3正方形的性質(zhì)與判

第頁(yè)3正方形的性質(zhì)與判定基礎(chǔ)闖關(guān)全練拓展訓(xùn)練1.已知四邊形ABCD,則下列說(shuō)法正確的是()A.若AB∥CD,AB=CD,則四邊形ABCD是平行四邊形B.若AC⊥BD,AC=BD,則四邊形ABCD是矩形C.若AC⊥BD,AB=AD,CB=CD,則四邊形ABCD是菱形D.若AB=BC=CD=AD,則四邊形ABCD是正方形2.如圖,在矩形ABCD中,M、N分別是AD、BC的中點(diǎn),E、F分別是邊BM、CM的中點(diǎn),當(dāng)AB∶AD=時(shí),四邊形MENF是正方形.

能力提升全練拓展訓(xùn)練1.將四根長(zhǎng)度相等的細(xì)木條首尾相接,用釘子釘成四邊形ABCD,轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)四邊形,使它形狀改變.當(dāng)∠B=90°時(shí),如圖①,測(cè)得AC=2.當(dāng)∠B=60°時(shí),如圖②,AC=()A.2B.2C.6D.222.(2019江蘇徐州中考)如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)E、F分別在邊AD、CD上,若∠EBF=45°,則△EDF的周長(zhǎng)等于.

3.如圖所示,在?ABCD中,對(duì)角線(xiàn)AC,BD交于點(diǎn)O,E是BD延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn),且EA=EC.(1)求證:四邊形ABCD是菱形;(2)若∠DAC=∠EAD+∠AED,求證:四邊形ABCD是正方形.三年模擬全練拓展訓(xùn)練1.(2019上海虹口二模,6,★☆☆)下列命題中,正確的是()A.四邊相等的四邊形是正方形B.四角相等的四邊形是正方形C.對(duì)角線(xiàn)垂直的平行四邊形是正方形D.對(duì)角線(xiàn)相等的菱形是正方形2.(2019江蘇徐州三模,25,★★☆)如圖,D是線(xiàn)段AB的中點(diǎn),C是線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上的一點(diǎn),DE⊥AC于點(diǎn)E,DF⊥BC于點(diǎn)F.(1)求證:DE=DF;(2)當(dāng)CD與AB滿(mǎn)足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí),四邊形CEDF為正方形?請(qǐng)說(shuō)明理由.3.(2019山東青島實(shí)驗(yàn)中學(xué)二模,21,★★☆)如圖,BD是△ABC的角平分線(xiàn),它的垂直平分線(xiàn)分別交AB,BD,BC于點(diǎn)E,F,G,連接ED,DG.(1)證明:△EFD≌△GFB;(2)試判斷四邊形EBGD的形狀,并說(shuō)明理由;(3)當(dāng)△ABC是時(shí),四邊形EBGD是正方形(不用說(shuō)明理由).

4.(2019河南平頂山實(shí)驗(yàn)中學(xué)第一次月考,23,★★★)(1)如圖①,點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上,∠EAF=45°,連接EF,則EF=BE+DF,說(shuō)明理由;(2)如圖②,在四邊形ABCD中,點(diǎn)E、F分別在BC、CD上,當(dāng)AB=AD,∠B+∠D=180°,∠EAF=12∠BAD時(shí),EF=BE+DF成立嗎?請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論五年中考全練拓展訓(xùn)練1.(2019湖南郴州中考,8,★☆☆)如圖,在正方形ABCD中,△ABE和△CDF為直角三角形,∠AEB=∠CFD=90°,AE=CF=5,BE=DF=12,則EF的長(zhǎng)是()A.7B.8C.72D.732.如圖,在正方形ABCD的外側(cè)作等邊△ADE,則∠BED的度數(shù)為°.

3.(2019湖南邵陽(yáng)中考,20,★★☆)如圖所示,已知平行四邊形ABCD,對(duì)角線(xiàn)AC,BD相交于點(diǎn)O,∠OBC=∠OCB.(1)求證:平行四邊形ABCD是矩形;(2)請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件使矩形ABCD為正方形.核心素養(yǎng)全練拓展訓(xùn)練1.在平面直角坐標(biāo)系中,正方形A1B1C1D1,D1E1E2B2,A2B2C2D2,D2E3E4B3,A3B3C3D3,…按如圖所示的方式放置,其中點(diǎn)B1在y軸上,點(diǎn)C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3、…在x軸上,已知正方形A1B1C1D1的邊長(zhǎng)為1,∠B1C1O=60°,B1C1∥B2C2∥B3C3∥……,則正方形A2015B2015C2015D2015的邊長(zhǎng)是()A.122014B.1222.如圖①所示,一等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別重合在一起,現(xiàn)正方形ABCD保持不動(dòng),將三角尺GEF繞斜邊EF的中點(diǎn)O(點(diǎn)O也是BD中點(diǎn))按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn).(1)如圖②所示,當(dāng)EF與AB相交于點(diǎn)M,GF與BD相交于點(diǎn)N時(shí),通過(guò)觀察或測(cè)量BM,FN的長(zhǎng)度,猜想BM,FN滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想;(2)若三角尺GEF旋轉(zhuǎn)到如圖③所示的位置時(shí),線(xiàn)段FE的延長(zhǎng)線(xiàn)與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)M,線(xiàn)段BD的延長(zhǎng)線(xiàn)與GF的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)N,此時(shí),(1)中的猜想還成立嗎?若成立,請(qǐng)證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.3正方形的性質(zhì)與判定基礎(chǔ)闖關(guān)全練拓展訓(xùn)練1.答案AA.若AB∥CD,AB=CD,則四邊形ABCD是平行四邊形,故此選項(xiàng)正確;B.若AC⊥BD,AC=BD,無(wú)法得到四邊形ABCD是矩形,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;C.若AC⊥BD,AB=AD,CB=CD,無(wú)法得到四邊形ABCD是菱形,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;D.若AB=BC=CD=AD,無(wú)法得到四邊形ABCD是正方形,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選A.2.答案1∶2解析當(dāng)AB∶AD=1∶2時(shí),四邊形MENF是正方形.∵AB∶AD=1∶2,AM=DM,AB=CD,∴AB=AM=DM=DC,∵∠A=∠D=90°,∴∠ABM=∠AMB=∠DMC=∠DCM=45°,∴∠BMC=90°.∵四邊形ABCD是矩形,∴∠ABC=∠DCB=90°,∴∠MBC=∠MCB=45°,∴BM=CM.∵N、E、F分別是BC、BM、CM的中點(diǎn),∴BE=CF=ME=MF,NF∥BM,NE∥CM,∴四邊形MENF是平行四邊形,∵M(jìn)E=MF,∠BMC=90°,∴四邊形MENF是正方形.能力提升全練拓展訓(xùn)練1.答案A易知題圖①為正方形,AC為其對(duì)角線(xiàn),由2BC2=AC2得BC=2.易知題圖②為菱形,∠B=60°,連接AC,∴△ABC為等邊三角形,∴AC=BC=2.故選A.2.答案4解析將△BCF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△BAC'的位置,∵∠BAC'+∠BAD=180°,∴C'、A、D三點(diǎn)共線(xiàn).∵∠ABC=90°,∠EBF=45°,∴∠FBC+∠EBA=45°.∵∠FBC=∠C'BA,∴∠C'BA+∠EBA=45°,∴∠EBF=∠EBC'=45°.在△EBF和△EBC'中,FB∴△EBF≌△EBC',∴EF=EC',又CF=AC',∴EF=EA+AC'=EA+FC,∴△DEF的周長(zhǎng)=DE+DF+EF=DA+DC=4.3.證明(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AO=CO=12∵EA=EC,∴EO⊥AC,即BD⊥AC,∴平行四邊形ABCD是菱形.(2)∵∠1=∠EAD+∠AED,∠DAC=∠EAD+∠AED,∴∠1=∠DAC,∴AO=DO.由(1)知四邊形ABCD是菱形,∴AC=2AO,DB=2DO,∴AC=BD,∴菱形ABCD是正方形.三年模擬全練拓展訓(xùn)練1.答案DA錯(cuò)誤,四邊相等的四邊形是菱形;B錯(cuò)誤,四角相等的四邊形是矩形,不一定是正方形;C錯(cuò)誤,對(duì)角線(xiàn)垂直的平行四邊形是菱形;D正確,符合正方形的判定定理.故選D.2.解析(1)證明:∵CD垂直平分AB,∴AC=CB,∴△ABC是等腰三角形,∵CD⊥AB,∴∠ACD=∠BCD.∵DE⊥AC,DF⊥BC,∴∠DEC=∠DFC=90°,∴∠EDC=∠FDC,在△DEC與△DFC中,∠∴△DEC≌△DFC(ASA),∴DE=DF.(2)當(dāng)AB=2CD時(shí),四邊形CEDF為正方形.理由如下:∵AD=BD,AB=2CD,∴AD=BD=CD.∴∠ACD=45°,∠DCB=45°,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°,∴四邊形DECF是矩形.又∵DE=DF,∴四邊形CEDF是正方形.3.解析(1)證明:∵EG垂直平分BD,∴EB=ED,GB=GD,∴∠EBD=∠EDB,∵BD平分∠ABC,∴∠EBD=∠DBC,∴∠EDF=∠GBF,在△EFD和△GFB中,∠∴△EFD≌△GFB.(2)四邊形EBGD是菱形.理由:∵EG垂直平分BD,∴EB=ED,GB=GD,由(1)知△EFD≌△GFB,∴ED=BG,∴BE=ED=DG=GB,∴四邊形EBGD是菱形.(3)當(dāng)△ABC是直角三角形,即∠ABC=90°時(shí),四邊形EBGD是正方形,根據(jù)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形可以得出.4.解析(1)證明:如圖,在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠ADC=∠B=90°.把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE',∵∠ADF=∠ADE'=90°,∴F、D、E'三點(diǎn)共線(xiàn),∴∠E'AF=90°-45°=45°=∠EAF,在△AFE和△AFE'中,AF∴△AFE≌△AFE'(SAS),∴EF=FE'=DE'+DF=BE+DF.(2)EF=BE+DF成立.理由如下:如圖,因?yàn)锳B=AD,所以可以將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△ADE'的位置,連接E'F.∵∠B+∠ADF=180°,∠B=∠E'DA,∴∠E'DF=∠E'DA+∠ADF=180°,∴E'、D、F三點(diǎn)共線(xiàn),∵∠BAE+∠DAF=∠EAF,∠E'AD=∠BAE,∴∠E'AF=∠EAF,在△FAE和△FAE'中,AF∴△FAE≌△FAE'(SAS),∴EF=FE'=DE'+DF=BE+DF.五年中考全練拓展訓(xùn)練1.答案C如圖,∵四邊形ABCD是正方形,∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,AB=BC=CD=AD.在△ABE和△CDF中,AB∴△ABE≌△CDF(SSS),∴∠ABE=∠CDF.∵∠BAE+∠DAG=90°,∠ABE+∠BAE=90°,∴∠ABE=∠DAG=∠CDF,同理,∠ABE=∠DAG=∠CDF=∠BCH,∴∠DAG+∠ADG=∠CDF+∠ADG=90°,∴∠DGA=90°,同理,∠CHB=90°.在△ABE和△DAG中,∠∴△ABE≌△DAG(AAS),∴AE=DG,BE=AG,同理AE=DG=CF=BH=5,BE=AG=DF=CH=12,∴EG=GF=FH=EH=12-5=7,∴EF=72.2.答案45解析在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,在等邊△ADE中,AD=AE,∠DAE=60°,∴AB=AE,∠BAE=∠BAD+∠DAE=150°,∴∠BEA=12×(180°-∠∴∠BED=60°-15°=45°.3.解析(1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴OA=OC,OB=OD,∵∠OBC=∠OCB,∴OB=OC,∴AC=BD,∴平行四邊形ABCD是矩形.(2)AB=AD或AC⊥BD,答案不唯一.理由:∵四邊形ABCD是矩形,AB=AD,∴四邊形ABCD是正方形.或∵四邊形ABCD是矩形,AC⊥BD,∴四邊形ABCD是正方形.核心素養(yǎng)全練拓展訓(xùn)練1.答案D由已知得D1E1=B2E2,D2E3=B3E4,∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°,∴D1E1=C1D1×12=12,則B2C2=同理可得,B3C3=13=332故正方形AnBnCnDn的邊長(zhǎng)是33則正方形A2015