概率統(tǒng)計在金融中的應(yīng)用_第1頁
概率統(tǒng)計在金融中的應(yīng)用_第2頁
概率統(tǒng)計在金融中的應(yīng)用_第3頁
概率統(tǒng)計在金融中的應(yīng)用_第4頁
概率統(tǒng)計在金融中的應(yīng)用_第5頁
已閱讀5頁,還剩16頁未讀 繼續(xù)免費閱讀

下載本文檔

版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進行舉報或認(rèn)領(lǐng)

文檔簡介

畢業(yè)論文題目:概率統(tǒng)計在金融中的應(yīng)用學(xué)院:數(shù)理學(xué)院專業(yè):數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)姓名:xxxx學(xué)號xxxxxxx指導(dǎo)老師:xxxxx完成時間:2013年5月27日摘要概率統(tǒng)計課程是金融數(shù)學(xué)的必修課,它作為重要的數(shù)學(xué)工具,在金融領(lǐng)域的分析中發(fā)揮著舉足輕重的作用。當(dāng)今概率統(tǒng)計與經(jīng)濟的關(guān)系可以說是息息相關(guān)的,幾乎任何一項經(jīng)濟學(xué)的研究、決策都離不開它的應(yīng)用。例如:實驗設(shè)計、多元分析、質(zhì)量控制、抽樣檢查、價格控制等都要用到概率統(tǒng)計知識。實踐證明,概率統(tǒng)計是對經(jīng)濟學(xué)問題進行研究的有效工具,并且它為經(jīng)濟管理、經(jīng)濟預(yù)估、經(jīng)濟預(yù)測和決策提供了新的手段。本文首先詳細(xì)闡述了本課題的研究背景、研究目的和意義,以及它的來源和開展現(xiàn)狀,而且還對論文的組織結(jié)構(gòu)予以討論:首先通過重點分析了概率統(tǒng)計常用的理論和知識,以及基于理論的假設(shè)干模型,為下章的舉例介紹概率統(tǒng)計在金融中的經(jīng)濟管理決策、經(jīng)濟損失估計、最大經(jīng)濟利潤求解、經(jīng)濟保險、經(jīng)濟預(yù)測等幾個經(jīng)濟學(xué)問題中的應(yīng)用中所遇到的知識做個簡單知識準(zhǔn)備;接下來就是舉例介紹概率統(tǒng)計在金融中的經(jīng)濟管理決策、經(jīng)濟損失估計、最大經(jīng)濟利潤求解、經(jīng)濟保險、經(jīng)濟預(yù)測等幾個經(jīng)濟學(xué)問題中的應(yīng)用;文章的最后那么是對整篇文章進行了總結(jié)。關(guān)鍵詞:概率統(tǒng)計,現(xiàn)代金融,經(jīng)濟管理決策,經(jīng)濟損失估計,經(jīng)濟保險,最大經(jīng)濟利潤求解,經(jīng)濟預(yù)測ABSTRACTProbabilityandstatisticscourseisarequiredsubjectinfinancialmathematics.Asanimportantmathematicaltool,probabilityandstatisticsplaysanimportantroleinthefieldoffinancialanalysis.Today,probabilityandstatisticsiscloselylinkedwiththeareasoftheeconomy,andanyeconomicsresearch,economicsdecisionmakingisarguablyalmostinseparablefromitsapplications,suchas:experimentdesign,multivariateanalysis,qualitycontrolandsamplinginspection,pricecontrol,andsoon,whichalltakeadvantageoftheknowledgeofandstatistics.Practicehasproved,probabilityandstatisticsisaneffectivetoolforthestudyofeconomics,anditprovidesanewmeansfortheeconomicmanagement,economicforecasts,economicforecastsanddecision-makingandsoon.Atfirst,thisarticleelaboratedthepaper’sresearchbackground,researchpurposeandresearchsignificance,aswellasthesourceofthetopicandthecurrentsituationofthedevelopment,butalsotheorganizationalstructureofpaper:firstly,focusesontheanalysisofthecommonlyusedtheoryandknowledgeinmathematicalstatistics,andseveralmodelswhichbasedonthetheoryoftheprobabilityandstatistics,whichmakessimplepreparationfortheknowledgeusedintheintrodutionofthenextchapter.Followedby,nextchaptermakessomeexamplesfortheintroductionoftheapplicationofprobabilityandstatisticsinSomeoftheeconomicsproblems,suchastheeconomicmanagementoffinancialdecisions,economiclossestimation,maximumeconomicprofitsolution,economicsafe,economicforecasts,andsoon.Theendofthearticlemakesasummaryaboutthewholepaper.Keywords:Probabilityandstatistics,modernfinance,economicmanagement,economiclossestimation,economicsecurity,maximumeconomicprofit,economicforecasts目錄TOC\o"1-3"\u摘要IABSTRACTII第一章概論11.1研究背景、意義及目的 11.1.1背景 11.1.2研究目的 11.1.3研究意義 11.2開展近況 11.3概率統(tǒng)計與金融學(xué)的聯(lián)系與應(yīng)用 21.4論文的組織結(jié)構(gòu) 3第二章概率統(tǒng)計常用理論知識42.1概率統(tǒng)計知識概述 42.1.1概率論的內(nèi)容42.1.2概率統(tǒng)計的內(nèi)容42.2概率統(tǒng)計常用理論模型52.2.1中心極限定理 52.2.2矩估計和最大似然估計 52.2.3置信區(qū)間和置信度72.2.4線性回歸模型 7一元線性回歸分析 8第三章概率統(tǒng)計在金融中的應(yīng)用實例133.1引言 133.2實例舉例133.2.1.在經(jīng)濟管理決策中的應(yīng)用133.2.2.在經(jīng)濟損失估計中的應(yīng)用143.2.3.在求解最大經(jīng)濟利潤問題中的應(yīng)用153.2.4.在經(jīng)濟預(yù)測中的應(yīng)用163.2.5.在經(jīng)濟保險問題中的應(yīng)用17第四章總結(jié)21參考文獻(xiàn)22致謝23第一章概論1.1研究背景、意義及目的1.1.1背景由于數(shù)學(xué)固有的靈活性,可使金融領(lǐng)域的相關(guān)研究和探索借助于其多種計算方法以及數(shù)學(xué)模型,從而更好地發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實金融問題背后的經(jīng)濟變量函數(shù),使復(fù)雜的關(guān)系得以清晰化;由于其固有的精確性,采用數(shù)學(xué)方法可以準(zhǔn)確的研究和描述經(jīng)濟范疇之間的數(shù)量關(guān)系;由于其固有的嚴(yán)密邏輯性,使得數(shù)學(xué)分析成為科學(xué)推理的主要手段,可以使一些用其他方法難以說清的邏輯關(guān)系得到簡潔明了的說明和解決。隨著金融市場的繁榮與開展,以及概率統(tǒng)計相關(guān)理論的不斷進步和開展,概率統(tǒng)計在金融領(lǐng)域中的應(yīng)用越來越受到重視。金融學(xué)作為立足于經(jīng)濟現(xiàn)象之上的一門學(xué)科,與概率統(tǒng)計之間有著千絲萬縷的聯(lián)系,越來越多的統(tǒng)計方法被運用到金融領(lǐng)域當(dāng)中,金融統(tǒng)計學(xué)這一新興邊緣學(xué)科也由此應(yīng)運而生。隨著知識經(jīng)濟的到來,人們對各種問題的要求越來越精確,概率統(tǒng)計方法以其精確和嚴(yán)密性在金融學(xué)中被廣泛應(yīng)用,闡述金融工具從日常語言開展到數(shù)理語言,具有了理論上的抽象,是金融學(xué)科的一種進步。1.1.2研究目的本文主要介紹了概率統(tǒng)計在金融領(lǐng)域中主要開展及應(yīng)用。通過介紹概率統(tǒng)計中的幾種最常用的模型和計算方法,做到對概率統(tǒng)計知識和原理的再學(xué)習(xí)以及更深層次的探索和發(fā)現(xiàn);舉例說明概率統(tǒng)計知識在金融領(lǐng)域中某些方面中的實際運用以及模擬操作,到達(dá)對各方面知識的相互滲透。1.1.3研究意義從系統(tǒng)科學(xué)的觀點出發(fā),著眼于金融市場的整體,運用模型,特別是借用數(shù)學(xué)模型并運用概率統(tǒng)計來尋求金融市場系統(tǒng)的相關(guān)需求和應(yīng)用,并結(jié)合計算機的應(yīng)用,從而到達(dá)最精確、滿意的結(jié)果,也使金融市場系統(tǒng)整體到達(dá)最經(jīng)濟、最有效、最合理的理想狀態(tài)。1.2開展近況早些年我國概率統(tǒng)計在社會經(jīng)濟金融領(lǐng)域中的應(yīng)用,主要是抽樣法和相關(guān)分析,其它方法應(yīng)用的還很少;從應(yīng)用的開展階段看,除抽樣調(diào)查和產(chǎn)品質(zhì)量管理等應(yīng)用的較多外,多數(shù)還處在試驗階段,離廣泛實際應(yīng)用,還有相當(dāng)距離;從應(yīng)用的單位看,也只是少數(shù)。如今概率統(tǒng)計在金融中的應(yīng)用已經(jīng)開展的相當(dāng)之快,雖然還不是太成熟,但是我們已經(jīng)取得了驚人的成就。在我國社會主義經(jīng)濟條件下,社會經(jīng)濟領(lǐng)域里,主要是由非隨機性因素所引起的數(shù)量變化居主要地位,同時仍然存在著隨機性因素和非隨機性因素共同作用所引起的數(shù)量變化,和隨機性所引起的數(shù)量變化。因此,在社會經(jīng)濟領(lǐng)域中,仍然可以運用概率統(tǒng)計方法來研究其數(shù)量的變化,運用大量觀察資料來研究隨機變量的分布函數(shù)和數(shù)字特證,以說明隨機現(xiàn)象的規(guī)律性。事實上,人們對隨機現(xiàn)象觀察的次數(shù)不可能很多,概率統(tǒng)計只能利用不多的觀察資料,從局部到整體之間的數(shù)量關(guān)系來進行分析和推斷,以了解其內(nèi)在的規(guī)律性。這種從局部觀察去推斷整體的方法,在概率統(tǒng)計中的應(yīng)用極為廣泛。概率統(tǒng)計與各種具體的研究對象結(jié)合起來,特別是對社會經(jīng)濟現(xiàn)象進行定量研究和推斷時,就可以解決許多實際間題。近年來,國外已在國民經(jīng)濟和企業(yè)經(jīng)營管理中廣泛地應(yīng)用抽樣理論、離差分析、回歸分析、相關(guān)分析、質(zhì)量控制和極值分布等概率統(tǒng)計方法。因此,在社會經(jīng)濟領(lǐng)域中,運用概率統(tǒng)計方法,不管是采用數(shù)量描述和數(shù)量推斷的方法,作出總體數(shù)量關(guān)系的分析,以說明各種問題,就成為研究社會經(jīng)濟現(xiàn)象的有力武器?,F(xiàn)代金融中,由于金融創(chuàng)新的不斷開展,涌現(xiàn)出許多新的金融產(chǎn)品和金融工具,尤其是金融衍生工具的大量涌現(xiàn)使得數(shù)學(xué)在金融中的使用更加具體和廣泛,它們的定價成為金融學(xué)中重要的研究內(nèi)容。1.3概率統(tǒng)計與金融學(xué)的聯(lián)系與應(yīng)用概率統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象的數(shù)量關(guān)系的科學(xué)。而客觀世界中現(xiàn)象的數(shù)量變化有隨機性和非隨機性兩種類型,并且隨機性和非隨機性數(shù)量的變化又是相互聯(lián)系,交織在一起的。因此,客觀世界現(xiàn)象的數(shù)量變化,既有隨機性因素的變化,又有非隨機性因素的變化。也就是說,一切現(xiàn)象的數(shù)量變化是由隨機性因素和非隨機性因素共同作用下引起的。目前,國際上把經(jīng)濟理論分為宏觀經(jīng)濟理論和微觀經(jīng)濟理論兩大類。所謂宏觀經(jīng)濟理論,就是研究國民經(jīng)濟結(jié)構(gòu)和最正確地制訂國民經(jīng)濟方針、政策和方案的理論。微觀經(jīng)濟理論,是研究政府部門、企業(yè)、工廠等經(jīng)濟政策和方案及其最正確調(diào)節(jié)的理論。在經(jīng)濟學(xué)領(lǐng)域中,還經(jīng)常運用“計量經(jīng)濟學(xué)”,也就是說,采用經(jīng)濟理論和數(shù)學(xué)方法,精密地表述經(jīng)濟因素之間的因果關(guān)系;采用線性規(guī)劃、估計等概率統(tǒng)計方法,以現(xiàn)實的資料對各種經(jīng)濟模型進行驗證。這就是采用經(jīng)濟理論、數(shù)學(xué)和概率統(tǒng)計學(xué)三結(jié)合的方法,定量地表現(xiàn)經(jīng)濟現(xiàn)象的因果關(guān)系。這種經(jīng)濟理論、數(shù)學(xué)和概率統(tǒng)計學(xué)的結(jié)合,提供了概率統(tǒng)計在社會經(jīng)濟領(lǐng)域中應(yīng)用的范例?,F(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的開展,特別是電子計算技術(shù)的開展,將促進國民經(jīng)濟和企業(yè)管理的現(xiàn)代化。正是由于概率統(tǒng)計和計算機的相輔相成的關(guān)系,這就必然促進概率統(tǒng)計在社會經(jīng)濟領(lǐng)域中的應(yīng)用和開展。運用概率統(tǒng)計方法研究社會經(jīng)濟現(xiàn)象,要通過大量的數(shù)字資料,進行科學(xué)的統(tǒng)計分析。由于數(shù)學(xué)固有的靈活性,可使金融領(lǐng)域的相關(guān)研究和探索借助于其多種計算方法以及數(shù)學(xué)模型,從而更好地發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實金融問題背后的經(jīng)濟變量函數(shù),使復(fù)雜的關(guān)系得以清晰化;由于其固有的精確性,采用數(shù)學(xué)方法可以準(zhǔn)確的研究和描述經(jīng)濟范疇之間的數(shù)量關(guān)系;由于其固有的嚴(yán)密邏輯性,使得數(shù)學(xué)分析成為科學(xué)推理的主要手段,可以使一些用其他方法難以說清的邏輯關(guān)系得到簡潔明了的說明和解決。隨著金融市場的繁榮與開展,以及概率統(tǒng)計相關(guān)理論的不斷進步和開展,概率統(tǒng)計在金融領(lǐng)域中的應(yīng)用越來越受到重視。金融學(xué)作為立足于經(jīng)濟現(xiàn)象之上的一門學(xué)科,與概率統(tǒng)計之間有著千絲萬縷的聯(lián)系,越來越多的統(tǒng)計方法被運用到金融領(lǐng)域當(dāng)中,金融統(tǒng)計學(xué)這一新興邊緣學(xué)科也由此應(yīng)運而生。隨著知識經(jīng)濟的到來,人們對各種問題的要求越來越精確,概率統(tǒng)計方法以其精確和嚴(yán)密性在金融學(xué)中被廣泛應(yīng)用,闡述金融工具從日常語言開展到數(shù)理語言,具有了理論上的抽象,是金融學(xué)科的一種進步。1.4論文的組織結(jié)構(gòu)第一章詳細(xì)討論了論文的研究背景及研究背景、意義和目的。論述了課題的來源和開展現(xiàn)狀,闡述了論文的研究內(nèi)容和研究目標(biāo),并對論文的組織結(jié)構(gòu)予以討論。重點分析了概率統(tǒng)計常用的理論和知識,以及基于理論的假設(shè)干模型。并為下章的舉例介紹概率統(tǒng)計在金融中的經(jīng)濟管理決策、經(jīng)濟損失估計、最大經(jīng)濟利潤求解、經(jīng)濟保險、經(jīng)濟預(yù)測等幾個經(jīng)濟學(xué)問題中的應(yīng)用中所遇到的知識做個簡單介紹。舉例介紹概率統(tǒng)計在金融中的經(jīng)濟管理決策、經(jīng)濟損失估計、最大經(jīng)濟利潤求解、經(jīng)濟保險、經(jīng)濟預(yù)測等幾個經(jīng)濟學(xué)問題中的應(yīng)用。第四章對整篇文章進行了總結(jié)。第二章概率統(tǒng)計常用理論知識2.1概率統(tǒng)計知識概述2.1.1概率論的內(nèi)容概率論作為一門數(shù)學(xué)分支,它所研究的內(nèi)容一般包括隨機事件的概率、統(tǒng)計獨立性和更深層次上的規(guī)律性。概率是隨機事件發(fā)生的可能性的數(shù)量指標(biāo)。在獨立隨機事件中,如果某一事件在全部事件中出現(xiàn)的頻率,在更大的范圍內(nèi)比擬明顯的穩(wěn)定在某一固定常數(shù)附近。就可以認(rèn)為這個事件發(fā)生的概率為這個常數(shù)。對于任何事件的概率值一定介于0和1之間。有一類隨機事件,它具有兩個特點:第一,只有有限個可能的結(jié)果;第二,各個結(jié)果發(fā)生的可能性相同。具有這兩個特點的隨機現(xiàn)象叫做“古典概型”。在客觀世界中,存在大量的隨機現(xiàn)象,隨機現(xiàn)象產(chǎn)生的結(jié)果構(gòu)成了隨機事件。如果用變量來描述隨機現(xiàn)象的各個結(jié)果,就叫做隨機變量。隨機變量有有限和無限的區(qū)分,一般又根據(jù)變量的取值情況分成離散型隨機變量和非離散型隨機變量。一切可能的取值能夠按一定次序一一列舉,這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量;如果可能的取值充滿了一個區(qū)間,無法按次序一一列舉,這種隨機變量就叫做非離散型隨機變量。在離散型隨機變量的概率分布中,比擬簡單而應(yīng)用廣泛的是二項式分布。如果隨機變量是連續(xù)的,都有一個分布曲線,實踐和理論都證明:有一種特殊而常用的分布,它的分布曲線是有規(guī)律的,這就是正態(tài)分布。正態(tài)分布曲線取決于這個隨機變量的一些表征數(shù),其中最重要的是平均值和差異度。平均值也叫數(shù)學(xué)期望,差異度也就是標(biāo)準(zhǔn)方差。2.1.2概率統(tǒng)計的內(nèi)容概率統(tǒng)計包括抽樣檢驗、參數(shù)估計問題、假設(shè)檢驗、回歸分析、方差分析等內(nèi)容。抽樣檢驗是要通過對子樣的調(diào)查,來推斷總體的情況。究竟抽樣多少,這是十分重要的問題,因此,在抽樣檢查中就產(chǎn)生了“小樣理論”,這是在子樣很小的情況下,進行分析判斷的理論。參數(shù)估計是根據(jù)從總體中抽取的樣本估計總體分布中包含的未知參數(shù)的方法。人們常常需要根據(jù)手中的數(shù)據(jù),分析或推斷數(shù)據(jù)反映的本質(zhì)規(guī)律。即根據(jù)樣本數(shù)據(jù)如何選擇統(tǒng)計量去推斷總體的分布或數(shù)字特征等。統(tǒng)計推斷是概率統(tǒng)計研究的核心問題。所謂統(tǒng)計推斷是指根據(jù)樣本對總體分布或分布的數(shù)字特征等作出合理的推斷。它是統(tǒng)計推斷的一種根本形式,是概率統(tǒng)計學(xué)的一個重要分支,分為點估計和區(qū)間估計兩局部。假設(shè)檢驗是只在用概率統(tǒng)計方法檢驗產(chǎn)品的時候,先作出假設(shè),在根據(jù)抽樣的結(jié)果在一定可靠程度上對原假設(shè)做出判斷。方差分析也叫做離差分析,就是用方差的概念去分析由少數(shù)試驗就可以做出的判斷。由于隨機現(xiàn)象在人類的實際活動中大量存在,概率統(tǒng)計隨著現(xiàn)代工農(nóng)業(yè)、近代科技的開展而不斷開展,因而形成了許多重要分支。如:隨機過程、信息論、極限理論、試驗設(shè)計、多元分析等。2.2概率統(tǒng)計常用理論模型2.2.1中心極限定理〔1〕列維-林德伯格定理設(shè)隨機變量X1,X2,…相互獨立,服從同一分布,且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差:,那么隨機變量的分布函數(shù)Fn(x)對任意的實數(shù)x,有或者簡寫成:。此定理也稱為獨立同分布的中心極限定理?!?〕棣莫弗-拉普拉斯定理設(shè)隨機變量X1,…Xn均為具有參數(shù)n,p(0<p<1)的二項分布,那么對于任意實數(shù)x,有2.2.2矩估計和最大似然估計〔1〕矩估計:設(shè)總體X的分布中包含有未知數(shù),那么其分布函數(shù)可以表成它的k階原點矩中也包含了未知參數(shù),即。又設(shè)為總體X的n個樣本值,其樣本的k階原點矩為這樣,我們按照“當(dāng)參數(shù)等于其估計量時,總體矩等于相應(yīng)的樣本矩”的原那么建立方程,即有由上面的m個方程中,解出的m個未知參數(shù)即為參數(shù)〔〕的矩估計量。假設(shè)為的矩估計,為連續(xù)函數(shù),那么為的矩估計?!?〕最大似然估計:當(dāng)總體X為連續(xù)型隨機變量時,設(shè)其分布密度為,其中為未知參數(shù)。又設(shè)為總體的一個樣本,稱為樣本的似然函數(shù),簡記為Ln。當(dāng)總體X為離型隨機變量時,設(shè)其分布律為,那么稱為樣本的似然函數(shù)。 假設(shè)似然函數(shù)在處取到最大值,那么稱分別為的最大似然估計值,相應(yīng)的統(tǒng)計量稱為最大似然估計量。假設(shè)為的極大似然估計,為單調(diào)函數(shù),那么為的極大似然估計。2.2.3置信區(qū)間和置信度設(shè)總體X含有一個待估的未知參數(shù)。如果我們從樣本出發(fā),找出兩個統(tǒng)計量與,使得區(qū)間以的概率包含這個待估參數(shù),即:那么稱區(qū)間為的置信區(qū)間,為該區(qū)間的置信度或置信水平。2.2.4線性回歸模型當(dāng)變量間存在相關(guān)關(guān)系時,我們特別關(guān)心因變量y的取值的平均,即在給定的條件下,隨機變量y的數(shù)學(xué)期望,記作.此時,因變量y與自變量之間的相關(guān)關(guān)系可以表示為:這里表示為隨機誤差,上式成為y關(guān)于的回歸。y對自變量取值的依賴關(guān)系為:,它反映了y取值的平均趨勢,這是相關(guān)關(guān)系的主要局部?;貧w函數(shù)可以是線性的,也可以是非線性的。但是對于線性回歸中回歸函數(shù)是參數(shù)的線性回歸。而是最簡單且最重要的情況,但是在理論上有比擬深入的討論結(jié)果,是非線性回歸的根底。稱為理論線性回歸模型。由隨機誤差在線性模型中的地位可見,他的概率性質(zhì)決定了模型的性質(zhì)。根據(jù)回歸函數(shù)的意義,自然有。關(guān)于變量的n次觀測,我們假定各次觀測所受的隨機影響程度相同。且任意兩次觀測的誤差不相關(guān)。這種假定在一般情況下是合理的。稱之為Gauss-Markov條件這里如那樣的隨機誤差向量且,為了不引進更多符號。以后有時候表示一個隨機變量,有時候表示為一個隨機向量。由模型的意義,這樣我們可以得到線性回歸模型,,,稱之為常數(shù)項。稱為回歸函數(shù),表示自變量的改變時對y的影響大小。在某些問題當(dāng)中,我們還假設(shè)滿足正態(tài)條件其中,也是線性回歸模型中的重要參數(shù),為n階單位陣。為了對未知參數(shù)進行估計或者研究其他有關(guān)的統(tǒng)計推斷問題,需進行試驗,設(shè)做了n次試驗。第i次試驗的觀測值為,稱為第i個試驗點。以后我們假定試驗總數(shù)n不小于線性回歸模型,,包含的未知參數(shù)個數(shù),且設(shè)計矩陣X是列滿秩的,即:。一元線性回歸分析一元線性回歸模型設(shè)隨機變量與普通變量x間存在相關(guān)關(guān)系,且假設(shè)對于的每一個取值有其中,,都不是不依賴于的未知參數(shù)。記,那么對做這樣的正態(tài)假設(shè),相當(dāng)于假設(shè):,其中未知參數(shù),,都是不依賴于的未知參數(shù)。此時,,稱為一元線性回歸模型,其中稱為回歸系數(shù)。因變量由兩局部組成,一局部是的線性函數(shù):;另一局部是隨機誤差:,是不可控制的。下面的任務(wù)是對參數(shù),的估計,那參數(shù),的最小二乘估計如下:令取個不全相同的取值,用表示,并作次獨立試驗,得到樣本:和樣本觀測值:把樣本觀測值代入,得:,。而使此函數(shù)到達(dá)最小為原那么,那么此時對未知參數(shù)和的估計,就稱為未知參數(shù)和的最小二乘估計,估計值記為和。通過以上的分析,這時候我們稱此方程為關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程,簡稱為回歸方程。接下來就是求未知參數(shù),的最小二乘估計:因為此方程的極值點可以寫成:由此式子得方程組:現(xiàn)在對上面方程組進行求解,得唯一解如下:求出的解中的和為未知參數(shù),的最小二乘估計量。而此時回歸方程也可寫成,這說明,關(guān)于樣本值的回歸直線通過散點圖的幾何中心。為了計算上的方便,我們引入記號:這樣,,的估計值可寫成:,。下面是對的估計:由于,所以我們就把式子記做:,此時我們稱為處的殘差;而平方和式:稱為殘差平方和。下面我們計算:我們首先將做如下分解:再由得的另一個分解式:。相應(yīng)的統(tǒng)計量為:然后我們可以證明:于是:即:這樣就得到了的無偏估計量為:最后我們進行線性假設(shè)的顯著性檢驗:在以上的討論中,我們假定關(guān)于的回歸函數(shù)具有線性形式:。在處理實際問題時,是否為的線性函數(shù),首先要根據(jù)有關(guān)專業(yè)知識和實踐來判斷,其次就要根據(jù)實際觀察得到的數(shù)據(jù)運用假設(shè)檢驗的方法來判斷。這就是說,求得的線性回歸方程是否具有實用價值,一般來說,需要經(jīng)過假設(shè)檢驗才能確定。假設(shè)線性假設(shè)符合實際,那么不應(yīng)為零,因為假設(shè)那么就不依賴于了。因此,我們需要檢驗假設(shè):用檢驗法來進行檢驗,可以證明:由和得到:由于與相互獨立,故有:即:且,即得的拒絕域為:此處為顯著性水平。當(dāng)假設(shè)被拒絕時,認(rèn)為回歸效果是顯著的,反之,就認(rèn)為回歸效果不顯著?;貧w效果不顯著的原因可能有如下幾種:〔1〕影響的取值,除了及隨機誤差外還有其它不可忽略的因素;〔2〕不是的線性函數(shù),而是其它形式的函數(shù);〔3〕與不存在關(guān)系。第三章概率統(tǒng)計在金融中的應(yīng)用實例3.1引言概率統(tǒng)計是一門相當(dāng)有趣的數(shù)學(xué)分支學(xué)科。隨著科學(xué)技術(shù)的開展和計算機的普及,它最近幾十年來在自然科學(xué)和社會科學(xué)中得到了比擬廣泛的應(yīng)用,在社會生產(chǎn)和生活中起著非常重要的作用。當(dāng)今概率統(tǒng)計與經(jīng)濟的關(guān)系可以說是息息相關(guān)的,幾乎任何一項經(jīng)濟學(xué)的研究、決策都離不開它的應(yīng)用,例如:實驗設(shè)計、多元分析、質(zhì)量控制、抽樣檢查、價格控制等都要用到概率統(tǒng)計知識。實踐證明,概率統(tǒng)計是對經(jīng)濟學(xué)問題進行量的研究的有效工具,為經(jīng)濟預(yù)測和決策提供了新的手段。本文通過一些具體的例子討論概率統(tǒng)計在經(jīng)濟管理決策、經(jīng)濟損失估計、最大經(jīng)濟利潤求解、經(jīng)濟保險、經(jīng)濟預(yù)測等幾個經(jīng)濟學(xué)問題中的應(yīng)用。3.2實例舉例3.2.1.在經(jīng)濟管理決策中的應(yīng)用在進行經(jīng)濟管理決策之前,往往存在不確定的隨機因素,從而所作的決策有一定的風(fēng)險,只有正確、科學(xué)的決策才能到達(dá)以最小的本錢獲得最大的平安保障的總目標(biāo),才能盡可能節(jié)約本錢。利用概率統(tǒng)計知識可以獲得合理的決策,從而實現(xiàn)這個目標(biāo)。下面以數(shù)學(xué)期望、方差等數(shù)字特征為例說明它在經(jīng)濟管理決策中的應(yīng)用。例1某人有一筆資金,可投入三個工程:房產(chǎn)、地產(chǎn)和商業(yè),其收益和市場狀態(tài)有關(guān),假設(shè)把未來市場劃分為好、中、差三個等級,其發(fā)生的概率分別為,,,根據(jù)市場調(diào)研的情況可知不同等級狀態(tài)下各種投資的年收益(萬元),見表1表3.1各種投資年收益分布表好中差房產(chǎn)113-3地產(chǎn)64-1商業(yè)102-2請問:該投資者如何投資好?解:我們先考察數(shù)學(xué)期望,可知根據(jù)數(shù)學(xué)期望可知,投資房產(chǎn)的平均收益最大,可能選擇房產(chǎn),但投資也要考慮風(fēng)險,我們再來考慮它們的方差:因為方差愈大,那么收益的波動大,從而風(fēng)險也大。分析:根據(jù)數(shù)學(xué)期望可知,投資房產(chǎn)的平均收益最大,可能選擇房產(chǎn),但是從方差看,投資房產(chǎn)的風(fēng)險比投資地產(chǎn)的風(fēng)險大得多,假設(shè)收益與風(fēng)險綜合權(quán)衡,該投資者還是應(yīng)該選擇投資地產(chǎn)為好,雖然平均收益少萬元,但風(fēng)險要小一半以上。概率統(tǒng)計中特有的期望、方差等統(tǒng)計量本身的計算過程就蘊含著一定的模型意義,它的這種模型意義正好和金融中很多的抽象的概念相吻合,使一些其他數(shù)學(xué)方法無法解決的問題變得容易很多,這些特征量和金融結(jié)合起來使得到各結(jié)果都更加的令人滿意。3.2.2.在經(jīng)濟損失估計中的應(yīng)用隨著經(jīng)濟建設(shè)的高速開展,火災(zāi)、車禍等各種意外事故所造成的經(jīng)濟損失成明顯上升的趨勢,從而買保險成為各單位及個人分擔(dān)經(jīng)濟損失的一種有效方法。利用統(tǒng)計知識可以估計各種意外事故發(fā)生的可能性,以及發(fā)生后導(dǎo)致的經(jīng)濟損失大小。之后可以根據(jù)這些估計出來的數(shù)據(jù)來購置相應(yīng)的保險產(chǎn)品。下面的例子就是以參數(shù)估計為方法來說明它在這一方面的應(yīng)用。例2某倉庫貨物在儲藏過程中,倉庫貨物因火災(zāi)而損失的金額服從正態(tài)分布,今隨機抽取8次貨損資料,得到如下倉庫貨物損失金額表。根據(jù)這些數(shù)據(jù)估計平局損失數(shù)據(jù)。表3.2倉庫貨物損失金額表貨物損失金額(元)1000200030005000次數(shù)2141解:利用矩估計法或最大似然估計法可知:,的矩估計量分別為:,利用上面兩個公式并結(jié)合表2中的數(shù)據(jù)可計算出:^分析:從而得到倉庫貨物損失的平均估計值為2625元,標(biāo)準(zhǔn)差的估計值為1049.55元。所以我們在為這些倉庫物品購置保險的時候,可以參考這些數(shù)據(jù),購置相應(yīng)的險種,以及確定該險種的數(shù)量和相應(yīng)金額。將估計理論應(yīng)用于金融、保險中,對金融、保險中的極值事件建立模型,并以我國實際的股票收益率數(shù)據(jù)和醫(yī)療及巨災(zāi)保險索賠數(shù)據(jù)進行實證分析,到達(dá)了對金融、保險中的極值風(fēng)險進行有效度量的目的。3.2.3.在求解最大經(jīng)濟利潤問題中的應(yīng)用如何獲得最大利潤是商界永遠(yuǎn)追求的目標(biāo),雖然在數(shù)學(xué)方法中有很多方法都可以用來進行求解最大利潤的問題,但是概率統(tǒng)計中的隨機變量函數(shù)期望的應(yīng)用為此問題的解決提供了新的思路。例3某公司經(jīng)銷某種原料,根據(jù)歷史資料:這種原料的市場需求量x(單位:噸)服從〔300,500〕上的均勻分布,每售出噸該原料,公司可獲利1.5千元;假設(shè)積壓1噸,那么公司損失0.5千元,問公司應(yīng)該組織多少貨源,可使期望的利潤最大?解:此問題的解決先是建立利潤與需求量的函數(shù),然后求利潤的期望,從而得到利潤關(guān)于貨源的函數(shù),最后利用求極值的方法得到答案。設(shè)公司組織該貨源噸,那么顯然應(yīng)該有,又記為在噸貨源的條件下的利潤,那么利潤為需求量的函數(shù),即,由題設(shè)條件知:當(dāng)時,那么此噸貨源全部售出,共獲利;當(dāng)時,那么售出噸(獲利),且還有()噸積壓,損失為:(獲利),所以共獲利:[],由此得:從而得:分析:由上述計算式子可以看出是正好是的二次函數(shù),用通常求極值的方法就可以求得,當(dāng)噸時能夠使得期望的利潤到達(dá)最大。在此,我們應(yīng)用了概率統(tǒng)計中的隨機變量函數(shù)期望這個知識點,由此題可以看出概率統(tǒng)計中的很多統(tǒng)計量本身就具有數(shù)學(xué)模型的性質(zhì),而且它本身計算過程就蘊含著某些經(jīng)濟和金融中的現(xiàn)實事例。從中我們可以看到概率統(tǒng)計和金融學(xué)有一種天然的契合,相互融合,相互解釋,相互促進。同時,概率統(tǒng)計結(jié)合高等代數(shù)等數(shù)學(xué)知識,給予金融更豐富的意義和滿意的解釋。3.2.4.在經(jīng)濟預(yù)測中的應(yīng)用現(xiàn)代風(fēng)險管理中多運用衍生金融工具,如金融期權(quán)、期貨、互換交易中進行風(fēng)險的對沖。這些衍生工具的定價需要很專業(yè)的定價模型,而且定價模型中有許多希臘字母代表的概念,如Delta值、Gamma值、Vega值,正是這些值的加權(quán)求和,最終降低損失程度。這些值的運算中需要綜合數(shù)學(xué)中各個方面的方法,如求導(dǎo)、求偏導(dǎo)、概率分布函數(shù)、順序統(tǒng)計量等各種方法,概率統(tǒng)計作為重要的應(yīng)用,為風(fēng)險管理提供了精確的數(shù)學(xué)邏輯推導(dǎo)。同時,根據(jù)各個資產(chǎn)或者證券的歷史價格,我們也可以合理地推算出該資產(chǎn)或者證券價格的合理區(qū)間。例4收集了2012年4月5日至2012年5月11日25個交易日的股指歷史數(shù)據(jù),假定其置信水平為0.95,計算其置信區(qū)間。表3.3股票指數(shù)表3.3股票指數(shù)2512.8322519.8302495.1462519.7882520.0362570.4362580.4542574.0442541.8832599.9082596.0562626.8392606.0382604.8662625.9902631.4872626.1572683.4872691.5182715.8792717.7782709.1162657.5142657.2142636.917解:根據(jù)t分布這里1-a=0.95,a/2=0.025,n-1=24t,(24)=2.064,我們算出:x=2608.849,s=66.72108。得到u的一個置信水平為0.95的置信區(qū)間:(2608.849±66.72108/5×2.064)即:(2636.391,2581.307)。我們預(yù)測估計滬深300指數(shù)在區(qū)間(2636.391,2581.307)的可信度為95%??傊?,我們可以通過某個參數(shù)滿足不同概率分布時,利用該參數(shù)的區(qū)間估計方法,推算置信水平(可靠度)。概率統(tǒng)計理論中對概率分布的描述,統(tǒng)計量的解:我們知道置信區(qū)間是〔〕,根據(jù)t分布這里1-a=0.95,a/2=0.025,n-1=24t,(24)=2.064,我們算出:x=2608.849,s=66.72108。分析:得到u的一個置信水平為0.95的置信區(qū)間:(2608.849±66.72108/5×2.064),即(2636.391,2581.307)。我們預(yù)測估計滬深300指數(shù)在區(qū)間(2636.391,2581.307)的可信度為95%??傊覀兛梢酝ㄟ^某個參數(shù)滿足不同概率分布時,利用該參數(shù)的區(qū)間估計方法,推算置信水平(可靠度)。3.2.5.在經(jīng)濟保險問題中的應(yīng)用目前,保險問題在我國是一個熱點問題。保險公司為各企業(yè)、各單位和個人提供了各種各樣的保險保障效勞,人們總會預(yù)算某一業(yè)務(wù)對自己的利益有多大,保險公司會擔(dān)憂未來幾年保費收入金額,疑心大量賠償是否會虧本。下面線性回歸以及中心極限定理說明它在這一方面的應(yīng)用。例5某保險公司2006年到2012年保費年度總收入及賠付總支出金額如下:表3.4年保費總收入和中支出數(shù)據(jù)〔單位:億元〕年度2006200720082009201020112012保費收入11826236051277511851890保費支出8.061.5142.6270此保險公司的某一項保險有個人參加保,在一年里這些人死亡的概率為,每人每年的頭一天向保險公司交付保險費元,死亡時家屬可以從保險公司領(lǐng)取元保險金,求:〔1〕利用該公司2006年到2012年保費年度總收入預(yù)測2013以及2014年保費總收入和年賠款總支出;〔2〕保險公司一年從此項保險中獲利不少于元的概率;〔3〕保險公司虧本的概率。解:〔1〕通過作散點圖看出,可以用一元線性回歸預(yù)測。為了計算方便起見,可設(shè):圖1現(xiàn)在令2013年和2014年為:。由于于是可代入公式得參數(shù),。其中:,。所得的樣本回歸線為:由此回歸線計算2013、2014年的保費收入的預(yù)測值如下:〔億元〕,〔億元〕至于決定系數(shù)也可以計算出:由以上計算得到樣本回歸線對實際保費收入的變差的解釋能力為98.78%,。即保費收入與時間變量之間存在十分近似線性的關(guān)系。當(dāng)然,由于存在隨機干擾因素,預(yù)測不可能絕對準(zhǔn)確,因此,有必要求出實際值的置信區(qū)間。查分布表可知。結(jié)論:保費收入與時間變量之間存在十分近似線性的關(guān)系,所以的實際值將以95%的置信度落在〔〕的范圍內(nèi)即在:[452.96〔億元〕,550.76〔億元〕]中。散點圖如下:圖2對于賠款的預(yù)測,我們可以認(rèn)為賠款是隨年度變化的。利用時間預(yù)測賠款,那么設(shè):,,,,,,,相應(yīng)的賠款為。所以不難計算出和的估計值:,所以樣本回歸線為:。于是我們就可以算出2013年的賠款預(yù)測值〔億元〕。樣本決定系數(shù)的值為0.8430?!?〕設(shè)一年中死亡的人數(shù)為,死亡率為,把考慮人在一年里是否死亡看成重Bernoulli試驗,那么保險公司每年收入為,付出元,那么根據(jù)中心極限定理得,所求概率為:〔3〕所求概率為:分析:〔1〕預(yù)測2013年保費總收為501.86億元,2014年保費總收入為560.36億元,2013年賠付為675.32億元;〔2〕保險公司一年從此項保險中獲利不少于元的概率為0.3174;〔3〕經(jīng)上述計算可知一個保險公司虧本的概率幾乎為,這也是保險公司樂于開展業(yè)務(wù)的一個原因。回歸分析是研究變量與變量之間的依賴關(guān)系的方法,它試圖通過統(tǒng)計資料,來判斷某些變量之間是否存在相關(guān)關(guān)系,相關(guān)的密切程度,或近似地確定它們之間的數(shù)量關(guān)系。計算機在保險領(lǐng)域的應(yīng)用,使得回歸分析應(yīng)用子保險經(jīng)營不再是一項復(fù)雜工程?;貧w模型的建立,可用于保險經(jīng)濟預(yù)測,預(yù)測業(yè)務(wù)的開展趨勢,它改變了過去那種全憑經(jīng)驗進行估計的傳統(tǒng)預(yù)測方法,提高了預(yù)測的準(zhǔn)確性,防止了由純定性分析造成的水份大、數(shù)據(jù)不準(zhǔn)等弊病,還可以提高期望值的準(zhǔn)確性,如賠款的預(yù)測可以幫助確定給付準(zhǔn)備金提存的數(shù)量?;貧w分析在保險經(jīng)營中,除了可用于預(yù)測保費收入、利潤,賠款支出外還可用于預(yù)測業(yè)務(wù)開支,承保規(guī)模等。第四章總結(jié)概率統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象及其規(guī)律性的一門學(xué)科。作為經(jīng)濟數(shù)學(xué)的三大支柱之一,概率統(tǒng)計知識在當(dāng)今信息社會里越來越重要。在經(jīng)濟和管理活動中,怎樣使利潤最大、風(fēng)險最小;怎樣由不確定因素得出相對可靠的結(jié)論等,只有運用概率統(tǒng)計的知識才能解決。概率統(tǒng)計是一門相當(dāng)有趣的數(shù)學(xué)分支學(xué)科。隨著科學(xué)技術(shù)的開展和計算機的普及,它最近幾十年來在自然科學(xué)和社會科學(xué)中得到了比擬廣泛的應(yīng)用,在社會生產(chǎn)和生活中起著非常重要的作用。當(dāng)今概率統(tǒng)計與經(jīng)濟的關(guān)系可以說是息息相關(guān)的,幾乎任何一項經(jīng)濟學(xué)的研究、決策都離不開它的應(yīng)用,例如:實驗設(shè)計、多元分析、質(zhì)量控制、抽樣檢查、價格控制等都要用到概率統(tǒng)計知識。實踐證明,概率統(tǒng)計是對經(jīng)濟學(xué)問題進行量的研究的有效工具,為經(jīng)濟預(yù)測和決策提供了新的手段。正如本文所列舉的例子一般,概率統(tǒng)計在經(jīng)濟管理決策、經(jīng)濟損失估計、最大經(jīng)濟利潤求解、經(jīng)濟保險、經(jīng)濟預(yù)測等幾個經(jīng)濟學(xué)問題中的應(yīng)用已經(jīng)日漸成熟,并成為經(jīng)濟金融中不可或缺的一局部。通過以上分析概率論在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用,我們得到以下三點結(jié)論:第一,現(xiàn)代經(jīng)濟學(xué)的開展離不開概率統(tǒng)計,概率統(tǒng)計的應(yīng)用使得經(jīng)濟學(xué)更加完善,更加科學(xué),這

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
  • 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
  • 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

最新文檔

評論

0/150

提交評論