湘教版高中數(shù)學(xué)必修四知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

解三角形知識(shí)點(diǎn)歸納

1、三角形三角關(guān)系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；

2、三角形三邊關(guān)系：a+b>c;a-b<c

3、三角形中的基本關(guān)系：sin(A+8)=sinC,cos(A+8)=-cosC,tan(A+5)=-tanC,

sinf2日=cosf-cosf±g=sinf,tand±g=cotS

222222

4、正弦定理：在AABC中，a、b、c分別為角A、B、。的對(duì)邊，R為AABC的外

abc

接圓的半徑，則有===2R.

sinAsinBsinC

5、正弦定理的變形公式：

①化角為邊：〃=2/?sinA,b=2RsinB,c=27?sinC；

abc

為角：sinA=一,sinB=—,sinC=一；

2R2R2R

③Q:h:c=sinA:sinB:sinC；

-o+〃+cabc

?===■

sinA+sinB4-sinCsinAsinBsinC

6、兩類正弦定理解三角形的問題：①已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角.

②已知兩角和其中一邊的對(duì)角，求其他邊角.(對(duì)于已

知兩邊和其中一邊所對(duì)的角的題型要注意解的情況(一解、兩解、三解))

7、三角形面積公式：S=_bcsinA=_absinC=_acsinB.

△ABC222

8、余弦定理：在AABC中，有G="+-2Z?ccosA,人2=。2+0—2accosB,

C2=。2+—2abcos

c.9、余弦定理的推論：拉+C2—G,cosB=G+d拉，cosC=G+^-s.

Ibc2ac2ab

cosA=

10、如何判斷三角形的形狀：判定三角形形狀時(shí)，可利用正余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一

成邊的形式或角的形式

設(shè)。、。、c是AABC的角A、B、C的對(duì)邊，貝小

a2+h2=C2,則C=90。；ai+b2>C2,則C<90。；

G+。2<C2,則C>90。.

題型之一：求解斜三角形中的基本元素

指已知兩邊一角(或二角一邊或三邊)，求其它三個(gè)元素問題，進(jìn)而求出三角形的三線(高

線、角平分線、中線)及周長(zhǎng)等基本問題.

umruuur

1.在AA5c中，AB=3,AC=2,BC=而,則ABAC=()

1/13

33

A.D.

2332

【答案】D

7t

4（2005年全國高考江蘇卷）△/BC中，/=_,EC=3,則△/BC的周長(zhǎng)為（）

43sinB++343sinB+"'+3

.I6j

A.I3；

71、c（兀、

6sinB++36sinB+.+3

C.）.1

I6J

分析：由正弦定理，求出〃及“或整體求出。+〃則周長(zhǎng)為3+匕+,而得到結(jié)果.選(D).

5(2005年全國高考湖北卷)在AHBC中，已知=崢，COS8=Yg,"C邊上的中

36

線BD=布,求sinA的值.

分析：本題關(guān)鍵是利用余弦定理，求出/C及BC,再由正弦定理，即得sin/L

解：設(shè)E為BC的中點(diǎn)，連接DE,則DE//AB,且DE=14B=2#,設(shè)BE=

23

在△BDE中利用余弦定理可得：BD2=BE2+ED2-2BE-EDcosBED,

5=x2+f+2x韭x嶼x,解得x=l,*=【_（舍去）

3~6~3

282/21

故BC=2,從而力-2/1BB&O四=_,即4C=、一.又sinB

33

27n

23Sie迎

故_____=——

sinA^014

~6~

在△ABC中，己知a=2,b=25/2,C=15°,求A。

答案：：.B>A,且0。</<180。，：.A=30)

題型之二：判斷三角形的形狀：給出三角形中的三角關(guān)系式，判斷此三角形的形狀.

I.(2005年北京春季高考題)在&4BC中，已知2sin/cosB=sinC,那么A/1BC一定是

()

A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形

解法1：由2sinAcosB=sinC=sin(yl+B)=sirt4cosB+coszlsinB,

即sin^lcosB—cos^sinB=0,得sin(“一B)=0,得A=B.故選(B).

2/13

解法2：由題意，得cosB=sinC=c,再由余弦定理，得cos8=";二匕

2sinAla2ac

。2+C2—tnc

-----------——>即“2=62,得a=b,故選(B).

2ac2a

評(píng)注：判斷三角形形狀，通常用兩種典型方法：⑴統(tǒng)一化為角，再判斷(如解法1),⑵統(tǒng)一

化為邊，再判斷(如解法2).

2.在△ABC中，若2cos8siM=sinC,則△43C的形狀一定是()

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等邊三角形

答案：C

解析：2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A—B)又：2sinAcosB=sinC,

Asin(4-B)=0,；.A=8

?2tanA

3.在aABC中，若一=---,試判斷△ABC的形狀。

bitanB

答案：故△ABC為等腰三角形或直角三角形。

4.在4ABC中，acosA=/?cosp,判斷AABC的形狀。

答案：為等腰三角形或直角三角形。

題型之三：解決與面積有關(guān)問題

主要是利用正、余弦定理，并結(jié)合三角形的面積公式來解題.

1.（2005年全國高考上海卷）在A48C中，若NA=120。，AB=5,BC=7,

則的面積S=.

2.在A4BC中，sinA+cosA--,AC-2,AB-3,求tanA的值和AA8C的面

積。

i?_a

碑+怖=（上

答案:S=ACxABsinA=x2x3x+

MBC2244V"

3.(07浙江理18)已知△ABC的周長(zhǎng)為W+1,且5也4+5皿8=0^!1。.

(I)求邊45的長(zhǎng)；

(H)若△ABC的面積為IsinC,求角C的度數(shù).

6

解(I)由題意及正弦定理，得AB+BC+AC="+1,BC+AC=j2AB,

兩式相減，得AB=1.

(II)由△ABC的面積_BCgACgsinC=_sinC,得BCgAC：,

263

3/13

由余弦定理，得cosC-AC2+BC2—AB^(AC+BC)--2ACgBC-AB21

2ACgBC2ACgBC2

所以C=60。.

題型之四：三角形中求值問題

1.（2005年全國高考天津卷）在A48C中，NA、NB、NC所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c,

c1

設(shè)a、b、c滿足條件。2+c2-bc=a2和—=—+JW,求NA和tanB的

0值.2

分析：本題給出一些條件式的求值問題，關(guān)鍵還是運(yùn)用正、余弦定理.

解：由余弦定理cosA=.+C2<2=1,因此，/A=60。

2bc2

在

△由已知條件，應(yīng)用正弦定理1+召=c=sinC_sin(120°B)

A2bsinBsinB

B_sinl20°cosB-cosl20°sinB乃八11

C/cot3+_,解得cotB=2,從而tan3=_

sinB222

中

8+C

2.A48c的三個(gè)內(nèi)角為4B、C,求當(dāng)A為何值時(shí)，cosA+Zcos”一取得最大值,

Z

?:求出這個(gè)最大值。

=B+C冗AB+CA

I解析：由A+B+C=兀，得.2=彳~~2f所以有cosp-=si吆。

B+CAAAA13

NcosA+2cos-2=cosA+2siny=l—2sin2Zsin?=2(sin2-2”中2；一

A

A1nB+C3

N當(dāng)sin十2廠即A=3一時(shí)，cosA+2cosW取得最大值為

B

生在銳角△ABC中，角AB。所對(duì)的邊分別為ab,c,已知sinA=產(chǎn)，(1)求

13

—N由+CA

tan2+sin2_的值；(2)若。=2,S=產(chǎn),求b的值。

22AAfiC

解析：（1）因?yàn)殇J角AABC中，A+B+C=,sinA=3^,所以cosA=；,

則

,B+C

B+CAsin22A

tan3+sin2y=__^+sin2—

2

乙COS2------------

2

1—cos(B+C).1/.八1+8SA+-

Ico、'_______+_(1—cosA)

1+cos(B+C)21—cosA33

4/13

(2)因?yàn)镾=J7,又S=：bcsinA=1bc則bc=3。

VABCVABC223

13

將a=2,cosA=3，c=次入余弦定理：a2=b?+c2-2bccosA中，

b

得b?—6b2+9=0解得b=W?

點(diǎn)評(píng)：知道三角形邊外的元素如中線長(zhǎng)、面積、周長(zhǎng)等時(shí)，靈活逆用公式求得結(jié)果即可。

4.在AABC中，內(nèi)角A,B,C對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是a,b,c,已知c=2,C=

3

(I)若△ABC的面積等于不，求a,b；

(II)若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC的面積.

本小題主要考查三角形的邊角關(guān)系，三角函數(shù)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合應(yīng)用三角函數(shù)有關(guān)知

識(shí)的能力.滿分12分.

解(I)由余弦定理及已知條件得，/+枚-。匕=4,

又因?yàn)椤鰽8C的面積等于JT，所以［a"sinC=得帥=4................4分

(a2+b2-ab=4,a=2b=2

聯(lián)立方程組〈一，解得，.................................6分

甌=4,

(II)由題意得sin(3+A)+sin(3-A)=4sinAcosA,

即sinBcosA=2sinAcosA,..............................................8分

當(dāng)cosA=0時(shí)，A=\B=\a=，事,b=2小,

2633

當(dāng)cosAwO時(shí)，得sinB=2sinA,由正弦定理得〃=2Q,

［。2+拉—ab=4,nZTij.行

聯(lián)立方程組%C解得a=3,6

\b=2a,33

所以ZVIBC的面積S=［a/jsinC=..................................12分

23

題型之五：正余弦定理解三角形的實(shí)際應(yīng)用

利用正余弦定理解斜三角形，在實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測(cè)量、航海、幾何等

方面都要用到解三角形的知識(shí)，例析如下：

(-.)測(cè)量問題

1.如圖1所示，為了測(cè)河的寬度，在一岸邊

選定A、B兩點(diǎn)，望對(duì)岸標(biāo)記物C,測(cè)得

ZCAB=30°,ZCBA=75°,AB=120cm,求河

的寬度。

5/13AD

圖I

分析：求河的寬度，就是求AABC在AB邊上的高，而在河的一邊，已測(cè)出AB長(zhǎng)、

NCAB、ZCBA,這個(gè)三角形可確定。

--------------------,AC=AB=120m,又

sinZ.CBAsinZz4cB1

_AB-ACsinZCAB^_AB-CD,解得CD=60m。

'lABC22

點(diǎn)評(píng)：雖然此題計(jì)算簡(jiǎn)單，但是意義重大，屬于“不過河求河寬問題

（-.）遇險(xiǎn)問題

2某艦艇測(cè)得燈塔在它的東15。北的方向，此艦艇以30海里/小時(shí)的速度向正東前進(jìn)，30

分鐘后又測(cè)得燈塔在它的東30。北。若此燈塔周圍10海里內(nèi)有暗礁，問此艦艇繼續(xù)向東航

行有無觸礁的危險(xiǎn)？

解析：如圖艦艇在A點(diǎn)處觀測(cè)到燈塔S

在東15。北的方向上；艦艇航行半小時(shí)后到北，，

達(dá)B點(diǎn)，測(cè)得S在東30。北的方向上。在[jJ-***^^

△ABC中，可知AB=30x0.5=15,西I東

ZABS=150°,NASB=15。，由正弦定理得下1曰《

BS=AB=15,過點(diǎn)S作SC_L直線AB,垂足南！,圖2

為C,則SC=15sin30°=7.5。

這表明航線離燈塔的距離為7.5海里，而燈塔周圍10海里內(nèi)有暗礁，故繼續(xù)航行有觸

礁的危險(xiǎn)。

點(diǎn)評(píng)：有關(guān)斜三角形的實(shí)際問題，其解題的一般步驟是：（1）準(zhǔn)確理解題意，分清已知

與所求，尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞和術(shù)語；（2）畫出示意圖，并將已知條件在圖形中

標(biāo)出；（3）分析與所研究問題有關(guān)的一個(gè)或幾個(gè)三角形，通過合理運(yùn)用正弦定理和余弦定理

求解。

數(shù)列復(fù)習(xí)基本知識(shí)點(diǎn)及經(jīng)典結(jié)論總結(jié)

1、數(shù)列的概念：數(shù)列是按一定次序排成的一列數(shù)。數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做

這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。數(shù)列是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N*（或它的有限子集｛1,2,3,…，n｝）的

特殊函數(shù)，如果數(shù)列｛明,｝的第n項(xiàng)〃與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，則這個(gè)公式

就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。

遞推關(guān)系式：已知數(shù)列｛z〃｝的第一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任何一項(xiàng)〃與它的前一項(xiàng)〃（前n

nn—1

項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，則這個(gè)式子就叫數(shù)列的遞推關(guān)系式。

數(shù)列的前n項(xiàng)和：$“=〃+〃+〃+???+〃”.

”I23〃

已知，〃求的方法（只有一種）：即利用公式'（〃=D注意：

an°n,s~S,（"*2）

Itjn—1

一定不要忘記對(duì)n取值的討論！最后，還應(yīng)檢驗(yàn)當(dāng)n=l的情

況是否符合當(dāng)n22的關(guān)系式，從而決定能否將其合并。

2.等差數(shù)列的有關(guān)概念：｛｝

、等差數(shù)列的定義：如果數(shù)列:〃八第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，

6/13

那么這個(gè)數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫等差數(shù)列的公差。即

Cln~an-\=d（'n￡川*,且/122）.（或?？?1-4]=壯（"eN*））?

（1）等差數(shù)列的判斷方法：①定義法：an+「%=d（常數(shù)）0為等差數(shù)列。

+

②中項(xiàng)法：2an+~anan+2?t｝為等差數(shù)列。③通項(xiàng)公式法：a^an+b（a,b

為常數(shù)）<=><>為等差數(shù)列。④前n項(xiàng)和公式法：S=^n2+sn（A,B為常數(shù)）o2｝

nnWn

為等差數(shù)列。

0等差數(shù)列的通項(xiàng)：=a+（n-l）d或a=a+（n-m）d。公式變形為：a=an+b-

a'nm

n

其中a=d,b=%_d.

+a)刀(刀一])

0等差數(shù)列的前n和：s=!n,S=na+d。公式變形為：

?2?12

d.

2d

S.=4n2+Bn,好人=一，B=Q-.注意：改n,d,°1,

?2

s”中的三者可以求另兩者，即所謂的'‘知三求二”。

1115.

如(1)數(shù)列｛a｝中，a=a+(n>2,ne/V?),a=，前n項(xiàng)和S=一,

?nn-l2〃2n2

則Q=_,〃=_(答：Q=-3,n=10)；(2)已知數(shù)列｛Q｝的前n項(xiàng)和S=12n-m,

_12n-n2（n<6,nGN*）

求數(shù)列｛|a|｝的前n項(xiàng)和T（答：「.

nnn[〃2-12〃+72（〃>6,”EN*）

Q+b

@等差中項(xiàng)：若Q,4b成等差數(shù)列，貝IJA叫做a與b的等差中項(xiàng)，且A=。

2

提醒：（1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前“和公式中，涉及到5個(gè)元素：a、d、n、a及

S,其中a、d稱作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2個(gè),

nI

即知3求2。（2）為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為…，

a-2d,a-d,a,a+d,a+2d-（公差為d）；偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為…，

a-3d,a-d,a+d,a+3d,…（公差為2d）

3.等差數(shù)列的性質(zhì)：

（1）當(dāng)公差d#0時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式a=a+（n-l）d=dn+a-d是關(guān)于〃的一

n11

7/13

n(n-1)dd

次函數(shù)，且斜率為公差d；前”和S=〃a+d=_〃2+(a-_加是關(guān)于“的二次

n12212

函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0.

(2)若公差d>0,則為遞增等差數(shù)列，若公差d<0,則為遞減等差數(shù)列，若公差

d=0,則為常數(shù)列。

(3)對(duì)稱性：若M｝是有窮數(shù)列，則與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和都等于首末兩項(xiàng)之

n

和.當(dāng)m+〃=p+q時(shí)，則有a+a=a+a,特別地，當(dāng)m+n=2p時(shí)，則有

mnpq

a+a=2a.如(1)等差數(shù)列｛Q｝中，S=18,a+Q=3,S=1,則〃=____

mnpnnnn-1n-23

(答：27)；

(4)單調(diào)性：設(shè)d為等差數(shù)列L)的公差，則

n

d>00｛a｝是遞增數(shù)列；d<0oM｝是遞減數(shù)列；d=0oL｝是常數(shù)數(shù)列

nn

4i=/(n),則

(5)若等差數(shù)列｛Q｝、｛6｝的前〃和分別為A、B,且

nnnnD

余=黑=￡=瓢￡=/(2"-1).如設(shè)｛。/與｛匕｝是兩個(gè)等差數(shù)列,

它們的前〃項(xiàng)和分

2n-1

S3n+1Q6n-2

n—，那么_”__________________)

nnT4n-3b8n-7

nn

(8)8、已知3｝成等差數(shù)列，求$的最值問題：

nn

法一：利用鄰項(xiàng)變號(hào)法

①若a>0,d<0且滿足巴，則S最大；

1\a<on

In+1

②若a<0,d>0且滿足巴,則s最小.

1]a>on

法二：因等差數(shù)列前n項(xiàng)是關(guān)于"的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要

注意數(shù)列的特殊性neN*。上述兩種方法是運(yùn)用了哪種數(shù)學(xué)思想？(函數(shù)思想)由此你能

求一般數(shù)列中的最大或最小項(xiàng)嗎？如(1)等差數(shù)列｛a｝中，a=25,S=S，問此數(shù)列

n1917

前多少項(xiàng)和最大？并求此最大值。(答：前13項(xiàng)和最大，最大值為169)；(2)若｛a｝是等

n

差數(shù)列，首項(xiàng)Q>0,a+Q>0,

120032004

aa<0,則使前n項(xiàng)和S>0成立的最大正整數(shù)n是(答：4006)

20032004n

8/13

4.等比數(shù)列的有關(guān)概念：如果數(shù)列a”從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)

常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫等比數(shù)列的公比。即0__,（或

—=q（ne/V，〃22）

a

n-1

a

―叱1=q(〃GN")

a

（1）等比數(shù)列的判斷方法：定義法，_=q（q為常數(shù)），其中qHO,a,/°或「工

+1

a

nnn-l

（nN2）。如（1）一個(gè)等比數(shù)列｛a｝共有2n+l項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)之積為100,偶數(shù)項(xiàng)之積為120,

n

5

則a為___L答：）；（2）數(shù)列但｝中，S=4a+l（n?2）且a=i,若b=a-2a,

n+l6nn"I1〃1n

求證：數(shù)列｛b｝是等比數(shù)列。

n

(2)等比數(shù)列的通項(xiàng)：a=aqnT或a=aq“-m。如設(shè)等比數(shù)列｛Q｝中，a+a=66,

n1ntnnIn

+

aa=128,前〃項(xiàng)和S=126,求n和公比q.(答：n=6,q=或2)

2n-ln2

(3)等比數(shù)列的前〃和：當(dāng)q=l時(shí)，S=na；當(dāng)qwl時(shí)，S=1=iJ

n1nl-q1-q

如（1）等比數(shù)列中，q=2,58=77,求a+a+A+a（答：44）

力3699

特別提醒：等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)，首先要

判斷公比q是否為1,再由q的情況選擇求和公式的形式，當(dāng)不能判斷公比q是否為1時(shí)，

要對(duì)<7分9=1和q#1兩種情形討論求解。

（4）等比中項(xiàng):如果a、G、b三個(gè)數(shù)成等比數(shù)歹ij,那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)，即G=匹.

提醒：不是任何兩數(shù)都有等比中項(xiàng)，只有同號(hào)兩數(shù)才存在等比中項(xiàng)，且有兩個(gè)土阮。如已

知兩個(gè)正數(shù)a,版a豐b）的等差中項(xiàng)為A,等比中項(xiàng)為B,則A與B的大小關(guān)系為（答:

A>B）

提醒：（1）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和公式中，涉及到5個(gè)元素：a、q、n、a

1n

及s，其中a、q稱作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2

n1

個(gè)，即知3求2；

5.等比數(shù)列的性質(zhì)：

（1）對(duì)稱性：若&｝是有窮數(shù)列，則與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之積都等于首末兩項(xiàng)之積.

9/13

即當(dāng)m+n=p+q時(shí)，則有a.a=a.a，特別地，當(dāng)m+n=2p時(shí)，則有a.a=(72.

mnpqmnp

如(1)在等比數(shù)列｛a｝中，a+a=124,aa=-512,公比q是整數(shù)，則a=(答:

n384710

512)；

(2)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛a｝中，若aa=9,貝ijloga+loga+L+loga=

n563132310

(答：10),

6.數(shù)列的通項(xiàng)的求法:

⑴公式法：①等差數(shù)列通項(xiàng)公式；②等比數(shù)列通項(xiàng)公式。

15〃

SQ+Q+L+Q/（〃）QQ=J,(=1)

⑵已知(即）求，用作差法:

nI2n?S'—S,(n>2)0

nn-1

②數(shù)列

如①已知｛a｝的前n項(xiàng)和滿足log(S+l)=n+l,求a(答：a：3,n=l)；｛a｝

n2nn2n,n>2n

111｛14,n=1

滿氐a+—a+L+_a=2〃+5,求a(答：a=o))

212222nnnn2n+l,H>2

⑶若一Q=/(〃)求Q用累加法：a=(a-a)+(a-a)+L+(Q-a)

°n+lnnnnn-ln-1n-22I

1

+a(n>2)o如已知數(shù)列｛a｝滿足a=1Q=-=_-(n>2),則

In1nn-]+1+Jn

Q=(答：Q="TT-#+l)

nn

aaaa

（4）已知u_=/（〃）求Q，用累乘法:Q=〃?”1?L?2?a(n>2)o如已知

a“naaQi

nn-1n-21

4

數(shù)列｛Q｝中，Q=2,前〃項(xiàng)和S，若S=〃2Q,求Q(答：a=-------------)

n1nnnnn〃(〃+1)

（5）已知遞推關(guān)系求a，用構(gòu)造法（構(gòu)造等比數(shù)列）。特別地，（1）形如a=ka+b、

nnn-1

（k,b為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列后，再求Q。

如①已知Q=1,Q=3。+2,求Q（答：。=2砂-1一1）；

Inn-1nn

注意：（1）用a=S-S求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，你注意到此等式成立的條件了嗎？

nnn-1

（n>2,當(dāng)〃=1時(shí)，a=S）；（2）一般地當(dāng)已知條件中含有a與S的混合關(guān)系時(shí)，常

1Inn

需運(yùn)用關(guān)系式a=S-S,先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含a或S的關(guān)系式，然后再求解。

n-1

10/13

｛

如數(shù)列｛a｝滿足a=4,S+S=：a，求a(答：a=4,n=l)

n1nn+13〃+1,n3g4—1,z?N2

7.數(shù)列求和的常用方法：

(1)公式法：直接利用或可通過轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的求和公式求解。特別聲明：

運(yùn)用等比數(shù)列求和公式，務(wù)必檢查其公比與1的關(guān)系，必要時(shí)需分類討論.；③常用公式：

1+2+3+L+n=Ln(n+1),I24-22+L+“2=1+l)(2n+l)

26'

n(n+1)

13+23+33+L+〃3=[---]2.如(1)等比數(shù)列｛Q｝的前〃項(xiàng)和S=2n-1,則

2nn

4n-l

Q2+Q2+Q2+A+672=(答：)；(2)計(jì)算機(jī)是將信息轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)進(jìn)行

123n3

處理的。二進(jìn)制即“逢2進(jìn)1”，如(11()1)表示二進(jìn)制數(shù)，將它轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制形式是

2

1x23+1x22+0x21+1x2()=13,那么將二進(jìn)制《11嗆我，轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)是(答:

2005個(gè)1

22005-1)

(2)分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常把數(shù)列的各項(xiàng)分成多個(gè)項(xiàng)或把數(shù)列

的項(xiàng)重新組合，使其轉(zhuǎn)化成等差或等比數(shù)列，然后利用公式求和。如求：

S=-l+3-5+7-L+(-l)n(2n-l)(答：(一1)八〃)

n

(3)倒序相加法：倒序相加法：數(shù)列特點(diǎn)：與首末等距離的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之

和，則采用此法。(聯(lián)系：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和推導(dǎo)過程以及高斯小時(shí)后巧解算術(shù)題)).如

X2J117

已知/(x)=，則/(1)+/(2)+/(3)+/(4)+/(_)+/(J+/(_)=_____L答：—)

1+X22342

(4)錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)

成，即數(shù)列是一個(gè)“差?比”數(shù)列，那么常選用錯(cuò)位相減法(這也是等比數(shù)列前”和公式的

推導(dǎo)方法).如設(shè)｛a｝為等比數(shù)列，T=na+(n-l)a+L+2a+a,已知T=l,T=4,

nnI2n-in