高二數(shù)學下冊課時限時檢測12

(時間60分鐘，滿分80分)一、選擇題(共6個小題，每小題5分，滿分30分)1．(2011·山東濰坊)如圖是一個空間幾何體的三視圖，這個幾何體的體積是()A．2π B．3πC．6π D．9π解析：由三視圖可知，該幾何體是一個由底面半徑為2高為3的圓柱中間挖去一個底面半徑為1的等高圓柱后余下的部分，所以，其體積為π×(22－12)×3＝9π.答案：D2．一個幾何體的三視圖及部分數(shù)據(jù)如圖所示，側(左)視圖為等腰三角形，俯視圖為正方形，則這個幾何體的體積等于()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(\r(15),6) D.eq\f(\r(62),24)解析：由題中的三視圖可知，該幾何體是一個四棱錐，所以其體積為V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2＝eq\f(1,3).答案：A3．(2011·深圳模擬)如圖，一個簡單組合體的正(主)視圖和側(左)視圖都是由一個正方形與一個正三角形構成的相同的圖形，俯視圖是一個半徑為eq\r(3)的圓(包括圓心)．則該組合體的表面積等于()A．15π B．18πC．21π D．24π解析：由題意可知，該組合體的下面為圓柱體，上面為圓錐體，由相應幾何體的面積計算公式得，該組合體的表面積為：S＝πr2＋2πrh＋πrl＝π(eq\r(3))2＋2π×(eq\r(3))×2eq\r(3)＋π×(eq\r(3))×2eq\r(3)＝21π.答案：C4．一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積等于()A．4 B．6C．8 D．12解析：由三視圖得幾何體為四棱錐，如圖記作S—ABCD，其中SA⊥面ABCD，SA＝2，AB＝2，AD＝2，CD＝4，且ABCD為直角梯形．∠DAB＝90°，∴V＝eq\f(1,3)SA×eq\f(1,2)(AB＋CD)×AD＝eq\f(1,3)×2×eq\f(1,2)(2＋4)×2＝4.答案：A5．(2010·遼寧錦州期末)如圖是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體的體積是()A．27 B．30C．33 D．36解析：由三視圖知該幾何體為組合體，由一個正四棱錐與一個正方體疊加構成，其中正方體的棱長為3，正四棱錐高為1，底面正方形邊長為3，∴V＝V柱＋V錐＝33＋eq\f(1,3)×9×1＝30.答案：B6．一個空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A.eq\f(6,5)πcm3 B．3πcm3C.eq\f(2,3)πcm3 D.eq\f(7,3)πcm3解析：由三視圖可知，此幾何體為底面半徑為1cm、高為3cm的圓柱上部去掉一個半徑為1cm的半球，所以其體積為V＝πr2h－eq\f(2,3)πr3＝3π－eq\f(2,3)π＝eq\f(7,3)π(cm3)．答案：D二、填空題(共3個小題，每小題5分，滿分15分)7．四棱錐P－ABCD的頂點P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三視圖如圖，則四棱錐P－ABCD的表面積為________．解析：由三視圖可得，三角形ABP的面積等于三角形ADP的面積且為eq\f(1,2)a2，三角形BPC的面積等于三角形CDP的面積且為eq\f(\r(2),2)a2，正方形ABCD的面積為a2，所以可得四棱錐P－ABCD的表面積為(2＋eq\r(2))a2.答案：(2＋eq\r(2))a28．(2010·湖北高考)圓柱形容器內(nèi)部盛有高度為8cm的水，若放入三個相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒最上面的球(如圖所示)，則球的半徑是________cm.解析：設球的半徑為rcm，則底面圓的半徑為rcm，從而有8πr2＋3×eq\f(4,3)πr3＝6r·πr2，由此解得r＝4.答案：49．(2010·南京模擬)如圖，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長為2cm，高為5cm，則一質點自點A出發(fā)，沿著三棱柱的側面繞行兩周到達點A1解析：根據(jù)題意，利用分割法將原三棱柱分割為兩個相同的三棱柱，然后將其展開為如圖所示的實線部分，則可知所求最短路線的長為eq\r(52＋122)＝13cm.答案：13三、解答題(共3個小題，滿分35分)10．已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，正(主)視圖是一個底邊長為8，高為4的等腰三角形，側(左)視圖是一個底邊長為6，高為4的等腰三角形．(1)求該幾何體的體積V；(2)求該幾何體的側面積S.解：由已知可得該幾何體是一個底面為矩形，高為4，頂點在底面的射影是矩形中心的四棱錐．(1)V＝eq\f(1,3)×(8×6)×4＝64.(2)該四棱錐有兩個側面PAD、PBC是全等的等腰三角形，且BC邊上的高為h1＝eq\r(42＋\f(8,2)2)＝4eq\r(2)，另兩個側面PAB、PCD也是全等的等腰三角形，AB邊上的高為h2＝eq\r(42＋\f(6,2)2)＝5，因此S＝2(eq\f(1,2)×6×4eq\r(2)＋eq\f(1,2)×8×5)＝40＋24eq\r(2).11．正三棱錐的高為1，底面邊長為2eq\r(6)，內(nèi)有一個球與四個面都相切，求棱錐的表面積和球的半徑．解：過PA與球心O作截面PAE與平面PCB交于PE，與平面ABC交于AE，因△ABC是正三角形，易知AE即是△ABC中BC邊上的高，又是BC邊上的中線，作為正三棱錐的高PD通過球心，且D是三角形△ABC的重心，據(jù)此根據(jù)底面邊長為2eq\r(6)，即可算出DE＝eq\f(1,3)AE＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×2eq\r(6)＝eq\r(2)，PE＝eq\r(1＋\r(2)2)＝eq\r(3)，由△POF∽△PED，知eq\f(r,DE)＝eq\f(1－r,PE)，∴eq\f(r,\r(2))＝eq\f(1－r,\r(3))，r＝eq\r(6)－2.∴S表＝S側＋S底＝3×eq\f(1,2)×2eq\r(6)×eq\r(3)＋eq\f(\r(3),4)×(2eq\r(6))2＝9eq\r(2)＋6eq\r(3).12．(2010·廣州模擬)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，點M是BC的中點，點N是AA1的中點．(1)求證：MN∥平面A1CD；(2)過N，C，D三點的平面把長方體ABCD－A1B1C1D1解：(1)證明：設點P為AD的中點，連結MP、NP，∵點M是BC的中點，∴MP∥CD.∵CD?平面A1CD，MP?平面A1CD，∴MP∥平面A1CD.∵點N是AA1的中點，∴NP∥A1D.∵A1D?平面A1CD，NP?平面A1CD，∴NP∥平面A1CD.∵MP∩NP＝P，MP?平面MNP，NP?平面MNP，∴平面MNP∥平面A1CD.∵MN?平面MNP，∴MN∥平面A1CD.(2)取BB1的中點Q，連結NQ、CQ、ND，∵點N是AA1的中點，∴NQ∥AB.∵AB∥CD，∴NQ∥CD，∴過N、C、D三點的平面NQCD把長方體ABCD－A1B1C1D1截成兩部分幾何體，其中一部分幾何體為直棱柱QBC－NAD，另一部分幾何體為直四棱柱B1QCC1－A1NDD1∴S△QBC＝eq\f(1,2)·QB·BC＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，∴直三棱柱QBC－NAD的體積V1＝S△QBC·AB＝eq\f(1,2).∵長方體ABCD－A1B1C1D1的體積V＝1×1×∴直四棱柱B1QCC1－A1NDD1