2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第3章 三角恒等變形 1 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（教師用書）教案 北師大版必修4

2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章三角恒等變形1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（教師用書）教案北師大版必修4科目授課時間節(jié)次--年—月—日（星期——）第—節(jié)指導(dǎo)教師授課班級、授課課時授課題目（包括教材及章節(jié)名稱）2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章三角恒等變形1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（教師用書）教案北師大版必修4教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容是同角三角函數(shù)的基本關(guān)系。具體包括：

1.掌握同角三角函數(shù)的定義和基本性質(zhì)。

2.學(xué)習(xí)三角函數(shù)的恒等變形公式。

3.運(yùn)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系解決實(shí)際問題。

教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生已有知識的聯(lián)系：

1.學(xué)生已掌握初中階段的三角函數(shù)知識，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

2.學(xué)生已學(xué)習(xí)過函數(shù)的基本概念和性質(zhì)，有助于理解同角三角函數(shù)的含義。

3.學(xué)生掌握了代數(shù)運(yùn)算的基本技巧，有利于學(xué)習(xí)三角函數(shù)的恒等變形公式。

教學(xué)目標(biāo)：

1.讓學(xué)生理解同角三角函數(shù)的定義和基本性質(zhì)。

2.使學(xué)生掌握三角函數(shù)的恒等變形公式，并能靈活運(yùn)用。

3.培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和解決實(shí)際問題的能力。

教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：

重點(diǎn)：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，三角函數(shù)的恒等變形公式。

難點(diǎn)：靈活運(yùn)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系解決實(shí)際問題。

教學(xué)方法：

1.采用問題驅(qū)動法，引導(dǎo)學(xué)生主動探究同角三角函數(shù)的基本關(guān)系。

2.運(yùn)用案例分析法，讓學(xué)生通過具體例子掌握三角函數(shù)的恒等變形公式。

3.采用小組討論法，培養(yǎng)學(xué)生合作解決問題的能力。

教學(xué)過程：

1.導(dǎo)入新課，介紹同角三角函數(shù)的概念和意義。

2.講解同角三角函數(shù)的基本性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

3.學(xué)習(xí)三角函數(shù)的恒等變形公式，并通過例題講解應(yīng)用。

4.開展小組討論，讓學(xué)生運(yùn)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系解決實(shí)際問題。

5.總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容和知識點(diǎn)，布置課后作業(yè)。

教學(xué)評價：

1.課堂講解是否清晰，學(xué)生是否能理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系。

2.學(xué)生是否能熟練運(yùn)用三角函數(shù)的恒等變形公式解決問題。

3.學(xué)生合作解決問題的能力是否得到提高。核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標(biāo)主要包括：邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象。

1.邏輯推理：通過學(xué)習(xí)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用邏輯推理能力，理解并掌握三角函數(shù)的恒等變形公式。

2.數(shù)學(xué)建模：培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系解決實(shí)際問題的能力，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：通過對三角函數(shù)的恒等變形公式的學(xué)習(xí)，提高學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算的技巧，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。

4.直觀想象：通過觀察和分析同角三角函數(shù)的圖像，提升學(xué)生的直觀想象能力，使學(xué)生能夠更好地理解和掌握三角函數(shù)的性質(zhì)。教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)：

（1）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：正弦、余弦、正切函數(shù)之間的關(guān)系，以及它們與角度的關(guān)系。

（2）三角函數(shù)的恒等變形公式：和差化積、積化和差、倍角公式、半角公式等。

（3）運(yùn)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系解決實(shí)際問題：如已知一個角的某一函數(shù)值，求其他函數(shù)值等。

2.教學(xué)難點(diǎn)：

（1）理解并掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：學(xué)生需要理解并記住正弦、余弦、正切函數(shù)之間的關(guān)系，以及它們與角度的關(guān)系。

（2）靈活運(yùn)用三角函數(shù)的恒等變形公式：學(xué)生需要能夠?qū)?shí)際問題轉(zhuǎn)化為恒等變形公式的形式，并正確應(yīng)用。

（3）解決實(shí)際問題：學(xué)生需要能夠?qū)⑺鶎W(xué)的同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和恒等變形公式應(yīng)用于解決實(shí)際問題，如三角函數(shù)的求值、化簡等。

舉例說明：

（1）教學(xué)重點(diǎn)舉例：已知一個角的正弦值為0.5，求這個角的余弦值。學(xué)生可以利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，正弦值與余弦值的關(guān)系，求得余弦值為±√3/2。

（2）教學(xué)難點(diǎn)舉例：已知一個角的正弦值為1/2，求這個角的正切值。學(xué)生可以利用恒等變形公式，將正弦值轉(zhuǎn)化為余弦值，再求得正切值。具體步驟為：正弦值為1/2時，對應(yīng)的角度為30°或150°，余弦值為√3/2或-√3/2，正切值為正弦值除以余弦值，即1/(√3/2)或-1/(√3/2)。教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生都有《2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章三角恒等變形1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（教師用書）教案北師大版必修4》的教材或?qū)W習(xí)資料，以便學(xué)生能夠跟隨教學(xué)進(jìn)度進(jìn)行學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)。

2.輔助材料：準(zhǔn)備與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的圖片、圖表、視頻等多媒體資源，以便在教學(xué)過程中進(jìn)行直觀展示和解釋。例如，可以準(zhǔn)備一些展示正弦、余弦、正切函數(shù)圖像的圖表，以及一些運(yùn)用恒等變形公式的實(shí)際問題案例的視頻。

3.實(shí)驗(yàn)器材：如果涉及實(shí)驗(yàn)，需要確保實(shí)驗(yàn)器材的完整性和安全性。例如，如果安排有測量角度和函數(shù)值的實(shí)驗(yàn)，需要準(zhǔn)備一些測量工具，如量角器、計算器等，并確保它們的準(zhǔn)確性和使用安全。

4.教室布置：根據(jù)教學(xué)需要，布置教室環(huán)境，如分組討論區(qū)、實(shí)驗(yàn)操作臺等。例如，可以安排一些小組討論區(qū)，以便學(xué)生進(jìn)行合作學(xué)習(xí)和解決問題；如果安排有實(shí)驗(yàn)操作，需要設(shè)置專門的實(shí)驗(yàn)操作臺，并確保實(shí)驗(yàn)區(qū)域的安全性。

5.教學(xué)工具：準(zhǔn)備投影儀、電腦、黑板等教學(xué)工具，以便教師進(jìn)行PPT展示、板書講解等。

6.練習(xí)題庫：準(zhǔn)備一些與本節(jié)課內(nèi)容相關(guān)的練習(xí)題，以便在課堂結(jié)束后進(jìn)行鞏固練習(xí)。這些練習(xí)題可以包括一些應(yīng)用題、化簡題、求值題等，以幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識和提高解題能力。

7.教學(xué)反饋表：準(zhǔn)備一些教學(xué)反饋表，以便在課程結(jié)束后收集學(xué)生對教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法等方面的意見和建議，以便進(jìn)行教學(xué)改進(jìn)和調(diào)整。教學(xué)流程一、導(dǎo)入新課（用時5分鐘）

同學(xué)們，今天我們將要學(xué)習(xí)的是《同角三角函數(shù)的基本關(guān)系》這一章節(jié)。在開始之前，我想先問大家一個問題：“你們在日常生活中是否遇到過需要計算三角函數(shù)值的情況？”例如，一個房間的對角線長度為10米，求房間的長和寬。這個問題與我們將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容密切相關(guān)。通過這個問題，我希望能夠引起大家的興趣和好奇心，讓我們一同探索三角函數(shù)的奧秘。

二、新課講授（用時10分鐘）

1.理論介紹：首先，我們要了解同角三角函數(shù)的定義和基本性質(zhì)。同角三角函數(shù)是指在同一個角上的正弦、余弦、正切等函數(shù)值。它們之間存在一些基本的關(guān)系，如正弦值等于對邊與斜邊的比值，余弦值等于鄰邊與斜邊的比值，正切值等于對邊與鄰邊的比值。

2.案例分析：接下來，我們來看一個具體的案例。這個案例展示了同角三角函數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用，以及它如何幫助我們解決問題。例如，已知一個角的正弦值為0.5，求這個角的余弦值和正切值。

3.重點(diǎn)難點(diǎn)解析：在講授過程中，我會特別強(qiáng)調(diào)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和恒等變形公式這兩個重點(diǎn)。對于難點(diǎn)部分，我會通過舉例和比較來幫助大家理解。

三、實(shí)踐活動（用時10分鐘）

1.分組討論：學(xué)生們將分成若干小組，每組討論一個與同角三角函數(shù)相關(guān)的實(shí)際問題。

2.實(shí)驗(yàn)操作：為了加深理解，我們將進(jìn)行一個簡單的實(shí)驗(yàn)操作。這個操作將演示同角三角函數(shù)的基本原理。

3.成果展示：每個小組將向全班展示他們的討論成果和實(shí)驗(yàn)操作的結(jié)果。

四、學(xué)生小組討論（用時10分鐘）

1.討論主題：學(xué)生將圍繞“同角三角函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用”這一主題展開討論。他們將被鼓勵提出自己的觀點(diǎn)和想法，并與其他小組成員進(jìn)行交流。

2.引導(dǎo)與啟發(fā)：在討論過程中，我將作為一個引導(dǎo)者，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題并解決問題。我會提出一些開放性的問題來啟發(fā)他們的思考。

3.成果分享：每個小組將選擇一名代表來分享他們的討論成果。這些成果將被記錄在黑板上或投影儀上，以便全班都能看到。

五、總結(jié)回顧（用時5分鐘）

今天的學(xué)習(xí)，我們了解了同角三角函數(shù)的基本概念、重要性和應(yīng)用。同時，我們也通過實(shí)踐活動和小組討論加深了對同角三角函數(shù)的理解。我希望大家能夠掌握這些知識點(diǎn)，并在日常生活中靈活運(yùn)用。最后，如果有任何疑問或不明白的地方，請隨時向我提問。知識點(diǎn)梳理本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容是同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和恒等變形公式。具體包括以下幾個知識點(diǎn)：

1.同角三角函數(shù)的定義和基本性質(zhì)：了解正弦、余弦、正切函數(shù)在同一個角上的定義，掌握它們之間的關(guān)系，如正弦值等于對邊與斜邊的比值，余弦值等于鄰邊與斜邊的比值，正切值等于對邊與鄰邊的比值。

2.三角函數(shù)的恒等變形公式：掌握和差化積、積化和差、倍角公式、半角公式等恒等變形公式的推導(dǎo)和應(yīng)用。

3.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系在實(shí)際問題中的應(yīng)用：學(xué)會運(yùn)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系解決實(shí)際問題，如已知一個角的某一函數(shù)值，求其他函數(shù)值等。

4.三角函數(shù)圖像的特點(diǎn)：了解正弦、余弦、正切函數(shù)的圖像特點(diǎn)，如周期性、對稱性、奇偶性等。

5.三角函數(shù)的求值方法：掌握求解三角函數(shù)值的方法，如使用三角函數(shù)表、計算器等工具。

6.三角函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用：了解三角函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用場景，如測量、工程、導(dǎo)航等。

7.三角函數(shù)的變形和化簡：學(xué)會對三角函數(shù)進(jìn)行變形和化簡，如利用恒等變形公式進(jìn)行函數(shù)的變形。

8.三角函數(shù)的解題技巧：掌握解題時運(yùn)用三角函數(shù)的技巧，如利用函數(shù)的性質(zhì)、圖像等。課后作業(yè)1.題目：已知一個角的正弦值為0.5，求這個角的余弦值和正切值。

答案：

余弦值：余弦值等于鄰邊與斜邊的比值，因此余弦值為√3/2。

正切值：正切值等于對邊與鄰邊的比值，因此正切值為1。

2.題目：已知一個角的余弦值為1/2，求這個角的正弦值和正切值。

答案：

正弦值：正弦值等于對邊與斜邊的比值，因此正弦值為√2/2。

正切值：正切值等于對邊與鄰邊的比值，因此正切值為1。

3.題目：已知一個角的正切值為2，求這個角的正弦值和余弦值。

答案：

正弦值：正弦值等于對邊與斜邊的比值，因此正弦值為2√3。

余弦值：余弦值等于鄰邊與斜邊的比值，因此余弦值為1/3。

4.題目：已知一個角的正弦值為√3/2，求這個角的余弦值和正切值。

答案：

余弦值：余弦值等于鄰邊與斜邊的比值，因此余弦值為1/√3。

正切值：正切值等于對邊與鄰邊的比值，因此正切值為√3。

5.題目：已知一個角的余弦值為1/√3，求這個角的正弦值和正切值。

答案：

正弦值：正弦值等于對邊與斜邊的比值，因此正弦值為2√3。

正切值：正切值等于對邊與鄰邊的比值，因此正切值為2。課堂1.課堂評價：

a.提問：通過提問了解學(xué)生對同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和恒等變形公式的理解程度。例如，可以提問學(xué)生正弦值、余弦值和正切值之間的關(guān)系，以及和差化積、積化和差、倍角公式、半角公式等恒等變形公式的推導(dǎo)和應(yīng)用。

b.觀察：在課堂中觀察學(xué)生的反應(yīng)和參與情況，了解他們對知識的掌握程度。例如，可以觀察學(xué)生是否能夠積極參與討論，是否能夠正確回答問題，是否能夠正確完成課堂練習(xí)等。

c.測試：在課堂結(jié)束前進(jìn)行小測試，了解學(xué)生對知識的掌握程度。測試題目可以包括一些應(yīng)用題、化簡題、求值題等，以幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識和提高解題能力。

2.作業(yè)評價：

a.認(rèn)真批改：對學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行認(rèn)真批改，了解他們對知識的掌握程度。批改時要注意檢查學(xué)生的計算過程是否正確，答案是否準(zhǔn)確，以及是否能夠靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題。

b.點(diǎn)評：對學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行點(diǎn)評，及時反饋學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。點(diǎn)評時要注意表揚(yáng)學(xué)生的優(yōu)點(diǎn)，鼓勵他們繼續(xù)保持，同時指出他們的不足之處，并提供改進(jìn)的建議。

c.鼓勵：鼓勵學(xué)生繼續(xù)努力，不斷提高自己的數(shù)學(xué)能力?？梢怨膭钏麄冊谡n堂中積極參與，多思考，多提問，以及在課后多做練習(xí)，以鞏固所學(xué)知識。教學(xué)反思與改進(jìn)首先，在講解恒等變形公式時，我將更多地采用圖形和實(shí)例來幫助學(xué)生理解和記憶。例如，在講解和差化積公式時，我會用圖形來展示正弦和余弦函數(shù)的和差關(guān)系，讓學(xué)生更直觀地理解公式的含義。

其次，我計劃增加一些實(shí)際應(yīng)用題目的練習(xí)，讓學(xué)生在解決實(shí)際問題的過程中更好地掌握恒等變形公式的應(yīng)用。例如，我會讓學(xué)生解決一些涉及到角度轉(zhuǎn)換和三角函數(shù)求值的實(shí)際問題，以提高他們的應(yīng)用能力。

另外，我也會加強(qiáng)與學(xué)生的互動，鼓勵他們在課堂上提問和參與討論。通過這種方式，我可以更好地了解他們的學(xué)習(xí)情況和需求，及時解答他們的疑惑，幫助他們更好地理解課程內(nèi)容。

此外，我還會加強(qiáng)對學(xué)生的作業(yè)批改和反饋，及時指出他們的錯誤和不足之處，并提供相應(yīng)的改進(jìn)建議。通過這種方式，學(xué)生可以更好地了解自己的學(xué)習(xí)情況，及時進(jìn)行調(diào)整和改進(jìn)。板書設(shè)計（1）目的明確：通過板書設(shè)計，讓學(xué)生能夠清晰地了解本節(jié)課的主要內(nèi)容和學(xué)習(xí)目標(biāo)。

（2）緊扣教學(xué)內(nèi)容：板書內(nèi)容應(yīng)與教學(xué)內(nèi)容緊密相關(guān)，突出本節(jié)課的核心知識點(diǎn)和重點(diǎn)內(nèi)容。

（3）結(jié)構(gòu)清晰：板書設(shè)計應(yīng)具有清晰的結(jié)構(gòu)，便于學(xué)生理解和記憶。

（4）簡潔明了：板書應(yīng)簡潔明了，突出重點(diǎn)，準(zhǔn)確精煉，概括性強(qiáng)。

（5）藝術(shù)性和趣味性：板書設(shè)計應(yīng)具有一定的藝術(shù)性和趣味性，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動性。

2.具體內(nèi)容：

（1）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：正弦、余弦、正切函數(shù)之間的關(guān)系，以及它們與角度的關(guān)系。

（2）三角函數(shù)的恒等變形公式：和