2025屆高考數(shù)學一輪復習單元雙優(yōu)測評卷-第二章直線和圓的方程B卷含解析

PAGEPAGE27其次章直線和圓的方程B卷培優(yōu)提能過關卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1．已知直線，，，若且，則的值為（）A． B． C． D．2．對于隨意實數(shù)，直線與點的距離為，則的取值范圍是（）A． B．C． D．3．已知直線與圓相交于，兩點，且為等腰直角三角形，則實數(shù)的值為（）A．或－1 B．－1 C．1或－1 D．14．已知實數(shù)、滿意，則的取值范圍是（）A． B． C． D．5．已知點，直線，且點不在直線上，則點到直線的距離；類比有：當點在函數(shù)圖像上時，距離公式變?yōu)椋罁?jù)該公式可求的最小值是（）A． B．C． D．6．設，為不同的兩點，直線.記，則下列結論中正確的個數(shù)是（）①不論為何值，點都不在直線上；②若，則過的直線與直線相交；③若，則直線經過的中點.A．0個 B．1個C．2個 D．3個.7．已知圓C：，點A(-2，0)及點B(2，)，從A點視察B點，要使視線不被圓攔住，則的取值范圍是（）A． B．C． D．8．太極圖的形態(tài)如中心對稱的陰陽兩魚互抱在一起，因而也被稱為“陰陽魚太極圖”.如圖是放置在平面直角坐標系中簡略的“陰陽魚太極圖”，其外邊界是一個半徑為的圓，其中黑色陰影區(qū)域在軸右側部分的邊界為一個半圓，已知直線.給出以下命題：①當時，若直線截黑色陰影區(qū)域所得兩部分的面積分別記為，，則；②當時，直線與黑色陰影區(qū)域有1個公共點；③當時，直線與黑色陰影區(qū)域的邊界曲線有2個公共點.其中全部正確命題的序號是（）.A．①② B．①③C．②③ D．①②③二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分9．已知圓，則下列說法正確的是（）A．直線與圓相切B．圓截y軸所得的弦長為C．點在圓外D．圓上的點到直線的最小距離為10．已知圓的方程是．則下列結論正確的是（）A．圓的圓心在同一條直線上B．方程表示的是等圓C．圓的半徑與無關，是定值D．“”是“圓與軸只有一個交點”的必要不充分條件11．古希臘聞名數(shù)學家阿波羅尼斯與歐幾里得?阿基米德齊名，他發(fā)覺：平面內到兩個定點A?B的距離之比為定值的點所形成的圖形是圓.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系中，?，點滿意，設點所構成的曲線為，下列結論正確的是（）A．曲線的方程為B．在曲線上存在點D，使得C．在曲線上存在點M，使M在直線上D．在曲線上存在點N，使得12．瑞士聞名數(shù)學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同始終線上．這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”．在平面直角坐標系中作，，點，點，且其“歐拉線”與圓相切，則下列結論正確的是（）A．圓上點到直線的最大距離為B．圓上點到直線的最小距離為C．若點在圓上，則的最小值是D．圓與圓有公共點，則的取值范圍是三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．若直線和直線沒有公共點，則的值為___________.14．已知實數(shù)x，y，則的最小值是______.15．如圖，已知為等腰直角三角形，，光線從點動身，到上一點，經直線反射后到上一點，經反射后回到點，則點的坐標為_______.16．有平面點集D和實數(shù)集R，若依據(jù)某對應法則f，使得D中每一點都有唯一的實數(shù)z與之對應，則稱f為在D上的二元函數(shù)，且稱D為f的定義域，P對應的值z為f在點P的函數(shù)值，記作.若二元函數(shù)，其中，，則二元函數(shù)的最小值為___________.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17．在平面直角坐標系中，已知的三個頂點，，．（1）求邊所在直線的方程；（2）邊上中線的方程為，且的面積等于，求點的坐標．18．已知直線方程為(2－m)x+(2m+1)y+3m+4＝0，其中m∈R．（1）當m改變時，求點Q（3，4）到直線的距離的最大值；（2）若直線分別與x軸、y軸的負半軸交于A，B兩點，求△AOB面積的最小值及此時的直線方程．19．已知圓M經過兩點，B（2，2）且圓心M在直線上．（1）求圓M的方程；（2）設E，F(xiàn)是圓M上異于原點O的兩點，直線OE，OF的斜率分別為k1，k2，且，求證：直線EF經過肯定點，并求出該定點的坐標.20．△ABC的頂點A的坐標為（1，4），∠B，∠C平分線的方程分別為和.（1）求BC所在直線的方程.（2）設，直線過線段的中點M且分別交軸與軸的正半軸于點P、Q，O為坐標原點，求△面積最小時直線的方程；.21．已知圓C的圓心C為（0，1），且圓C與直線相切．（1）求圓C的方程；（2）圓C與x軸交于A，B兩點，若一條動直線l：x＝x0交圓于M，N兩點，記圓心到直線AM的距離為d．（?。┊攛0＝1時，求的值．（ⅱ）當﹣2＜x0＜2時，試問是否為定值，并說明理由．22．已知圓C與x軸相切于點T（1，0），與y軸正半軸交于兩點A，B（B在A的上方），且|AB|．（1）求圓C的標準方程；（2）過點A任作一條直線與圓O：x2+y2＝1相交于M，N兩點．①求證：為定值，并求出這個定值；②求△BMN的面積的最大值一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1．已知直線，，，若且，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為直線，，且，所以2n=，解得，經檢驗成立，因為直線，，且，所以，解得，所以，故選：C2．對于隨意實數(shù)，直線與點的距離為，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】依據(jù)題意，對于隨意實數(shù)k，直線恒過(2，2)點，

點(2，2)和點(-2，-2)確定一條直線，其直線方程為

所以當直線與直線垂直時，d取得最大值

；

當時，

即直線不過點(－2，-2)，d無最小值，

所以d的取值范圍是，選項B正確；故選：B.3．已知直線與圓相交于，兩點，且為等腰直角三角形，則實數(shù)的值為（）A．或－1 B．－1 C．1或－1 D．1【答案】C【解析】解：由題意得，圓的圓心為，半徑為1，由于直線與圓相交于，兩點，且為等腰直角三角形，可知，，所以，∴圓心到直線的距離等于，再利用點到直線的距離公式可得：圓心到直線的距離，解得：，所以實數(shù)的值為1或－1.故選：C．4．已知實數(shù)、滿意，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】實數(shù)、滿意，即，方程表示以為圓心，半徑等于的圓，而，令，可得，所以，直線與圓有公共點，所以，解得，所以，.故選：A.5．已知點，直線，且點不在直線上，則點到直線的距離；類比有：當點在函數(shù)圖像上時，距離公式變?yōu)?，依?jù)該公式可求的最小值是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】解：，令，則，該方程表示以為圓心，以1為半徑的半圓，依題意表示該半圓上的點到直線的距離，表示該半圓上的點到直線的距離，則表示半圓上的點到直線和的距離之和，設為，設半圓上點，，則到與的距離之和因為，所以，所以，所以，所以所以的最小值為，故選：B6．設，為不同的兩點，直線.記，則下列結論中正確的個數(shù)是（）①不論為何值，點都不在直線上；②若，則過的直線與直線相交；③若，則直線經過的中點.A．0個 B．1個C．2個 D．3個.【答案】C【解析】因為，分母不為0，所以，所以不論為何值，點都不在直線上，①正確；當時，設，（），則，為直線上的兩個點，明顯直線與直線平行，故過的直線與直線不會相交，②錯誤；當時，設，整理得：，因為，，所以的中點坐標為，故若，則直線經過的中點.③正確；正確的個數(shù)為2個故選：C7．已知圓C：，點A(-2，0)及點B(2，)，從A點視察B點，要使視線不被圓攔住，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】設過點的直線方程為，當直線與圓相切時，滿意，求得，如圖，設交軸于，則，，解得，要滿意直線與圓相離，故故選：A8．太極圖的形態(tài)如中心對稱的陰陽兩魚互抱在一起，因而也被稱為“陰陽魚太極圖”.如圖是放置在平面直角坐標系中簡略的“陰陽魚太極圖”，其外邊界是一個半徑為的圓，其中黑色陰影區(qū)域在軸右側部分的邊界為一個半圓，已知直線.給出以下命題：①當時，若直線截黑色陰影區(qū)域所得兩部分的面積分別記為，，則；②當時，直線與黑色陰影區(qū)域有1個公共點；③當時，直線與黑色陰影區(qū)域的邊界曲線有2個公共點.其中全部正確命題的序號是（）.A．①② B．①③C．②③ D．①②③【答案】A【解析】如圖1所示，大圓的半徑為2，小圓的半徑為1，所以大圓的面積為，小圓的面積為．對于①，當時，直線的方程為．此時直線將黑色陰影區(qū)域的面積分為兩部分，，，所以，故①正確．對于②，依據(jù)題意，黑色陰影區(qū)域在第一象限的邊界方程為當時，直線的方程為，即，小圓圓心到直線的距離，所以直線與該半圓弧相切，如圖2所示，所以直線與黑色陰影區(qū)域只有一個公共點，故②正確．對于③，當時，如圖3所示，直線與黑色陰影區(qū)域的邊界曲線有2個公共點，當時，直線與黑色陰影區(qū)域的邊界曲線有1個公共點，故③錯誤．綜上所述，①②正確．故選：A．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分9．已知圓，則下列說法正確的是（）A．直線與圓相切B．圓截y軸所得的弦長為C．點在圓外D．圓上的點到直線的最小距離為【答案】AC【解析】因為，所以，則圓心，半徑，對于A：因為圓心到直線的距離為，故A正確；對于B：圓截y軸所得的弦長為，故B錯誤；對于C：，故C正確；對于D：因為圓心到直線的距離為，則圓上點到直線的最小距離為，故D錯誤.故選：AC.10．已知圓的方程是．則下列結論正確的是（）A．圓的圓心在同一條直線上B．方程表示的是等圓C．圓的半徑與無關，是定值D．“”是“圓與軸只有一個交點”的必要不充分條件【答案】ABC【解析】可化為，圓的圓心為，半徑．圓的半徑為定值，C正確；圓心滿意方程組，即，不論為何實數(shù)，方程表示的圓的圓心都在直線上且為等圓，AB正確．在中，設，若圓與軸只有一個交點即該方程有兩個相同的實數(shù)根，，解得：，，“”是“圓與軸只有一個交點”的充分不必要條件，D錯誤．故選：ABC.11．古希臘聞名數(shù)學家阿波羅尼斯與歐幾里得?阿基米德齊名，他發(fā)覺：平面內到兩個定點A?B的距離之比為定值的點所形成的圖形是圓.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系中，?，點滿意，設點所構成的曲線為，下列結論正確的是（）A．曲線的方程為B．在曲線上存在點D，使得C．在曲線上存在點M，使M在直線上D．在曲線上存在點N，使得【答案】AD【解析】設點，由，得，化簡得，即，故A選項正確；對于B選項，設，由得，又，聯(lián)立方程可知無解，故B選項錯誤；對于C選項，設，由M在直線上得，又，聯(lián)立方程可知無解，故C選項錯誤；對于D選項，設，由，得，又，聯(lián)立方程可知有解，故D選項正確.故選：AD.12．瑞士聞名數(shù)學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同始終線上．這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”．在平面直角坐標系中作，，點，點，且其“歐拉線”與圓相切，則下列結論正確的是（）A．圓上點到直線的最大距離為B．圓上點到直線的最小距離為C．若點在圓上，則的最小值是D．圓與圓有公共點，則的取值范圍是【答案】BD【解析】解：因為，由題意可得三角形的歐拉線為的中垂線，由，點可得的中點為，且，所以線段的中垂線方程為：，即，因為三角形的“歐拉線”與圓相切，所以圓心到直線的距離，所以圓的方程為：，因為圓心到直線的距離，A中，圓上點到直線的距離的最大值為，故A不正確：B中，圓上點到直線的距離的最小值為，故B正確；C中：令，所以，代入圓的方程，可得，整理可得，由于在圓上，所以有根，則，整理可得：，解得：，所以的最小值為1，即的最小值為1，所以C錯誤；D中：圓心坐標，半徑為；圓的的圓心坐標為，半徑為，要使圓與圓有公共點，則圓心距，所以，即解得：，解得，所以D正確；故選：BD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．若直線和直線沒有公共點，則的值為___________.【答案】0或-1或0【解析】由題意得：兩直線平行，所以解得或或，當時，直線為和，兩直線平行，符合題意，當時，直線為和，兩直線平行，符合題意，當時，直線為和，兩直線重合，不符合題意，綜上：的值為0或-1.故答案為：0或-114．已知實數(shù)x，y，則的最小值是______.【答案】【解析】如圖所示，設點，，，，，則.因為，，所以（當且僅當A是OC與BD的交點時等號成立）．所以的最小值是．故答案為：15．如圖，已知為等腰直角三角形，，光線從點動身，到上一點，經直線反射后到上一點，經反射后回到點，則點的坐標為_______.【答案】【解析】解：建立如圖所示的坐標系，可得，，所以直線的方程為，，設點關于直線的對稱點，則有，解得，即，易得關于軸的對稱點，由光的反射原理可知，，，四點共線，所以直線：，即，聯(lián)立，得，．故答案為：．16．有平面點集D和實數(shù)集R，若依據(jù)某對應法則f，使得D中每一點都有唯一的實數(shù)z與之對應，則稱f為在D上的二元函數(shù)，且稱D為f的定義域，P對應的值z為f在點P的函數(shù)值，記作.若二元函數(shù)，其中，，則二元函數(shù)的最小值為___________.【答案】7【解析】設，，，，則，∵線段與y軸交點為，在線段上，∴，，∴（到時取得最小值）．故答案為：7．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17．在平面直角坐標系中，已知的三個頂點，，．（1）求邊所在直線的方程；（2）邊上中線的方程為，且的面積等于，求點的坐標．【答案】（1）（2）或【解析】（1）利用兩點式求得邊所在直線方程；（2）利用點到直線的距離公式求得A到直線的距離，依據(jù)面積以及點A在直線上列方程組，解方程組求得A點的坐標.（1）解：由、得邊所在直線方程為，即，故邊所在直線的方程為.（2）解：因為A到邊所在直線的距離為，又，所以，所以，所以，則或，由于A在直線上，故或，解得或，所以或.18．已知直線方程為(2－m)x+(2m+1)y+3m+4＝0，其中m∈R．（1）當m改變時，求點Q（3，4）到直線的距離的最大值；（2）若直線分別與x軸、y軸的負半軸交于A，B兩點，求△AOB面積的最小值及此時的直線方程．【答案】（1）（2）的面積最小值是4，此時的直線方程為【解析】（1）由題得直線恒過的定點P，再由兩點的距離公式可得所求最大值；（2）若直線分別與x軸、y軸的負半軸交于A，B兩點，說明直線的斜率小于0，設出斜率，依據(jù)直線過的定點，寫出直線方程，求出△AOB面積的表達式，利用基本不等式求出面積的最小值，即可得到面積最小值的直線的方程．（1）直線方程為(2－m)x+(2m+1)y+3m+4＝0即為m(2y－x+3)+(2x+y+4)＝0，由可得，則已知直線恒過定點P(－1,－2)，可得Q（3，4）到直線的最大距離為|QP|2.（2）設直線的斜率為k（k＜0），則其方程為y+2＝k(x+1)，可得|OA|＝|1|，|OB|＝|k－2|，則S△AOB?|OA|?|OB||(1)(k－2)|||．由k＜0，可得－k＞0，所以S△AOB[][4+()+(－k)]≥4．當且僅當k，即k＝－2時取等號．則△AOB的面積最小值是4，直線的方程為y+2＝－2(x+1)，即2x+y+4＝0．19．已知圓M經過兩點，B（2，2）且圓心M在直線上．（1）求圓M的方程；（2）設E，F(xiàn)是圓M上異于原點O的兩點，直線OE，OF的斜率分別為k1，k2，且，求證：直線EF經過肯定點，并求出該定點的坐標.【答案】（1）（2）證明見解析，定點(-4，0)【解析】(1)設出圓的方程，依據(jù)給定條件列出方程組，求解即可得圓的方程.(2)設直線EF的方程為，再與圓的方程聯(lián)立消去y，利用韋達定理及求得k與m的關系即可推理作答.（1）設圓M的方程為：，由題意得，，解得，所以圓M的方程：.（2）依題意，直線EF的斜率存在，否則直線OE，OF關于x軸對稱，k1，k2互為相反數(shù)，與已知沖突，設直線EF：，由得：．，即，設E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，則，，于是得，則4k=m，直線EF的方程為：，于是得直線EF過定點(-4，0)，所以直線EF經過肯定點(-4，0).20．△ABC的頂點A的坐標為（1，4），∠B，∠C平分線的方程分別為和.（1）求BC所在直線的方程.（2）設，直線過線段的中點M且分別交軸與軸的正半軸于點P、Q，O為坐標原點，求△面積最小時直線的方程；.【答案】（1）（2）【解析】（1）求出點A關于兩條角分線的對稱點，即可求出直線方程；（2）設直線方程，可得，代入面積，利用基本不等式可得.（1）如圖所示，的平分線BD的方程為：，的平分線CE的方程為，由角平分線的性質知，點A關于直線BD、CE的對稱點、必在BC所在的直線上.由方程組：，解得：，則點的坐標為.由方程組：，解得：，則點的坐標為.∴BC所在直線的方程為：，即：；（2）設直線的方程的方程為：，又直線過點M（2，1），所以，即，則△的面積，當且僅當即，時等號成立.所以，直線的方程為：，即.21．已知圓C的圓心C為（0，1），且圓C與直線相切．（1）求圓C的方程；（2）圓C與x軸交于A，B兩點，若一條動直線l：x＝x0交圓于M，N兩點，記圓心到直線AM的距離為d．（?。┊攛0＝1時，求的值．（ⅱ）當﹣2＜x0＜2時，試問是否為定值，并說明理由．【答案】（1）（2）（?。唬áⅲ槎ㄖ?，理由見解析【解析】（1）求出圓心到直線的距離，則圓C的方程可求；（2）（?。┊攛0＝1時，可得直線l：x＝1，與圓的方程聯(lián)立求得M、N的坐標，寫出AM的方程，求出圓心到直線AM的距離d