+V=4,/=1及直線曠=09=尤圍成的

DX

第一象限區(qū)域.

2、JJln(l+x2+y2)db,其中。是由圓周/+y2=1及X軸，y軸所圍成的第一象限閉

D

區(qū)域.

八、把下列積分化為極坐標(biāo)系下的形式并計算積分

1、LN",后子dy2、[：公廣,6+川辦

九、求錐面2=療牙被柱面Z2=2X所割下的面積.

十、求由y=V及y=l所圍成的均勻薄片（面密度為夕）對X軸的轉(zhuǎn)動慣量.

十一、化下列三重積分為三次積分

1、川*/。,％2）64儀/2,其中。是由平面工=0/=0,2=0,犬+丁+2=1所圍成的四面體.

C

2、JjJf(^,y,z)dxdydz,其中Q是由曲面z=x?+)/,>=%2及平面丁=]*=0所圍成

的閉區(qū)域.

十二、計算下列三重積分

1,flJ(x2+/)Jv,其中。是由錐面z2="，+V)及平面z=5所圍成.

Q4

2、jjjZdv,其中■是由錐面Z=j2—f―>及z=P+y2所圍成的閉區(qū)域.

3、設(shè)。是由犬+9422,0424”所確定的閉區(qū)域，求J“(x+y+z)dn

十三、利用球坐標(biāo)計算下列三重積分

1、設(shè)物體的體密度夕=+y2+z2,物體Q由V+y2+z2=2z及y20圍成，求。的

質(zhì)量.

2、]JJ(x2+y2+z2)Jv,其中。是半球尤2+y2+z24],Hz>0.

Q

3、JJJZdv,其中Q是由爐+>24z2及/+,2+(2-4)2442所確定.

c

十四、計算三重積分JjJxydv,其中。為柱面F+y2=i及平面2=1*=0,*=0?=0所

C

圍成的第一卦限的區(qū)域.

十五、jjj(x2+y2)Jv,其中Q是由曲面V+y2=2z及平面z=2所圍成的閉區(qū)域.

十六、求球面x2+y2+z2=a2含在圓柱面/+丁=。尤內(nèi)部的那部分面積.

第十章曲線積分和曲面積分

一、填空題

1、若￡為連接(1,0)及(0,1)兩點的直線段，則卜X+/杰=

L

2、設(shè)L是單位圓Y+y2=l,則線積分，6冏關(guān)/=.

3、設(shè)L為橢圓工+匕=1其周長為。，則J(2移+312+4/)4,=

43L

4、設(shè)L為正向圓周Y+y2=2在第一象限的部分，則jMy—2Mt=.

L

5、設(shè)S為半球面V+y2+z2=1(x20),則“(x+y+z)dS=.

5

二、選擇題

1、若L是從點4(3,2,1),到點6(0,0,0)的直線段而，則Jx3dx+3zy2力—dydz=()

22

2、計算橢圓的周長弓+方=1(“乂〉0)),用第一型線積分的式子正確的是()

從卻十合/

『八+（今/

C、D、J："%os"+/sin號力

J-aVdx

3、設(shè)L為/+y2=1的正向，則，回儀一必：二()

L

A、0B>7iC、2兀O、47

4、用線積分計算平面圖形的面積的公式是(其中L平面圖形的邊界)()

A>xdy-ydxBydx-xdy

2L

C、,xdy-ydxD、

5、下列式子是某一二元函數(shù)〃(羽y)在全平面上的全微分的是()

A、xdx-ydyB——~~—dx-----~—dy

2，+y2)2(X2+/)

C、4sinxsin3yfir—3cos3ycos2y辦

D、(4x3+5xy3-3y4)<ix+(15x2y2-12xy3+5/1)dy

三、計算下列線積分

1、，xds,L為直線y=x及拋物線y=f圍成的邊界.

L

2、+y2as,其中L為犬+y2=ax.

L

3、^zds,其中空間曲線「：x=/cos/,y=fsinf,z=，(OW，4l).

r

4、jylx2+y2ds,其中L為圓周/+了2=〃2在直線丁=1及x軸在第一象限內(nèi)的邊界.

四、1、計算線積分，dx—dy+ydz,L為閉折線A8C4,這里A(1,O,O),3(OJ,O),C(0,0,1).

2、求J(20—y)dx+xdy,￡是擺線工=々(，-5111，),丁=々(1—(：05，)3>0)的第一拱，其

L

方向是f增加的方向.

3、計算Jy2公，其中錯誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對象.是上半圓弧V+y2=/(>1>0)

L

逆時針方向.

五、利用格林公式計算下列積分

1、^(ycosx-x2>,+%2)iZx+(y2+sinx)tfy,其中L是上半圓域x?+y2<cr(y>0)的邊

L

界，逆時針方向.

2、產(chǎn)”『Q,其中L為/+/2=1按逆時針方向.

11+廠+廠

六、計算下列各題

1、求變力/=(>+3x,2y-x)沿橢圓4x2+/=4正向一周所做的功.

2、,警二*L：(x—iy+y2=2取逆時針方向.

[x'+y'

七、證明：華坐在半平面y>0內(nèi)是二元函數(shù)的全微分，并求出這個二元函數(shù).

+y

八、計算下列曲面積分

1、JJ(z+2x+—y)dS9其中I:[+]■+a=l(x,y,z20).

2、jj(2x-2x2+2y-{-z)dS,其中E:2x+2y+z=6(x,y,zN0).

九、計算下列各題

1、^z2dxdy,其中E是上半球面/+丁2+22=〃2的上側(cè).

Z

2、jjx2dydz+y2dzdx+zrdxdy,其中2是/+/+z?=R?在第一卦限部分的上側(cè).

十、利用高斯公式計算下列曲面積分

1、x2dydz+y2dzdx4-zrdxdy,其中X是曲面z=犬+y?與z=1所圍成立體表面外側(cè).

2^xzrdydz+(x2y-z2)dzdx+(2xy+y2z)dxdy,其中E是上半球面/+y?+z?="

且zNO表面外側(cè).

H^一、計算曲線積分Jyds和Jydx,其中L為上半圓周/+；/=/順時針方向的半圓弧.

LL

十二、計算下列對坐標(biāo)的曲線積分

1、j(x2-y2)^,其中L是由拋物線y=V上從點(0,0)到點(2,4)的一段弧.

2、jydx+xdy,其中L是圓周x=Rcosf,y=Rsinf對應(yīng)。=0到￡=工的一段弧.

L

第十一章無窮級數(shù)

一、填空題

(-1)"

1、級數(shù)z其中p為常數(shù)，若級數(shù)絕對收斂，則p的取值范圍是

2p+

n=ln'

0c1

2、級數(shù)￡——a>0為常數(shù)），則當(dāng)a取值范圍是_____________時級數(shù)收斂.

念1+。

3、若級數(shù)￡%收斂，那么￡100%（收斂或發(fā)散）.

〃=1n=100

級數(shù)之士]匚的收斂性是

4、

W（—]}n

5、級數(shù)產(chǎn)V的收斂區(qū)間是

二、選擇題

1>下列說法正確的是（）

00

A、若lim““=0,則級數(shù)“收斂

—“二|

B、%為任意常數(shù)，與有相同的收斂性

〃=1〃=1

C、若級數(shù)收斂，￡乙發(fā)散，則仁（2”“+3匕）發(fā)散

/J=1n=\n=\

D、若級數(shù)￡u?收斂，那么￡u；也收斂

n=\n=\

2、下列級數(shù)中，收斂的是（）

.（1D（〃+1「寺3"4

n=\(〃-1)(〃+3)

3、下列級數(shù)中條件收斂而非絕對收斂的級數(shù)是（）

TT

x(-Ifsin-

(1)"(〃+DB勺(T)"y(-D"

C、2D、E—

hnM=1冗

Hf-IY1

4、基級數(shù)的收斂域是（）

M?

A、（一1,1）B、(-1,1]C.[-1,1)D,[-1,1]

5、下列基級數(shù)中，收斂半徑R=’的是

)

2

2n2n

,XxxXXx

A、-----1----y4---1-----1--B、--1----+???-!---------------------------F???

1x32x32小3〃22x42-4-6....(2n)

C、2』+.??+2"

x"+…D、x+2廠+,??+nx”+???

25+1

三、判斷下列級數(shù)的斂散性

002

1、^tan

3(〃一1尸2、士篝

n=2

、￡00(l3n-ly81

3)〃4、

y(In〃)3

〃=1V4/2+1

四、判斷下列級數(shù)是否收斂，若收斂,是條件收斂還是絕對收斂

00(-1)"2-4……(2n)

1、Z2、Z(-ir

n=lln(l+n)n=l1-3……(2n-l)

n

8?!2sin—OO0“

3、Y-----------鼠4、卒5

五、求下列嘉級數(shù)的收斂區(qū)間

oon

X§㈠)"、

1、2、

81

4、xn(a>b>0)

￡a〃+b”

七、利用逐項求導(dǎo)或逐項積分，求下列級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)

1、f〃尸81

2、V—x4w

占4〃

〃=1

3、之四”4件/

〃=]

八、將下列函數(shù)展開成X的幕級數(shù)，并指出展開式成立的區(qū)間

2x-53(X2+X8)

1、~~72、

—5x+61—x

3、(l+x)ln(l+x)

第十二、微分方程

一、填空題

1、方程盯，一y=0滿足y|皿=4的解為y=

微分方程包=的通解y=

2、

dxl+x~

3、方程y=e2*-＞'滿足條件yL=o=o的特解為y=

4、微分方程y'的通解y

5、微分方程＜—3y'+2y=0的通解y=

二、選擇題

1、微分方程丐'—yiny=0的通解為（其中C為常數(shù)）（）

、xB.y=eCxD.y=eClX+C2

Ay=CeC、y=Ge'+C2

2、微分方程y'sinx=ylny,在初始條件y|.=e下的特解是（)

x=—

2

cXXA-

Ctantan—tan—

A、y=e2By=Ce2C、y=e2D、y=etanx

3、若微分方程P（x,y）公+Q（x,y）辦=0是全微分方程，則必有（)

dQdP6M二絲dP_dQ

A、=Vr、一

dx—dydxdySydxdxdy

4、微分方程y"+y'—2y=0的的通解形式為（）

x2vy-Cex+Ce2x

A、y—Cxe~+C2eB、x2

x2xx2x

C、y=Cxe+C2eD、y=Cte-+C2e-

5、微分方程為＜+：/+'=3"'的特解形式為（）

A>y*=aeB>y*={ax+b)e~x

C、y*=(ax2+/?尢+c)e~xD>y*=e

三、求下列微分方程的通解

1、sec2xtanydx+sec2ytanxdy=0

2^(xy2+x)dx+(y-^y)dy=03、xy'=y+ylx2-y2(x>0)

4、x—=y(iny-Inx)

dx

四、求下列微分方程的通解

1、孫'+y=xex2、(y—x3)dx-2xdy-0

dy二)

4^cosydx+(1+e-r)sinydy=0

dxx+y3ex

五、求下列微分方程的通解

1、eydx+(xey-2y)dy=0

2、(x+y)(dx-dy)-dx+dy3、/-3/=0

4、y"-6y'+9y=05、y,r+6/+13y=0

6、y+4/+29y=0,y(0)=0,/(0)=15

7、yff+2yf+y=xe'8、2y"+5y'=2x+l

六、設(shè)函數(shù)y=y(x)滿足微分方程y"—3y'+2y=2",其圖