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試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁高三數(shù)學開學摸底考（天津?qū)Ｓ茫?024屆高三下學期開學摸底考（天津?qū)Ｓ茫?shù)學第I卷注意事項：1．每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.2．本卷共9小題，每小題5分，共45分參考公式：如果事件A、B互斥，那么．如果事件A、B相互獨立，那么．球的體積公式，其中R表示球的半徑．圓錐的體積公式，其中S表示圓錐的底面面積，h表示圓錐的高.一、選擇題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知：，：，則是的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件3．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式可能是（

）A． B．C． D．4．下列命題中，真命題的是（

）A．若回歸方程，則變量與正相關B．線性回歸分析中相關指數(shù)用來刻畫回歸的效果，若值越小，則模型的擬合效果越好C．若樣本數(shù)據(jù)，，…，的方差為2，則數(shù)據(jù)，，…，的方差為18D．一個人連續(xù)射擊三次，則事件“至少擊中兩次”的對立事件是“至多擊中一次”5．已知奇函數(shù)在R上是增函數(shù)，．若，，，則的大小關系為（

）A． B． C． D．6．南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱之為“三角垛”．“三角垛”的最上層（即第1層）有1個球，第2層有3個球，第3層有6個球，…設“三角垛”從第1層到第n層的各層的球數(shù)構成一個數(shù)列，則第21層的球數(shù)為（

）A．241 B．231 C．213 D．1927．廡殿式屋頂是中國古代建筑中等級最高的屋頂形式，分為單檐廡殿頂與重檐廡殿頂．單檐廡殿頂主要有一條正脊和四條垂脊，前后左右都有斜坡（如圖①），類似五面體的形狀（如圖②），若四邊形是矩形，，且，，則五面體的表面積為（

）

A． B． C． D．8．已知拋物線上一點到其焦點的距離為5，雙曲線的左頂點為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則實數(shù)a的值為（

）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，若有三個不同的實數(shù)，使得，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．第II卷注意事項1．用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上．2．本卷共11小題，共105分．二、填空題，本大題共6小題，每小題5分，共30分，試題中包含兩個空的，答對1個的給3分，全部答對的給5分.10．設為虛數(shù)單位，復數(shù)滿足，則復數(shù)的虛部為．11．的展開式中各項系數(shù)之和為64，則的展開式中常數(shù)項為．12．已知直線與圓交于A，B兩點，則當取得最小值時，其余弦值為．13．函數(shù)的圖象為，如下結論中正確的是．（1）圖象關于直線對稱；（2）圖象關于點對稱；（3）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；（4）由的圖象向右平移個單位長度可以得到圖象．14．第三次人工智能浪潮滾滾而來，以ChatGPT發(fā)布為里程碑，開辟了人機自然交流的新紀元．ChatGPT所用到的數(shù)學知識并非都是遙不可及的高深理論，概率就被廣泛應用于ChatGPT中，某學習小組設計了如下問題進行研究：甲和乙兩個箱子中各裝有5個大小相同的小球，其中甲箱中有3個紅球、2個白球，乙箱中有4個紅球、1個白球，從甲箱中隨機抽出2個球，在已知抽到紅球的條件下，則2個球都是紅球的概率為；擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果點數(shù)小于等于4，從甲箱子中隨機抽出1個球；如果點數(shù)大于等于5，從乙箱子中隨機抽出1個球，若抽到的是紅球，則它是來自乙箱的概率是．15．在等腰梯形ABCD中，已知，，，，動點E和F分別在線段BC和DC上，且，，則的最小值為.三、解答題，本大題共5小題，共75分，解答應寫出文字說明，證明過程成演算步驟.16．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.（1）求的值；（2）若，求的取值范圍.17．如圖，四棱錐的底面是矩形，⊥平面，，.(1)求證：⊥平面；(2)求二面角余弦值的大??；(3)求點到平面的距離．18．已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列，且，.(1)求通項公式；(2)在和之間插入1個數(shù)，使、、成等差數(shù)列；在和之間插入2個數(shù)、，使、、、成等差數(shù)列；…；在和之間插入個數(shù)、、…、，使、、、…、、成等差數(shù)列.若，且對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.19．已知橢圓C:的離心率為長軸的右端點為.(1)求C的方程；(2)不經(jīng)過點A的直線與橢圓C分別相交于兩點，且以MN為直徑的圓過點，①試證明直線過一定點，并求出此定點；②從點作垂足為，點寫出的最小值（結論不要求證明）.20．已知函數(shù)，．(1)討論的單調(diào)性；(2)當時，若的極小值點為，證明：存在唯一的零點，且．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．C【分析】首先解對數(shù)不等式和絕對值不等式求出集合、，再根據(jù)交集的定義計算可得.【詳解】由，即，所以，所以，由，即，解得，所以，所以.故選：C2．B【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】由，則或，即：或，所以由推得出，故充分性成立；由推不出，故必要性不成立，所以是的充分不必要條件.故選：B3．D【分析】根據(jù)圖象得出函數(shù)的奇偶性以及特殊點，逐項驗證，可得答案.【詳解】由圖可知，函數(shù)為奇函數(shù)，且，.對于A，，則該函數(shù)為偶函數(shù)，故A錯誤；對于B，，則該函數(shù)為奇函數(shù)，，，故B錯誤；對于C，，則該函數(shù)為偶函數(shù)，故C錯誤；對于D，，則該函數(shù)為奇函數(shù)，且，，故D正確.故選：D.4．D【分析】根據(jù)正相關、相關指數(shù)、方差、對立事件等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，回歸方程，則變量與負相關，A選項錯誤.B選項，值越小，則模型的擬合效果越差，B選項錯誤.C選項，數(shù)據(jù)，，…，的方差為，C選項錯誤.D選項，連續(xù)射擊三次，事件“至少擊中兩次”的對立事件是“至多擊中一次”，D選項正確.故選：D5．A【分析】由已知得在上單調(diào)遞增，判斷的大小關系得的大小關系.【詳解】由為奇函數(shù)知為偶函數(shù).因為在上單調(diào)遞增且，所以當時，，所以在上單調(diào)遞增，且.又，，，因為，所以，因為，所以，所以，所以，故A正確.故選：A6．B【分析】依題意寫出前幾項即可發(fā)現(xiàn)規(guī)律.【詳解】設，由，，，…，可知為等差數(shù)列，首項為2，公差為1，故，故，則，，，…，，累加得，即，顯然該式對于也成立，故．故選：B7．D【分析】根據(jù)平面圖形的幾何性質(zhì)，分別求等腰三角形和梯形的高，再求各個面的面積，即可求總面積.【詳解】分別取，的中點，，連接，，

過點作的垂線，垂足為，因為，,所以，所以，根據(jù)對稱性易得，所以，在中，，所以，，又，所以.故選：D．8．A【分析】由得拋物線方程，在拋物線上求得坐標，再根據(jù)雙曲線一條漸近線與直線平行可得答案.【詳解】根據(jù)題意，拋物線上一點到其焦點的距離為5，則點到拋物線的準線的距離也為5，即，解得，所以拋物線的方程為，則，所以，即M的坐標為，又雙曲線的左頂點，一條漸近線為，而，由雙曲線的一條漸近線與直線平行，則有，解得.故選：A9．B【分析】由解析式可確定的單調(diào)性，結合，，可確定，，由此可得的取值范圍.【詳解】由題意得：；當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減；且時，關于對稱；當時，單調(diào)遞增；又，，，設，由知：，，.故選：B.【點睛】關鍵點點睛：本題考查方程解的取值范圍問題的求解問題；解題關鍵是能夠根據(jù)函數(shù)解析式確定函數(shù)的單調(diào)性或圖象，根據(jù)方程解的個數(shù)確定臨界點位置，從而確定每個解所處的范圍，結合函數(shù)對稱性和解所處的范圍可求得結果.10．【分析】根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的運算以及復數(shù)虛部的概念即可求出．【詳解】由可得：，即復數(shù)的虛部為．故答案為：．11．84【分析】先把代入得出值，再利用二項式的通項公式即可得到答案.【詳解】令，得二項式的展開式中各項系數(shù)和為，得．二項式即，其通項，由得，所以展開式中常數(shù)項為．故答案為：.12．【分析】根據(jù)直線恒過的定點，以及直線被圓截得的弦長公式和余弦定理求解.【詳解】直線恒過定點,,所以點在圓內(nèi)，如圖，當時，弦長最小，則最小，此時,所以，故答案為:.13．（1）（2）（3）【分析】化簡，然后利用三角函數(shù)的知識逐一判斷即可.【詳解】因為，當時，，所以，所以（1）正確；當時，，所以，所以（2）正確；令，所以，取，得，所以（3）正確；由的圖象向右平移個單位長度可以得到，故（4）不正確；故答案為：（1）（2）（3）.14．##0.4【分析】利用條件概率公式求摸出的2個球是紅球的概率；利用全概率公式和貝葉斯公式求紅球來自乙箱的概率.【詳解】記事件表示“抽出的2個球中有紅球”，事件表示“兩個球都是紅球”，則，，故，即從甲箱中隨機抽出2個球，在已知抽到紅球的條件下，則2個球都是紅球的概率為；設事件表示“從乙箱中抽球”，則事件表示“從甲箱中抽球”，事件表示“抽到紅球”，則，，，，所以，所以，即若抽到的是紅球，則它是來自乙箱的概率是.故答案為：；15．【分析】由題意可得，，進一步化為，再利用條件以及基本不等式，求得它的最小值．【詳解】由題意，，，所以，，又動點和分別在線段和上，且，，所以，解得，，當且僅當時，即時取等號，故的最小值為，故答案為：．16．（1）；（2）.【分析】（1）利用余弦定理將已知化簡整理得，可得角B,，代入所求可得答案.（2）利用正弦定理和兩角和差公式以及輔助角公式化簡，根據(jù)求解可得結果.【詳解】（1）因為，整理可得，，由余弦定理可得，故，，所以；（2）由正弦定理可得，，所以，，所以，因為，所以，所以，故.所以取值范圍為.【點睛】本題考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的應用，考查兩角和差公式以及輔助角公式的應用，考查計算能力，屬于基礎題.17．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）如圖建立空間直角坐標系，求出點的坐標，即可得到，，從而得證；（2）（3）利用空間向量法計算可得.【詳解】（1）證明：建立如圖所示的直角坐標系，則、、．在中，，，∴．∴、，∴，，，∵，，即，，又，平面，∴⊥平面；（2）由（1）得，．設平面的法向量為，則，即，故平面的法向量可取為，∵平面，∴為平面的一個法向量．設二面角的大小為，由圖易得為銳角，依題意可得，即二面角余弦值為．（3）由（1）得，，設平面的法向量為，則，∴，故可取為．∵，∴到平面的距離為.18．(1)(2)【分析】（1）由等邊數(shù)列的通項與前項和列式解出或，再由是遞增數(shù)列，得出，即可得出答案；（2）若、、、…、、成等差數(shù)列，設其公差為，即可得出，，結合等差數(shù)列前項和得出，即可根據(jù)錯位相減法得出，則，令，則數(shù)列為遞減數(shù)列，即可結合已知列不等式得出答案.【詳解】（1）設的公比為，由，得：，解得或，因為是遞增數(shù)列，所以，則，所以.（2）在和之間插入個數(shù)、、…、，使、、、…、、成等差數(shù)列，設其公差為，此數(shù)列首項為，末項為，則，，則又,則,則，則，令，則數(shù)列為遞減數(shù)列，由對恒成立，則當為偶數(shù)時，對恒成立，則；當為奇數(shù)時，對恒成立，則，即，綜上實數(shù)的取值范圍為.19．(1)(2)①證明見解析，定點為；②.【分析】（1）根據(jù)題意得出關于的方程組，求得，解得求解；（2）①聯(lián)立方程組得出，根據(jù)，得到，結合，列出方程求得，即可求解；②根據(jù)，得到點落在以為直角的圓上，求得圓心坐標和半徑，結合點與圓的最值，即可求解.【詳解】（1）橢圓：的離心率為，長軸的右端點為，可得，解得，所以橢圓的標準方程為.（2）①當直線的斜率存在時，設直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，可得，設，所以，由題意得，即，可得，所以，解得或，當時，直線方程為，此時過，不符合題意（舍去）；當時，直線方程為，此時過，符合題意，當直線的斜率不存在時，設直線，根據(jù)對稱性，不妨設的坐標分別為，于是，解得，直線過點，綜上可得，直線過定點.②由題意，過點作垂足為，點，如圖所示，點落在以為直徑的圓上，且圓心坐標為，半徑為，則，所以的最小值為.【點睛】關鍵點睛：本題第二問的關鍵是采用設線法，再將其與橢圓方程聯(lián)立從而得到韋達定理式，再將垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0，最后代入韋達定理式進行化簡得到關系，從而得到定點坐標.20．(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求得，分類討論，，和，分析函數(shù)的正負，即可得出答案；（2）由題意先表示出，再令，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可得有最小值，即可證明.【詳解】（1），若，由，則時，，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減；時，令，得或，若，則或時，，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減；若，則在上恒成立，在上單調(diào)遞增；若，則或時，，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減．綜上，當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增；當時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由(1)知，時，在，上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，則的極小值點為，由極大