2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-8.1直線的方程-專項訓(xùn)練【含答案】

8.1直線的方程-專項訓(xùn)練一、單項選擇題1．過點(1，2)且直線的方向向量為(－1，2)的直線方程為()A．2x＋y－4＝0 B．x＋y－3＝0C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋4＝02．已知A(m，0)，B(0，1)，C(3，－1)，且A，B，C三點共線，則m＝()A．32 B．2C．－32 D．－3．過點A(－1，1)的直線l的傾斜角是直線l1：3x－y＋1＝0的傾斜角的2倍，則直線l的方程是()A．3x－y＋3＋1＝0B．3x＋y＋3－1＝0C．3x－3y＋3＋3＝0D．3x＋3y＋3－3＝04．設(shè)A，B是x軸上的兩點，點P的橫坐標為2，且|PA|＝|PB|，若直線PA的方程為x－y＋1＝0，則直線PB的方程是()A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0C．2x－y－4＝0 D．2x＋y－7＝05．已知直線l1：3x＋y＝0與直線l2：kx－y＋1＝0，若直線l1與直線l2的夾角為60°，則實數(shù)k的值為()A．3 B．－3C．3或0 D．－2或－36．如圖，在矩形ABCD中，|BC|＝3|AB|，直線AC的斜率為33，則直線BCA．3 B．3C．233 7．已知點A(2，3)，B(－3，－2)，與直線l：kx－y－k＋1＝0，且直線l與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍為()A．k≥2或k≤34 B．k≥34或k≤C．－4≤k≤34 D．34≤k8．若直線ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)過點(1，1)，則該直線在x軸與y軸上的截距之和的最小值為()A．1 B．2C．3 D．4二、多項選擇題9．已知直線l：x＝my＋1，則()A．直線l恒過定點(1，0)B．直線l的斜率必定存在C．m＝3時，直線l的傾斜角為60°D．m＝2時，直線l與兩坐標軸圍成的三角形的面積為110．若直線過點A(1，2)，且在兩坐標軸上截距的絕對值相等，則直線l的方程為()A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0三、填空題11．對于任意實數(shù)λ，直線x＋y－3＋λ(x－2y)＝0恒過定點A，且點B(1，0)，則直線AB的一個方向向量為________．12．已知點M是直線l：y＝3x＋3與x軸的交點，將直線l繞點M旋轉(zhuǎn)30°，則所得到的直線l′的方程為________．13．斜拉橋是將梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的橋，它由梁、斜拉索和塔柱三部分組成．如圖1，這是一座斜拉索大橋，共有10對永久拉索，在索塔兩側(cè)對稱排列．如圖2，已知拉索上端相鄰兩個錨的間距|PiPi＋1|(i＝1，2，3，…，9)約為4m，拉索下端相鄰兩個錨的間距|AiAi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均為18m．最短拉索的錨P1，A1滿足|OP1|＝84m，|OA1|＝78m，以B10A10所在直線為x軸，OP10所在直線為y軸，則最長拉索所在直線的斜率為()A．±13 B．±1C．±4239 D．±14．設(shè)m∈R，過定點A的動直線x＋my＋1＝0和過定點B的動直線mx－y－2m＋3＝0交于點P(x，y)，則|PA|＋|PB|的最大值為()A．25 B．32C．3 D．615．已知直線l的傾斜角為α，sinα＝35，且這條直線l經(jīng)過點P(3，5)，則直線l16．直線l1：y＝2x和l2：y＝kx＋1與x軸圍成的三角形是等腰三角形，寫出滿足條件的k的兩個可能取值：________和________參考答案1．A[由題意可知直線的斜率k＝－2，由點斜式方程得，所求直線方程為y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0.故選A.]2．A[由A(m，0)，B(0，1)，C(3，－1)，可得AB＝(－m，1)，BC＝(3，－2)，因為A，B，C三點共線，所以AB∥BC，即(－m)×(－2)－1×3＝0，解得m＝323．B[因為k1＝tanα＝3，所以α＝60°，所以k＝tan120°＝－3，所以直線l的方程是y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋3－1＝0.故選B.]4．A[易知A(－1，0)．∵|PA|＝|PB|，∴點P在AB的垂直平分線，即x＝2上，∴B(5，0)．∵PA，PB關(guān)于直線x＝2對稱，∴kPB＝－1．∴l(xiāng)PB：y－0＝－(x－5)，即x＋y－5＝0.故選A.]5．C[因為l1：3x＋y＝0的斜率為k＝－3，所以其傾斜角為120°.直線l2：kx－y＋1＝0恒過點(0，1)，如圖，若直線l1與直線l2的夾角為60°，則l2的傾斜角為60°或0°，所以k＝3或k＝0.故選C.]6．A[由題意，在Rt△BCD中，∠BCD＝π2，|BC|＝3|AB|＝3|CD∴tan∠CBD＝33，∴∠CBD＝π6，∴直線BC的傾斜角為π3，故kBC＝tanπ7．A[已知點A(2，3)，B(－3，－2)與直線l：kx－y－k＋1＝0，且直線l與線段AB相交，直線l：kx－y－k＋1＝0，即直線l：k(x－1)－y＋1＝0，它經(jīng)過定點M(1，1)，所以直線MA的斜率為3?12?1＝2，直線MB的斜率為?2?1?3?1＝則直線l的斜率k的取值范圍為k≥2或k≤348．D[因為直線ax＋by＝ab過點(1，1)，所以a＋b＝ab，又因為a＞0，b＞0，所以1b所以直線xb+ya＝1在b＋a＝(b＋a)1b+1a＝2＋ab+ba≥2＋2ab所以直線在x軸與y軸上的截距之和的最小值為4.故選D.]9．AD[由直線方程知，直線恒過定點(1，0)，A正確；當(dāng)m＝0時，直線斜率不存在，B錯誤；m＝3時，直線l：y＝33(x則直線l的斜率為33m＝2時，直線l：x＝2y＋1，則直線l與x軸、y軸的交點分別為(1，0)，0，?1故選AD.]10．ABC[當(dāng)直線經(jīng)過原點時，斜率為k＝2?01?0所求的直線方程為y＝2x，即2x－y＝0；當(dāng)直線不過原點時，設(shè)所求的直線方程為x±y＝a，把點A(1，2)代入可得1－2＝a或1＋2＝a，求得a＝－1或a＝3，故所求的直線方程為x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.綜上知，所求的直線方程為2x－y＝0，x－y＋1＝0，x＋y－3＝0.故選ABC.]11．(－1，－1)(答案不唯一)[由x＋y－3＋λ(x－2y)＝0，得x+y?3=0，x?2y=0，解得x=2又B(1，0)，則AB＝(－1，－1)．即直線AB的一個方向向量為(－1，－1)．]12．x＝－3或y＝33(x＋3)[在y＝3x＋3中，令y＝0，得x＝－3，即M(－3，0)．因為直線l的斜率為3，所以其傾斜角為60°.若直線l繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)30°，則得到的直線l′的傾斜角為90°，此時直線l′的斜率不存在，故其方程為x＝－3；若直線l繞點M順時針旋轉(zhuǎn)30°，則得到的直線l′的傾斜角為30°，此時直線l′的斜率為tan30°＝33，故其方程為y＝33(x13．B[由題意可知，{OPi}，{OBi}(i＝1，2，3，…，10)分別是公差為4和18的等差數(shù)列，則|OP10|＝|OP1|＋9×4＝84＋9×4＝120，|OB10|＝|OB1|＋9×18＝78＋9×18＝240，故kB10P10＝120?00+240＝1所以最長拉索所在直線的斜率為±1214．D[由題意知，動直線x＋my＋1＝0過定點A(－1，0)，動直線mx－y－2m＋3＝0可化為(x－2)m＋3－y＝0，令x?2=0，3?y=0，可得B(2，3)，又1×m＋m×(－1)＝0，所以兩動直線互相垂直，且交點為P，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝(－1－2)2＋(0－3)2＝18，因為PA2+PB22≥PA+PB2215．3x－4y＋11＝0或3x＋4y－29＝0[因為sinα＝35，所以cosα＝±1?sin2α＝±45，所以直線l的斜率為k＝tanα＝±34，又因為直線l經(jīng)過點P(3，5)，所以直線l的方程為y－5＝34(x－3)或y－5＝－34(x－3)，所以直線l的一般式方程為3x－416．?1±52或－2或－43(任選2個即可)[令直線l1，l2的傾斜角分別為α，θ，則tanα＝2，tanθ當(dāng)圍成的等腰三角