5.2　矩形、菱形與正方形

第頁5.2矩形、菱形與正方形學用P58[過關(guān)演練](30分鐘70分)1.(2019·山東濱州)下列命題,其中是真命題的為(D)A.一組對邊平行,另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形B.對角線互相垂直的四邊形是菱形C.對角線相等的四邊形是矩形D.一組鄰邊相等的矩形是正方形【解析】一組對邊平行,另一組對邊相等的四邊形也可以是等腰梯形,故A錯誤;對角線互相垂直的平行四邊形是菱形,故B錯誤;對角線相等且互相平分的平行四邊形是矩形,故C錯誤;一組鄰邊相等的矩形是正方形,故D正確.2.(2019·湖北宜昌)如圖,正方形ABCD的邊長為1,點E,F分別是對角線AC上的兩點,EG⊥AB,EI⊥AD,FH⊥AB,FJ⊥AD,垂足分別為G,I,H,J.則圖中陰影部分的面積等于(B)A.1 B.12 C.13 D【解析】∵四邊形ABCD是正方形,∴直線AC是正方形ABCD的對稱軸,∵EG⊥AB,EI⊥AD,FH⊥AB,FJ⊥AD,垂足分別為G,I,H,J.∴根據(jù)對稱性可知,四邊形EFHG的面積與四邊形EFJI的面積相等,∴S陰影=12S正方形ABCD=13.如圖,矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,CE∥BD,DE∥AC.若AC=4,則四邊形OCED的周長為(B)A.4 B.8 C.10 D.12【解析】在矩形ABCD中,OC=OD=12AC=2,又CE∥BD,DE∥AC,所以四邊形OCED是菱形,菱形OCED的周長為4×2=84.如圖,在菱形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,下列結(jié)論:①AC⊥BD;②OA=OB;③∠ADB=∠CDB;④△ABC是等邊三角形.其中一定成立的是(D)A.①② B.③④ C.②③ D.①③【解析】∵菱形的對角線互相垂直,∴AC⊥BD,故①正確;∵菱形的對角線互相平分但不一定相等,∴OA與OB不一定相等,故②錯誤;∵菱形的每條對角線平分一組對角,∴∠ADB=∠CDB,故③正確;在菱形ABCD中,AB=BC,只有當∠ABC=60°時,△ABC是等邊三角形才成立,故④錯誤.5.如圖,在矩形ABCD中,O為AC的中點,過點O的直線分別與AB,CD交于點E,F,連接BF交AC于點M,連接DE,BO.若∠COB=60°,FO=FC,則下列結(jié)論:①FB⊥OC,OM=CM;②△EOB≌△CMB;③四邊形EBFD是菱形;④MB∶OE=3∶2.其中正確結(jié)論的個數(shù)是(C)A.1 B.2 C.3 D.4【解析】連接BD,∵四邊形ABCD是矩形,∴AC=BD,AC,BD互相平分,∵O為AC的中點,∴BD也過O點,∴OB=OC,∵∠COB=60°,OB=OC,∴△OBC是等邊三角形,∴OB=BC=OC,∠OBC=60°,在△OBF與△CBF中,FO=FC,BF=BF,OB=BC,∴△OBF≌△CBF(SSS),∴△OBF與△CBF關(guān)于直線BF對稱,∴FB⊥OC,OM=CM,故①正確;∵∠OBC=60°,∴∠ABO=30°,∵△OBF≌△CBF,∴∠OBM=∠CBM=30°,∴∠ABO=∠OBF,∵AB∥CD,∴∠OCF=∠OAE,∵OA=OC,易證△AOE≌△COF,∴OE=OF,∴OB⊥EF,∴四邊形EBFD是菱形,故③正確;∵△EOB≌△FOB≌△FCB,∴△EOB≌△CMB錯誤,故②錯誤;∵∠OMB=∠BOF=90°,∠OBF=30°,∴MB=OM33,OF=OM326.已知矩形的對角線AC與BD相交于點O,若AO=1,那么BD=2.

【解析】∵四邊形ABCD是矩形,∴AC=BD,AC=2AO.∵AO=1,∴AC=2×1=2,∴BD=2.7.如圖,在平行四邊形ABCD中,延長AD到點E,使DE=AD,連接EB,EC,DB.請你添加一個條件答案不唯一,如∠EDB=90°或AB=BE等,使四邊形DBCE是矩形.

【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,AD=BC,∵DE=AD,∴DE=BC,∴四邊形DBCE是平行四邊形,由矩形的判定條件可添加∠EDB=90°或BE=CD或AB=BE等,可使四邊形DBCE是矩形.8.如圖,在正方形ABCD的外側(cè),作等邊三角形ADE,則∠BED=45°.

【解析】由題意得AB=AE,∠BAE=90°+60°=150°,∴∠AEB=∠ABE=15°,∵∠AED=60°,∴∠BED=60°-15°=45°.9.(2019·浙江金華)如圖,小靚用七巧板拼成一幅裝飾圖,放入長方形ABCD內(nèi),裝飾圖中的三角形頂點E,F分別在邊AB,BC上,三角形①的邊GD在邊AD上,則ABBC的值是

2+14【解析】設(shè)七巧板的邊長為x,則AB=12x+22x,BC=12x+x+12x=210.(10分)(2019·呼和浩特)如圖,已知A,F,C,D四點在同一條直線上,AF=CD,AB∥DE,且AB=DE.(1)求證:△ABC≌△DEF;(2)若EF=3,DE=4,∠DEF=90°,請直接寫出使四邊形EFBC為菱形時,AF的長度.解:(1)∵AB∥DE,∴∠A=∠D,∵AF=CD,∴AF+FC=CD+FC,即AC=DF,∵AB=DE,∴△ABC≌△DEF.(2)AF=75提示:連接BE交AD于點O.在Rt△EFD中,∵∠DEF=90°,EF=3,DE=4,∴DF=32+∵四邊形EFBC是菱形,∴BE⊥CF,∴EO=DE·∴OF=OC=EF2-EO∴AF=CD=DF-FC=5-18511.(10分)如圖,已知四邊形ABCD為矩形,AD=20cm,AB=10cm.M點從D到A,P點從B到C,兩點的速度都為2cm/s;N點從A到B,Q點從C到D,兩點的速度都為1cm/s.若四個點同時出發(fā).(1)判斷四邊形MNPQ的形狀;(2)四邊形MNPQ能為菱形嗎?若能,請求出此時運動的時間;若不能,說明理由.解:(1)四邊形MNPQ是平行四邊形.理由如下:在矩形ABCD中,BC=AD=20cm,CD=AB=10cm,且∠A=∠B=∠C=∠D=90°.設(shè)運動時間為t秒,則AN=CQ=tcm,BP=DM=2tcm.∴BN=DQ=(10-t)cm,CP=AM=(20-2t)cm.由勾股定理,得NP=BP2+B∴NP=MQ.同理可得MN=PQ.∴四邊形MNPQ是平行四邊形.(2)能.理由如下:∵當四邊形MNPQ為菱形時,有NP=QP,∴BP∴4t解得t=5.即四邊形MNPQ為菱形時,運動時間是5s.12.(10分)如圖,正方形ABCD中,點O為兩條對角線的交點.(1)如圖1,點M,N分別在AD,CD邊上,∠MON=90°,求證:OM=ON;(2)如圖2,若AE交CD于點E,DF⊥AE于點F,在AE上截取AG=DF,連接OF,OG,那么△OFG是哪種特殊三角形,證明你的結(jié)論;(3)如圖3,若AE交BC于點E,DF⊥AE于點F,連接OF,求∠DFO的度數(shù).解:(1)連接OA,OD,則OA=OD,∵四邊形ABCD是正方形,∴∠AOD=90°,∠OAM=∠ODN=45°,∵∠MON=90°,∴∠AOD-∠MOD=∠MON-∠MOD,∴∠AOM=∠DON,∴△AOM≌△DON(ASA),∴OM=ON.(2)△OFG為等腰直角三角形.證明:連接OA,OD,則OA=OD,∵四邊形ABCD是正方形,∴∠AOD=90°,∠OAD=∠ODC=45°,∵DF⊥AE,∴∠DAE+∠ADF=∠ADF+∠FDE=90°,∴∠DAE=∠FDE,∴∠OAG=∠ODF.∵AG=DF,∴△OAG≌△ODF(SAS),∴OG=OF,∠AOG=∠DOF,∴∠GOF=∠GOD+∠DOF=∠GOD+∠AOG=90°,∴△OFG為等腰直角三角形.(3)如圖,在AE上截取AG=DF,連接OA,OD,OG,其中OA與DF交于點H,則AO=DO,∵∠AFD=∠AOD=90°,∠AHF=∠DHO,∴∠GAO=∠FDO,∴△OAG≌△ODF(SAS),∴OG=OF,∠AOG=∠DOF,∴∠GOF=∠GOA-∠FOA=∠DOF-∠FOA=∠AOD=90°,∴∠GFO=45°,∵DF⊥AE,∴∠DFO=45°.[名師預測]1.如圖,在△ABC中,點E,D,F分別在邊AB,BC,CA上,且DE∥CA,DF∥BA.下列四個判斷中,不正確的是(D)A.四邊形AEDF是平行四邊形B.如果∠BAC=90°,那么四邊形AEDF是矩形C.如果AD平分∠BAC,那么四邊形AEDF是菱形D.如果AD⊥BC,那么四邊形AEDF是菱形【解析】由DE∥CA,DF∥BA,根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形,可得四邊形AEDF是平行四邊形,故A正確;又有∠BAC=90°,根據(jù)有一角是直角的平行四邊形是矩形,可得四邊形AEDF是矩形,故B正確;如果AD平分∠BAC,那么∠EAD=∠FAD,又有DF∥BA,可得∠EAD=∠ADF,∴∠FAD=∠ADF,∴AF=FD,那么根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形,可得四邊形AEDF是菱形,故C正確;如果AD⊥BC且AB=AC,那么AD平分∠BAC,可得四邊形AEDF是菱形,只有AD⊥BC,不能判斷四邊形AEDF是菱形,故D錯誤.2.如圖,正方形ABCD的邊長為9,將正方形折疊,使頂點D落在BC邊上的點E處,折痕為GH,若BE∶EC=2∶1,則線段CH的長是(B)A.3 B.4 C.5 D.6【解析】設(shè)CH=x,∵BE∶EC=2∶1,BC=9,∴EC=3,由折疊的性質(zhì)知EH=DH=9-x,在Rt△ECH中,由勾股定理得(9-x)2=32+x2,解得x=4.3.如圖,在正方形ABCD中,M,N是對角線AC上的兩個動點,P是正方形四邊上的任意一點,且AB=4,MN=2,設(shè)AM=x,若△PMN是等腰三角形,則下列說法:①當x=0(即M,A兩點重合)時,P點有6個;②當P點有8個時,x=22-2;③當△PMN是等邊三角形時,P點有4個;④當0<x<42-2時,P點最多有9個.其中說法正確的是(B)A.①② B.①③ C.②③ D.③④【解析】①如圖1,當x=0(即M,A兩點重合)時,P點有6個,故①正確;②如圖2,當P點有8個時,0<x<42-2,故②錯誤;③如圖3,當△PMN是等邊三角形時,P點有4個,故③正確;④當0<x<42-2時,P點最多有8個,故④錯誤.4.如圖,四邊形ABCD為矩形,過點D作對角線BD的垂線,交BC的延長線于點E,取BE的中點F,連接DF,DF=4.設(shè)AB=x,AD=y,則x2+(y-4)2的值為16.

【解析】在矩形ABCD中,CD=AB=x,在Rt△BDE中,∠BDE=90°,點F為BE的中點,所以BF=EF=DF=4,所以x2+(y-4)2=CD2+CF2=DF2=16.5.如圖,在菱形ABCD中,AC交BD于點O,DE⊥BC于點E,連接OE,若∠ABC=140°,則∠OED=20°.

【解析】在菱形ABCD中,∵∠ABC=140°,∴∠DBC=70°.∵DE⊥BC,∴∠BDE=20°,∵O是BD的中點,∴∠OED=∠ODE=20°.6.如圖,正方形ABCD的面積為12,△ABE是等邊三角形,點E在正方形ABCD內(nèi),在對角線上有一點P,使PD+PE最小,則這個最小值為23.

【解析】連接BD交AC于點O,在正方形ABCD中,點D與點B關(guān)于AC對稱,則BE與AC的交點為點P,此時PD+PE最小,為BE的長.因為正方形ABCD的面積為12,所以AB=12=23,在等邊△ABE中,BE=AB=23,所以PD+PE的最小值為23.7.在?ABCD中,過點D作DE⊥AB于點E,點F在邊CD上,DF=BE,連接AF,BF.(1)求證:四邊形BFDE是矩形;(2)若CF=3,BF=4,DF=5,求證:AF平分∠DAB.證明:(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴DC∥AB,又∵DF=BE,∴四邊形BFDE是平行四邊形.∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°,∴四邊形BFDE是矩形.(2)∵四邊形DEBF是矩形,∴∠BFC=90°,∵CF=3,BF=4,∴BC=CF2∴AD=BC=5,∴AD=DF,∴∠DAF=∠DFA,在?ABCD中,DC∥AB,∴∠DFA=∠FAB,∴∠DAF=∠FAB,即AF平分∠DAB.8.如圖,在平行四邊形ABCD中,AC=6cm,BD=8cm,點P從點A出發(fā)以每秒1cm的速度沿射線AC移動,點Q從點C出發(fā)以每秒1cm的速度沿射線CA移動.(1)經(jīng)過幾秒,以P,Q,B,D為頂點的四邊形為矩形?(2)若BC⊥AC,垂足為C,求(1)中矩形的邊BQ的長.解:(1)當時間t=7秒時,四邊形BPDQ為矩形.理由:如圖所示,當t=7秒時,PA=QC=7,∵AC=6,∴CP=AQ=1,∴PQ=BD=8.∵四邊形ABCD為平行四邊形,AC=6,BD=8,∴AO=CO=3,BO=DO=4,∴OQ=OP=4,∴四邊形BPDQ為平行四邊形,∵PQ=BD=8,∴四邊形BPDQ為矩形.(2)由(1)得OB=4,OC=3,CQ=7,∵BC⊥AC,∴∠BCA=90°,∴BC2+CQ2=BQ2,OC2+BC2=OB2,∴BQ=OB2-OC9.如圖,四邊形ABCD為菱形,點E為對角線AC上的一個動點,連接DE并延長交射線AB于點F,連接BE.(1)如圖1,求證:∠AFD=∠EBC;(2)如圖2,若DE=EC,且BE⊥AF,求∠DAB的度數(shù);(3)若∠DAB=9