4.1、線段、直線、射線

1線段、射線、直線1．線段、射線、直線的概念(1)線段概念：鉛筆、人行橫道線和路旁的電線桿都可以近似地看做線段，下圖就是一條線段．線段的特征：①線段是直的；②線段有2個端點；③線段的長度是有限的，可度量．線段可以向兩方無限延長；線段是沒有粗細(xì)之分的．(2)射線概念：射線可以看做由線段向一個方向無限延長形成的圖形．如圖，把線段AB向一個方向無限延伸，就是一條射線．射線的特征：①射線是直的；②射線有一個端點；③因射線向一個方向無限延長，所以射線沒有長短，不可測量．射線可以反向延長；射線沒有粗細(xì)之分．(3)直線概念：直線可以看做由線段向兩個方向無限延長形成的．直線的特征：①直線是直的；②直線沒有端點；③向兩個方向無限延長，沒有長短，不可測量．因為直線是線段向兩個方向無限延長形成的，所以我們不能說延長某條直線，即直線不能延長．【例1】下列說法正確的有()．①畫一條射線等于5cm；②線段AB為直線AB的一部分；③在直線、射線、線段中，線段最短；④射線與其反向延長線形成一條直線．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個解析：①×射線向一個方向無限延伸，不可度量②√直線上兩點間的部分是線段③×直線、射線無長短，不能比較④√將射線反向延長后形成的圖形是直線答案：B2.線段、射線、直線的表示方法(1)線段的表示方法①用兩個表示端點的大寫字母來表示．如圖，以A，B為端點的線段，可記作“線段AB”或“線段BA”．②用一個小寫字母來表示．如線段AB也可記作“線段a”．(2)射線的表示方法用兩個大寫字母表示．一條射線可用它的端點和射線上的另一點來表示，如圖中的射線，可記作“射線AB”(端點必須在前面)．射線的識別：判斷兩條射線是否是同一條射線，首先看端點是否相同，再看延伸方向是否相同，如果這兩點都符合，那么這兩條射線是同一條射線．①端點相同，延伸方向也相同的射線是同一條射線，如圖射線MB，MC，MN都表示同一條射線．②端點相同，但延伸方向不相同的射線不是同一條射線，如圖中射線AB，AC就不是同一條射線．③端點不同的射線不是同一條射線，如圖中的射線BN，CN的延伸方向一致，但端點不同，所以不是同一條射線．【例2－1】射線OA，OB表示同一條射線，下面的圖形正確的是()．解析：A×端點相同，都是O，但延伸方向不相同B×C×D√端點相同，延伸方向相同答案：D(3)直線的表示方法直線有兩種表示方法：①可以用表示這條直線上任意兩個點的大寫字母來表示，注意表示直線上任意兩個點的字母沒有順序性．如圖甲中的直線可記作“直線AB”或“直線BA”；②可用一個小寫字母來表示，如圖乙中的直線可記作“直線l”．圖甲圖乙辨誤區(qū)、射線、直線的聯(lián)系①表示線段、射線、直線時，都要在字母前面注明“線段、射線或直線”；②用兩個大寫字母表示線段和直線時，兩個字母沒有順序性，可以交換位置，如“線段BA”和“線段AB”表示同一條線段，“直線AB”和“直線BA”表示同一條直線；③表示射線的兩個大寫字母有一定的順序，表示端點的字母必須寫在前面．【例2－2】如圖所示，下列說法()．A．都錯誤 B．都正確C．只有一個正確 D．有兩個正確錯解：B錯解分析：誤以為直線可以用兩個小寫字母、一個大寫字母或者大小寫字母混合表示．正解：D正解思路：直線可以用兩個大寫字母或一個小寫字母表示．3．直線的性質(zhì)(1)經(jīng)過兩點有且只有一條直線．①它包含兩層含義：一是“肯定有”，二是“只有一條”，不會有兩條、三條……；②它可簡單地說成“兩點確定一條直線”．(2)直線的其他性質(zhì)：①經(jīng)過一點的直線有無數(shù)條；②不同的兩條直線最多有一個交點．【例3】工人師傅要將一塊長條鋼板固定在機器上，則至少要用__________個螺釘．解析：根據(jù)“兩點確定一條直線”可知至少需要2個螺釘．答案：24．射線、線段的計數(shù)方法射線和線段可以看做直線的一部分，因此在一條直線上，取一些點時，會出現(xiàn)射線和線段．(1)點數(shù)與射線的條數(shù)射線向一方無限延伸，因此射線的條數(shù)是由端點的個數(shù)決定的．在直線上，以一個點為端點的射線有2條，若直線上有n個點，則共有2n條射線．(2)點數(shù)與線段的條數(shù)線段有兩個端點，直線上每兩個點之間的部分就是一條線段．因此，數(shù)線段時，只要判斷這些點共有多少種組合即可．析規(guī)律數(shù)線段條數(shù)的方法確定線段的條數(shù)時，可以先固定第一個點為一個端點，再以其余的點為另一個端點組成線段，然后固定第二個點為一個端點，與其余的點(第一個點除外)組成線段……，依此類推，直到找出最后的線段為止．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【例4】畫出線段AB：(1)如圖(1)，在線段AB上畫出1個點，這時圖中共有幾條線段？(2)如圖(2)，在線段AB上畫出2個點，這時圖中共有幾條線段？(3)如圖(3)，在線段AB上畫出3個點，這時圖中共有幾條線段？(4)如圖(4)，在線段AB上畫出n個點時，猜一猜：圖中共有幾條線段？解：(1)線段上一共有三個點(線段AB的兩個端點和點C)，以每個點為端點的線段各有2條，這樣一共有(2＋1)×2＝6條線段，因為線段無端點順序，如線段AB和線段BA是同一條線段，這樣6條線段重復(fù)一半，所以圖(1)中共有線段的條數(shù)是eq\f((1＋2)×2,2)＝3；(2)在線段上畫出2個點，這時圖中共有4個點，以每個點為端點的線段各有3條，這樣一共有(2＋2)×3＝12條線段，同樣重復(fù)一半，這樣圖(2)中共有線段的條數(shù)是eq\f((2＋2)×3,2)＝6；(3)在線段上畫出3個點，這時圖中共有5個點，以每個點為端點的線段各有4條，這樣一共有(2＋3)×4＝20條線段，同樣重復(fù)一半，這樣圖(3)中共有線段的條數(shù)是eq\f((3＋2)×4,2)＝10；(4)在線段上畫出n個點，這時圖中共有(n＋2)個點，以每個點為端點的線段各有(n＋1)條，這樣一共可畫(n＋2)·(n＋1)條線段，同樣重復(fù)一半，這樣圖(4)中共有線段的條數(shù)是eq\f((n＋2)(n＋1),2).5．直線性質(zhì)的應(yīng)用生活中的很多實際問題要用到直線的性質(zhì)，如木工師傅在鋸木料之前，先在木板上畫出兩個點，然后過這兩個點彈條墨線，就是利用了直線的“兩點確定一條直線”的性質(zhì)，沿著這條線能鋸成直的，而不會歪斜．【例5】建房屋壘墻時，建筑工人都要在墻的兩端固定繩子，請利用所學(xué)的知識，說明其中道理．分析：利用直線的性質(zhì)“經(jīng)過兩點有且只有一條直線”進行說明．解：拉緊的繩子可以近似看成一條直線，固定在墻的兩端是固定的兩點，因為過兩點有且只有一條直線，所以這樣壘出的墻是直的．6.與直線有關(guān)的規(guī)律探究(1)兩點確定一條直線，在同一平面內(nèi)，不同的點可以確定不同的直線．當(dāng)任意三點均不在同一直線上時，點數(shù)與直線條數(shù)的關(guān)系見下表：點的個數(shù)最多直線條數(shù)213346……n(n>1)eq\f(n(n－1),2)(2)平面上若有n(n>1)條直線兩兩相交，則交點個數(shù)最多有eq\f(1,2)n(n－1)個．【例6】平面上有五個點，過其中任意兩點畫一條直線，最多能得到多少條直線？請畫出另外三種不同情況的圖形．分析：五個點有四種不同的關(guān)系：①五個點在同一條直線上；②有四個點在同一條直線上；③有三個點在同一條直線上；④五個點中任意三個點都不在同一條直線上．解：當(dāng)任意三點都不在同一條直線上時，最多有：5×(5－1)×eq\f(1,2)＝10(條)，所以最多能得到10條直線．另外三種情況如下圖所示．（二）與線段中點有關(guān)的問題線段的中點定義：文字語言：若一個點把線段分成相等的兩部分，那么這個點叫做線段的中點圖形語言：幾何語言：∵M是線段AB的中點∴，典型例題：1．由下列條件一定能得到“P是線段AB的中點”的是（D）（A）AP=AB（B）AB＝2PB（C）AP＝PB（D）AP＝PB=AB2．若點B在直線AC上，下列表達式：①；②AB=BC；③AC=2AB；④AB+BC=AC．其中能表示B是線段AC的中點的有（A

）A．1個

B．2個

C．3個

D．4個3.如果點C在線段AB上,下列表達式①AC=AB;②AB=2BC;③AC=BC;④AC+BC=AB中,能表示C是AB中點的有(C)A.1個B.2個C.3個D.4個4．已知線段MN，P是MN的中點，Q是PN的中點，R是MQ的中點，那么MR=______MN．分析：據(jù)題意畫出圖形設(shè)QN=x，則PQ=x，MP=2x，MQ=3x，所以，MR=x