2011考前沖刺系列專題3-數(shù)列

本卷第21頁（共22頁）2011高考最后30天搶分必備數(shù)學(xué)專題三數(shù)列【選題理由】：數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容之一，由于它既具有函數(shù)特征，又能構(gòu)成獨特的遞推關(guān)系，使得它既與中學(xué)數(shù)學(xué)其他部分知識如：函數(shù)、方程、不等式、解析幾何、二項式定理等有較緊密的聯(lián)系，又有自己鮮明的特征，因此它是歷年高考考查的重點、熱點和難點，在高考中占有極其重要的地位.試題往往綜合性強、難度大，承載著考查學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力和分析、建模、解決問題的能力以及函數(shù)與方程的思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想、分類討論的思想.通過對2010年全國及19省市高考試題的研究，本專題在高考試題中占有較大比重，分值約占總分的12%，大多為一道選擇題或填空題，一道解答題.試題注重基礎(chǔ)，著重考查等差、等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式、數(shù)學(xué)歸納法及應(yīng)用問題，選擇題和填空題，突出“小、巧、活”的特點.而解答題大多為中等以上難度的試題或難度大的壓軸題.展望2011年高考，數(shù)列仍是重點考查內(nèi)容之一，估計試題經(jīng)常在數(shù)列的知識、函數(shù)知識、不等式的知識和解析幾何知識等的交匯點處命題，使數(shù)列試題呈現(xiàn)綜合性強、立意新、角度新、難度大的特點.體現(xiàn)了函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化、分類討論等重要的數(shù)學(xué)思想以及待定系數(shù)法、配方法、換元法、消去法、歸一法、分離變量法、歸納——猜想——證明等基本的數(shù)學(xué)方法，在復(fù)習(xí)數(shù)列單元時，一定要以等差、等比數(shù)列為載體，以通項公式、求和公式為主線，注重基礎(chǔ)，聯(lián)系實際.通過對試題的練習(xí)，提高其運算能力、思辨能力、解決實際問題的能力，才能以不變應(yīng)萬變，在高考中立于不敗之地.【押題1】已知公差大于零的等差數(shù)列的前項和為，且滿足：（1）求通項；（2）若數(shù)列是等差數(shù)列，且，求非零常數(shù).【押題指數(shù)】★★★★★【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為,由題意得：解得或（舍去）所以：.（2）,由于是一等差數(shù)列故對一切自然數(shù)都成立即：解得或（舍去）所以.【方法與技巧】本題考查了等差數(shù)列的基本知識，第二問，判斷數(shù)列是等差數(shù)列的條件，要抓住它的特征，充分應(yīng)用等差數(shù)列的判斷條件，轉(zhuǎn)化為恒成立問題。解答數(shù)列問題,必須首先熟記等差與等比數(shù)列的相關(guān)公式.【押題2】已知數(shù)列的前項和，且．（I）求；（II）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（III）試比較與的大小，并說明理由．13分∵當(dāng)時，，即，∴．即．14分【方法與技巧】本小題以數(shù)列的遞推關(guān)系為載體，主要考查等差、等比數(shù)列前n項和公式、不等式的性質(zhì)及證明等基礎(chǔ)知識，考查運算能力和推理論證能力【押題3】已知數(shù)列的前n項和為，對于一切的正整數(shù)n，點都在函數(shù)的圖象上，且過點的切線的斜率為．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）若，求數(shù)列的前n項和；（Ⅲ）設(shè)集合，，等差數(shù)列的任何一項，其中是中的最小數(shù)，且，求的通項公式【押題指數(shù)】★★★★★【解析】（Ⅰ）由題意，得．∴當(dāng)時，，１分當(dāng)時，，２分∴數(shù)列的通項公式為．３分（Ⅱ）∵，∴，即∴．５分∴，，∴，7分∴．8分（Ⅲ）由題意，，．易知中的數(shù)是正偶數(shù)，且最小數(shù)是，即．11分又是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則必為偶數(shù)．由題意，得．∴．13分∴．即的通項公式為．14分【方法與技巧】數(shù)列是一特殊的函數(shù)，其定義域為正整數(shù)集，且是自變量從小到大變化時函數(shù)值的序列。注意深刻理解函數(shù)性質(zhì)對數(shù)列的影響，分析題目特征，探尋解題切入點.【押題4】直線過點P（斜率為，與直線：交于點A，與軸交于點B，點A，B的橫坐標(biāo)分別為，記.（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當(dāng)時，證明不等式.【押題指數(shù)】★★★★★【解析】（Ⅰ）直線的方程為，令，得由，得，因此，的解析式為：（Ⅱ）時，,,即①當(dāng)時，，數(shù)列是以0為首項的常數(shù)數(shù)列，則②當(dāng)時，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，解得綜合①、②得【方法與技巧】數(shù)列與解析幾何綜合題，是今后高考命題的重點內(nèi)容之一，求解時要充分利用數(shù)列、解析幾何的概念、性質(zhì)，并結(jié)合圖形求解【押題5】已知函數(shù)f（x）＝2x＋1，g（x）＝x，x∈R，數(shù)列{}，{}滿足條件：a1＝1，＝f（）＝g（），n∈N﹡．（Ⅰ）求證：數(shù)列{＋1}為等比數(shù)列；（Ⅱ）令＝，是數(shù)列{}的前n項和，求使>成立的最小的n值.【押題指數(shù)】★★★★★【解析】（Ⅰ）由題意得，，……3分又，4分所以數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列．(Ⅱ)解：由⑴知，，，…7分故．……9分．…10分由，且，解得滿足條件的最小的值為．…………12分【方法與技巧】遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)，），把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。在數(shù)列求和中常見的方法有公式法、分組法、錯位相減法、裂項相消法、倒序相加法等，方法的選擇由數(shù)列通項公式的特點來決定.【押題6】已知數(shù)列滿足（1）求證：數(shù)列（）是等比數(shù)列；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項和，求證：對任意的，【押題指數(shù)】★★★★★【解析】（1），，又，所以數(shù)列（）是以3為首項，-2為公比的等比數(shù)列……（6分）（2）由（1）知，當(dāng)，則=又對任意的，…（12分）【方法與技巧】本題所給的遞推關(guān)系式是要分別“取倒”再轉(zhuǎn)化成等比型的數(shù)列，對數(shù)列中不等式的證明通常是放縮通項以利于求和。遞推式為（p、q為常數(shù)）時，可同除，得，令從而化歸為（p、q為常數(shù)）型．【押題7】已知函數(shù)。（1）數(shù)列滿足，若對任意恒成立，求的取值范圍；（2）數(shù)列滿足，記，為數(shù)列前項和，為數(shù)列的前項積，求證：?！狙侯}指數(shù)】★★★★★【解析】（1）為等比數(shù)列從而＜故………6分（2），又由得＜＜。…13分【方法與技巧】本題考查等比數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識和基本的運算技能，考查分析問題的能力和推理能力。考查數(shù)列的相關(guān)知識，具有一定難度，與不等式的證明相結(jié)合，帶有一定的技巧性【押題8】各項均不為零的數(shù)列，首項，且對于任意均有（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列的前項和為，證明：當(dāng)時，【押題指數(shù)】★★★★★【解析】（1）由得， 則 所以是以3為公比，為首項的等比數(shù)列4分（2）當(dāng)時， 令 則 所以……13分【方法與技巧】這個題目通過代換轉(zhuǎn)化為形如a=pa+q（p≠1，pq≠0）型的遞推式，通過待定系數(shù)法對常數(shù)q分解法：設(shè)a+k=p（a+k）與原式比較系數(shù)可得pk－k=q，即k=，從而得等比數(shù)列{a+k}達到解決問題的目的?！狙侯}9】已知函數(shù)的圖象過原點，且關(guān)于點（-1,1）成中心對稱．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的通項；（3）若數(shù)列的前項和為,判斷與2的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【押題指數(shù)】★★★★★【解析】（1）因為函數(shù)的圖象過原點，所以c=0，即．又函數(shù)的圖象關(guān)于點（-1，1）成中心對稱，所以。5分（2）由題意，開方取正得：，即．∴數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列．∴，即。…9分（3）當(dāng)n≥2時，．所以故?！?3分【方法與技巧】形如:遞推式，考慮函數(shù)倒數(shù)關(guān)系有令則可歸為型。(取倒數(shù)法)。從以上分析可看出，數(shù)列的綜合題難度都很大，甚至很多都是試卷的壓軸題，它不僅考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等重要思想，還涉及了配方法、換元法、待定系數(shù)法、放縮法等基本數(shù)學(xué)方法.其中的高考熱點——探索性問題也出現(xiàn)在近年高考的數(shù)列解答題中.【押題10】已知函數(shù)=ln(1+x)-ax的圖象在x=1處的切線與直線x+2y-1=0平行．（Ⅰ）求實數(shù)a的值；（Ⅱ）若方程=在[2，4]上有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍；（參考數(shù)據(jù)：e=2.71828…）（Ⅲ）設(shè)常數(shù)p≥1，數(shù)列{an}滿足（n∈N*），a1=lnp，求證：≥．【押題指數(shù)】★★★★★【解析】（I）∵，∴．由題知，解得a=1．…3分（II）由（I）有f(x)=ln(1+x)-x，∴原方程可整理為4ln(1+x)-x=m．令g(x)=4ln(1+x)-x，得，∴當(dāng)3<x≤4時，當(dāng)2≤x<3時，，即g(x)在[2，3]上是增函數(shù)，在[3，4]上是減函數(shù)，∴在x=3時g(x)有最大值4ln4-3．…6分∵g(2)=4ln3-2，g(4)=4ln5-4，∴g(2)-g(4)==2．由9e≈24.46<25，于是．∴g(2)<g(4)．∴a的取值范圍為．9分（III）由

=ln(1+x)-x（x>-1）有，顯然0，當(dāng)x∈(0，+∞)時，，當(dāng)x∈(-1，0)時，，∴在(-1，0)上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．∴在(-1，+∞)上有最大值，而=0，∴當(dāng)x∈(-1，+∞)時，≤0，因此ln(1+x)≤x．(*)11分由已知有p>an，即p-an>0，所以p-an-1>-1．∵an+1-an=ln(p-an)=ln(1+p-1-an)，∴由（*）中結(jié)論可得an+1-an≤p-1-an，即an+1≤p-1(n∈N*)．∴當(dāng)n≥2時，-an=ln(p-an)≥ln[p-(p-1)]=0，即≥an．當(dāng)n=1，a2=a1+ln(p-lnp)，∵lnp=ln(1+p-1)≤p-1，∴a2≥a1+ln[p-(p-1)]=a1，結(jié)論成立．∴對n∈N*，an+1≥an．【方法與技巧】此類題目除了考查基礎(chǔ)知識之外，還考查了我們對教材中各知識間的聯(lián)系的理解與綜合運用，難度較大.但題目一般以簡單的設(shè)問開始，因此考生還是可以拿到該題的部分分數(shù)的.解這種題目的能力不是短期能培養(yǎng)出來的，要順其自然，相信功到自然成.【押題11】設(shè)函數(shù)是定義域在上的單調(diào)函數(shù)，且對于任意正數(shù)有已知.（1）求的值；（2）一個各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足：，其中是數(shù)列的前n項的和，求數(shù)列的通項公式；（3）在（2）的條件下，是否存在正數(shù)，使對一切成立？若存在，求出M的取值范圍；若不存在，說明理由.【押題指數(shù)】★★★★★【解析】（1）∵，令，有，∴.再令，有，∴，∴…4分【押題12】）已知函數(shù)時，的值域為，當(dāng)時，的值域為，…，依次類推，一般地，當(dāng)時，的值域為，其中k、m為常數(shù)，且（1）若k=1，求數(shù)列的通項公式；（2）若m=2，問是否存在常數(shù)，使得數(shù)列滿足若存在，求k的值；若不存在，請說明理由；（3）若，設(shè)數(shù)列的前n項和分別為Sn，Tn，求。【押題指數(shù)】★★★★★【解析】（1）因為所以其值域為于是 又（2）因為所以法一：假設(shè)存在常數(shù)，使得數(shù)列，得符合。法二：假設(shè)存在常數(shù)k＞0，使得數(shù)列滿足當(dāng)k=1不符合。當(dāng)，則當(dāng) （3）因為所以的值域為于是 則又則有進而有【方法與技巧】探索性問題在數(shù)列中考查較多，試題沒有給出結(jié)論，需要考生猜出或自己找出結(jié)論，然后給以證明.探索性問題對分析問題解決問題的能力有較高的要求。總結(jié)方法比做題更重要!方法產(chǎn)生于具體數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中.備選題【押題1】設(shè)等比數(shù)列的首項為a1，公比為q，且q>0，q≠1.（1）若a1=qm，m∈Z，且m≥－1，求證：數(shù)列中任意不同的兩項之積仍為數(shù)列中的項；（2）若數(shù)列中任意不同的兩項之積仍為數(shù)列中的項，求證：存在整數(shù)m，且m≥－1，使得a1=qm.【押題指數(shù)】★★★★★【解析】（1）設(shè)為等比數(shù)列中不同的兩項，由，得．…2分又，且，所以．所以是數(shù)列的第項．…6分（2）等比數(shù)列中任意不同兩項之積仍為數(shù)列中的項，令，由，，，得，．令整數(shù)，則．…9分下證整數(shù)．若設(shè)整數(shù)，則．令，由題設(shè)，取，使，即，所以，即．………12分所以q>0，q≠1，，與矛盾!所以．…15分【押題2】已知是一個公差大于0的等差數(shù)列，且滿足,.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列和數(shù)列滿足等式：，求數(shù)列的前項和．【押題3】曲線在點處的切線與x軸的交點的橫坐標(biāo)為.（Ⅰ）求；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列{}的前n項和【押題指數(shù)】★★★★★【解析】（Ⅰ）∵∴直線的方程為,令,得.（Ⅱ）∵,∴∴∴∴【押題4】已知數(shù)列中，a1=1，且滿足遞推關(guān)系（1）當(dāng)m=1時，求數(shù)列的通項（2）當(dāng)時，數(shù)列滿足不等式恒成立，求m的取值范圍；（3）在時，證明【押題指數(shù)】★★★★★【解析】（1）m=1，由，得：是以2為首項，公比也是2的等比例數(shù)列。于是 …3分由依題意，有恒成立。，即滿足題意的m的取值范圍是（3）時，由（2）知設(shè)數(shù)列故 ……9分即在成立……12分【押題5】已知各項全不為零的數(shù)列的前項和為,且,（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求證：對任意的不小于2的正整數(shù)，不等式＞都成立?！狙侯}指數(shù)】★★★★★【解析】由（1）S1==a1,知a1=11分當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=即（n-2）an-(n-1)an-1+1=03分以（n+1）代替n,得（n-1）an+1-nan+1=0兩式相減得an+1-2an+an-1=0∴｛an｝為等差數(shù)列…5分∵a1=1,a2=2,∴an=n……6分（2）由（1）知不等式lnan+1＞+lnanln(n+1)-lnn＞ln(1+)＞…8分設(shè)x=只需證ln(1+x)＞x2-x3即x3-x2+ln(1+x)＞0令h（x）=x3-x2+ln(1+x)則h′(x)=3x2-2x+在[0，+∞)上恒正∴h(x)在[0，+∞]上單調(diào)遞增當(dāng)x∈(0,+∞)時，恒有h(x)＞h(0)=0，即得證.…13分【押題6】已知數(shù)列中,在處取得極值.(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列,并求出數(shù)列的通項公式;(2)記,數(shù)列的前項和為,求使的的最小值;【押題指數(shù)】★★★★★【解析】（1）由題知，得所以，即是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列；（2）所以疊加得，，即，n-1+所以，即n的最小值為1006.【押題7】已知數(shù)列的各項均是正數(shù)，其前n項和為，其中p為正常數(shù)，且，（I）求數(shù)列的通項公式；（II）設(shè)數(shù)列項和為，是否存在正整數(shù)m，使得對于恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，說明理由；（III）試證明：當(dāng)【押題指數(shù)】★★★★★【解析】（1）由題設(shè)知………………1分即，…3分可見，數(shù)列的