湘教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第2章平面解析幾何初步2-4點(diǎn)到直線的距離課件

平面內(nèi)任意兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)間的距離公式為|AB|=

.2.4點(diǎn)到直線的距離1|

兩點(diǎn)間的距離點(diǎn)P0(x0,y0)到直線Ax+By+C=0的距離公式為d=

.2

|點(diǎn)到直線的距離兩條平行直線l1:Ax+By+C1=0與l2:Ax+By+C2=0的距離是d=

.3|

兩條平行直線間的距離1.點(diǎn)P1(0,a),P2(0,b)間的距離是a-b嗎?不是.應(yīng)該是|a-b|.2.點(diǎn)P(x0,y0)到直線y=kx+b的距離是

嗎?不是.直線方程化為一般式為kx-y+b=0,P(x0,y0)到直線y=kx+b的距離為

.3.直線外一點(diǎn)與直線上任一點(diǎn)間的距離的最小值是點(diǎn)到直線的距離嗎?是.由直線外一點(diǎn)與直線上任一點(diǎn)的連線中垂線段最短,知結(jié)論成立.4.兩平行直線間的距離是連接兩條平行直線上任意兩點(diǎn)間的距離嗎?不是.兩平行直線間的距離是兩平行直線間公垂線段的長(zhǎng).知識(shí)辨析利用點(diǎn)到直線的距離公式時(shí),一般先分析確定相應(yīng)的點(diǎn)和直線,再利用公式

計(jì)算求解.當(dāng)所給條件不能明顯確定所需的點(diǎn)和直線時(shí),可考慮待定系數(shù)法,有時(shí)

要結(jié)合幾何圖形的直觀性,綜合分析解決問(wèn)題.1點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用

典例已知某正方形的中心為直線2x-y+2=0,x+y+1=0的交點(diǎn),正方形一邊所在直線l的方程為x+3y-5=0,求:(1)正方形的面積;(2)正方形其他三邊所在直線的方程.思路點(diǎn)撥

(1)利用正方形中心到一邊的距離為邊長(zhǎng)的一半求解.(2)根據(jù)所求的三邊中有一邊所在直線與直線l平行,另兩邊所在直線與直線l垂直,

并結(jié)合正方形的中心到四條邊的距離相等求解.解析

(1)由

得正方形的中心的坐標(biāo)為(-1,0),則(-1,0)到直線x+3y-5=0的距離為

=

,∴正方形的邊長(zhǎng)為

,∴正方形的面積為

=

.(2)設(shè)與直線l:x+3y-5=0平行的邊所在直線的方程為l1:x+3y+C=0(C≠-5).由點(diǎn)(-1,0)到兩直線l,l1的距離相等,得

=

,解得C=7或C=-5(舍去),∴l(xiāng)1:x+3y+7=0.又∵正方形另兩邊所在直線均與l垂直,∴設(shè)另兩邊所在直線的方程分別為3x-y+a=0,3x-y+b=0(a≠b).∵正方形的中心到四條邊所在直線的距離相等,∴

=

=

,解得a=9,b=-3或a=-3,b=9,∴另兩邊所在直線的方程分別為3x-y+9=0,3x-y-3=0.∴正方形其他三邊所在直線的方程分別為x+3y+7=0,3x-y+9=0,3x-y-3=0.1.兩條平行直線間的距離的求法(1)直接利用公式求解.(2)利用“化歸”思想將兩平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為求其中一條直線上任意一點(diǎn)

到另一條直線的距離.2.兩條平行直線間的距離的應(yīng)用已知兩平行直線間的距離及其中一條直線的方程求另一條直線的方程,一般

先設(shè)出直線方程,再利用兩平行直線間的距離公式求解.也可以把兩平行直線間

的距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離問(wèn)題,然后利用點(diǎn)到

直線的距離公式求解.2平行線間的距離公式的應(yīng)用

典例

(1)直線l1:3x+4y-5=0關(guān)于l:3x+4y+1=0的對(duì)稱直線l2的方程為

;(2)已知△ABC的兩頂點(diǎn)A,B在直線l1:2x-y+3=0上,點(diǎn)C在直線l2:2x-y-1=0上.若△ABC的面積為2,則AB邊的長(zhǎng)為

.思路點(diǎn)撥

(1)l1關(guān)于和它平行的直線l對(duì)稱的直線l2滿足條件:①l1∥l2;②l1,l2與直

線l間的距離相等.(2)因?yàn)橹本€l1與l2平行,所以直線l1與l2之間的距離與以AB為底時(shí)三角形的高相等,

利用三角形面積公式可得AB邊的長(zhǎng).3x+4y+7=0解析

(1)設(shè)l2的方程為3x+4y+d=0(d≠-5且d≠1),由條件知l1與l之間的距離等于l2

與l之間的距離,則

=

,解得d=7或d=-5(舍去).故直線l2的方程為3x+4y+7=0.(2)由直線l1:2x-y+3=0,直線l2:2x-y-1=0,可知l1∥l2,兩平行直線間的距離d=

=

,根據(jù)三角形的面積公式,得

×

×|AB|=2,解得|AB|=

.與距離有關(guān)的最值問(wèn)題的解題策略(1)利用對(duì)稱轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離問(wèn)題.(2)利用所求式子的幾何意義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題.一般地,形如

的式子可視為點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)(a,b)之間的距離,所以解決相關(guān)的最值問(wèn)題時(shí),可應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想,借助兩點(diǎn)間的距離公式,將其轉(zhuǎn)化

為點(diǎn)到直線的距離或兩平行線之間的距離.(3)利用距離公式將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最值問(wèn)題,通過(guò)配方求最值.3與距離有關(guān)的最值問(wèn)題

典例

(1)已知m,n,a,b∈R,且滿足3m+4n=6,3a+4b=1,則

的最小值為

(C

)A.

B.

C.1

D.

(2)已知實(shí)數(shù)x,y滿足2x+y+3=0,則

的最小值為

.解析

(1)設(shè)P(m,n),Q(a,b),則|PQ|=

.依題意,P,Q兩點(diǎn)分別在直線l1:3x+4y-6=0與l2:3x+4y-1=0上,則直線l1與l2平行,所以|PQ|的最小值就是兩平行直線間的距離d,又因?yàn)閐=

=1,所以

的最小值為1,故選C.