中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《最值系列兩點(diǎn)之間線段最短》專項(xiàng)練習(xí)題（附答案）

第第頁9.（3分）如圖，拋物線y＝ax2﹣bx﹣4與x軸交于，A（﹣1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線l為該拋物線的對(duì)稱軸，點(diǎn)M為直線l上的一點(diǎn)，則MA+MC的最小值為．10．（10分）如圖，點(diǎn)A、B、M、E、F依次在直線l上，點(diǎn)A、B固定不動(dòng)，且AB＝2，分別以AB、EF為邊在直線l同側(cè)作正方形ABCD、正方形EFGH，∠PMN＝90°，直角邊MP恒過點(diǎn)C，直角邊MN恒過點(diǎn)H．（1）如圖1，若BE＝10，EF＝12，求點(diǎn)M與點(diǎn)B之間的距離；（2）如圖1，若BE＝10，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B、E之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，求HE的最大值；（3）如圖2，若BF＝22，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B、F之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M隨之運(yùn)動(dòng)，連接CH，點(diǎn)O是CH的中點(diǎn)，連接HB、MO，則2OM+HB的最小值為．三、模型分析問題：點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)的一定點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別為OA，OB上的動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)M，N的位置，使△PMN的周長最?。忸}思路：一找：分別作點(diǎn)P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)P′，P“，連接P'P“，分別交OA，OB于點(diǎn)M，N；二證：驗(yàn)證當(dāng)P′，M，N，P″四點(diǎn)共線時(shí)，△PMN的周長最?。?jì)算．注：當(dāng)三個(gè)點(diǎn)均為動(dòng)點(diǎn)時(shí)，先假定一個(gè)點(diǎn)為定點(diǎn)，再將其特化為“一定兩動(dòng)“問題請(qǐng)寫出【模型分析】中解題思路“二證”的過程．1．（3分）如圖，∠AOB＝30°，點(diǎn)M、N分別是射線OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，且OP＝20，則△PMN周長的最小值是．2．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，點(diǎn)D在BC上且BD＝1，AD＝4，點(diǎn)E、F分別為邊AC、AB上的動(dòng)點(diǎn)，△DEF的周長的最小值為．3．（3分）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點(diǎn)D為AB上一定點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為邊AC、BC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△DEF的周長最小時(shí)，∠FDE度數(shù)是．四、模型分析問題：點(diǎn)P，Q是∠AOB內(nèi)部的兩定點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是OA，OB上的動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)M，N的位置，使四邊形PMNQ的周長最?。忸}思路：一找：作點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)P'，點(diǎn)Q關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)Q′，連接P′Q′，分別交OA，OB于點(diǎn)M，N；二證：驗(yàn)證當(dāng)P′，M，N，Q′四點(diǎn)共線時(shí)，四邊形PQNM的周長最小．三計(jì)算．請(qǐng)寫出【模型分析】中解題思路“二證”的過程．1．（10分）（1）如圖①，在四邊形ABCE中，∠E＝90°，∠B＝∠BCE＝60°，AB＝4，D是邊AB的中點(diǎn)，連接CA，若CA恰好平分∠BCE．①求EC的長；②若P，Q分別是邊BC，EC上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），試求DP+PQ+AQ的最小值；（2）如圖②，在四邊形MNPQ中，MN＝4，MQ＝5，∠N＝∠Q＝90°，∠M＝60°，點(diǎn)A，B，C，D分別在邊MQ，MN，NP，QP上，若AQ＝1，求四邊形ABCD周長的最小值．五．知識(shí)回顧問題：如圖，直線a∥b，定點(diǎn)A，B分別位于直線a的上方和直線b的下方，M，N分別為直線a，b上的動(dòng)點(diǎn)，且MN⊥a，試確定點(diǎn)M，N的位置，使AM+MN+BN的值最?。忸}思路：一找：以AM，MN為鄰邊構(gòu)造?AMNA′，連接A'B；二證：驗(yàn)證當(dāng)A'，N，B三點(diǎn)共線時(shí)，AM+MN+BN的值最?。?jì)算．請(qǐng)寫出解題思路中“二證”的過程．1．（3分）如圖，已知直線l1∥l2，l1、l2之間的距離為8，點(diǎn)P到直線l1的距離為6，點(diǎn)Q到直線l2的距離為4，PQ＝4，在直線l1上有一動(dòng)點(diǎn)A，直線l2上有一動(dòng)點(diǎn)B，滿足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此時(shí)PA+BQ＝．2．（3分）如圖，菱形ABCD的邊長為3，∠BAD＝60°，點(diǎn)E、F在對(duì)角線AC上（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè)），且EF＝1，則DE+BF最小值為.3．（3分）如圖，在?ABCD中，AB＝4，BC＝9，∠ABC＝60°，點(diǎn)P，Q是AD模型識(shí)別邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)），且PQ＝3，則四邊形BPQC周長的最小值為．4．（3分）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，線段MN在對(duì)角線BD上運(yùn)動(dòng)，若⊙O的面積為2π，MN＝1，則AM+CN的最小值為．5．（3分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸上，B，D兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為B（﹣4，6），D（0，4），線段EF在邊OA上移動(dòng)，保持EF＝3，當(dāng)四邊形BDEF的周長最小時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為．6．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，將△ABD沿射線DB平移得到△A'B'D'，連接B′C，D′C，則B'C+D'C的最小值是．7．（3分）如圖，拋物線與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，線段CD在拋物線的對(duì)稱軸上移動(dòng)（點(diǎn)C在點(diǎn)D下方），且CD＝3．當(dāng)AD+BC的值最小時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為．8．（9分）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，OC＝OA，AB＝4，對(duì)稱軸為直線l1：x＝﹣1．將拋物線y1繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后得到新拋物線y2，拋物線y2與y軸交于點(diǎn)D，頂點(diǎn)為E，對(duì)稱軸為直線l2．（1）分別求拋物線y1和y2的表達(dá)式；（2）如圖1，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣6，0），動(dòng)點(diǎn)M在直線l1上，過點(diǎn)M作MN∥x軸與直線l2交于點(diǎn)N，連接FM，DN，求FM+MN+DN的最小值；9．（9分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+4（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，6），與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），連接AC，BC，tan∠CBA＝4．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P是射線CA上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為E，交AC于點(diǎn)D．點(diǎn)M是線段DE上一動(dòng)點(diǎn)，MN⊥y軸，垂足為N，點(diǎn)F為線段BC的中點(diǎn)，連接AM，NF．當(dāng)線段PD長度取得最大值時(shí)，求AM+MN+NF的最小值；參考答案1．解：如圖，連接DE在△DPE中，DP+PE＞DE∴當(dāng)點(diǎn)P在DE上時(shí)，PD+PE的最小值為DE的長∵四邊形ABCD是菱形∴AO＝CO＝3，BO＝DO＝3，AC⊥BD，AB＝AD∴tan∠ABO＝＝∴∠ABO＝60°∴△ABD是等邊三角形∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)∴DE⊥AB∵sin∠ABD＝∴＝∴DE＝3，故選：A．2．解：連接OC、AB，交于點(diǎn)P，如圖所示∵兩點(diǎn)之間線段最短∴PO+PC的最小值就是線段OC的長，PA+PB的最小值就是線段AB的長∴到四個(gè)頂點(diǎn)的距離之和PA+PO+PB+PC最小的點(diǎn)就是點(diǎn)P設(shè)OC所在直線的解析式為y＝kx，AB所在直線的解析式為y＝ax+b∵點(diǎn)C（5，4）在直線OC上，點(diǎn)A（﹣1，3），B（3，﹣1）在直線AB上∴4＝5k，解得k＝，∴直線OC的解析式為y＝x，直線AB的解析式為y＝﹣x+2∴解得∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）故答案為：（，）．3．解：∵四邊形ABCD是正方形∴AD＝AB，∠DAB＝∠ABC＝90°又∵AE＝BF∴△ADE≌△BAF（SAS）∴∠ADE＝∠BAF∴∠DOF＝∠ADO+∠DAO＝∠BAF+∠DAO＝∠DAB＝90°∵點(diǎn)M是DF的中點(diǎn)∴如圖所示，在AB延長線上截取BH＝BG，連接FH∵FBG＝∠FBH＝90°，F(xiàn)B＝FB，BG＝BH∴△FBG≌△FBH（SAS）∴FH＝FG∴∴當(dāng)H、D、F三點(diǎn)共線時(shí)，DF+HF有最小值，即此時(shí)有最小值，最小值即為DH的長的一半∵AG＝2GB，AB＝6∴BH＝BG＝2∴AH＝8在Rt△ADH中，由勾股定理得．∴的最小值為54．解：如圖，延長BC至H，使CH＝CD，連接EH∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD＝BC＝4，AB＝CD＝2，AD∥BC∴∠D＝∠DCH又∵CD＝CH，DF＝CE∴△CDF≌△HCE（SAS）∴CF＝EH∴AE+CF＝AE+EH∴當(dāng)點(diǎn)A，點(diǎn)E，點(diǎn)H三點(diǎn)共線時(shí)，AE+CF有最小值此時(shí)：∵CD∥AB∴△CEH∽△BAH∴∴＝∴CE＝故答案為：．5．解：如圖，將BA繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DBE，連接AE，DE∴BE＝AB，∠ABE＝90°∴AE＝AB＝6∵∠DBC＝90°＝∠EBA∴∠DBE＝∠CBA在△DBE和△CBA中∴△DBE≌△CBA（SAS）∴DE＝AC＝2在△ADE中，AD＜AE+DE∴當(dāng)A，D，E三點(diǎn)共線時(shí)，AD有最大值∴AD的最大值＝6+2＝8故答案為：8．6．解：取點(diǎn)O'（0，4），連接O'P，O'A，如圖∵B（0，2），過點(diǎn)B作y軸的垂線l∴點(diǎn)O'（0，4）與點(diǎn)O（0，0）關(guān)于直線l對(duì)稱∴PO'＝PO∴PO+PA＝PO'+PA≥O'A即PO+PA的最小值為O'A的長在Rt△O'AO中∵OA＝3，OO'＝4∴由勾股定理，得O'A＝＝＝5∴PO+PA的最小值為5．故答案為：5．7．解：設(shè)△ABP中AB邊上的高是h．∵S△PAB＝S矩形ABCD∴AB?h＝AB?AD∴h＝AD＝2∴動(dòng)點(diǎn)P在與AB平行且與AB的距離是2的直線l上，如圖，作A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)E，連接AE，連接BE，則BE的長就是所求的最短距離．在Rt△ABE中，∵AB＝5，AE＝2+2＝4∴BE＝＝＝即PA+PB的最小值為．故答案為：．8．解：在AB取點(diǎn)F，使BF＝BE＝2，連接PF，CF，過點(diǎn)F作FH⊥BC于H∵是△ABC的內(nèi)心∴BI平分∠ABC∴∠ABD＝∠CBD又BP＝BP∴△BFP≌△BEP（SAS）∴PF＝PE∴PE+PC＝PF+PC≥CF當(dāng)C、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，PE+PC最小，最小值為CF∵FH⊥BC，∠ABC＝60°∴∠BFH＝30°∴∴，CH＝BC﹣BH＝7∴∴PE+PC的最小值為故答案為：．9．解：如圖，作點(diǎn)D關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接D′C交OB于點(diǎn)E′，連接E′D、OD′此時(shí)E′C+E′D最小，即：E′C+E′D＝CD′由題意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°∴∠COD′＝90°∴CD′＝＝＝2的長l＝＝∴陰影部分周長的最小值為2+＝．故答案為：．10．解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B'，交AC于點(diǎn)F，連接B′E交AC于點(diǎn)P，則PE+PB的最小值為B′E的長度∵四邊形ABCD為矩形∴AB＝CD＝4，∠ABC＝90°在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝4∴tan∠ACB＝＝∴∠ACB＝30°由對(duì)稱的性質(zhì)可知，B'B＝2BF，B'B⊥AC∴BF＝BC＝2，∠CBF＝60°∴B′B＝2BF＝4∵BE＝BF，∠CBF＝60°∴△BEF是等邊三角形∴BE＝BF＝B'F∴△BEB'是直角三角形∴B′E＝＝＝6∴PE+PB的最小值為6故答案為：6．11．解：如圖，連接DN，DM，過點(diǎn)D作DH⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)H．∵四邊形ABCD是菱形∴AB＝CB＝CD＝AD，∠ABC＝∠ADC＝60°∴△ABC，△ADC都是等邊三角形∴B，D關(guān)于AC對(duì)稱∴MB＝MD∴MB+MN＝MD+MN≥DN∵AB∥CD∴∠DCH＝60°∵DH⊥CH∴CH＝CD?cos60°＝2，DH＝2∵BN＝CN＝2，CD＝4∴NH＝CN+CH＝4∴DN＝＝＝2∴MB+MN≥2∴MB+MN的最小值為2．故答案為：2．12．解：如圖，作A關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′D交BC于M′，則AH＝A′H，AH⊥BC，AM'＝A'M'∴當(dāng)M，M′重合時(shí)，MA+MD最小，最小值為A′D∵AB＝4，∠ABC＝30°，在?ABCD中∴，AD∥BC∴AA'＝2AH＝4，AA'⊥AD∵AD＝5∴故答案為：．13．解：連接BC交直線l于M′點(diǎn)，連接M′A，如圖當(dāng)x＝0時(shí)，y＝ax2﹣bx﹣4＝﹣4，則C（0，﹣4）∵拋物線y＝ax2﹣bx﹣4與x軸交于A（﹣1，0），B（4，0）兩點(diǎn)∴A、B點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱∴M′B＝M′A∴M′A+M′C＝M′B+M′C＝BC∴此時(shí)M′A+M′C的值最小∵BC＝＝4∴M′A+M′C的最小值為4當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M′點(diǎn)時(shí)，MA+MC有最小值，最小值為4．故答案為：4．14．解：（1）連接AN，如圖∵四邊形ABCD是菱形∴點(diǎn)A，點(diǎn)C關(guān)于直線BD軸對(duì)稱∴AN＝CN∵AE的垂直平分線MN交AE于點(diǎn)M，交BD于點(diǎn)N∴AN＝EN∴EN＝CN；（2）過點(diǎn)N作NG⊥BC于點(diǎn)G，連接AN，AG，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°∴∠DBC＝30°∴BN＝2NG∵AE的垂直平分線MN交AE于點(diǎn)M，交BD于點(diǎn)N∴EN＝AN∴2EN+BN＝2AN+2NG＝2（AN+NG）≥2AG≥2AH∴2EN+BN的最小值為2AH∵∠ABC＝60°，AB＝2∴AH＝AB?sin60°＝∴2EN+BN的最小值為2．15．解：（I）∵2a+b＝0，a＝1∴b＝﹣2a＝﹣2又∵c＝﹣1∴該拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣1∵y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2∴該拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，﹣2）．（II）如圖，過點(diǎn)M（m，1）作MH⊥x軸，垂足為H，m＞1則∠MHO＝90°，HM＝1，OH＝m在Rt△MOH中，由∴解得（舍）∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為∵2a+b＝0，即∴拋物線y＝ax2﹣2ax+c的對(duì)稱軸為直線x＝1．∵對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)D∴OD＝1，∠ODP＝90°．在Rt△OPD中，由∴解得（負(fù)值舍去）由a＞0，得該拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為∴該拋物線的解析式為∵點(diǎn)在該拋物線上∴∴a＝10．（III）過點(diǎn)M（m，1）作MH⊥x軸，垂足為H，m＞1則∠MHO＝90°，HM＝1，OH＝m∴DH＝OH﹣OD＝m﹣1在Rt△DMH中，DM2＝DH2+HM2＝（m﹣1）2+1如圖，過點(diǎn)N作NK⊥x軸，垂足為K，則∠DKN＝90°∵∠MDN＝90°，DM＝DN又∵∠DNK＝90°﹣∠NDK＝∠MDH在Rt△NDK和△DMH中∴△NDK≌△DMH（AAS）∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，1﹣m）在Rt△DMN中，∠DMN＝∠DNM＝45°∴MN2＝DM2+DN2＝2DM2，即．∵∴ME＝NF在△DMN的外部，作∠DNG＝45°，且NG＝DM，連接GF得∠MNG＝∠DNM+