4.1、線段、直線、射線

1線段、射線、直線1．線段、射線、直線的概念(1)線段概念：鉛筆、人行橫道線和路旁的電線桿都可以近似地看做線段，下圖就是一條線段．線段的特征：①線段是直的；②線段有2個(gè)端點(diǎn)；③線段的長(zhǎng)度是有限的，可度量．線段可以向兩方無(wú)限延長(zhǎng)；線段是沒(méi)有粗細(xì)之分的．(2)射線概念：射線可以看做由線段向一個(gè)方向無(wú)限延長(zhǎng)形成的圖形．如圖，把線段AB向一個(gè)方向無(wú)限延伸，就是一條射線．射線的特征：①射線是直的；②射線有一個(gè)端點(diǎn)；③因射線向一個(gè)方向無(wú)限延長(zhǎng)，所以射線沒(méi)有長(zhǎng)短，不可測(cè)量．射線可以反向延長(zhǎng)；射線沒(méi)有粗細(xì)之分．(3)直線概念：直線可以看做由線段向兩個(gè)方向無(wú)限延長(zhǎng)形成的．直線的特征：①直線是直的；②直線沒(méi)有端點(diǎn)；③向兩個(gè)方向無(wú)限延長(zhǎng)，沒(méi)有長(zhǎng)短，不可測(cè)量．因?yàn)橹本€是線段向兩個(gè)方向無(wú)限延長(zhǎng)形成的，所以我們不能說(shuō)延長(zhǎng)某條直線，即直線不能延長(zhǎng)．【例1】下列說(shuō)法正確的有()．①畫(huà)一條射線等于5cm；②線段AB為直線AB的一部分；③在直線、射線、線段中，線段最短；④射線與其反向延長(zhǎng)線形成一條直線．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)解析：①×射線向一個(gè)方向無(wú)限延伸，不可度量②√直線上兩點(diǎn)間的部分是線段③×直線、射線無(wú)長(zhǎng)短，不能比較④√將射線反向延長(zhǎng)后形成的圖形是直線答案：B2.線段、射線、直線的表示方法(1)線段的表示方法①用兩個(gè)表示端點(diǎn)的大寫(xiě)字母來(lái)表示．如圖，以A，B為端點(diǎn)的線段，可記作“線段AB”或“線段BA”．②用一個(gè)小寫(xiě)字母來(lái)表示．如線段AB也可記作“線段a”．(2)射線的表示方法用兩個(gè)大寫(xiě)字母表示．一條射線可用它的端點(diǎn)和射線上的另一點(diǎn)來(lái)表示，如圖中的射線，可記作“射線AB”(端點(diǎn)必須在前面)．射線的識(shí)別：判斷兩條射線是否是同一條射線，首先看端點(diǎn)是否相同，再看延伸方向是否相同，如果這兩點(diǎn)都符合，那么這兩條射線是同一條射線．①端點(diǎn)相同，延伸方向也相同的射線是同一條射線，如圖射線MB，MC，MN都表示同一條射線．②端點(diǎn)相同，但延伸方向不相同的射線不是同一條射線，如圖中射線AB，AC就不是同一條射線．③端點(diǎn)不同的射線不是同一條射線，如圖中的射線BN，CN的延伸方向一致，但端點(diǎn)不同，所以不是同一條射線．【例2－1】射線OA，OB表示同一條射線，下面的圖形正確的是()．解析：A×端點(diǎn)相同，都是O，但延伸方向不相同B×C×D√端點(diǎn)相同，延伸方向相同答案：D(3)直線的表示方法直線有兩種表示方法：①可以用表示這條直線上任意兩個(gè)點(diǎn)的大寫(xiě)字母來(lái)表示，注意表示直線上任意兩個(gè)點(diǎn)的字母沒(méi)有順序性．如圖甲中的直線可記作“直線AB”或“直線BA”；②可用一個(gè)小寫(xiě)字母來(lái)表示，如圖乙中的直線可記作“直線l”．圖甲圖乙辨誤區(qū)、射線、直線的聯(lián)系①表示線段、射線、直線時(shí)，都要在字母前面注明“線段、射線或直線”；②用兩個(gè)大寫(xiě)字母表示線段和直線時(shí)，兩個(gè)字母沒(méi)有順序性，可以交換位置，如“線段BA”和“線段AB”表示同一條線段，“直線AB”和“直線BA”表示同一條直線；③表示射線的兩個(gè)大寫(xiě)字母有一定的順序，表示端點(diǎn)的字母必須寫(xiě)在前面．【例2－2】如圖所示，下列說(shuō)法()．A．都錯(cuò)誤 B．都正確C．只有一個(gè)正確 D．有兩個(gè)正確錯(cuò)解：B錯(cuò)解分析：誤以為直線可以用兩個(gè)小寫(xiě)字母、一個(gè)大寫(xiě)字母或者大小寫(xiě)字母混合表示．正解：D正解思路：直線可以用兩個(gè)大寫(xiě)字母或一個(gè)小寫(xiě)字母表示．3．直線的性質(zhì)(1)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線．①它包含兩層含義：一是“肯定有”，二是“只有一條”，不會(huì)有兩條、三條……；②它可簡(jiǎn)單地說(shuō)成“兩點(diǎn)確定一條直線”．(2)直線的其他性質(zhì)：①經(jīng)過(guò)一點(diǎn)的直線有無(wú)數(shù)條；②不同的兩條直線最多有一個(gè)交點(diǎn)．【例3】工人師傅要將一塊長(zhǎng)條鋼板固定在機(jī)器上，則至少要用__________個(gè)螺釘．解析：根據(jù)“兩點(diǎn)確定一條直線”可知至少需要2個(gè)螺釘．答案：24．射線、線段的計(jì)數(shù)方法射線和線段可以看做直線的一部分，因此在一條直線上，取一些點(diǎn)時(shí)，會(huì)出現(xiàn)射線和線段．(1)點(diǎn)數(shù)與射線的條數(shù)射線向一方無(wú)限延伸，因此射線的條數(shù)是由端點(diǎn)的個(gè)數(shù)決定的．在直線上，以一個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的射線有2條，若直線上有n個(gè)點(diǎn)，則共有2n條射線．(2)點(diǎn)數(shù)與線段的條數(shù)線段有兩個(gè)端點(diǎn)，直線上每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)之間的部分就是一條線段．因此，數(shù)線段時(shí)，只要判斷這些點(diǎn)共有多少種組合即可．析規(guī)律數(shù)線段條數(shù)的方法確定線段的條數(shù)時(shí)，可以先固定第一個(gè)點(diǎn)為一個(gè)端點(diǎn)，再以其余的點(diǎn)為另一個(gè)端點(diǎn)組成線段，然后固定第二個(gè)點(diǎn)為一個(gè)端點(diǎn)，與其余的點(diǎn)(第一個(gè)點(diǎn)除外)組成線段……，依此類推，直到找出最后的線段為止．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【例4】畫(huà)出線段AB：(1)如圖(1)，在線段AB上畫(huà)出1個(gè)點(diǎn)，這時(shí)圖中共有幾條線段？(2)如圖(2)，在線段AB上畫(huà)出2個(gè)點(diǎn)，這時(shí)圖中共有幾條線段？(3)如圖(3)，在線段AB上畫(huà)出3個(gè)點(diǎn)，這時(shí)圖中共有幾條線段？(4)如圖(4)，在線段AB上畫(huà)出n個(gè)點(diǎn)時(shí)，猜一猜：圖中共有幾條線段？解：(1)線段上一共有三個(gè)點(diǎn)(線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)和點(diǎn)C)，以每個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段各有2條，這樣一共有(2＋1)×2＝6條線段，因?yàn)榫€段無(wú)端點(diǎn)順序，如線段AB和線段BA是同一條線段，這樣6條線段重復(fù)一半，所以圖(1)中共有線段的條數(shù)是eq\f((1＋2)×2,2)＝3；(2)在線段上畫(huà)出2個(gè)點(diǎn)，這時(shí)圖中共有4個(gè)點(diǎn)，以每個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段各有3條，這樣一共有(2＋2)×3＝12條線段，同樣重復(fù)一半，這樣圖(2)中共有線段的條數(shù)是eq\f((2＋2)×3,2)＝6；(3)在線段上畫(huà)出3個(gè)點(diǎn)，這時(shí)圖中共有5個(gè)點(diǎn)，以每個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段各有4條，這樣一共有(2＋3)×4＝20條線段，同樣重復(fù)一半，這樣圖(3)中共有線段的條數(shù)是eq\f((3＋2)×4,2)＝10；(4)在線段上畫(huà)出n個(gè)點(diǎn)，這時(shí)圖中共有(n＋2)個(gè)點(diǎn)，以每個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段各有(n＋1)條，這樣一共可畫(huà)(n＋2)·(n＋1)條線段，同樣重復(fù)一半，這樣圖(4)中共有線段的條數(shù)是eq\f((n＋2)(n＋1),2).5．直線性質(zhì)的應(yīng)用生活中的很多實(shí)際問(wèn)題要用到直線的性質(zhì)，如木工師傅在鋸木料之前，先在木板上畫(huà)出兩個(gè)點(diǎn)，然后過(guò)這兩個(gè)點(diǎn)彈條墨線，就是利用了直線的“兩點(diǎn)確定一條直線”的性質(zhì)，沿著這條線能鋸成直的，而不會(huì)歪斜．【例5】建房屋壘墻時(shí)，建筑工人都要在墻的兩端固定繩子，請(qǐng)利用所學(xué)的知識(shí)，說(shuō)明其中道理．分析：利用直線的性質(zhì)“經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線”進(jìn)行說(shuō)明．解：拉緊的繩子可以近似看成一條直線，固定在墻的兩端是固定的兩點(diǎn)，因?yàn)檫^(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線，所以這樣壘出的墻是直的．6.與直線有關(guān)的規(guī)律探究(1)兩點(diǎn)確定一條直線，在同一平面內(nèi)，不同的點(diǎn)可以確定不同的直線．當(dāng)任意三點(diǎn)均不在同一直線上時(shí)，點(diǎn)數(shù)與直線條數(shù)的關(guān)系見(jiàn)下表：點(diǎn)的個(gè)數(shù)最多直線條數(shù)213346……n(n>1)eq\f(n(n－1),2)(2)平面上若有n(n>1)條直線兩兩相交，則交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多有eq\f(1,2)n(n－1)個(gè)．【例6】平面上有五個(gè)點(diǎn)，過(guò)其中任意兩點(diǎn)畫(huà)一條直線，最多能得到多少條直線？請(qǐng)畫(huà)出另外三種不同情況的圖形．分析：五個(gè)點(diǎn)有四種不同的關(guān)系：①五個(gè)點(diǎn)在同一條直線上；②有四個(gè)點(diǎn)在同一條直線上；③有三個(gè)點(diǎn)在同一條直線上；④五個(gè)點(diǎn)中任意三個(gè)點(diǎn)都不在同一條直線上．解：當(dāng)任意三點(diǎn)都不在同一條直線上時(shí)，最多有：5×(5－1)×eq\f(1,2)＝10(條)，所以最多能得到10條直線．另外三種情況如下圖所示．（二）與線段中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題線段的中點(diǎn)定義：文字語(yǔ)言：若一個(gè)點(diǎn)把線段分成相等的兩部分，那么這個(gè)點(diǎn)叫做線段的中點(diǎn)圖形語(yǔ)言：幾何語(yǔ)言：∵M(jìn)是線段AB的中點(diǎn)∴，典型例題：1．由下列條件一定能得到“P是線段AB的中點(diǎn)”的是（D）（A）AP=AB（B）AB＝2PB（C）AP＝PB（D）AP＝PB=AB2．若點(diǎn)B在直線AC上，下列表達(dá)式：①；②AB=BC；③AC=2AB；④AB+BC=AC．其中能表示B是線段AC的中點(diǎn)的有（A

）A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)3.如果點(diǎn)C在線段AB上,下列表達(dá)式①AC=AB;②AB=2BC;③AC=BC;④AC+BC=AB中,能表示C是AB中點(diǎn)的有(C)A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)4．已知線段MN，P是MN的中點(diǎn)，Q是PN的中點(diǎn)，R是MQ的中點(diǎn)，那么MR=______MN．分析：據(jù)題意畫(huà)出圖形設(shè)QN=x，則PQ=x，MP=2x，MQ=3x，所以，MR=x