新高考一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案第43講 數(shù)列的通項(xiàng)公式（原卷版）

第43講數(shù)列的通項(xiàng)公式1、正確選用方法求數(shù)列的通項(xiàng)公式(1)對(duì)于遞推關(guān)系式可轉(zhuǎn)化為an＋1＝an＋f(n)的數(shù)列，通常采用累加法(逐差相加法)求其通項(xiàng)公式．(2)對(duì)于遞推關(guān)系式可轉(zhuǎn)化為eq\f(an＋1,an)＝f(n)的數(shù)列，并且容易求數(shù)列{f(n)}前n項(xiàng)的積時(shí)，采用累乘法求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．(3)對(duì)于遞推關(guān)系式形如an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)的數(shù)列，采用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)．2、避免2種失誤(1)利用累乘法，易出現(xiàn)兩個(gè)方面的問(wèn)題：一是在連乘的式子中只寫(xiě)到eq\f(a2,a1)，漏掉a1而導(dǎo)致錯(cuò)誤；二是根據(jù)連乘求出an之后，不注意檢驗(yàn)a1是否成立．(2)利用構(gòu)造法求解時(shí)應(yīng)注意數(shù)列的首項(xiàng)的正確求解以及準(zhǔn)確確定最后一個(gè)式子的形式．1、（2023?北京）數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，下列說(shuō)法正確的是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是遞減數(shù)列，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是遞增數(shù)列，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0 C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是遞減數(shù)列，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是遞增數(shù)列，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<02、已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03、已知數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0前SKIPIF1<0項(xiàng)和，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0．4、記SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)積，已知SKIPIF1<0．（1）證明：數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列；（2）求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式．5、已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）記SKIPIF1<0，寫(xiě)出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，并求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）求SKIPIF1<0的前20項(xiàng)和．1、已知數(shù)列{an}中的首項(xiàng)a1＝2，且滿足SKIPIF1<0，則此數(shù)列的第三項(xiàng)是（）A.1 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<02、寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)滿足下列條件①②的等比數(shù)列{SKIPIF1<0}的通項(xiàng)公式SKIPIF1<0＝___．①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<03、根據(jù)下列條件，確定數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．(1)a1＝2，an＋1＝an＋3n；(2)a1＝2，an＋1＝2an＋3n.考向一有an遞推關(guān)系研究數(shù)列的通項(xiàng)例3、根據(jù)下列條件，確定數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．(1)a1＝1，an＋1＝3an＋2；(2)a1＝1，an＝eq\f(n－1,n)·an－1(n≥2)；(3)a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2.變式1、已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則下列說(shuō)法確的是（）A.SKIPIF1<0為單調(diào)遞增數(shù)列B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0變式2、已知正項(xiàng)數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0．（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；變式3、已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0．（1）證明：數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式．方法總結(jié)：給出了兩種不同形式的遞推關(guān)系，經(jīng)常采取其它方法：取倒數(shù)后，相鄰兩項(xiàng)的差是一個(gè)等比數(shù)列，迭加即可；變形為eq\f(an＋1,an)＝eq\f(3n－2,3n＋2)，再用累乘處理，累加、累乘是遞推數(shù)列的基本而常用的方法，考查我們的觀察、變形和轉(zhuǎn)化的能力，需要牢固掌握．考向二由Sn與an的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式例2、已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列SKIPIF1<0的首項(xiàng)SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；變式1、已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0通項(xiàng)公式；變式2、已知正項(xiàng)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0和SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；變式3、設(shè)SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；方法總結(jié)：an與Sn關(guān)系的應(yīng)用(1)僅含有Sn的遞推數(shù)列或既含有Sn又含有an的遞推數(shù)列，一般利用公式Sn－Sn－1＝an(n≥2)實(shí)施消元法，將遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為僅含an的關(guān)系式或僅含Sn的關(guān)系式，即“二者消元留一象”．(2)究竟消去an留Sn好，還是消去Sn留an好？取決于消元后的代數(shù)式經(jīng)過(guò)恒等變形后能否得到簡(jiǎn)單可求的數(shù)列關(guān)系，如等差數(shù)列關(guān)系或等比數(shù)列關(guān)系，若消去an留Sn可以得到簡(jiǎn)單可求的數(shù)列關(guān)系，那么就應(yīng)當(dāng)消去an留Sn，否則就嘗試消去Sn留an，即“何知去留誰(shuí)更好，變形易把關(guān)系找”．(3)值得一提的是：數(shù)列通項(xiàng)公式an求出后，還需要驗(yàn)證數(shù)列首項(xiàng)a1是否也滿足通項(xiàng)公式，即“通項(xiàng)求出莫疏忽，驗(yàn)證首項(xiàng)滿足否”?？枷蛉龢?gòu)造等差、等比數(shù)列研究通項(xiàng)例3、已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)證明：SKIPIF1<0是等比數(shù)列；(2)證明：存在兩個(gè)等比數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立．變式1、已知數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值，并證明數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式．變式2、已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求證：數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列，并求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；方法總結(jié)：構(gòu)造等差、等比數(shù)列求通項(xiàng)，常見(jiàn)形式一：an＋1＝pan＋q(p，q為常數(shù)，p≠0，p≠1)，常利用待定系數(shù)構(gòu)造，可化為an＋1＋x＝p(an＋x)，從而解出x＝eq\f(q,p－1).常見(jiàn)形式二：an＋1＝pan＋qn(p，q為常數(shù)，p≠0，p≠1，q≠0)，可以通過(guò)兩邊同時(shí)除以qn＋1，得eq\f(an＋1,qn＋1)＝eq\f(p,q)·eq\f(an,qn)＋eq\f(1,q)，換元bn＝eq\f(an,qn)，即轉(zhuǎn)化形式一．1、設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，寫(xiě)出SKIPIF1<0的一個(gè)通項(xiàng)公式SKIPIF1<0________，滿足下面兩個(gè)條件：①SKIPIF1<0是單調(diào)遞減數(shù)列；②SKIPIF1<0是單調(diào)遞增數(shù)列.2、已知數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_______________．3、已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為_(kāi)__________.4、南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱(chēng)為“三角垛”．“三角垛”的最上層有SKIPIF1<0個(gè)球，第二層有SKIPIF1<0個(gè)球，第三層有SKIPIF1<0個(gè)球，…，設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列SKIPIF1<0