高三數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)鞏固復(fù)習(xí)檢測(cè)27

§4.7解三角形應(yīng)用舉例一、選擇題1．在某次測(cè)量中，在A處測(cè)得同一平面方向的B點(diǎn)的仰角是50°，且到A的距離為2，C點(diǎn)的俯角為70°，且到A的距離為3，則B、C間的距離為()A.eq\r(16)B.eq\r(17)C.eq\r(18)D.eq\r(19)解析：因∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝3.∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝4＋9－2×2×3×cos120°＝19.∴BC＝eq\r(19).答案：D2．如圖所示，為了測(cè)量某障礙物兩側(cè)A，B間的距離，給定下列四組數(shù)據(jù)，不能確定A，B間距離的是()．A．α，a，b B．α，β，aC．a(chǎn)，b，γ D．α，β，b解析選項(xiàng)B中由正弦定理可求b，再由余弦定理可確定AB.選項(xiàng)C中可由余弦定理確定AB.選項(xiàng)D同B類似，故選A.答案A3．某人向正東方向走xkm后，向右轉(zhuǎn)150°，然后朝新方向走3km，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好是eq\r(3)km，那么x的值為()．A.eq\r(3)B．2eq\r(3)C.eq\r(3)或2eq\r(3)D．3解析如圖所示，設(shè)此人從A出發(fā)，則AB＝x，BC＝3，AC＝eq\r(3)，∠ABC＝30°，由余弦定理得(eq\r(3))2＝x2＋32－2x·3·cos30°，整理得x2－3eq\r(3)x＋6＝0，解得x＝eq\r(3)或2eq\r(3).答案C4．如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計(jì)算出A、B兩點(diǎn)的距離為()A．50eq\r(2)mB．50eq\r(3)mC．25eq\r(2)mD.eq\f(25\r(2),2)m解析由題意，得B＝30°.由正弦定理，得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(AC,sinB)，∴AB＝eq\f(AC·sin∠ACB,sinB)＝eq\f(50×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝50eq\r(2)(m)．答案A5．兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于akm，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為()A．a(chǎn)kmB.eq\r(2)akmC．2akmD.eq\r(3)akm解析依題意得∠ACB＝120°，由余弦定理，得cos120°＝eq\f(AC2＋BC2－AB2,2AC·BC).∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC＝a2＋a2－2a2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝3a2，∴AB＝eq\r(3)a，故選D.答案D6．據(jù)新華社報(bào)道，強(qiáng)臺(tái)風(fēng)“珍珠”在廣東饒平登陸．臺(tái)風(fēng)中心最大風(fēng)力達(dá)到12級(jí)以上，大風(fēng)降雨給災(zāi)區(qū)帶來嚴(yán)重的災(zāi)害，不少大樹被大風(fēng)折斷．某路邊一樹干被臺(tái)風(fēng)吹斷后，折成與地面成45°角，樹干也傾斜為與地面成75°角，樹干底部與樹尖著地處相距20米，則折斷點(diǎn)與樹干底部的距離是()．A.eq\f(20\r(6),3)米B．10eq\r(6)米C.eq\f(10\r(6),3)米D．20eq\r(2)米解析如圖所示，設(shè)樹干底部為O，樹尖著地處為B，折斷點(diǎn)為A，則∠ABO＝45°，∠AOB＝75°，∴∠OAB＝60°.由正弦定理知，eq\f(AO,sin45°)＝eq\f(20,sin60°)，∴AO＝eq\f(20\r(6),3)(米)．答案A7．如圖，飛機(jī)的航線和山頂在同一個(gè)鉛垂面內(nèi)，若飛機(jī)的高度為海拔18km，速度為1000km/h，飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?0°，經(jīng)過1min后又看到山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮０胃叨葹?精確到0.1km)()．A．11.4B．6.6C．6.5D．5.6解析AB＝1000×1000×eq\f(1,60)＝eq\f(50000,3)(m)，∴BC＝eq\f(AB,sin45°)·sin30°＝eq\f(50000,3\r(2))(m)．∴航線離山頂h＝eq\f(50000,3\r(2))×sin75°≈11.4(km)．∴山高為18－11.4＝6.6(km)．答案B二、填空題8．一船以每小時(shí)15km的速度向東航行，船在A處看到一個(gè)燈塔M在北偏東60°方向，行駛4h后，船到B處，看到這個(gè)燈塔在北偏東15°方向，這時(shí)船與燈塔的距離為________km.解析：如圖所示，依題意有AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，在△AMB中，由正弦定理得eq\f(60,sin45°)＝eq\f(BM,sin30°)，解得BM＝30eq\r(2)．答案：30eq\r(2)9．如圖，為測(cè)得河對(duì)岸塔AB的高，先在河岸上選一點(diǎn)C，使C在塔底B的正東方向上，測(cè)得點(diǎn)A的仰角為60°，再由點(diǎn)C沿北偏東15°方向走10米到位置D，測(cè)得∠BDC＝45°，則塔AB的高是________米．解析在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，eq\f(BC,sin45°)＝eq\f(CD,sin30°)，BC＝eq\f(CDsin45°,sin30°)＝10eq\r(2).在Rt△ABC中，tan60°＝eq\f(AB,BC)，AB＝BCtan60°＝10eq\r(6)(米)．答案10eq\r(6)10．2010年11月12日廣州亞運(yùn)會(huì)上舉行升旗儀式．如圖，在坡度為15°的觀禮臺(tái)上，某一列座位所在直線AB與旗桿所在直線MN共面，在該列的第一個(gè)座位A和最后一個(gè)座位B測(cè)得旗桿頂端N的仰角分別為60°和30°，且座位A、B的距離為10eq\r(6)米，則旗桿的高度為________米．解析由題可知∠BAN＝105°，∠BNA＝30°，由正弦定理得eq\f(AN,sin45°)＝eq\f(10\r(6),sin30°)，解得AN＝20eq\r(3)(米)，在Rt△AMN中，MN＝20eq\r(3)sin60°＝30(米)．故旗桿的高度為30米．答案3011．如圖，在日本地震災(zāi)區(qū)的搜救現(xiàn)場(chǎng)，一條搜救狗從A處沿正北方向行進(jìn)xm到達(dá)B處發(fā)現(xiàn)一個(gè)生命跡象，然后向右轉(zhuǎn)105°，進(jìn)行10m到達(dá)C處發(fā)現(xiàn)另一生命跡象，這時(shí)它向右轉(zhuǎn)135°后繼續(xù)前行回到出發(fā)點(diǎn)，那么x＝________.解析由題知，∠CBA＝75°，∠BCA＝45°，∴∠BAC＝180°－75°－45°＝60°，∴eq\f(x,sin45°)＝eq\f(10,sin60°).∴x＝eq\f(10\r(6),3)m.答案eq\f(10\r(6),3)m12．如圖，一船在海上自西向東航行，在A處測(cè)得某島M的方位角為北偏東α角，前進(jìn)m海里后在B處測(cè)得該島的方位角為北偏東β角，已知該島周圍n海里范圍內(nèi)(包括邊界)有暗礁，現(xiàn)該船繼續(xù)東行，當(dāng)α與β滿足條件________時(shí)，該船沒有觸礁危險(xiǎn)．解析由題可知，在△ABM中，根據(jù)正弦定理得eq\f(BM,sin90°－α)＝eq\f(m,sinα－β)，解得BM＝eq\f(mcosα,sinα－β)，要使該船沒有觸礁危險(xiǎn)需滿足BMsin(90°－β)＝eq\f(mcosαcosβ,sinα－β)＞n，所以當(dāng)α與β的關(guān)系滿足mcosαcosβ＞nsin(α－β)時(shí)，該船沒有觸礁危險(xiǎn)．答案mcosαcosβ＞nsin(α－β)三、解答題13．隔河看兩目標(biāo)A與B，但不能到達(dá)，在岸邊先選取相距eq\r(3)千米的C，D兩點(diǎn)，同時(shí)，測(cè)得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面內(nèi))，求兩目標(biāo)A，B之間的距離．解析如圖所示，在△ACD中，∵∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，∴∠CAD＝30°，AC＝CD＝eq\r(3)(千米)，在△BDC中，∠CBD＝180°－45°－75°＝60°.由正弦定理得，BC＝eq\f(\r(3)sin75°,sin60°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)(千米)．在△ABC中，由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠BCA，即AB2＝(eq\r(3))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)＋\r(2),2)))2－2eq\r(3)·eq\f(\r(6)＋\r(2),2)cos75°＝5.∴AB＝eq\r(5)(千米)．所以兩目標(biāo)A、B間的距離為eq\r(5)千米．14．如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/時(shí)的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時(shí)從B處出發(fā)沿北偏東α的方向追趕漁船乙，剛好用2小時(shí)追上，此時(shí)到達(dá)C處．(1)求漁船甲的速度；(2)求sinα的值．解析(1)依題意知，∠BAC＝120°，AB＝12(海里)，AC＝10×2＝20(海里)，∠BCA＝α，在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784.解得BC＝28(海里)．所以漁船甲的速度為eq\f(BC,2)＝14海里/時(shí)．(2)在△ABC中，因?yàn)锳B＝12(海里)，∠BAC＝120°，BC＝28(海里)，∠BCA＝α，由正弦定理，得eq\f(AB,sinα)＝eq\f(BC,sin120°).即sinα＝eq\f(ABsin120°,BC)＝eq\f(12×\f(\r(3),2),28)＝eq\f(3\r(3),14).15．如圖所示，甲船由A島出發(fā)向北偏東45°的方向作勻速直線航行，速度為15eq\r(2)nmile/h，在甲船從A島出發(fā)的同時(shí)，乙船從A島正南40nmile處的B島出發(fā)，朝北偏東θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tanθ＝\f(1,2)))的方向作勻速直線航行，速度為mnmile/h.(1)若兩船能相遇，求m.(2)當(dāng)m＝10eq\r(5)時(shí)，求兩船出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間距離最近，最近距離為多少nmile?解析(1)設(shè)t小時(shí)后，兩船在M處相遇，由tanθ＝eq\f(1,2)，得sinθ＝eq\f(\r(5),5)，cosθ＝eq\f(2\r(5),5)，所以sin∠AMB＝sin(45°－θ)＝eq\f(\r(10),10).由正弦定理，eq\f(AM,sinθ)＝eq\f(AB,sin∠AMB)，∴AM＝40eq\r(2)，同理得BM＝40eq\r(5).∴t＝eq\f(40\r(2),15\r(2))＝eq\f(8,3)，m＝eq\f(40\r(5),\f(8,3))＝15eq\r(5).(2)以A為原點(diǎn)，BA所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)在t時(shí)刻甲、乙兩船分別在P(x1，y1)，Q(x2，y2)處，則|AP|＝15eq\r(2)t，|BQ|＝10eq\r(5)t.由任意角三角函數(shù)的定義，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝15\r(2)tcos45°＝15t，,y1＝15\r(2)tsin45°＝15t，))即點(diǎn)P的坐標(biāo)是(15t,15t)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝10\r(5)tsinθ＝10t，,y2＝10\r(5)tcosθ－40＝20t－40，))即點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(10t,20t－40)，∴|PQ|＝eq\r(－5t2＋5t－402)＝eq\r(50t2－400t＋1600)＝eq\r(50t－42＋800)≥20eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)t＝4時(shí)，|PQ|取得最小值20eq\r(2)，即兩船出發(fā)4小時(shí)時(shí)，距離最近，最近距離為20eq\r(2)nmile.16．某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上．在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時(shí)與輪船相遇．(1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說明理由．思路分析第(1)問建立航行距離與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式；第(2)問建立速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式．解析(1)設(shè)相遇時(shí)小艇航行的距離為S海里，則S＝eq\r(900t2＋400－2·30t·20·cos90°－30°)＝eq\r(900t2－600t＋400)＝eq\r(900\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,