新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 第04講 基本不等式（原卷版）

第04講基本不等式（精講）題型目錄一覽①直接法求最值②常規(guī)湊配法求最值③消參法求最值④“1”的代換求最值⑤基本不等式及其應(yīng)用⑥利用基本不等式解決實(shí)際問題⑦利用基本不等式證明一、知識(shí)點(diǎn)梳理一、知識(shí)點(diǎn)梳理1.基本不等式如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，等號(hào)成立．其中，SKIPIF1<0叫作SKIPIF1<0的算術(shù)平均數(shù)，SKIPIF1<0叫作SKIPIF1<0的幾何平均數(shù)．即正數(shù)SKIPIF1<0的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．基本不等式1：若SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)；基本不等式2：若SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0），當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào).注：（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正數(shù)，“二定”指求最值時(shí)和或積為定值，“三相等”指滿足等號(hào)成立的條件.（2）連續(xù)使用不等式要注意等號(hào)取得一致.（1）幾個(gè)重要的不等式①SKIPIF1<0②基本不等式：如果SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0(當(dāng)且僅當(dāng)“SKIPIF1<0”時(shí)取“”).特例：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0同號(hào)）.（2）其他變形：①SKIPIF1<0(溝通兩和SKIPIF1<0與兩平方和SKIPIF1<0的不等關(guān)系式)②SKIPIF1<0(溝通兩積SKIPIF1<0與兩平方和SKIPIF1<0的不等關(guān)系式)③SKIPIF1<0(溝通兩積SKIPIF1<0與兩和SKIPIF1<0的不等關(guān)系式)④重要不等式串：SKIPIF1<0即調(diào)和平均值SKIPIF1<0幾何平均值SKIPIF1<0算數(shù)平均值SKIPIF1<0平方平均值(注意等號(hào)成立的條件).2.均值定理已知SKIPIF1<0.（1）如果SKIPIF1<0(定值)，則SKIPIF1<0(當(dāng)且僅當(dāng)“SKIPIF1<0”時(shí)取“=”).即“和為定值，積有最大值”.（2）如果SKIPIF1<0(定值)，則SKIPIF1<0(當(dāng)且僅當(dāng)“SKIPIF1<0”時(shí)取“=”).即積為定值，和有最小值”.3.常見求最值模型模型一：SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立；模型二：SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立；模型三：SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立；模型四：SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立.二、題型分類精講二、題型分類精講題型一直接法求最值策略方法直接利用基本不等式求解，注意取等條件【典例1】下列不等式一定成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【題型訓(xùn)練】一、單選題1．下列函數(shù)中最小值為4的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．13 B．12 C．9 D．63．下列不等式一定成立的是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<04．《幾何原本》卷Ⅱ的幾何代數(shù)法成了后世西方數(shù)學(xué)家處理數(shù)學(xué)問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無字證明SKIPIF1<0現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)SKIPIF1<0在半圓SKIPIF1<0上，點(diǎn)SKIPIF1<0在直徑SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該圖形可以直接完成的無字證明為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．設(shè)a，SKIPIF1<0，則“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題6．已知正數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為__________．7．已知SKIPIF1<0，有下列不等式：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0；⑤SKIPIF1<0．其中，恒成立的是______．（寫出所有滿足要求的不等式序號(hào)）題型二常規(guī)湊配法求最值策略方法1．通過添項(xiàng)、拆項(xiàng)、變系數(shù)等方法湊成和為定值或積為定值的形式．2．注意驗(yàn)證取得條件．【典例1】若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0取最大值時(shí)x的值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】已知實(shí)數(shù)x滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．0 C．4 D．8【典例3】當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，函數(shù)SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．4【題型訓(xùn)練】一、單選題1．已知正數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．3 B．6 C．9 D．122．已知SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0的最大值是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．2 B．4 C．5 D．64．函數(shù)SKIPIF1<0的最小值是（

）A．10 B．12 C．13 D．145．當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0恒成立，則m的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空題6．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為__________．7．（1）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0取得最大值時(shí)SKIPIF1<0的值為________．（2）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為________．（3）函數(shù)SKIPIF1<0的最小值為________．8．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為____________．9．已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為_________．10．已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為___________．11．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的最小值為_________.題型三消參法求最值策略方法消參法就是對(duì)應(yīng)不等式中的兩元問題，用一個(gè)參數(shù)表示另一個(gè)參數(shù)，再利用基本不等式進(jìn)行求解.解題過程中要注意“一正，二定，三相等”這三個(gè)條件缺一不可！【典例1】若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是（

）A．5 B．8 C．13 D．16【題型訓(xùn)練】一、單選題1．已知正數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<02．若正數(shù)x，y滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是（

）．A．3 B．6 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題3．已知實(shí)數(shù)a，b>0，2a+b=4，則下列說法中正確的有（

）A．SKIPIF1<0有最小值SKIPIF1<0 B．a(chǎn)2+b2有最小值SKIPIF1<0C．4a+2b有最小值8 D．lna+lnb有最小值ln24．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空題5．已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是_______．6．若正數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為__________．7．已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為___________.題型四“1”的代換求最值策略方法1的代換就是指湊出1，使不等式通過變形出來后達(dá)到運(yùn)用基本不等式的條件，即積為定值，湊的過程中要特別注意等價(jià)變形．1．根據(jù)條件，湊出“1”，利用乘“1”法．2．注意驗(yàn)證取得條件．【典例1】已知函數(shù)SKIPIF1<0恒過定點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．SKIPIF1<0【題型訓(xùn)練】一、單選題1．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．122．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0相切，則SKIPIF1<0的最小值是（

）A．16 B．12 C．8 D．43．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．4二、多選題4．已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若不等式SKIPIF1<0恒成立，則SKIPIF1<0的值可以為（

）A．10 B．9 C．8 D．75．下列能使式子SKIPIF1<0最小值為1的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空題6．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為_______．7．已知函數(shù)SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線過點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為__________.8．已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是______．9．設(shè)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是___________.題型五基本不等式及其應(yīng)用策略方法熟記基本不等式成立的條件，合理選擇基本不等式的形式解題，要注意對(duì)不等式等號(hào)是否成立進(jìn)行驗(yàn)證.【典例1】已知實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【題型訓(xùn)練】一、單選題1．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則ab的最小值為（

）A．4 B．8 C．16 D．322．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．23．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．44．已知x，y為正實(shí)數(shù)，則“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則夾角SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題6．下列結(jié)論中，正確的結(jié)論有（

）A．如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0的最小值是2B．如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0的最大值為3C．函數(shù)SKIPIF1<0的最小值為2D．如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0的最小值為27．已知SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空題8．設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0取最小值時(shí)a的值為______．9．已知各項(xiàng)為正的數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為___________.10．已知橢圓C的焦點(diǎn)為SKIPIF1<0為C上一點(diǎn)滿足SKIPIF1<0，則C的離心率取值范圍是________．11．已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為__________．題型六利用基本不等式解決實(shí)際問題策略方法利用基本不等式解決實(shí)際問題的三個(gè)注意點(diǎn)(1)設(shè)變量時(shí)，一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)．(2)解題時(shí)，一定要注意變量的實(shí)際意義及其取值范圍．(3)在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，若等號(hào)取不到，可利用函數(shù)的單調(diào)性求解，如利用f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a＞0)的單調(diào)性．【典例1】2023年是農(nóng)歷癸卯兔年，在中國傳統(tǒng)文化中，兔被視為一種祥瑞之物，寓意福壽安康．故宮博物院就收藏著這樣一副蘊(yùn)含“吉祥團(tuán)圓”美好愿景的名畫——《梧桐雙兔圖》，該絹本設(shè)色畫縱約176cm，橫約95cm，其掛在墻壁上的最低點(diǎn)B離地面205cm．小南眼睛距地面的距離為150cm，為使觀賞視角SKIPIF1<0最大，小南離墻距離S應(yīng)為（

）A．11SKIPIF1<0cm B．8SKIPIF1<0cm C．11SKIPIF1<0cm D．44SKIPIF1<0cm【題型訓(xùn)練】一、單選題1．某單位為提升服務(wù)質(zhì)量，花費(fèi)3萬元購進(jìn)了一套先進(jìn)設(shè)備，該設(shè)備每年管理費(fèi)用為0.1萬元，已知使用SKIPIF1<0年的維修總費(fèi)用為SKIPIF1<0萬元，則該設(shè)備年平均費(fèi)用最少時(shí)的年限為（

）A．7 B．8 C．9 D．102．目前，我國的水環(huán)境問題已經(jīng)到了刻不容緩的地步，河道水質(zhì)在線監(jiān)測(cè)COD傳感器針對(duì)水源污染等無組織污染源的在線監(jiān)控系統(tǒng)，進(jìn)行24小時(shí)在線數(shù)據(jù)采集和上傳通訊，并具有實(shí)時(shí)報(bào)警功能及統(tǒng)計(jì)分析報(bào)告，對(duì)保護(hù)環(huán)境有很大幫助.該傳感器在水中逆流行進(jìn)時(shí)，所消耗的能量為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為傳感器在靜水中行進(jìn)的速度(單位：SKIPIF1<0)，SKIPIF1<0為行進(jìn)的時(shí)間(單位：SKIPIF1<0)，SKIPIF1<0為常數(shù)，如果待測(cè)量的河道的水流速度為SKIPIF1<0，則該傳感器在水中逆流行進(jìn)SKIPIF1<0消耗的能量的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．迷你KTV是一類新型的娛樂設(shè)施，外形通常是由玻璃墻分隔成的類似電話亭的小房間，近幾年投放在各大城市商場(chǎng)中，受到年輕人的歡迎．如圖是某間迷你KTV的橫截面示意圖，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，曲線段SKIPIF1<0是圓心角為SKIPIF1<0的圓弧，設(shè)該迷你KTV橫截面的面積為SKIPIF1<0，周長(zhǎng)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）．（本題中取SKIPIF1<0進(jìn)行計(jì)算）A．6 B．SKIPIF1<0 C．3 D．9二、填空題4．某校生物興趣小組為開展課題研究，分得一塊面積為32SKIPIF1<0的矩形空地，并計(jì)劃在該空地上設(shè)置三塊全等的矩形試驗(yàn)區(qū)（如圖所示）.要求試驗(yàn)區(qū)四周各空0.5SKIPIF1<0，各試驗(yàn)區(qū)之間也空0.5SKIPIF1<0.則每塊試驗(yàn)區(qū)的面積的最大值為___________SKIPIF1<0.5．黨的二十大報(bào)告將“完成脫貧攻堅(jiān)?全面建成小康社會(huì)的歷史任務(wù)，實(shí)現(xiàn)第一個(gè)百年奮斗目標(biāo)”作為十年來對(duì)黨和人民事業(yè)具有重大現(xiàn)實(shí)意義和深遠(yuǎn)歷史意義的三件大事之一.某企業(yè)積極響應(yīng)國家的號(hào)召，對(duì)某經(jīng)濟(jì)欠發(fā)達(dá)地區(qū)實(shí)施幫扶，投資生產(chǎn)A產(chǎn)品，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)研，生產(chǎn)A產(chǎn)品的固定成本為200萬元，每生產(chǎn)SKIPIF1<0萬件，需可變成本SKIPIF1<0萬元，當(dāng)產(chǎn)量不足50萬件時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)產(chǎn)量不小于50萬件時(shí)，SKIPIF1<0.每件A產(chǎn)品的售價(jià)為100元，通過市場(chǎng)分析，生產(chǎn)的A產(chǎn)品可以全部銷售完，則生產(chǎn)該產(chǎn)品能獲得的最大利潤(rùn)為__________萬元.三、解答題6．第四屆中國國際進(jìn)口博覽會(huì)于2021年11月5日至10日在上海舉行.本屆進(jìn)博會(huì)有4000多項(xiàng)新產(chǎn)品?新技術(shù)?新服務(wù).某跨國公司帶來了高端空調(diào)模型參展，通過展會(huì)調(diào)研，中國甲企業(yè)計(jì)劃在2022年與該跨國