新教材高中數(shù)學第2章一元二次函數(shù)方程和不等式章末整合課件湘教版必修第一冊

章末整合第2章2021內(nèi)容索引0102知識網(wǎng)絡整合構建專題歸納思維深化知識網(wǎng)絡整合構建專題歸納思維深化專題一一元二次方程的根及其根與系數(shù)的關系例1已知x1,x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的兩個實數(shù)根.方法技巧一元二次方程的根及其根與系數(shù)的關系,雖在高考中不直接考查,但它是解決某些數(shù)學問題的基礎,常在解題過程中用到.變式訓練1已知關于x的一元二次方程kx2-(k-1)x-1=0.(1)求證:方程有兩個實數(shù)根.(2)當k為何值時,此方程的兩個實數(shù)根互為相反數(shù)?(3)我們定義:若一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個正實數(shù)根x1,x2(x1>x2),滿足2<<3,則稱這個一元二次方程有兩個“夢想根”.如果關于x的一元二次方程

kx2-(k-1)x-1=0有兩個“夢想根”,求k的取值范圍.(1)證明∵關于x的一元二次方程kx2-(k-1)x-1=0,a=k,b=-(k-1),c=-1,Δ=b2-4ac=[-(k-1)]2-4k×(-1)=k2+2k+1=(k+1)2≥0,∴關于x的一元二次方程kx2-(k-1)x-1=0有兩個實數(shù)根.專題二用基本不等式求最值(1)若m=1,求當x>1時函數(shù)的最小值;(2)當x<1時,函數(shù)有最大值-3,求實數(shù)m的值.分析(1)由函數(shù)的形式可以看出,求最小值可用基本不等式求解;(2)當x<1時,x-1<0,仍可用基本不等式求最值,利用等號成立的條件求參數(shù)m的值.方法技巧

基本不等式是證明不等式、求某些函數(shù)的最大值及最小值的理論依據(jù),在解決數(shù)學問題和實際問題中應用廣泛.答案

B專題三不等式中的恒成立問題例3已知關于x的不等式x2+mx>4x+m-4.(1)若對一切實數(shù)x不等式恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;(2)若對一切大于1的實數(shù)x不等式恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.分析(1)不等式為一元二次不等式,利用判別式小于0,即可求m的取值范圍;(2)通過對一切大于1的實數(shù)x不等式恒成立,判斷對應二次函數(shù)圖象對稱軸的位置及當x=1時y的值,即可求m的取值范圍.解

(1)將不等式x2+mx>4x+m-4整理,轉化為x2+(m-4)x-m+4>0.由Δ=(m-4)2-4(4-m)<0,解得0<m<4.故m的取值范圍是{m|0<m<4}.(2)(方法1)將不等式x2+mx>4x+m-4分離變量m,則原問題可等價于對一切(方法2)令y=x2+(m-4)x-m+4.∵對一切大于1的實數(shù)x,y>0恒成立,方法技巧

分離變量法解恒成立問題對于x在某取值范圍內(nèi),y≥0(或y≤0)型恒成立問題,我們一般利用分離變量法轉化為求解最大(小)值問題.而對于一元二次不等式問題,可以借助對應二次函數(shù)的圖象與性質求解,注意要討論對稱軸與取值范圍之間的關系,從而確定函數(shù)的最小(大