（全國版）高考數(shù)學一輪復習 第7章 立體幾何 第5講 直線、平面垂直的判定及性質學案-人教版高三全冊數(shù)學學案

第5講直線、平面垂直的判定及性質

考點回顧考綱解讀考向預測

考點分值

年份卷型題號2019年證明垂直的題型預計有兩

能理解并掌握空間中線面垂直的有類：①線面垂直的判定與證明；②利用

I面面垂直18121.

2017關性質和判定定理.線面垂直的性質證明線線垂直或面面

111線線垂直19122.會用直線與平面垂直的判定定理和垂直.

性質定理證明一些空間圖形的位置證明垂直問題，可以利用常規(guī)法證

2016II線線垂直1912

關系的簡單命題.明，也可以通過建立空間直角坐標系，

2015I面面垂直1812利用向量數(shù)量積進行證明.

板塊一知識梳理?自主學習

［必備知識］

考點1直線與平面垂直

1.直線和平面垂直的定義

直線/與平面a內的任意一條直線都垂直,就說直線/與平面a互相垂直.

2.直線與平面垂直的判定定理

\文字語言圖形語言符號語言

一條直線與一1

判

個平面內的畫

定

定條相交直線都

理l±a「/L

垂直，則該直線E7

LYb

與此平面垂直

3.直線與平面垂直的性質定理

文字語言圖形語言符號語言

性b

垂直于同一個

質

定平面的兩條直

理

線平行

考點2平面與平面垂直

1.平面與平面垂直的判定定理

文字語言符號語言

判一個平面過另一

定個平面的一條垂

定

理級，則這兩個平

面垂直

2.平面與平面垂直的性質定理

文字語言圖形語言符號語言

兩個平面互相

性垂直，則一個平

質

定面內垂直于交

理

線的直線垂直

于另一個平面

［必會結論］

直線與平面垂直的五個結論

(1)若一條直線垂直于一個平面，則這條直線垂直于這個平面內的任意直線.

(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面.

(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行.

(4)過一點有且只有一條直線與已知平面垂直.

(5)過一點有且只有一個平面與已知直線垂直.

［考點自測］

1.判斷下列結論的正誤.(正確的打“，錯誤的打“X”)

(1)垂直于同一個平面的兩平面平行.()

(2)若兩條直線與一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行.()

(3)若平面a內的一條直線垂直于平面B內的無數(shù)條直線，則()

(4)二面角是指兩個相交平面構成的圖形.()

(5)若兩個平面垂直，則其中一個平面內的任意一條直線垂直于另一個平面.()

答案⑴義(2)X(3)X(4)X(5)X

2.［2018?浙江模擬］設勿，〃是兩條不同的直線，a,￡是兩個不同的平面，下列命

題正確的是()

A.若mLn,n//a,則niLa

B.若m//P,萬_La,則ml.a

C.若8,z?±S,nX.a,則mA.a

D.若加_L〃，￡_La,則ZB_La

答案C

解析對于選項A,B,D,均能舉出z?_L。的反例；對于選項C,若zzd_￡,a_L￡,則

m//n,又Z7±a,/.ml.a.故選C.

3.［課本改編］若勿，〃是兩條不同的直線，a,J3,y是三個不同的平面，則下列命

題正確的是()

A*若歸￡,aJ_￡，則ml.a

B.若aCly=m,6rly=n,m//n,則a//B

C.若/d￡,m//a,則aJ.￡

D.若a_L7,a,F,則/

答案C

解析A中山與a的位置關系不確定，故錯誤；B中。，￡可能平行或相交，故錯誤;

由面面垂直的判定定理可知C正確；D中6，7平行或相交，所以D錯誤.故選C.

4.在如圖所示的四個正方體中，能得出48，。的是()

解析A中，CDLAB；B中，四與G9成60°角；C中，相與切成45°角；D中，AB

與切夾角的正切值為故選A.

板塊二典例探究?考向突破

考向”有關垂直關系的判斷

例1[2017?廣州模擬]設面，〃是兩條不同的直線，a,￡是兩個不同的平面，下列

命題中正確的是()

A.若a_L￡,me:a,〃u￡,則以_L〃

B.若必_La,m//n,/?〃￡,貝I]a_L￡

C.若僅L〃，//2Ca,K.8,貝！1a_L￡

D.若。〃￡,me.a,〃u￡,則如〃〃

答案B

解析若a_L￡,歸a,〃u￡,則卬與〃相交、平行或異面，故A錯誤；

m//n,：.nLa,又：〃〃萬，；.a_L￡,故B正確；

若0_La,/nca,nuB,貝1]a與￡的位置關系不確定，故C錯誤；

若a//^,maa,nu￡,則/?〃〃或必，n異面,故D錯誤.故選B.

觸類旁通

判斷垂直關系需注意的問題

(1)作圖要熟練，借助幾何圖形來說明線面關系要做到作圖快、準.

(2)善于尋找反例，若存在反例，結論就被駁倒了.

(3)要思考完整，反復驗證所有可能的情況，必要時要運用判定或性質定理進行簡單說

明.

【變式訓練1】[2018?北京東城模擬]已知力和〃是兩條不同的直線，。和￡是兩

個不重合的平面，那么下面給出的條件中一定能推出如，￡的是()

A.，且gaB.m//n,且〃_L￡

C.a_L￡,且加〃aD.mA.n,且〃〃￡

答案B

解析因為a_L萬，/zca,則加，￡的位置關系不確定，可能平行、相交、w在B面

內，故A錯誤；由線面垂直的性質定理可知B正確；若a_L￡,z?〃a,則如￡的位置關

系也不確定，故C錯誤；若小n,n//B,則如￡的位置關系也不確定，故D錯誤.故選

考向2直線與平面垂直的判定與性質

?俞題角一度」…利用線線垂直證明線面垂直

例2[2018?湖北宜昌模擬]在正三棱柱4?。一/歸G中，BC=

鏡必，E,凡材分別為4G,仍，%的中點.

(1)求證：EF〃平面驅CC

(2)求證：阮1平面49成

證明(1)連接4員BQ.

因為其尸分別為4G,45的中點,

所以廠為48的中點，所以加〃8G.

因為6Gu平面微6C,￡區(qū)平面能CC,

所以牙〃平面BBGC.

(2)在矩形8CG笈，BC=@B\,

所以tan/CSG=羋,tan/B聞B=W

所以tanN灰?tanN尻姐=1.

所以/惻+/尻監(jiān)=方所以BGA.BxM.

因為EF〃BQ,所以廳工尻”

在正三棱柱ABC-A\B\Ci中，底面平面BBCC.

因為"為比'的中點，AB^AC,所以如吐6c

因為平面ABCQ平面期GC=BC,

所以4月_平面BBCC

因為8Gu平面初GG所以4月一陽

因為EF〃BC\,所以比L4K

又因為4團1尻M=M,4仁平面4尻M,尻化平面/仇伙所以阮L平面45也

?施題角一度2.利用線面垂直證明線線垂直

例3[2017?江蘇高考]如圖，在三棱錐/一靦中，ABA.AD,

BCLBD,平面4劭，平面比2點反F（E與A,。不重合）分別在棱4。，刃上，且跖

VAD.

A

C

求證：（1）跖〃平面4%7；

（2）/〃UC

證明（1）在平面4S9內，因為4?_L49,EFVAD,

所以EF//AB.

又因為幽平面45G4七平面46C,

所以川〃平面45C

（2）因為平面IfiEL平面BCD,

平面ABDQ平面BCD=BD,

8Cu平面BCV,BCA,BD,

所以8nL平面ABD.

因為平面/加，所以比」被

又ABLAD,BCCAB=B,16u平面4舐at平面4陽

所以4LL平面ABC.

又因為4化平面ABC,

所以49J_IC

觸類旁通

證明線面垂直的常用方法及關鍵

(1)證明直線和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a〃方，a

J.a=6_L。)；③面面平行的性質(aJ.a,a〃￡=aJ,￡)；④面面垂直的性質.

(2)證明線面垂直的關鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質.

3

例4[2017?全國卷I]如圖，在四棱錐P—ABCD中,AB//CD,且/BAP=NCDP^90；

(1)證明：平面為叫L平面門切：

O

②若PA=PD=AB=DC,/APD=90°,且四棱錐X靦的體積為可，求該四棱錐的側

O

面積.

解(1)證明：由已知/物A=/av90°,

得血4P,CDLPD.

由于四〃S&ABLPD,從而四，平面目〃

又46u平面PAB,

所以平面A48J_平面PAD.

(2)如圖，在平面必。內作阻L/L9,垂足為笈

由(1)知，4員L平面處〃故.ABLPE,ABVAD,

可得用_L平面/6G9.

設AB=x,則由已知可得AD=y[2xfPE=--x.

故四棱錐尸一/犯9的體積

113

VP-AHCD=-AB?AD?PE=-X.

?Ju

1o

由題設得鼻f=鼻，故x=2.

Jo

從而結合已知可得見=外=四=%=2,AABC=2?PB=PC=2?

可得四棱錐尸-4?切的側面積為

^PA?PD+^PA-AB+^PD?〃C+“sin60。=6+273.

觸類旁通

判定面面垂直的方法

(1)面面垂直的定義：

(2)面面垂直的判定定理(a_L￡,auana_L￡).

【變式訓練2】如圖，正方形44中與梯形4?切所在的平面互相垂直，AB//CD,ABL

BC,點"在線段旅上.

(1)證明：平面放歸"平面川奶

⑵若AE//平面MDB,求三棱錐￡一被獷的體積.

解（1）證明：'：DC=BC=\,DCIBC,:.B片也.

在梯形/版中，AD=取,AB=2,

：.AG^BG=A&,：.ZADB=90°.

J.ADVBD.

又平面/應力_平面ABCD,

平面ADEFC\平面ABCD=AD,

,平面ADEF.

又BIE平面BDM,

，平面被歸_平面ADEF.

⑵如圖，連接ACHBD=0,連接機）,

:平面必CA平面MBD=MO,四〃平面MDB,AEu平面EAC,

J.AE//OM.

又AB//CD,

C

2

->f=

221

XX1X

3--3-2-A

丁力廢尸為正方形，J.EDLAD.

又???平面ADEFV平面ADCB,

???瓦〃_平面力比〃。比平面力的，：.DELBC.

*：AB〃CD,ABLBQC.BCLCD,

又EDCDC=D,???6C_L平面口C

11應X1=應

??VE-BDH=%-￡ZW=§5k剛＞3X-9,

(--------------------------------------------------------------------------------------------------1代幺師寶記?UI加領悟I

IktlN?(MUmjlC^fiVINALINCiWl

核心規(guī)律

轉化思想：垂直關系的轉化

判定

判定判定}

線線垂直線面垂直面面垂直

.性質性質I

性質

在證明兩平面垂直時一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線圖中不存

在，則可通過作輔助線來解決.

。滿分策略

1.在用線面垂直的判定定理證明線面垂直時，考生易忽視說明平面內的兩條直線相交，

而導致被扣分，這一點在證明中要注意.口訣：線不在多，重在相交.

2.面面垂直的性質定理是作輔助線的一個重要依據(jù).我們要作一個平面的一條垂線，通

常是先找這個平面的一個垂面，在這個垂面中，作交線的垂線即可.

板塊三啟智培優(yōu)?破譯高考

題型技法系列12——等體積法求點到平面的距離

[2018?內蒙古模擬]如圖，在直三棱柱四C一頌中，底面被7的棱，且

BC=2.點、G,〃在側棱"'上，且CH=HG=GF=1.

(1)證明：平面46G；

（2）求點C到平面/仇；的距離.

解題視點（1）證明直線與平面垂直的常用方法為證明直線與平面內的兩條相交直線都

垂直；（2）等體積法是求解點到平面的距離的常用方法.

解（1）證明：?.36C一應尸是直三棱柱，

平面18G而｛氏平面47G：.FCLAB.

又?：ABLBC,BCCFC=C.

；.A9_L平面BCFE,

又?：址平面BCFE,：.ABLEH.

由題設知△仔7/與△6CG均為直角三角形，

?：EF=2=FH,BC=2=CG,

7m=45°,NBGC=45；

設BGCEH=P,則N67W=90°,HPEHVBG.

又ABCBG=B,敬1平面4%.

②■：AB=BC=2,ABVBC,

S^ABC《ABXBC=2.

14

,.,CG_L平面ABCtVG-ABC—~^S^ABC^CG—~Z.

oJ

由（1）知4員L%,CG=2=BC,

BG=7Bd+C?=7*+2'=2M,

：.5kw=56X6G=24.

設點C到平面4%的距離為h,則

二心4=斗仁—4

即點C到平面4%的距離為［I

答題啟示（1）證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直

的性質；（2）用等體積法求點到平面距離時，通過換頂點和底面轉化為底面積和高易求的錐

體體積是關鍵.

/跟蹤訓練

已知三棱錐4一"/中，△/灰是等腰直角三角形，^ACLBC,BC=2,4a平面比》,

AD=l.

（1）求證：平面平面〃%

（2）若匯為18的中點，求點力到平面物的距離.

解（1）證明：因為平面靦，8比平面靦，所以又因為

—A,所以比U_平面4切，8Cu平面MC,所以平面46cl,平面4czz

（2）由已知可得徵=十，取切中點為R連接戰(zhàn)由于ED=EC=%8=yfi,所以△

曲為等腰三角形，從而"=坐，S△『唱由（1）知比工平面所以少到平面/徵

的距禺為1>S^AC,P=^^~,令力到平面CED的距匿|為"，有小-皿=§?SnECD?d=%一偌>=1,5k

ACO*1,解得d—V".

板塊四模擬演練?提能增分

［A級基礎達標］

1.［2016?浙江高考］已知互相垂直的平面。，￡交于直線/.若直線〃，〃滿足小〃。，

n_L8,則（）

A.m//1B.m//nC.nA.1D.mln

答案C

解析?:aCB=l,：.luB,；n_L6,故選C.

2.［2015?福建高考］若/,卬是兩條不同的直線，/垂直于平面。，則“八加’是"1

〃?！钡模ǎ?/p>

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

答案B

解析由“mla且/，必”推出“l(fā)ua或/〃a”，但由“0J.a且/〃a”可推出u1

W,所以“AL4'是"/〃的必要而不充分條件，故選B.

3.［2017?天津河西模擬］設/是直線，a,￡是兩個不同的平面，則下列說法正確的

是（）

A.若/〃。，/〃￡,則。〃￡B.若/〃*118,則a_L￡

C.若a_L尸，則/〃￡D.若aJ.尸，/〃。，則IL￡

答案B

解析對于A,若/〃a,/〃￡,則a〃￡或。與￡相交，故A錯誤；易知B正確；

對于C,若。，萬，1±a,則/〃月或/u戶，故C錯誤；對于D,若aVP,1//a,則

/與￡的位置關系不確定，故D錯誤.故選B.

4.［2018?濟南模擬］己知如圖，六棱錐產(chǎn)一48徵方的底面是正六邊形，序，平面］靦a:

則下列結論不正確的是（）

A.如〃平面必夕

B.加1平面為b

C.6F〃平面9

D.”平面必〃

答案D

解析A中，因為必〃/，4t平面川/,GW平面門㈤所以⑦〃平面序尸成立；

B中，因為4EC應F為正六邊形,所以DFL4F,

又因為孫，平面4%7姐所以必_LZF,

又因為用CM尸=4所以加讓平面月仍成立；

C中，因為"〃/8,47u平面為8,函平面序8,所以"'〃平面為3；而D中。；'與49

不垂直.故選D.

5.已知/?,〃為異面直線，以_1_平面a,平面￡.直線/滿足/_1_卬，ILn,IQa,

KS,則（）

A."〃￡且/〃a

B.a,萬且/J.￡

C.。與￡相交，且交線垂直于1

D.a與￡相交，且交線平行于1

答案D

解析若?！ㄊ?，則m//n,這與m、n為異面直線矛盾，所以A不正確，。與萬相交.將

已知條件轉化到正方體中，易知。與￡不一定垂直，但。與￡的交線一定平行于1,從

而排除B,C.故選D.

6.己知。為園所在平面外一點，且以，PB,AC兩兩垂直，則下列命題：

?PALBC-,②PB1AC；③PCLAB；?ABVBC.

其中正確的個數(shù)是一,

答案3

解析如圖所示.：必_L/T,PALPB,PCCPB=P,：,PA工平面PBC.

又,..旌:平面W,...為_L8C同理陽_L/GPCLAB.

但48不一定垂直于BC.

7.設a,8為不重合的兩條直線，a,萬為不重合的兩個平面，給出下列命題：

①若a//a,b//B,且a〃￡,則a//b；

②若a_La,且a_L￡,則a〃￡；

③若則一定存在平面Y，使得r-L丫上8;

④若a工B,則一定存在直線/，使得1//P.

上面命題中，所有真命題的序號是.

答案②③④

解析①中a與6可能相交或異面，故不正確.②垂直于同一直線的兩平面平行，正確.③

中存在Y，使得7與。，￡都垂直.④中只需直線。且就可以.

8.[2018?廣東模擬]如圖，在三棱錐廳4%■中，若AB=CB,AD=CD,￡是47的中點，

則下列命題中正確的有一（寫出全部正確命題的序號）.

①平面】比2平面ABD-,

②平面45ZLL平面BCD；

③平面平面BDE,且平面〃》_!_平面BDEx

④平面46UL平面ACD,且平面力切_1平面BDE.

答案③

解析由M=CB,AD=CD知ACLDE,ACLBE,從而女工平面比上故③正確.

9.如圖所示，在四棱錐46（/中，用J_底面仍Q,ABLAD,ACLCD,NABC=60°,

PA=AB=BC,￡是AC的中點.求證:

p

⑴如_L4￡；

⑵如，平面ABE.

證明⑴；為，底面ABCD,平面ABCD,

J.CDLPA.

又CD,AC,PAQAC^A,

故微1平面為C,力比平面為C

故CDLAE.

⑵?：PA=AB=BC,N4BC=60°,故為=4C

???￡是用的中點，故/吐AC

由⑴知CDX.AE,由于PCCCD=C,

從而也，平面也?，故.AELPD.

易知胡_L如，故如J_平面｛配：

10.[2018?湖南永州模擬]如圖，四棱錐S—4%為中，AB//CD,BCVCD,側面相8為等

邊三角形，AB=BC=2,CD=SD=\.

S

(2)求四棱錐S一力腿的高.

解(1)證明：如圖，取的中點￡,連接應；DB,

則四邊形式笳為矩形，

:、DE=CB=2,

/.AD=BD=#.

??,側面以3為等邊三角形，AB=2,

：.SA=SB=AB=2.

又1s9=1,

???豺+初=4,SE+SG=B4,

：.ZDSA=ZDSB=90°,即以L5XSDLSB,SADSB=S,

，M_L平面SAB.

（2）設四棱錐S—/四的高為力，則力也是三棱錐S—4劭的高.

由（1）,知幼_L平面S1笈

=

由%T8D=VD-SABJAUD*h~^S^SAH*SD,

.SdSABeSD

??h=7.

O^ABD

「11

又S^=-AB?應=]X2X2=2,

5ks初=坐4#=乎X2?=4,SD=\,

.S4SAB。SD小XI也

??h=z-=o-

O^AHD/o乙

故四棱錐s-4?切的高為平.

[B級知能提升]

1.[2018?青島質檢]設a,6是兩條不同的直線，a,￡是兩個不同的平面，則能得

出a_L。的是（）

A.ala,b〃B,。IBB.aJ_。,6_L￡,?！ā?/p>

C.au4,8J_￡,4〃￡D.aua,，〃￡,aJ,￡

答案c

解析對于C項，由a"B,au?？傻胊〃￡,又6_L￡,得a_Lb.故選C.

2.[2018?河北唐山模擬]如圖，在正方形4灰力中，E,尸分別是8a徵的中點，G是

）的中點，現(xiàn)在沿力￡,4尸及跖把這個正方形折成一個空間圖形，使6,C,〃三點重合，

重合后的點記為〃，那么，在這個空間圖形中必有（）

答案B

解析根據(jù)折疊前、后川1LHE,AHLHP不變,

二/憶平面以以B正確；；過4只有一條直線與平面反加垂直，，A不正確；'JAG1.

EF,EFVGH,AGCG4G,皿平面胡G,又母七平面4旗，.?.平面陰GJ_平面力fiS過〃

作直線垂直于平面4方尸，一定在平面胡G內，...C不正確；由條件證不出陰，平面力甌；.D

不正確.故選B.

3.如圖，刈，。。所在平面，46是。。的直徑，C是。0上一點，AELPC,AFLPB,給

出下列結論：①