小學數(shù)學教學論教案

第十章中學數(shù)學教學工作《小學數(shù)學教學論》教案PAGE312PAGE295緒論作為課程的小學數(shù)學教學論一、教學內容本課程的性質、地位與作用數(shù)學教學論的產生與發(fā)展小學數(shù)學教學論的研究對象小學數(shù)學教學論的理論基礎二、教學過程§0.1本課程的性質、地位與作用小學數(shù)學教學論是高等師范院校小學數(shù)學教育專業(yè)及其它相關專業(yè)的一門專業(yè)必修課程。小學數(shù)學教學論是研究數(shù)學教學過程中教和學的聯(lián)系、相互作用及其統(tǒng)一的科學。具體地說，小學數(shù)學教學論是以一般教學論和教育學的基本理論為基礎，從小學數(shù)學教育的實際出發(fā)，分析小學數(shù)學教學過程的特點，總結長期以來小學數(shù)學教學的歷史經驗，揭示小學數(shù)學教學過程的規(guī)律，研究小學數(shù)學教學過程中的諸要素（教學方法、教學組織形式、教學的物質條件等）及其相互間的關系，幫助教師端正教學思想和形成教學技能，并對小學數(shù)學教學的效果開展科學的評價。本課程是為適應培養(yǎng)高學歷、專業(yè)化、學者型小學數(shù)學教師的需要，適應新一輪基礎教育數(shù)學課程改革的需要而開設的專業(yè)基礎課程。因此，它在培養(yǎng)學生將來從事小學數(shù)學教學與研究的能力、提高學生從事小學數(shù)學教師職業(yè)所必備的綜合素質與專業(yè)化水平等方面具有其他課程所不能替代的重要作用。通過本課程的學習，使學生獲得系統(tǒng)的小學數(shù)學教學論知識和小學數(shù)學教學基本技能與教學方法，提高學生對小學數(shù)學教育的整體認識水平，提高小學數(shù)學教學水平和教育研究能力，并能運用所學的理論和方法解決實際問題?！?.2數(shù)學教學論的產生與發(fā)展人類對于教育理論的研究已有相當長的歷史了，世界各國都有關于教學方面的理論。我國偉大教育家孔子（公元前551~前479年）就從事過大量的教學活動，并且對于教學現(xiàn)象作過許多非常精辟的論述。他的關于學與思關系的言論、他所用的啟發(fā)式的教學方法以及因材施教的教學實踐，至今還有著重要的現(xiàn)實意義。戰(zhàn)國末年的《學記》一書，對于教學現(xiàn)象又作了全面的總結。書中所提出的"教學相長"的思想以及所論述的幾個教學原則，至今仍閃爍著智慧的光輝。此后歷代教育家對于教學現(xiàn)象也都有過相當深刻的論述，其中朱熹（1130~1200）提出的六條“讀書法”，即循序漸進、熟讀深思、虛心涵詠、切己體察、著緊用力、居敬持志，又從學習者的角度總結出較深刻的體會。唐代的教育論著《師說》是中華民族的寶貴遺產，也是世界人類文明史上的寶貴財富。在西方教育史上，有古希臘的著名教育家蘇格拉底(Sokrates，公元前469~前400年)他在教學理論上的主要貢獻是：首次提出了歸納法教學和定義法教學，西方教育史上的啟發(fā)式教學方法就由此引申而來，后人稱蘇格拉底的這種教學方法為“產婆術”(一種詰問性談話法)，差不多與同一時期孔子所用的啟發(fā)式方法媲美。到了中世紀，由于神學在封建社會占據(jù)統(tǒng)治地位，西方各國的學術研究基本上處于停滯狀態(tài)。到了17世紀，捷克教育家夸美紐斯（J.A.Comenius，1592~1670）寫出了舉世聞名的《大教學論》一書，全面論述了當時他所接觸的教育現(xiàn)象，提出了至今仍有借鑒意義的許多教學原則，如直觀性、系統(tǒng)性、量力性、鞏固性教學原則，達到了前所未有的水平，可以說為教學論這一學科的建立奠定了基礎。其后，法國的盧梭(J.J.Rousseau，1712~1778)、瑞士的裴斯泰洛齊（J.H.Pestalozzi，1746~1827）、德國的赫爾巴特（J.F.Herbart，1776~1841）都努力從心理學方面為教學理論尋找依據(jù)，并探討合理的教學方法，為教學論的發(fā)展做出了突出貢獻。從社會發(fā)展和歷史發(fā)展的階段看，西方現(xiàn)代教育教學理論的大發(fā)展應該從赫爾巴特將心理學引入教學論的范疇開始。赫爾巴特曾著有《普通教育學》、《教育學講授綱要》等教育理論著作。他提出并由他的學生發(fā)展了的"五段教學法"，曾經統(tǒng)治歐美教育界達半個世紀之久，甚至影響到東方的中國和日本。在20世紀初，美國的杜威(J.Dewey，1859~1952年)提出了“兒童中心主義”、“新教育運動”，成為美國代表的實用主義進步教學論學派的代表人物，與赫爾巴特的傳統(tǒng)派形成了鮮明的對比。此后，傳統(tǒng)派與革新派繼續(xù)斗爭，一直延續(xù)到現(xiàn)代，這兩個學派也都給我國各級學校的教育以極為深刻的影響。20世紀中葉以來，現(xiàn)代教學論發(fā)展迅速，在世界范圍內形成不同派別。如50至70年代，產生了以現(xiàn)代認知發(fā)展教學觀取代傳統(tǒng)和知識教學觀的教學論，代表人物是美國教育學家、心理學家布魯納，其代表作是《教學過程》。與其同時，前蘇聯(lián)著名教育學家、心理學家贊柯夫也提出了反對“學科中心論”的發(fā)展教學論，60年代末，原蘇聯(lián)還出現(xiàn)了巴班斯基（1927——1987，原蘇聯(lián)教育科學院院士）的“教學過程最優(yōu)化”的教學論。除此之外，還有維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)”理論，德國瓦根舍因的“范例方式教學論”等等。自50年代末，在美國還產生了在世界上廣泛影響的“人本主義”教學論，其代表人物有美國心理學家馬斯洛、洛杰斯和阿爾伯特?，F(xiàn)代最有影響的教學理論是前蘇聯(lián)著名教育學家蘇霍姆林斯基的“和諧教學論”，他著有《給教師的一百條建議》一書（1969年），在世界范圍內影響很大。而前蘇聯(lián)另一著名教育學家沙塔洛夫提出的“綱要信號”圖示教學法，是現(xiàn)代積極化教學思想的體現(xiàn)，也有廣泛的國際影響。由上可知，過去的中外教育家們對于教學現(xiàn)象的探究是由來已久的。他們在這方面做出了卓越的貢獻。且不說我國戰(zhàn)國末期出現(xiàn)的《學記》，就憑樹立了近代教學論的里程碑的《大教學論》而論，到現(xiàn)在也已有300多年了。在今天我們雖然把教學論作為教育學的一個組成部分，可是教學論思想的產生與發(fā)展并逐漸形成體系，卻是早于把它包括在內的教育學的。教育學之成為一個學科體系應該說是稍后的事情。數(shù)學教學論是數(shù)學教育領域中一門正處于發(fā)展中的新學科。它的產生，既是數(shù)學教育理論發(fā)展的必然，也是數(shù)學教育實踐的呼喚。近年來，人們對數(shù)學教學的成效愈益關注，教學改革被作為提高數(shù)學教育質量的重要手段而升到了一個新的高度，廣大的數(shù)學教學工作者越來越迫切地需要了解和掌握有關能夠幫助他們切合實際地解決教學問題的理論。與此同時，普通教學論和作為數(shù)學教育的一般理論的數(shù)學教育學在現(xiàn)代教育科學之林中得到了極大的發(fā)展。數(shù)學教學論的豐富更為數(shù)學教育工作者所矚目，其理論體系的日益完善和堪稱豐富的實驗成果使之有可能對所有數(shù)學教學活動發(fā)揮不容忽視的指導作用。正是在這種理論與實踐的雙重力量的推動之下，數(shù)學教學論開始發(fā)展成為學科教育學中的重要分支學科之一。數(shù)學教學論，揭示的是數(shù)學教育教學的基本原理、特有規(guī)律，而不是僅僅停留在若干教育學、心理學的一般規(guī)律上，更不能只滿足于符合一些時髦的口號。在國外，弗賴登塔爾的“數(shù)學現(xiàn)實論”、“數(shù)學再創(chuàng)造論”、“數(shù)學形式化原則”；波利亞的“合情推理”學說、范·希爾的“幾何學習5水平”界說；杜賓斯基的APOS數(shù)學概念教學觀等等，都具有濃厚的數(shù)學品味和理論價值。在我國數(shù)學教學論這門學科的產生與發(fā)展大致經歷了四個階段：1、萌生期（1897年——1921年）本學科隨著師范教育的產生而產生，這時期學科附屬于教育學，處于胚胎孕育階段。1897年，清朝天津海關道盛宣懷創(chuàng)辦南洋公學，內設師范院，開設“教授法”課，講授教學的秩序和、法則。1904年1月清政府頒布了《奏定學堂章程》，確定了“癸卯學制”，是中國近代第一個由中央政府以法令形式公布并推行的學校教育制度，是仿日本學制而制定的，小學開設“算術”，中學開設“算學”（包括算術、幾何、代數(shù)、三角），初級、優(yōu)級師范學堂分別開設“教授法”、“各科教學法”。2、草創(chuàng)期（1922——1949）1922年政府頒布了一個正式文件“學校系統(tǒng)改革令”，提出師范開設“普通教授法”、“各科教學法”、“各科教材研究”。20世紀20年代前后，任職于南京高等師范學校的陶行知先生，提出改“教授法”為“教學法”的主張，雖被校方拒絕，但這一思想?yún)s逐漸深入人心，得到社會的承認?！皵?shù)學教學法”，此名一直延續(xù)到20世紀50年代末。無論是“數(shù)學教授法”還是“數(shù)學教學法”，實際上只是講授各學科通用的一般教學法，30年代至40年代，我國曾陸續(xù)出版了幾本《數(shù)學教學法》的書，如1941年商務印書館出版了余竹平先生編著的我國第一部教學法著作《中學數(shù)學教學法》；1949年商務印書館又出版了劉開達編著的《中學數(shù)學教學法》。但這些書多半是對前人或外國關于教學法研究所得，并根據(jù)自己教學實踐進行修補而總結的經驗，但教育理論并未成熟。這時期“數(shù)學教學法”已從教育學脫胎出來。3、徘徊期（1949——1977）這期間學科名稱幾經變易，52年“數(shù)學教學法”，63年“數(shù)學教材教法”。文革期間停止開設。（1）文革前的17年（1949——1966）建國以后，在50年代，我國的數(shù)學教學法是從學習歐美轉向學習蘇聯(lián)，教材用的是從前蘇聯(lián)翻譯的伯拉基斯的《數(shù)學教學法》，其內容主要介紹中學數(shù)學教學大綱的內容和體系，以及中學數(shù)學中的主要課題的教學法，這些內容雖然仍停留在經驗上，但比以往只學一般的教學方法有所進步，畢竟變成了專門的中學數(shù)學教學方法。課堂教學采用了凱洛夫教育學中所倡導的“五個環(huán)節(jié)”的教學模式。即組織教學、檢查復習、新課教學、鞏固新課、布置作業(yè)。（2）文革期間的10年（1966——1976）1966年9月5日，中共中央、國務院發(fā)出了《關于組織外地革命師生來北京參觀革命運動的通知》，大、中、小學生開始了全國性的大串聯(lián)活動，師生外出串聯(lián)，或者在學校搞大批判，稱之為“停課鬧革命”?！皬驼n鬧革命”和三算教材的出現(xiàn)。4、發(fā)展期（1978——）20世紀80年代，我國的數(shù)學教學論不僅與國際數(shù)學教育共同發(fā)展（例如，從80年代起我國就派團參加了此后的各屆ICME），而且無論在數(shù)學教學活動還是數(shù)學教育理論研究方面都形成了自己的特色。在數(shù)學教學法的基礎上，開始出現(xiàn)數(shù)學教學的新理論。國務院學位委員會公布的高等學?！皩I(yè)目錄”中，在“教育學”這個門類下設“教材教法研究”一科(后改為“學科教學論”)，使學科教育研究的學術地位得到確認。80年代中期'"學科教育學"研究在我國廣泛興起，不少高等師范院校成立了專門的研究機構，對這一課題開展了跨學科的研究。1985年，原蘇聯(lián)著名數(shù)學教育學家A.A.斯托利亞爾的《數(shù)學教育學》一書中譯本由人民教育出版社出版發(fā)行。我國在80年代也編寫了《數(shù)學教育研究導引》一書，試圖介紹一些數(shù)學教育研究的范本。到90年代初為止，在全國具有相當規(guī)模和影響的“學科教育學"學術研討會，取得了不少的研究成果。目前這一研究熱潮方興未艾，正在向縱深發(fā)展，不斷有新的研究成果面世。90年代以來，國內外數(shù)學教育發(fā)展迅速，數(shù)學教育研究極為活躍，我國的數(shù)學教學論研究在已構筑的框架基礎上不斷深入和拓廣。1990年，曹才翰教授編著的《中學數(shù)學教學概論》問世，標志著我國數(shù)學教育理論學科已由數(shù)學教學法演變?yōu)閿?shù)學教學論，由經驗實用型轉為理論應用型。1991年出版張奠宙等著的《數(shù)學教育學》，把中國數(shù)學教育置于世界數(shù)學教育的研究之中，結合中國實際對數(shù)學教育領域內的許多問題提出了新的看法，對數(shù)學教育工作者涉及的若干專題，加以分析和評論，這是數(shù)學教育學研究的一個突破。1992年，《數(shù)學教育學報》創(chuàng)刊，由天津師范大學主辦，對數(shù)學教育理論研究與實踐探索發(fā)揮了重要作用。十幾年來，涌現(xiàn)了一批優(yōu)秀的科研成果，出版了一系列數(shù)學教育學著作（上海、湖南、廣西、江西、江蘇等教育出版社以及教育科學等其他出版社各自出版了一批“數(shù)學教育叢書”），研究內容包括“數(shù)學教學理論”、“數(shù)學學習理論”、“數(shù)學思維”、“數(shù)學方法論”、“數(shù)學課程與數(shù)學教育評價”、“數(shù)學習題理論”等多個方面，其內容已遠遠超過上述教材所包含的知識領域。同時我國還加緊數(shù)學教學論專業(yè)人才的培養(yǎng)，國內各大師范院校已增設課程與教學論（數(shù)學）碩士學位授權點和教育碩士（學科教學：數(shù)學）專業(yè)學位，培養(yǎng)出了一批年青的數(shù)學教學論工作者和研究人員?？梢哉f90年代我國的數(shù)學教學論研究形成了一個高潮，數(shù)學教學活動實踐和數(shù)學教育學理論的結合產生了豐碩的成果。當前，中國正進行新一輪基礎教育課程改革，數(shù)學教育應從“應試教育”轉向素質教育，要培養(yǎng)新世紀的全面素質的人才，以適應社會發(fā)展、國際競爭和經濟全球化、信息化的新形勢的需要。隨著素質教育改革的不斷深入，對新世紀的中學數(shù)學教師從專業(yè)素養(yǎng)、教學理論、能力水平等諸方面都提出了更高的要求。2003年4月，高等教育出版社出版了由張奠宙、李士錡、李俊編著的《數(shù)學教育學導論》，是基礎教育新課程教師教育系列教材之一，本書用新的觀點闡述了中小學數(shù)學教育的理論，構建了新的數(shù)學教育體系，并與正在實驗的國家數(shù)學課程標準相適應，這是數(shù)學教育學研究的一個新發(fā)展。因此，高等師范數(shù)學教育的改革應適應這一發(fā)展趨勢，積極投身于全國乃至世界數(shù)學教育的改革與發(fā)展之中，及時地更新課程教學內容，才能更好地體現(xiàn)高等師范院校數(shù)學教育的先進性和帶頭作用。數(shù)學教學論是一門不斷發(fā)展的新學科，它的內容、體系的成熟，需要數(shù)學教學與數(shù)學研究工作者的共同努力。隨著我國數(shù)學教育事業(yè)蓬勃發(fā)展，成果大量涌現(xiàn)，一門具有中國特色的數(shù)學教學論正在逐步形成。數(shù)學教育的理論研究在這20多年中經歷了十分重要的轉變：82年提出數(shù)學教材教法應向“數(shù)學教育學”方向發(fā)展：85年提出建設具有中國特色的數(shù)學教育學；87年國家將“教材教法研究”更名為“學科教學論”，本學科相應更名為“數(shù)學教學論”。這期間出版了教材專著百余種：79年湖南一師編《小學數(shù)學教學法》；84年人民教育出版社編《小學數(shù)學基礎理論和教法》；94年人民教育出版社編《小學數(shù)學教材教法》；97年高等教育出版社編《小學數(shù)學教育學》；03年湖南一師編《數(shù)學教育新論》）§0.3小學數(shù)學教學論的研究對象對小學數(shù)學教學論的研究對象的把握應該建立在對一般教學論的研究對象的正確理解基礎之上。教學論，是關于教學活動的理論，是教育學中的一個組成部分。關于教學論的研究對象，人們普遍地認為它是揭示教學的一般規(guī)律，研究教和學的一般原理。教學論的理論體系也正是循著這一線索來構建并得到不斷完善的。小學數(shù)學教學論研究的數(shù)學教學是指數(shù)學活動的教學，它是教師的數(shù)學教學活動與學生的數(shù)學學習活動兩個方面的統(tǒng)一過程。數(shù)學學習活動是學生在教師的指導下掌握系統(tǒng)的數(shù)學知識、技能和技巧的過程；數(shù)學教學活動是按照教育教學規(guī)律，向學生進行數(shù)學基礎知識和基本技能的教學，以培養(yǎng)數(shù)學能力，發(fā)展學生的認識能力，增進數(shù)學素質，并指導、評價學生數(shù)學學習的過程。由此可知，數(shù)學教學并不是指教師簡單地把數(shù)學知識傳授給學生，而是需要教師組織有效的數(shù)學活動，指導學生的數(shù)學學習，使他們在學習中獲得提高與發(fā)展的教育。圍繞著小學數(shù)學教學論的研究對象，可以確立小學數(shù)學教學論的以下一些主要研究課題，也是小學數(shù)學教學論的主要任務，這主要包括：1）小學數(shù)學課程目標；2）小學數(shù)學課程內容；3）小學數(shù)學學習過程；4）小學數(shù)學教學過程；5）小學數(shù)學教學原則與教學方法；6）小學數(shù)學教學活動與教學組織形式；7）小學數(shù)學具體內容的分析與教學設計；8）小學數(shù)學課堂教學藝術；9）小學數(shù)學教學評價。除上述課題外，小學數(shù)學教學論還應當結合時代條件和科學技術的發(fā)展狀況對小學數(shù)學教學中的各種新問題開展范圍廣泛的研究。以上所列述的小學數(shù)學教學論的研究課題也可以看成是現(xiàn)階段小學數(shù)學教學論的理論體系的基本框架，它也是我們這門小學數(shù)學教學論課程所要講授的主要內容?！?.4小學數(shù)學教學論的理論基礎小學數(shù)學教學論這門學科同許多科學都相互聯(lián)系、相互作用，并受到這些科學的制約和影響。因此，研究小學數(shù)學教學論，應當建立其自身的一系列科學的理論基礎，這是小學數(shù)學教學論日趨完善和成熟的重要保證。0.4.1以辯證唯物主義認識論為基礎辯證唯物主義認識論是認識世界、改造世界的科學的方法論，是研究一切科學的方法論，也是我們認識教學過程的方法論。數(shù)學教學活動從其本質來看，是和人類的一般認識活動相一致的，是人類總體認識活動的一個部分。因此，要建立科學的數(shù)學教學理論就必須以辯證唯物主義認識論為指導，并從數(shù)學教學活動本身的特點出發(fā)去探索數(shù)學教學過程的基本規(guī)律。教學過程是學生在教師的指導下，從不知到知、從知之較少到知之較多，逐步掌握社會歷史經驗、認識客觀世界和改造主觀世界的過程，馬克思主義認識論理所當然地成為它的科學方法論基礎。這也是教學過程論的指導思想。相反，如果離開了辯證唯物主義認識論，就不可能正確理解教學過程的實質、特點和規(guī)律，就必然會陷入唯心主義和機械主義的泥坑。0.4.2以小學生心理學、生理學為基礎小學數(shù)學教學論的研究要以小學生心理學為基礎，這是因為有效的數(shù)學教學活動本身需要根據(jù)小學生心理品質形成和思維發(fā)展的規(guī)律，尤其是小學生的個性特點來建立科學的教學體系，使教學活動能夠適應小學生的心理需要并促進其心理能力的健康發(fā)展。從現(xiàn)代教學理論的發(fā)展來看，新的研究和實踐越來越借助于心理學的支持。在歐洲19世紀上半葉"教育心理化運動"的推動下，首次由赫爾巴特把教學論建立在心理學的基礎之上。之后，許多教育家和心理學家致力于教學心理學的實驗和研究，從而使心理學成為教學論的最重要的科學基礎。若從心理學和生理學來看，教學過程實質上是使學生的身心得到全面發(fā)展的過程。那么研究和組織教學過程就必須認識和掌握學生身心發(fā)展的機制、特點和規(guī)律。只有當教學過程符合學生身體發(fā)育、大腦神經活動和心理發(fā)展的規(guī)律時，才能充分發(fā)揮教學的教育功能，才能更好地促進學生的整體發(fā)展。例如，教學過程除了包括學生認識過程的心理系列之外，還包括激發(fā)學生認識過程的心理系列，如興趣、情感、意志、性格等，所以在教學中必須考慮學生的認知因素和非認知因素。又如，根據(jù)大腦兩半球的分工原理如何開發(fā)學生的形象思維、直覺思維和創(chuàng)造思維，這是當前教學論很值得重視的課題。因此，教學過程必須以生理學、腦科學、心理學特別是教育心理學和發(fā)展心理學為其科學基礎，這也是教學論科學化的重要條件之一。0.4.3以系統(tǒng)科學和傳播學等現(xiàn)代化的科學理論為基礎系統(tǒng)科學即控制論、信息論和系統(tǒng)論，是20世紀40年代誕生的一組新興的技術科學，也是具有普遍意義的研究方法。由于系統(tǒng)科學本身就是現(xiàn)代科學技術整體化的產物，所以具有向科學的一切領域、包括教育科學領域廣泛滲透的可能性。系統(tǒng)科學的運用使人們從對單一事物的研究過渡到對系統(tǒng)聯(lián)系的研究。運用系統(tǒng)方法研究教學問題，有助于從整體上把握教學現(xiàn)象、建立教學模式，從控制論、信息論和系統(tǒng)論的觀點對教學規(guī)律的研究具體化、深入化，還能得到許多新的啟發(fā)和認識。例如，從系統(tǒng)論的觀點出發(fā)，數(shù)學教學是一個由許多基本因素組成的復雜系統(tǒng)，需要借用系統(tǒng)分析的方法來研究。從信息論的原理分析，數(shù)學教學活動就是一種信息傳輸和變換的過程，教師尤其要重視使學生能有效地輸入和反饋。若從控制論看，教學過程則是教與學之間的信息傳遞和反饋控制過程。教師要實現(xiàn)數(shù)學教學過程的最優(yōu)化的控制，以便教和學的活動以及教學過程的運行能處于動態(tài)平衡之中。應用系統(tǒng)科學的觀點和方法研究教學過程，是科學技術發(fā)展對教育科學研究所提出的必然要求，并已成為世界各國教學過程理論現(xiàn)代化的發(fā)展趨勢。例如，前蘇聯(lián)教育家巴班斯基運用辯證的系統(tǒng)方法研究教學過程，提出了很有特色的教學過程最優(yōu)化理論。此外，從傳播學的角度來看，數(shù)學教學過程作為一個有組織的信息傳播過程，建立有效的傳播模式將是非常重要的?？傊陨鲜鲞@些現(xiàn)代化的科學理論為基礎，數(shù)學教學論的研究將具有更加嚴密的科學體系。隨著小學數(shù)學教學論研究的不斷發(fā)展，研究這一領域的科學基礎將日益被拓寬。除上述已被提到的有關理論外，邏輯學、美學、思維科學、決策理論等等也應該受到小學數(shù)學教學論研究的重視。第一章走進小學數(shù)學課程一、教學目的通過本章的學習，使學生了解數(shù)學的研究對象、特點與發(fā)展以及影響數(shù)學課程目標的因素；明確我國義務教育階段的數(shù)學課程目標。二、教學重點、難點重點是我國義務教育階段的數(shù)學課程目標分析；難點是數(shù)學的研究對象、特點與發(fā)展。三、教學方法講授、討論交流與閱讀文獻。四、教學內容本章主要內容：數(shù)學的基本認識小學數(shù)學學科的性質與任務小學數(shù)學課程及其發(fā)展小學數(shù)學課程目標五、教學過程§1.1數(shù)學的基本認識小學數(shù)學課程是按照一定的需要，遵循一定的原則，從數(shù)學科學中精心選擇內容加以編排形成的。作為學科的數(shù)學與作為科學的數(shù)學有密切的聯(lián)系，又有很大的區(qū)別。認識數(shù)學科學的研究對象、主要特點和發(fā)展過程有助于我們確定和理解為什么進行數(shù)學教育，認識數(shù)學教育的規(guī)律和特點。1.1.1數(shù)學的產生考察一下數(shù)學的歷史，可以看到它的發(fā)展存在著兩個起點。1、以實際問題為起點數(shù)學的產生首先是以實際問題為起點的，即是人類為了了解客觀存在的內部性質的需要，用以解決實踐上的問題。例如，人類在自己的生產與生活中，需要對一些物體進行量的刻畫和描述，于是，“數(shù)”就產生了；又如，人類在自己的生產與生活中，需要對一些對象進行集合意義上的合并與分解，于是，四則運算就產生了；再如，人類在科學研究過程中，要研究拋物體的運動軌跡，需要用圖形來描述從而幫助分析，但如何作出這些曲線圖形呢？笛卡爾就用代數(shù)方法來研究這些曲線的特點，于是解析幾何就產生了。2、以理論問題為起點數(shù)學的產生其次是以理論問題為起點的，即是人類為了了解思想存在的內部性質的需要，用以解決理論上的問題。例如，五世紀的普多克羅斯（pudkyols）注意到，一個圓的直徑可以將整個圓分成兩半，但由于圓的直徑有無限多，因此，必定存在著兩倍于直徑的半圓。而伽利略卻注意到，每個正整數(shù)與它的平方能建立一一對應的關系，而這些正整數(shù)的平方的集合應是正整數(shù)集合的真子集，這樣就構成了一個整體和它的部分相等的悖論（史稱伽利略悖論），為了解決這個悖論，康托等作了研究，創(chuàng)立了集合論，并創(chuàng)造性地提出了“超越數(shù)”的概念。當然，數(shù)學的最終起點還是現(xiàn)實世界，它更多地來自于人類的問題提出和問題解決，是人類力圖對現(xiàn)實世界的最本質的和最一般的反映。超越現(xiàn)實世界的數(shù)學的產生，其目的還是為了獲得對現(xiàn)實世界更合理、更準確的最一般的反映。1.1.2數(shù)學的研究對象數(shù)學是人們認識自然、認識社會的重要工具，千百年來人們不斷地探索和認識數(shù)學，運用數(shù)學解決現(xiàn)實問題，對數(shù)學的認識也在不斷地演變和發(fā)展。數(shù)學家、哲學家和數(shù)學教育家都有自己對數(shù)學研究對象的認識。恩格斯曾對數(shù)學的屬性作過如下的描述：數(shù)學就是研究“現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系”的一種科學。這是對數(shù)學研究對象的一種經典的解釋，是對數(shù)學十分概括和深刻的解釋。數(shù)學是對現(xiàn)實世界的事物在空間形式和數(shù)量關系方面的抽象，數(shù)學來源于人們的生產和生活實踐，反過來又為人們的社會實踐和日常生活服務，是人類從事各項活動不可缺少的工具?！皵?shù)量關系”是算術、代數(shù)等領域研究的內容，用來表現(xiàn)現(xiàn)實世界各種數(shù)量及其關系?！翱臻g形式”是幾何學研究的內容，研究物體的形狀、大小及其相互關系。人類在社會和生產實踐中，不斷揭示數(shù)量關系和空間形式的規(guī)律，并將其不斷抽象化、系統(tǒng)化、形式化，形成數(shù)學科學體系。隨著數(shù)學科學的發(fā)展，對數(shù)學本質的認識也在發(fā)展，數(shù)學的研究對象也在擴展，對數(shù)學的認識也不斷深入，人們從不同的角度闡述對數(shù)學本質的認識和理解。一種受到普遍關注的觀點認為，數(shù)學是關于客觀世界的模式的科學。數(shù)學通過揭示各種隱藏著的模式，幫助我們理解周圍世界。無論是數(shù)、關系、形狀、推理，還是概率、數(shù)理統(tǒng)計，都是人類發(fā)展進程中對客觀世界某些側面的數(shù)學把握的反映。人們從實際中提煉數(shù)學問題，抽象化為數(shù)學模型，再回到現(xiàn)實中進行檢驗。從這個意義上，數(shù)學可以被看作是一種技術或模型。此外，從數(shù)學的產生與發(fā)展歷史看，數(shù)學還具有這樣幾個性質：其一，數(shù)學的對象是由人類發(fā)明或創(chuàng)造的；其二，數(shù)學的創(chuàng)造源于對現(xiàn)實世界和數(shù)學世界研究的需要；其三，數(shù)學性質具有客觀存在的確定性；其四，數(shù)學是一個發(fā)展的動態(tài)體系。1.1.3數(shù)學的基本特征一般地認為，數(shù)學具有理論的抽象性、邏輯的嚴謹性和應用的廣泛性這三個特征。（一）理論的抽象性我們知道，任何一門科學都不是直接處理現(xiàn)實對象，而是用我們通常所稱的“模型”去處理其抽象的反映，而數(shù)學則不同，它往往是處理所有這些模型的抽象，是這些模型的一般模式，從而來概括同類對象或同類對象關系。顯然，數(shù)學是作為一個獨立的客體而存在的、抽去了具體內容的一種形式科學，它用形式化、符號化和精確化的語言來表現(xiàn)的一種“抽象的抽象”或“概括性的抽象”，它是以“一切性質的性質的抽象”而呈現(xiàn)的。因而，數(shù)學對象沒有任何物質的和能量的特征，它只有一個特征，那就是這些對象都處于一定的相互關系之中。例如，數(shù)學研究的“直線”，是一種沒有長短、粗細、輕重和顏色的等任何物質的和能量特征的“理想化”的對象。（二）邏輯的嚴謹性數(shù)學具有嚴密的邏輯嚴謹性。即數(shù)學的結果是從一些基本概念（或公理）出發(fā)并采用嚴格的邏輯推論而得到的。這種推論（推理）對于每一個懂得這樣的規(guī)則并擁有一定數(shù)學基礎的人來說，都是無需爭辯的和確信無疑的。數(shù)學的邏輯嚴謹性還帶來了數(shù)學的精確性，也就是說，數(shù)學的表述具有相當嚴密的唯一性。而且數(shù)學語言常常反映在其他的學科（尤其是自然學科）之中，用來準確地表述概念或由經驗所獲得的發(fā)現(xiàn)。數(shù)學的嚴謹性還表現(xiàn)在它的系統(tǒng)性。數(shù)學體系本身是一個精確的自然結構，而且是所有自然結構中最具有完美模型的特征的。它是以最簡潔、最精確、最穩(wěn)定的模型來揭示最本質、最抽象的關系系統(tǒng)的理論。正如弗賴簦塔爾所說,數(shù)學與其他思維相比，有一個最大的特點，那就是對任何一個陳述，都可以確定其對或錯。因為只有數(shù)學可以加上一個強有力的演繹結構。這就是所謂數(shù)學的嚴謹性。當然，當數(shù)學科學變得很嚴謹?shù)臅r候，它就表現(xiàn)出一種不可忽視的人為的特性，以至于有時它會忘掉了自己的歷史起源。（三）應用的廣泛性數(shù)學的對象領域，涉及到整個客觀世界，數(shù)學是解決我們生活和生產過程中問題的主要工具，因為沒有一個物質的領域不呈現(xiàn)出數(shù)學可以研究的現(xiàn)象或規(guī)律的，尤其是社會的科學技術發(fā)展到今天，數(shù)學已經滲透到人們的所有生活之中。所以，數(shù)學可以運用到各個方面。同時，數(shù)學還在其他的科學中占有特殊的地位，因為無論是自然科學、社會科學甚至是思維科學，都可借用數(shù)學的嚴密性和抽象性的特點來做更為精確的研究或描述。1.1.4數(shù)學的發(fā)展過程數(shù)學科學的發(fā)展過程經歷了漫長的歷史，從人類早期對數(shù)學的認識開始，大致可以分為五個時期，即萌芽時期；常量數(shù)學時期；變量數(shù)學時期；近代數(shù)學時期、現(xiàn)代數(shù)學時期。在不同的時期，人類對數(shù)學的認識從低級到高級不斷發(fā)展。了解數(shù)學的發(fā)展過程，有助于我們研究小學數(shù)學學科的有關問題。(1)數(shù)學萌芽時期(遠古～公元前6世紀)這個時期人類在長期的生產實踐中逐漸形成了數(shù)的概念，初步掌握了數(shù)的運算方法，并積累了一些數(shù)學知識。由于田畝度量和天文觀測的需要，幾何知識初步興起，但還沒有邏輯因素，未發(fā)現(xiàn)命題的證明。這個時期的特點，是人們在實踐中從現(xiàn)實世界里，零零星星地認識了數(shù)學中最古老、原始概念——“數(shù)”(自然數(shù))和“形”(簡單幾何圖形)。數(shù)的概念起源于數(shù)(讀snǔ)。原始社會人們采用“結繩記數(shù)”，就是把打獵所獲得獵物與繩子的“結”進行比較，得出獵物的個數(shù)。從我國出土的甲骨文中，發(fā)現(xiàn)大約公元前14世紀～公元前11世紀的數(shù)字是采用十進位制記數(shù)法，最大數(shù)是3萬。由此可見，數(shù)已從具體事物分離出來，抽象為“數(shù)”的概念，但仍然印上了十個手指數(shù)數(shù)的烙印。另一方面，人類還在采集果實、打造石器、燒土制陶的活動中，對各種物體加以比較，區(qū)分直曲方圓，逐漸形成了“形”的概念。我國出土的“仰韶文化”的彩陶中，就有由三角形和直線組成或由圓和曲線組成的圖案。(2)常量數(shù)學時期(公元前6世紀～公元17世紀)這個時期的特點，是人們將零星的數(shù)學知識，進行了積累、歸納、系統(tǒng)化，采用邏輯演繹的方法形成了古典初等數(shù)學的體系。數(shù)學萌芽時期，人們認識的“數(shù)”和“形”，只是零星的數(shù)學知識，并未構成邏輯體系。到了公元前5世紀，古埃及由于尼羅河長期泛濫，沖毀了土地區(qū)域，需要重新丈量，積累了豐富的幾何知識。后來古埃及人把幾何知識傳到古希臘，由Euclid把人們長期實踐發(fā)現(xiàn)、積累的幾何知識，按照演繹的方法寫成了《幾何原本》。同一個時期，人們?yōu)榱私鉀Q實踐中的一些實際應用問題，如研究天文歷法中的問題，促使算術、代數(shù)的發(fā)展。數(shù)學從原始自然數(shù)，分數(shù)發(fā)展擴充到正負實數(shù)。成書于東漢時期的《九章算術》，就是人們在長期實踐中，用數(shù)學解決實際問題的經驗總結。公元前3世紀至公元2世紀撰寫成的《幾何原本》和《九章算術》，標志著古典的初等數(shù)學體系的形成?！稁缀卧尽啡珪?3卷。全書主要以空間形式為研究對象，以邏輯思維為主線，從5條公設、23個定義和5條公理推出了467條定理，從而建立了公理化演繹體系?！毒耪滤阈g》則是246個數(shù)學問題、答案和術文組成。全書主要研究對象是數(shù)量關系。該書以直覺思維為主線，按算法分為方田、粟米、衰分、少廣、商廣、均輸、盈不足、方程、勾股等九章，構成了以題解為中心的機械化算法體系。(3)變量數(shù)學時期(17世紀～19世紀)變量數(shù)學產生于17世紀，其標志有兩個：一是解析幾何的產生；二是微積分的建立。這個時期的特點，是“運動”成為自然科學研究的中心課題。數(shù)學由研究現(xiàn)實世界的相對靜止的事物或現(xiàn)象進而探索運動變化的規(guī)律。常量數(shù)學已發(fā)展到變量數(shù)學。16世紀，歐洲社會萌芽了資本主義，手工業(yè)生產轉向了機器工業(yè)生產，迫使自然科學對“運動”和各種“過程”的研究，進而產生了“變量”與“函數(shù)”的概念。17世紀上半葉，Descartes將幾何內容的課題與代數(shù)形式的方法相結合，產生了解析幾何學，這標志著變量數(shù)學時期的開始。17世紀60年代，Newton和Leibniz各自從運動學和幾何學研究的需要，創(chuàng)建了微積分。隨后，相繼建立了級數(shù)理論、微分方程論、變分學等分析學領域的各個分支。15世紀～18世紀，人們還研究了大量的隨機現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)存在著某種完全不確定規(guī)律性，從而開辟了或然數(shù)學的新領域，建立了概率論。這個時期，數(shù)學的研究對象已由常量進入變量，由有限進入無限，由確定性進入非確定性；數(shù)學研究的基本方法也由傳統(tǒng)的幾何演繹方法轉變?yōu)樗阈g、代數(shù)的分析方法。(4)近代數(shù)學時期(19世紀)這一時期的數(shù)學的對象、內容在深度上和廣度上都有了很大發(fā)展，分析學、代數(shù)學、幾何學的思想、理論和方法都發(fā)生了革命性的變化，數(shù)學越發(fā)抽象、不斷分化、不斷綜合的發(fā)展規(guī)律開始顯露；數(shù)學基礎研究的開始，標志著一座宏偉穩(wěn)固的數(shù)學大廈已在人們腦海里出現(xiàn)；數(shù)學應用范圍繼力學、光學之后，又在熱力學、電磁學、技術科學中獲得擴展。

（5）現(xiàn)代數(shù)學時期(20世紀)在這一時期，電子計算機進入數(shù)學領域，使整個數(shù)學的面貌大為改觀；數(shù)學幾乎滲透到所有科學領域，形成了數(shù)學科學的一系列分支理論和應用數(shù)學理論；純粹數(shù)學不斷向縱深發(fā)展，集合論觀點的普遍運用，公理化方法的完善，數(shù)理邏輯的發(fā)展，數(shù)學基礎的奠定，模糊數(shù)學的創(chuàng)建，以及泛函分析、抽象代數(shù)和拓撲學三大現(xiàn)代理論的建立，已經使數(shù)學在整個科學體系中的特殊地位和作用突出地顯現(xiàn)出來．20世紀以來，人們眼光中的數(shù)學同以往任何時代都無法相比了。1.1.4數(shù)學的主要內容數(shù)學科學的全部內容，是由數(shù)學問題、數(shù)學知識、數(shù)學方法與數(shù)學思想組成的系統(tǒng)。在這個系統(tǒng)中，數(shù)學問題、數(shù)學知識、數(shù)學方法與數(shù)學思想具有各自不同的內涵，也有著不同的作用?？v觀數(shù)學發(fā)展的歷史可以看到，人們在解決實踐和理論中提出的各種數(shù)學問題的過程中，總結和創(chuàng)造了各種不同的數(shù)學方法。在這些數(shù)學方法發(fā)生的同時，相應的數(shù)學知識也相伴形成，在不斷探求對數(shù)學知識和方法的認識的基礎上，數(shù)學思想便產生了。例如，著名數(shù)學家歐拉正是在解決“哥尼斯堡七橋問題”的過程中，不僅發(fā)現(xiàn)了許多知識并開拓了運籌學和圖論等嶄新的數(shù)學研究領域，而且他的研究也是運用抽象化方法和數(shù)學模型思想的光輝范例。就數(shù)學問題、數(shù)學知識、數(shù)學方法與數(shù)學思想的關系而言，一方面，數(shù)學思想與數(shù)學方法蘊含在數(shù)學的知識體系之中，數(shù)學思想與方法的突破又常常導致數(shù)學知識的創(chuàng)新；另一方面，數(shù)學思想比數(shù)學方法更深刻、更抽象地反映著客觀事物的內在聯(lián)系，是數(shù)學方法的進一步概括和升華。因此，如果說問題是數(shù)學的“心臟”、方法是數(shù)學的“行為規(guī)則”、知識是數(shù)學的“軀體”，那么數(shù)學思想無疑是數(shù)學的“靈魂”。§1.2小學數(shù)學學科的性質與任務“學科”是一個教育學的概念，專指學校課程內容中的一定科學領域的總稱。當數(shù)學成為學校的教育教學的對象的時候，就被稱之為“數(shù)學學科”。1.2.1作為學科的數(shù)學作為學科的數(shù)學，它自然是源于數(shù)學科學，但作為一種教育活動的對象，其又有一定的獨特性。也就是說，作為教育的數(shù)學和作為科學的數(shù)學是不完全相同的。（一）從知識體系看作為科學的數(shù)學，是一個完整的、獨立于任何人的任何知識結構而存在的、特定的知識和思想體系。而作為教育的數(shù)學，則是一個經過人為的加工和提煉的、依據(jù)某一特殊人群（作為獲得基礎的人類文化遺產的學生）的特殊需要（即數(shù)學教育的目標）和經驗、知識與能力結構而設計的知識和思想體系；（二）從數(shù)學活動看作為科學的數(shù)學，是一類專門的人（可以稱之為“數(shù)學家”的那些人）的一個完全獨立的探索、發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的活動過程，而作為教育的數(shù)學，則是一類專門的人（可以稱之為“學生”的那些人）在某些專門的人（可以稱之為“教師”的那些人）的引導和幫助下的一個模仿探索、發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的活動過程；（三）從對象特征看作為科學的數(shù)學，其對象是一個完全由符號、概念和規(guī)則等構成的和完全開放的邏輯結構系統(tǒng)，而作為教育的數(shù)學，其對象則是含有經驗、直觀的和幾乎是封閉的邏輯結構系統(tǒng)；最后，從活動的目的看，作為科學的數(shù)學活動，是為了獲得發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造數(shù)學，而作為教育的數(shù)學活動，是為了“接受”已經發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的數(shù)學。1.2.2小學數(shù)學學科的性質作為小學數(shù)學課程的數(shù)學學科，具有如下性質：1、生活性倡導將數(shù)學學習回歸于兒童的生活，這已經成為了當今轉變小學數(shù)學教育觀念的一個重大的命題。因為我們已經開始關注到，兒童是從自己的生活實踐開始認識數(shù)學的，所以，就要將兒童的數(shù)學學習真正地回歸到兒童的生活中去，在學習中時時關注兒童關心什么？經歷了什么？對什么感興趣？在生活中發(fā)現(xiàn)了什么？讓數(shù)學學習與兒童自己的生活充分地融合起來，將學習納入他們的生活背景之中，讓他們在自己尋找、發(fā)現(xiàn)、探究、認識和掌握數(shù)學。2、現(xiàn)實性兒童的數(shù)學是他們的現(xiàn)實數(shù)學，因此，兒童的數(shù)學學習的組織，應源于他們的數(shù)學現(xiàn)實。這種現(xiàn)實存在于兒童與外部世界的溝通和交流的構成之中，存在于兒童的社會生活的實踐性活動之中。這些“現(xiàn)實”是小學數(shù)學課程的起點，也是兒童獲得數(shù)學的學習活動與生活實踐的節(jié)點。課程的任務是構建抽象與現(xiàn)實的連續(xù)體。因此，小學數(shù)學課程的一個重要的特征就是溝通抽象的數(shù)學與現(xiàn)實的實踐的聯(lián)系，強化數(shù)學的產生與運用真正回歸兒童的生活現(xiàn)實。3、體驗性即學校的數(shù)學教育，應當努力去改變相應的課程內容、教學方式、組織策略和評價模式。積極倡導努力探求解法，而不單是記憶步驟；主動探索模式，而不單是記憶公式；積極形成猜測，而不單是做些習題?？梢?，我們的學校的數(shù)學教育應當成為讓學生去親生體驗一下的數(shù)學問題解決的一種活動，不要總是將詳細整理好的證明（事實）材料提供給學生，而是盡可能地讓學生通過自己仔細的觀察、粗略的發(fā)現(xiàn)和簡單的證明，只有這樣，才有可能使學生真正經歷超越局部的、非單純接受的問題解決的過程。1.2.3小學數(shù)學學科的任務小學數(shù)學教育的最終目標就是發(fā)展人，就是發(fā)展人在快速變遷的社會中獲得高質量生存所需要的基本素養(yǎng)、能力和情感。（一）發(fā)展公民數(shù)學素養(yǎng)是基本的任務第二次世界大戰(zhàn)之后，隨著包括計算技術在內的現(xiàn)代科學技術的迅速發(fā)展，數(shù)學的應用領域得到了極大的拓展。就像今天的識字、閱讀一樣，數(shù)學日益成為公民必需的文化素養(yǎng)，數(shù)學教育大眾化成為了時代的要求。例如，在現(xiàn)代社會，大量信息以各式各樣的數(shù)據(jù)形式出現(xiàn)在我們面前。如何收集有用的數(shù)據(jù)，怎樣整理、分析信息，得出有用的結論，就成為了現(xiàn)代人必不可少的一種能力。數(shù)學不僅是人們是利用數(shù)學來交流信息和思想的，理由數(shù)學來完成一系列的實際任務及解決現(xiàn)實生活中的問題的。同時，數(shù)學也是探索新世界的工具?？梢姡覀兊男W數(shù)學教育，并不追求將所有的兒童都培養(yǎng)成為偉大的數(shù)學家，而是培養(yǎng)他們最基本的數(shù)學素養(yǎng)。1、數(shù)學素養(yǎng)的基本內涵早在80年代，著名的科克羅夫特（cockcroft,W.H.）報告就提出“數(shù)學素養(yǎng)”這個詞，它認為數(shù)學素養(yǎng)主要包含兩個內涵，第一是指個人在日常生活中具有運用數(shù)學技能的能力，能夠滿足個人每天生活中的實際數(shù)學需求；第二是能正確理解含有數(shù)學術語的信息，如閱讀圖表和表格等，這表示一個有數(shù)學素養(yǎng)的人應該能正確理解一些數(shù)學的溝通方式。顯然，這種觀點明顯的超出了我們通常所理解的數(shù)學運算的學習，也超出了我們所理解的以掌握數(shù)學概念和解題方法的學習，更超出了我們通常所理解的解題技能的學習。具體的看，參照美國的NCTM（國家數(shù)學教師協(xié)會）標準（即1989年的“學校數(shù)學大綱及其評價標準”），我們大致可以給數(shù)學素養(yǎng)的基本內涵做如下的表述：（1）懂得數(shù)學的價值即能初步懂得數(shù)學的價值和在文化中的地位和社會生活中的作用，了解用數(shù)學思想來思考并用數(shù)學方法來處理日常生活中發(fā)生的事件與現(xiàn)象的優(yōu)越性，提高對日常的事物現(xiàn)象用數(shù)學的知識與經驗、思想與方法等進行觀察、推測、嘗試、計劃并合情合理地思考的意識和興趣。（2）對自己的數(shù)學能力有自信心即在學習中對自己的數(shù)學能力有信心，并有可能常常在數(shù)學的學習中獲得一些積極良好的情感體驗，從而提高參與社會生活以及在社會生活的探究、發(fā)現(xiàn)和改造等活動中主動進行決策的興趣和態(tài)度。（3）有解決現(xiàn)實數(shù)學問題的能力即能初步掌握對日常生活中存在的各種信息的采集、整理、辨析及其處理與運用的基礎能力，并能用數(shù)學的方法對它們進行初步的考察、區(qū)分、組織和模型建構，從而獲得最基礎性的解決數(shù)學課題的能力。（4）學會數(shù)學交流即會讀數(shù)學、寫數(shù)學和討論數(shù)學，包括學會簡單的數(shù)學交流，能用數(shù)學語言來解釋、闡述或證明自己的研究與解決問題的猜測、計劃、過程和結果等。（5）學會數(shù)學的思想方法即學會初步的和簡單的一些數(shù)學思想和數(shù)學方法。包括對應思想、變量思想、統(tǒng)計思想等等以及化歸、假設、模型等方法。2、數(shù)學素養(yǎng)的基本特征（1）發(fā)展性實際上，數(shù)學素養(yǎng)是隨著社會的進步而變化和發(fā)展的，例如，在100多年前，掌握算術技能可能就是一個重要的數(shù)學素養(yǎng)，但隨著今天計算機技術發(fā)展，這種算術技能的重要性和對運算技能的需求都已逐漸發(fā)生了顯著的變化。今天作為一個有數(shù)學素養(yǎng)的人，面對一個現(xiàn)象或問題，他可能先要判斷是否需要進行計算？如是，則可能就要思考是否需要精確計算？然后才考量用什么方法進行計算。中間可能還要思考是否需要增加有用的信息？可能還要考慮如何辨析這些信息？等等。（2）過程性首先，數(shù)學素養(yǎng)所內含的目標，不是一個終極的目標，而是一種指向發(fā)展方向的過程性目標，是我們數(shù)學教育所追求的價值目標。因此，數(shù)學教育關注的，是兒童的這種數(shù)學素養(yǎng)的漸進的發(fā)展過程。其次，數(shù)學素養(yǎng)的發(fā)展，是伴隨著數(shù)學學習過程之中的，它不能靠我們通常所理解的所謂的“單項訓練”就能實現(xiàn)的。有時，它還伴隨者其他的學科學習和環(huán)境學習中的有意識加以滲透的。（3）實踐性數(shù)學素養(yǎng)具有明顯的現(xiàn)實性和實踐性的特征，它與我們的日常社會生活是緊密聯(lián)系的。因為，兒童的數(shù)學素養(yǎng)是借助于現(xiàn)實數(shù)學的學習和自己的主體性實踐而獲得發(fā)展的。數(shù)學學習就是要讓兒童感覺到，沒有一定的數(shù)學素養(yǎng)，他們可能就會在一些日常的社會生活中難以行動。同時，數(shù)學學習也應讓兒童感覺到，數(shù)學素養(yǎng)就存在于自己的日常社會生活之中。使兒童在數(shù)學探究和問題解決中去發(fā)展數(shù)學素養(yǎng)。（二）培養(yǎng)數(shù)學思維是實現(xiàn)數(shù)學素養(yǎng)發(fā)展的基本點1、思維與數(shù)學思維思維是人腦對客觀事物的本質及其內在規(guī)律性聯(lián)系概括的和間接的反映。思維有兩個最顯著的特征，一是概括性，二是間接性。數(shù)學思維是人腦和數(shù)學對象交互作用并按照一般的思維規(guī)律認識數(shù)學本質和規(guī)律的理性活動。具體來說，數(shù)學思維就是以數(shù)和形及其結構關系為思維對象，以數(shù)學語言和符號為思維的載體，并以認識發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律為目的一種思維。數(shù)學思維既從屬于一般的人類思維，具有一般思維的特征，同時由于數(shù)學及其研究方法的特點，數(shù)學思維又具有不同于一般思維的自身特點，表現(xiàn)在思維活動是按客觀存在的數(shù)學規(guī)律進行的，具有數(shù)學的特點與操作方式。特別是作為思維載體的數(shù)學語言的簡約性和數(shù)學形式的符號化、抽象化、結構化傾向決定了數(shù)學思維具有不同于其他思維的獨特風格。數(shù)學思維主要具有概括性、整體性、相似性和問題性等特點。2、數(shù)學思維的分類（1）數(shù)學思維方式按照思維活動的形式可以分成邏輯思維、形象思維和直覺思維三類。數(shù)學邏輯思維是以數(shù)學的概念、判斷和推理為基本形式，以分析、綜合、抽象、概括、（完全）歸納、演繹為主要方法，并能用詞語或符號加以邏輯地表達的思維方式。它以抽象性和演繹性為主要特征，其思維過程是線型或枝叉型地一步步地推下去的，并且每一步都有充分的依據(jù)，具有論證推理的特點。用數(shù)學家阿達瑪?shù)脑拋碚f，“邏輯”思維是以較少無意識“成分”，定向比較嚴密，一致性和清楚劃分的思維過程為特征的。數(shù)學形象思維是以數(shù)學的表象、直感、想象為基本形式，以觀察、比較、類比、聯(lián)想、（不完全）歸納、猜想為主要方法，并主要地通過對形象材料的意識加工而得到領會的思維方式。它以形象性和想象性為主要特征，其思維過程帶有整體思考、模糊判別的合情推理的傾向。數(shù)學直覺思維是包括數(shù)學直覺和數(shù)學靈感兩種獨立表現(xiàn)形式，能夠迅速地直接地洞察或領悟對象性質的思維方式。它們以思維的跳躍性或突發(fā)性為主要特征。用阿達瑪?shù)脑拋碚f，“直覺”思維是以相當多的無意識“成分”，思維過程更分散、迅速和省略為特征的。（2）數(shù)學思維方式按照思維指向可以分成集中思維和發(fā)散思維兩類。集中思維又叫聚合思維、求同思維、收斂思維。定向思維(正向思維)和縱向思維是集中思維的兩種重要形式。發(fā)散思維又叫求異思維、分散思維、輻射思維。逆向思維和多向思維是發(fā)散思維的兩種重要形式。集中思維是指從一個方向深入問題或朝著一個目標前進的思維方式。在集中思維時，全部信息僅僅只是導致一個正確的答案或一個人們認為最好的或最合乎慣例的答案。發(fā)散思維則是具有多個思維指向、多種思維角度并能發(fā)現(xiàn)多種解答或結果的思維方式。在發(fā)散思維時，我們是沿著各種不同的方向去思考的，即有時去探索新遠景，有時去追求多樣性。因此，在看待集中思維時，需要看到它在某種程度上存在單維型、封閉型與靜止型思維特點的一面。而發(fā)散思維則相對地較明顯地具有多維型、開放型和動態(tài)型思維的特征。（3）數(shù)學思維方式按照智力品質可以分成再現(xiàn)性思維和創(chuàng)造性思維兩類。再現(xiàn)性思維是運用已獲得的知識和經驗，按現(xiàn)成的方案和程序，用慣用的方法、固定的模式來解決問題的思維方式。創(chuàng)造性思維是指以新穎、獨創(chuàng)的方式來解決問題的思維，是在已有的知識和經驗的基礎上，對問題找出新答案、發(fā)現(xiàn)新關系或創(chuàng)造新方法的思維。3、數(shù)學思維的一般方法數(shù)學思維的一般方法是指學生在數(shù)學思維過程中運用的基本方法。（1）觀察與實驗所謂觀察，就是指人們對周圍客觀世界的各個事物和現(xiàn)象，在其自然的條件下，按照客觀事物本身存在的自然聯(lián)系的實際情況，加以有目的的感知，從而來確定或研究它們的性質或關系的一種思維活動。觀察是多種感覺器官對對象的有意識的知覺。觀察具有這樣兩個特征：第一，觀察的雙重性。即觀察不僅僅是指利用各種感覺器官對客觀事物進行看、觸、聽、嗅、嘗等感知活動，還包括對客觀事物的領會和理解等活動。例如，兒童在學習長方形面積的計算時，可能先觀察由若干單位面積的小正方形組成的長方形，然后用數(shù)數(shù)的方式找到該長方形的面積。這時就會引起他們思考，長方形的面積都要通過“數(shù)”嗎？他們與長方形的什么是有關系的呢？接著就會去進一步地觀察，在這個長方形中每一排有幾個這樣的小正方形，共有幾排。于是，又引起他們深入思考，這樣的每排幾個和有這樣的幾排，與長方形的面積是什么關系呢？顯然，在整個觀察活動中，感知和思維是同步進行，互為條件的，感知為思維提供了依據(jù)，思維又為進一步感知提供了新的目標。可見，觀察的根本目的就是為了發(fā)現(xiàn)問題和找到事物的本質規(guī)律，因此學會思考性地觀察很重要。第二，觀察的客觀性。格式塔（Gestalt）曾有這樣的實驗，發(fā)現(xiàn)當人們在感知諸如△□〇等這樣的圖形時，總會在知覺中自覺地將它們看作是一個三角形、正方形和圓，即人的知覺有一種趨向于穩(wěn)定性、完整性和對稱性的傾向，這就是觀察的主觀性。要保證觀察的客觀性，就需要掌握一定的觀察方法。通常說，從觀察順序看，主要有：整體→部分→整體和部分→整體→部分這兩種方法。而方法的抉擇主要取決于在數(shù)學學習中觀察的任務和對象的特點。從兒童的思維發(fā)展的特征看，他們的觀察能力的發(fā)展有著一個較為明顯的階梯性，即：對象的概括化的能力→知覺的形式化能力→空間結構的知覺能力→邏輯模式的識別能力。實驗則是人們根據(jù)一定的研究目的，人為地創(chuàng)設條件，控制和模擬客觀對象，在有利的條件下獲取資料的研究方法。觀察與實驗都是一種有目的、有計劃、有步驟、有組織的積極思維活動。不過，實驗以觀察更具有優(yōu)越性，它可以排除外界條件的各種干擾，突出其主要矛盾，使實驗者獲得更精確的事實和資料。但是任何實驗都離不開觀察，實驗實際上是觀察的一種形式。（2）比較與分類比較，也稱對比，它是確定對象之間的相異與相同點的一種邏輯方法。它可在相同或相異的對象之間進行，也可在同類對象的不同方面進行。比較是分析，綜合這些基本思維過程的主要活動方式之一，要使學生能抽象概括得到理性認識必須通過比較。在人們的社會實踐，特別是在科學研究中，比較作為一種科學方法普遍地被應用，“有比較才能有鑒別”，通過比較，可以從思想上把握現(xiàn)實世界對象本質特征和非本質特征，反映客觀事物相互對立又相互聯(lián)系的內部規(guī)律，達到正確認識事物的目的。在數(shù)學研究中，同樣也離不開比較方法。當被研究的對象包含多種可能的情況，導致我們不能對它們一概而論的時候，迫使我們必須按可能出現(xiàn)的所有情況來分類討論，得出各種情況下相應的結論，這種解決問題的思想方法，我們稱為分類，也稱為分類方法。分類是確定概念外延的一種邏輯方法。根據(jù)分類的含義，分類必須遵循下列原則：（1）分類所得的各子項外延的總和，應當與被分類的概念的外適相等，即沒有遺漏。（2）分類所得的各子項，應當是互相排斥的，即沒有重復。（3）分類應按同一標準進行。3、分析與綜合分析和綜合是人類認識事物本質的一個必不可少的基本思維過程。數(shù)學知識的是客觀事物的抽象的和模型化的反映。因此，能否將概念還原成事實，就看概念掌握的清晰程度和深刻性，這就要依賴與學生的分析與綜合能力。所謂分析，簡單地說，就是指在頭腦中將對象和現(xiàn)象分解成個別部分，從而找出它的屬性、特征等單獨來考察的思維活動，而所謂綜合，就是指將分析了的各個部分結合起來，從整體來考察對象或現(xiàn)象的思維活動。分析始于感知，但它屬于一種片面的感知，不能獲得整體的認識。綜合則是將片面的感知進行整合，形成整體知覺。一般說來，沒有分析就談不上綜合，但分析并非一定在綜合之前。同時，分析和綜合是伴隨在同一認識活動的過程之中的。兒童的分析、綜合能力發(fā)展，有一個從低級階段到高級階段的發(fā)展過程，所謂低級階段，即指分析和綜合是與感知覺直接掛鉤的；而所謂高級階段，則是指分析和綜合不再與感知覺直接掛鉤。在小學數(shù)學學習中，可以利用多種途徑對兒童進行分析與綜合能力的培養(yǎng)，如：利用某些問題解決學習來發(fā)展兒童的分析與綜合能力。因為在問題解決學習過程中，有一個理解問題活動，而理解問題的活動就是在頭腦中構造問題表征的活動。這是一個不容忽視的階段，研究表明，許多問題解決的障礙可能并不在于問題解決的策略不當或者過程有誤，而往往在于關于問題性質的認識表征的建立上存在某些問題。一般地說，問題從被確認到獲得解決，是有一系列的不斷變化的狀態(tài)的，即從問題的起始狀態(tài)到問題的目標狀態(tài)，首先就有一個表征構造的過程，而表征構造的過程就是一個不斷地分析與綜合的過程。只有這樣，才能從問題的起始狀態(tài)出發(fā)，通過圖式的檢索進入并逐漸逼近問題的目標狀態(tài)。利用某些計算（規(guī)則）學習進行來發(fā)展兒童的分析與綜合能力。僅從計算的審題過程看，兒童往往除了表現(xiàn)出對“式題”的審題不重視外，還表現(xiàn)出審題的：無順序、粗糙和隨意性強等特點，從而影響了解題的正確性或速度。（4）抽象與概括抽象與概括也是人類認識事物本質的一個必不可少的基本思維過程。所謂抽象，簡單地說，就是指發(fā)現(xiàn)事物的本質屬性，放棄非本質屬性的思維過程。所謂的概括，簡單地說，就是指從個別單獨的屬性，推廣到屬于這同類事物的屬性中的思維過程。數(shù)學學習的過程就是培養(yǎng)抽象與概括能力的過程，這首先是由數(shù)學科學其本身抽象性特征所決定的。其次，數(shù)學科學是對客觀世界的本質屬性最一般的反映，而這種最一般的反映必須要以抽象為前提。但是，由于兒童尚處于以具體形象思維為主并逐步向抽象邏輯思維過渡的年齡階段，因此，其內部的思維活動就常需要有一定的外部支撐點——充分地感知。對兒童的抽象與概括能力的培養(yǎng)，應注意要有一定的階段性。按皮亞杰等人的研究，低年級的兒童尚處在“前運算階段”（相當于布魯納的“動作式階段”）向“具體運算階段”過渡，往往只能形成“一級概念”（具體概念），而要形成“二級概念”（定義概念）還比較困難。他們往往只能依賴經驗（直觀）進行初步的抽象，而這種抽象與概括的發(fā)展是依據(jù)對象的外顯的特征從手的分類開始，憑借感覺學習來形成和保持各種表象，也就是說，在他們的概念中還往往依賴直觀或經驗來支撐。而年齡稍高一些的兒童開始處于“具體運算階段”（相當于布魯納的“映象式階段”），守恒概念逐漸形成，而且思維的可逆性和多維性逐漸得到了發(fā)展，能將環(huán)境中的經驗構成內在的表象，開始能擺脫分類而從事物的內部特征入手，從而可能獲得一些“二級概念”。但是，這個階段的兒童在獲得和適用這些概念的時候，仍需一定的直觀形象來支持。到了更高些年齡段的兒童，他們的思維水平已開始發(fā)展到“具體運算階段”向“形式運算階段”過渡，他們已有一定的抽象的假設或命題進行邏輯轉換的水平，而且概括能力也開始增強，能從一類本質屬性推廣到同類事物中去。例如，對“角”的認識，低年級段的兒童，可能只能從日常的經驗或活動的體驗來支撐，因而在他們看來，角就是“尖”的，還不能形成對圖形的表征；稍高年級段的兒童，可能就會從圖形特征入手，從了解圖形的基本組成去形成對圖形的表征。但是，對于像/這樣的圖形，他們可能就會糊涂，這究竟是“勾”還是“角”？再高年級段的兒童，可能就會從“角”的發(fā)生角度去真正理解其本質含義，并開始懂得對情境對象依照一定的規(guī)則做符號推演（判定）。（5）歸納與猜想歸納是對同類事物中的各種特殊事物所蘊含的同一性或相似性而得出此類事物的一般性結論的思維過程。猜想是指人們根據(jù)某些事實和知識所作出的未經證實的預測性推斷，以及人們作出這種預測性推斷的思維過程。歸納有完全歸納與不完全歸納。完全歸納而得到的猜想，一般地說是可靠的；而不完全歸納而得到的猜想，一般地說不一定可靠。歸納與猜想可以導致數(shù)學的發(fā)現(xiàn)。不完全歸納法的作用（1）不完全歸納法是數(shù)學發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新的有效方法；（2）不完全歸納法在數(shù)學教學中有著廣泛的應用；（3）通過歸納方法提出的猜想可以作為數(shù)學研究的題點，豐富數(shù)學研究的內容，推動數(shù)學學科向前發(fā)展。歸納與猜想是從特殊而得到一般的思維方法。波利亞說過：“科學家處理經驗的方法，通常稱為歸納法?！睌?shù)學學習中，利用歸納猜想不僅有利于數(shù)學的發(fā)現(xiàn)，也有利于數(shù)學解題途徑或方法的得到。（6）類比與聯(lián)想類比是根據(jù)兩個對象或兩類事物間存在著的某些相同或相似，推斷出它們的其它屬性也可能相同或相似的思維形式。聯(lián)想是由當前感知或思考的事物，想到與其相關聯(lián)的另一個事物的思維方法。一般類比聯(lián)想的模式為A具有性質a，b，c，d，B具有性質a，b，c，B也可能具有性質d。另外，類比聯(lián)想還存在模式為A具有性質a，b，c，d，B具有性質a′，b′，c′分別與a，b，c相似，B可能具有性質d′，d′與d相似。例如：由除結果商不變的性質和分數(shù)的基本性質類比得出比的基本性質。4數(shù)學思維的品質數(shù)學思維品質又稱數(shù)學思維的智力品質，它是指學生數(shù)學思維發(fā)生、發(fā)展中的個性差異，它是衡量學生數(shù)學思維發(fā)展水平的重要標志。思維的深刻性——是指思維活動的抽象程度和邏輯水平，以及思維活動的廣度、深刻和難度。在數(shù)學思維中，學習者的思維表現(xiàn)出如下特征：（1）善于洞察數(shù)學對象的本質；（2）善于把握數(shù)學知識的背景；（3）善于認識數(shù)學知識結構及知識間的相互關系；（4）善于揭示數(shù)學材料的思想、方法、原理、一般模式；（5）善于掌握數(shù)學材料間的邏輯結構，形成恰當?shù)耐评砗妥鞒稣_的推斷與猜想。思維的深刻性是一切思維品質的基礎。思維的靈活性——是指思維活動的靈活程度。即學生在思維過程中能從不同的方面、不同的角度以及從不同的方向來思考問題，并且還能用不同的方法來解決問題，具體到數(shù)學學習上，學生可以從不同的方面來理解數(shù)學概念，用各種方法來解答數(shù)學問題，有時還可以用多種手段來處理疑難問題。思維的靈活性是數(shù)學思維的重要品質，它與思維深刻性的結合，構成了思維的機智與敏捷，常常可導致發(fā)明和創(chuàng)造。正因為如此，愛因斯坦把思維的靈活性看成是創(chuàng)造性的典型特點。數(shù)學思維的靈活性具有以下特征：（1）善于從不同的角度思考問題，用不同的方法解決問題。（2）善于隨機應變，把問題加以轉化。思維靈活性的反面是思維的呆板性。在數(shù)學學習中常表現(xiàn)為循規(guī)蹈矩和因循守舊，缺少應變能力，呈現(xiàn)出消極的思維定勢。思維的敏捷性——是指思維活動的反映速度和熟練程度。數(shù)學思維敏捷可以歸納出如下的特點：（1）在數(shù)學解題過程中善于走捷徑，超越常規(guī)的步驟，從而使解題過程大大縮短。（2）思維敏捷性具有直覺的成分，通過直覺思維，得到簡捷的解題思路。（3）在解決數(shù)學問題的思維中，善于一下抓住問題的本質，使問題迎刃而解，表現(xiàn)出解決問題的敏捷特點。例歐拉在解決“七橋問題”時，就是把七橋問題中“一次無重復地走過七座橋”的問題的本質抓住了，即把它看成是“筆不離紙，一筆畫出一個封閉曲線”(“一筆畫”)問題。從而使問題得到迅速解決。思維的獨創(chuàng)性——是指思維活動的創(chuàng)新程度。是指思考問題和解決問題時的方式方法或結果的新穎、獨特，具有創(chuàng)造性。數(shù)學思維活動中表現(xiàn)為能獨立地發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，勇于創(chuàng)新，敢于突破常規(guī)的思考方法和解題程式，大膽提出新的見解和采用新的方法。在數(shù)學學習中，思維的獨創(chuàng)性是極其重要的，著名數(shù)學家高斯小時候就具有在數(shù)學學習上思維的獨創(chuàng)性，他在計算教師給他們出的計算題1＋2＋3＋…＋100時，不是依常規(guī)的計算步驟，即一個一個地加起來，而是排除了過去的思維模式，采取了一種新穎的算法：于是，101×50=5050，從而，1+2+3+…+100=5050。高斯的這一思維即有擺脫常規(guī)思維而具有新穎性思維的特點。（1）具有較強的個性特點；（2）善于獨立思考、分析、綜合，找出數(shù)學問題的主要特性；（3）善于通過觀察、類比、歸納，作出猜想；（4）不拘泥現(xiàn)有的思維方法與途徑，而善于獨辟蹊徑，從方法上創(chuàng)新；（5）通過思維而得到新穎的思維成果。思維的批判性——即思維的獨立性。是指思維活動中獨立思考，善于提出疑問，并發(fā)表不同的看法，嚴格客觀地評價思維的結果，及時地發(fā)現(xiàn)和糾正錯誤。數(shù)學思維活動中，表現(xiàn)為對已有的數(shù)學表達和論證提出自己的見解，自我評判，辯別正誤，排除障礙，尋求最佳答案。數(shù)學思維的批判性具有以下特征：（1）善于找出解題中的錯誤，并能獨立地糾正錯誤的解法與錯誤的結果，即善于洞察解題過程中出現(xiàn)的錯誤與漏洞，并能對思維過程作出正確的評價。（2）善于對已有的數(shù)學結果提出自己的看法或懷疑。（3）善于舉反例，批判錯解。在數(shù)學教學中可以通過對一些容易致誤的數(shù)學問題的分析思考來提高思維的批判性。思維批判性的反面是思維的盲從性。在數(shù)學學習中常表現(xiàn)為對教師和教材的盲從，不敢越雷池半步；表現(xiàn)為對他人結論的輕信，不善于獨立思考和提出問題；也表現(xiàn)為缺乏檢查和檢驗的意向，不善于客觀評價等等。（三）提高將數(shù)學運用于現(xiàn)實情境的能力是發(fā)展數(shù)學素養(yǎng)的基本目標數(shù)學教育目標是為了拓展人的空間，包括數(shù)學的空間和生活的空間。拓展數(shù)學空間的最終目的還是為了拓展人的一般的生活空間，使人的生活變得更為豐富多彩。顯然，數(shù)學對每一個普通公民來說都有價值。1、學會用數(shù)學的思想來考察現(xiàn)實在現(xiàn)實情景中發(fā)展兒童的數(shù)學素養(yǎng)是一個重要的途徑。因為兒童可以在這些實踐、操作以及使用具體材料的過程中，有效地獲取知識和技能，增進理解；運用數(shù)學知識發(fā)現(xiàn)和解決一系列現(xiàn)實生活問題；處理由課程其它領域或其它學科提出的問題；對數(shù)學內部的規(guī)律和原理進行探索研究等。概括地說，要學好數(shù)學就要用數(shù)學對具體情境進行思考和探索。這時，學生需要學會如何面對新的事物；學生需要學會如何邏輯地和有創(chuàng)意地思考；學生需要學會如何分析和解決問題；學生需要學會如何獲得信息并有效地加以處理；學生需要學會如何與別人交流與溝通；如此等等。因此，數(shù)學教學應該引導兒童觀察和認識周圍世界最簡單的數(shù)量關系，建立情境與一般法則的聯(lián)系，從而激發(fā)他們超越這些規(guī)則并能用數(shù)學語言來進行表達的動機，真正使用數(shù)學知識成為學生生活和思維的組成部分，這對兒童來說是非常主要的。2、構建普遍知識與特殊情境的聯(lián)系理解普通的數(shù)學規(guī)則（知識）和特殊情境之間的不同，是兒童數(shù)學學習中要解決的一個關鍵問題，也是發(fā)展數(shù)學運用能力的一個重要任務。特殊的情景之中往往并不明確顯示那些規(guī)則性的成分，而要獲得特殊情景中的問題解決，卻又必須依照某些規(guī)則。教學實踐中不難發(fā)現(xiàn)，兒童的問題解決所產生的錯誤，在許多的情況下往往并不是某些數(shù)學規(guī)則性知識的問題，而是不能抓住一般的數(shù)學規(guī)則性成分和其在特殊情境中的運用之間的聯(lián)系。小學數(shù)學課程中的許多陳述性知識，往往是以嚴謹?shù)拿}或抽象的符號來呈現(xiàn)的，一旦需要將由命題的推演或符號的證明轉化為現(xiàn)實的特殊情景中的問題思考時，就會給問題的表征和知識的檢索帶來一定的困難。例如，通過學習，兒童可能很理解并掌握了乘法的意義，但是遇到類似下列這些的特殊情景下的問題時，卻又常常容易出現(xiàn)錯誤：“爸爸要做一個小木盒子，于是，他拿來一根細木條，將它鋸成六段。兵兵發(fā)現(xiàn)，爸爸每鋸斷一次要用2分鐘，想一想，爸爸做完這件工作要化多少時間？”又譬如說，在表面看來，程序性的知識似乎相對容易保持并易于檢索，即在面對特殊情景下的問題解決過程中，似乎只要能再現(xiàn)那些程序性的知識就行了，但問題是，我們在組織學習并習得那些程序性知識時，往往是刻意構造一些能明顯呈現(xiàn)其程序規(guī)則的背景命題（所謂結構良好的問題），以幫助兒童去發(fā)現(xiàn)、區(qū)分并掌握這些程序性的規(guī)則。而那些特殊情景卻往往并不直接呈現(xiàn)所包含的那些程序性規(guī)則特征的信息，就容易阻礙學生在問題解決過程中對問題的表征和知識的檢索。例如，有的學生已經習得了“求平均數(shù)”的知識，但卻不能解決類似如下特殊情景中的問題：“為迎接‘城市運動會’，學校接到一項任務，為大會編織一批彩花。大隊部將這個任務交給了五（1）中隊。中隊第一天派了6位少先隊員，結果共做了92朵彩花，第二天派了8位少先隊員，結果共做了106朵彩花。到了運動會召開的前一天，大會突然要求學校再補充250朵彩花，并在一天內完成。你認為派多少位少先隊員來完成此任務較為合適？為什么？”而就策略性知識（包括反省認知知識）而言，就更難于保持和檢索了。如果我們在學習中將那些策略性知識也像程序性知識那樣，歸納出某些規(guī)則并要求兒童去識記并保持時，我們就可能犯了一個錯誤。因為許多的策略性知識只有在真實的問題情境中，對可能性空間（也叫問題空間的）進行不斷地搜索，逐步逼近，然后在這種不斷的嘗試、反思和修正過程中，才有可能去逐漸地構建某些策略性知識。可見，在普通的數(shù)學規(guī)則和特殊情境之間，其唯一橋梁是學生有意識在現(xiàn)實情境下進行數(shù)學思維。應積極地幫助和引導兒童在實踐、操作以及使用具體材料的過程中，獲取知識和技能，增進理解；幫助和引導兒童不斷地運用數(shù)學知識去發(fā)現(xiàn)和解決一系列現(xiàn)實生活問題；幫助和引導兒童處理由課程其它領域或其它學科提出的問題；幫助和引導兒童對數(shù)學內部的規(guī)律和原理進行探索研究。要讓兒童了解到，數(shù)學表達系統(tǒng)是當作工具使用的，這些系統(tǒng)必須與它們運用中的情境相連才是有意義的。同樣的，還要讓兒童體驗到，單有數(shù)學程序學習是不夠的，而應當使這些程序成為他們思維工具。實際上，學生應用數(shù)學知識的過程是綜合的數(shù)學能力和思維發(fā)展的過程。在解決問題的過程中，學生需要學會如何面對新的事物，如何邏輯地和有創(chuàng)意地思考，如何分析和解決問題，如何獲得信息并有效地加以處理，如何與別人溝通等。正是在這種聯(lián)系中，兒童才有可能獲得對知識的理解和掌握并進一步產生學習數(shù)學的動力，并獲得數(shù)學素養(yǎng)的提高?！?.3小學數(shù)學課程及其發(fā)展課程是由老師、學生、教材與環(huán)境四因素之間持續(xù)的相互作用而構成的有機的“生態(tài)系統(tǒng)”。從實踐性特征看，課程的組織結構、內容結構等影響著教師、學生、教材與環(huán)境四因素之間相互作用的方式。1.3.1我國傳統(tǒng)的小學數(shù)學課程特征這里主要研究的是我國傳統(tǒng)的小學數(shù)學課程體系、課程設計以及課程教學等方面的一些主要特征。（一）小學教學課程課程（curriculum）,作為漢語，以一個教育學概念大概最早出現(xiàn)于南宋哲學家和教育家朱熹（1130——1200）的著作《朱子全書·論學》中。按照《中國大百科全書（教育篇）》的解釋是“課業(yè)及其進程”，含有“學習范圍和進程”或“在一定時間內完成的一定分量的學業(yè)”等意；作為英語，“curriculum”一詞源于拉丁語“currere”，意為“跑道”（racecourse），轉意為“學習之道”。在西方最早提出課程（curriculum）一詞的是英國著名哲學家、教育家斯賓塞（H.Spencer）。他在1859年發(fā)表的《什么知識最有價值》一文中將課程意指為“教學內容的系統(tǒng)組織”。隨著對課程研究的不斷深入，人們對課程內涵的界定已出現(xiàn)多元化的格局。主要有以下幾個維度：第一，學科、知識維度。這一維度將課程看做是所講授的科學，強調課程的知識組織與累積、保存功能。第二，目標計劃維度。將課程視為教學過程要達到的目標、教學的預期結果或教學的預設計劃。第三，經驗、體驗維度。這種課程定義把課程視為學生在老師指導下獲得經驗或體驗，以及學生自發(fā)獲得的經驗和體驗。這一定義維定與前兩種的最大差異在于，它將課程內涵的重心由學科知識或計劃的客觀側面轉移到了學習者的經驗和體驗的主觀側面。第四，活動維度。其基本觀點認為，課程是人的各種自主活動的總和，學習者通過與活動對象的相互作用而實現(xiàn)自身各方面的發(fā)展。另外，美國學者小威謙姆·多爾（W.E.Doll）在《后現(xiàn)代課程觀》一書中對未來課程發(fā)展作了全新理念下的闡釋，他提出的新的課程特征可歸結為“4R”，即豐富性（Richness）、回歸性（Recursion）、關聯(lián)性（Relation）和嚴密性（Rigor）。雖然，如果我們僅僅從學科知識維度和目標計劃維度來理解課程，恐怕是過于狹窄了，這樣會出現(xiàn)把教材等同于課程的現(xiàn)象。而從經驗體驗維度和活動維度來理解課程使得課程的含義更為寬廣，這樣會將課程視為教師、學生、教材、環(huán)境四因素間的持續(xù)交互作用的動態(tài)情境，課程由此變成了一種動態(tài)的和生長的“生態(tài)系統(tǒng)”。數(shù)學課程作為課程的一個組成部分，數(shù)學課程就是其中的一個“子生態(tài)系統(tǒng)”。小學數(shù)學課程是學校數(shù)學教育在小學階段的一門重要課程。要了解小學數(shù)學課程，應從小學數(shù)學課程目標、課程體系、課程內容的組織與呈現(xiàn)以及課程的實施和評價等幾方面來研究。（二）傳統(tǒng)小學數(shù)學課程的特征1、課程開發(fā)——學術中心傳統(tǒng)的小學數(shù)學課程體系強調數(shù)學的學術性，強調只有那些可“教授”的數(shù)學學術知識才能用來組織課程，而經驗、情緒或社會因素等不被視為課程的來源。當課程過分追求學科的嚴密體系的時候，就會忽視課程的育人性。包括忽視學生在態(tài)度、情感、人格等方面的全面發(fā)展，忽然學生實踐、探索和交流的主動學習過程和個性差異等，也忽視社會和數(shù)學自身進步的需要。因此，數(shù)學課程與兒童之間就會存在明顯的脫節(jié)甚至對立。2、課程組織——學科取向傳統(tǒng)的小學數(shù)學課程內容的設計偏深，貪大求全。許多內容脫離學生的生活實際，特別是應用題。這些應用題并不完全取材于生活中的問題，更多的是人為設計的，純粹是為數(shù)學知識體系服務的；課程內容的組織往往過多地考慮某一知識在數(shù)學科學結構中的位置和作用。于是小學生的數(shù)學課程就成為“數(shù)學家的課程”；課程內容的呈現(xiàn)方式基本上是演繹型的，從符號到符號，缺乏趣味性和可讀性，不完全符合小學生的認知規(guī)律。3、課程結構——螺旋式傳統(tǒng)的小學數(shù)學在內容體系的組織中，按照兒童的年齡特點，對數(shù)學知識進行逐步滲透、逐步拓展。表現(xiàn)在對于同一“塊”數(shù)學知識，在每個年級段都要安排一定的量。而這些“量”隨著兒童的年齡增長以及經驗、認知和能力的增長呈現(xiàn)明顯的加深與拓展。經過五年（或六年）的反復循環(huán)，形成完整的數(shù)學基礎知識體系。它的特點就是由淺入深、由易到難、循環(huán)漸進。這種呈現(xiàn)方式，有利于數(shù)學知識系統(tǒng)的傳授知識