山東省日照市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中校際聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

參照秘密級(jí)管理★啟用前2023級(jí)高一下學(xué)期期中校際聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題2024.05考生注意：1、答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束，將試題卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在內(nèi)，與角終邊相同的角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由終邊相同的角的定義計(jì)算即可得.【詳解】，而其它項(xiàng)對(duì)應(yīng)角都不滿足.故選：B.2.半徑為的圓中，弧長(zhǎng)為的圓弧所對(duì)的圓心角的大小為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可得.【詳解】由弧長(zhǎng)公式得.故選：B.3.函數(shù)的最小正周期是（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定的函數(shù)，利用余弦型函數(shù)的周期公式計(jì)算即得.【詳解】函數(shù)的最小正周期是.故選：D4.已知向量和不共線，向量，，，若??三點(diǎn)共線，則（）A.3 B.2 C.1 D.【答案】A【解析】【分析】由共線向量基本定理即得.【詳解】∵??三點(diǎn)共線，∴，解得.故選：A.5.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意可得，結(jié)合解出即可得.【詳解】由題意可得，即，又，故，即定義域?yàn)?故選：C.6.已知向量，，若，則（）A.或 B.或 C.或3 D.或【答案】A【解析】【分析】由平面向量垂直的坐標(biāo)表示計(jì)算可得，結(jié)合三角函數(shù)基本關(guān)系將弦化切后計(jì)算即可得.【詳解】由，則有，即，則，即有，解得或.故選：A.7.的外接圓的圓心為，半徑為1，，且，則向量在向量方向上的投影數(shù)量為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題設(shè)中的向量關(guān)系可得是以為斜邊的直角三角形，結(jié)合半徑及可求，根據(jù)投影數(shù)量的定義可計(jì)算投影數(shù)量，從而可得正確的選項(xiàng).【詳解】由題意可得：，即：，即外接圓的圓心為邊的中點(diǎn)，則是以為斜邊的直角三角形，結(jié)合有為等邊三角形，故，故，則向量在向量方向上的投影數(shù)量為.故選：D.8.已知函數(shù)，若存在，滿足，，且，，則滿足條件的實(shí)數(shù)的最小值為（）A.506 B.507 C.508 D.509【答案】B【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)性質(zhì)可得要使實(shí)數(shù)的值最小，應(yīng)盡可能多讓取得最值點(diǎn)，則當(dāng)取一個(gè)零點(diǎn)，取最后一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，才能最小，計(jì)算即可得.【詳解】函數(shù)，對(duì)，，都有，要使實(shí)數(shù)的值最小，應(yīng)盡可能多讓取得最值點(diǎn)，，，且，在一個(gè)周期上的最大值為4，且，取一個(gè)零點(diǎn)，取最后一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，才能最小，，，，，，，，所以的最小值為.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量，，則下列命題正確的是（）A. B.可以作為平面向量的一組基底C. D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算逐項(xiàng)計(jì)算判斷即得.【詳解】對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，不共線，可以作為平面向量的一組基底，B正確；對(duì)于C，，因此，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，D錯(cuò)誤.故選：AB10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)C.函數(shù)是偶函數(shù)D.將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得到函數(shù)的圖象【答案】ABD【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)圖象依次求出,再根據(jù)選項(xiàng)，分別運(yùn)用代入檢驗(yàn)對(duì)稱(chēng)性，利用奇偶性定義判斷函數(shù)奇偶性，利用伸縮變換得到新函數(shù)逐一判斷即得.【詳解】由圖可得，，，解得，故A正確；又函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，即，因，故，解得，故.對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)取得最小值，故B正確；對(duì)于C，，是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，將得到函數(shù)的圖象，故D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.是以為周期的函數(shù)B.函數(shù)存在無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)CD.至少存在三個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得為偶函數(shù)【答案】ACD【解析】【分析】A：計(jì)算是否等于即可得；對(duì)B：結(jié)合函數(shù)的周期性，將研究在上的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為研究在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而可分與討論即可得；對(duì)C：借助誘導(dǎo)公式計(jì)算是否等于即可得；對(duì)D：結(jié)合函數(shù)性質(zhì)，可得至少存在、、三個(gè)值，使得為偶函數(shù).【詳解】對(duì)A：，故是以為周期的函數(shù)，故A正確；對(duì)B：因?yàn)榈闹芷跒?，所以只需研究在區(qū)間上的正負(fù)，當(dāng)時(shí)，，由且，故在上恒成立；當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，有最大值，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的最小值為，綜上所述，在上的取值均大于，沒(méi)有零點(diǎn)，故在上沒(méi)有實(shí)數(shù)根，即在上沒(méi)有零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：，，故，故C正確；對(duì)D：由可得的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，當(dāng)時(shí)，，圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，此時(shí)為偶函數(shù)，結(jié)合的周期為，可知時(shí)，為偶函數(shù)，又因?yàn)椋缘膱D象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，可知當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)，綜上所述，當(dāng)時(shí)，至少存在、、三個(gè)值，使得偶函數(shù)，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：B選項(xiàng)中關(guān)鍵點(diǎn)在于結(jié)合函數(shù)的周期性，將研究在上的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為研究在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而可分與討論即可得.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若角的終邊與單位圓相交于點(diǎn)，則______．【答案】##【解析】【分析】由三角函數(shù)定義可知等于角的終邊與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo).【詳解】由三角函數(shù)定義，及已知點(diǎn)坐標(biāo)知.故答案為：.13.如圖，在中，，，為上一點(diǎn)，且，若，，則______．【答案】3【解析】【分析】借助平面向量基本定理結(jié)合可得，再利用數(shù)量積公式計(jì)算即可得.【詳解】根據(jù)題意，可得，由，則，設(shè)，則，，結(jié)合，可得，故，所以，故.故答案為：.14.已知平面向量對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，成立．若，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】設(shè),由題意可得，點(diǎn)在以為直徑的圓上，設(shè)圓心為，作出圖形，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交圓于點(diǎn)，結(jié)合圖形，推得在上的射影長(zhǎng)的最大值為，通過(guò)設(shè)，將的最大值表示成關(guān)于的三角函數(shù)式，利用三角函數(shù)的值域即可求得范圍.【詳解】如圖，設(shè),則,因?qū)θ我鈱?shí)數(shù)都有，成立，即對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，成立，因與共線，與共線，由直線外一點(diǎn)到直線上的點(diǎn)連線中垂線段最短原則，知必有，,即點(diǎn)在以為直徑的圓上，設(shè)圓心為.則，而為向量在上的射影的長(zhǎng).過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交圓于點(diǎn)，因則，則在上的射影即在上的射影，而由圖知在上的射影長(zhǎng)的最大值為，（當(dāng)重合時(shí)取得最大值）則,不妨設(shè),則于是，，因，則，而，即的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查向量數(shù)量積的范圍問(wèn)題，屬于難題.解題的關(guān)鍵在于兩點(diǎn)：其一，由題設(shè)兩個(gè)不等式得出，其二，求解時(shí)，應(yīng)利用向量數(shù)量積的幾何意義—投影向量，結(jié)合圖形理解并轉(zhuǎn)化求解.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知向量，．（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）求向量與夾角的正弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先由向量的坐標(biāo)計(jì)算向量的模長(zhǎng)和數(shù)量積，再由向量垂直的充要條件化簡(jiǎn)，代入解方程即得；（2）利用向量的夾角公式求得，再由同角的三角函數(shù)關(guān)系計(jì)算.【小問(wèn)1詳解】因，，則有由可得，，解得，；【小問(wèn)2詳解】因，又，故.16.已知向量，，函數(shù)．（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間．【答案】（1）最大值為，最小值為（2）、.【解析】【分析】（1）借助向量數(shù)量積公式與輔助角公式可得，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)即可得解；（2）借助正弦型函數(shù)單調(diào)性可得的單調(diào)遞增區(qū)間，即可得其在上的單調(diào)遞增區(qū)間.【小問(wèn)1詳解】，當(dāng)時(shí)，，可得，故當(dāng)時(shí)，有最小值，當(dāng)時(shí)，有最大值，綜上所述，的最大值為，最小值為；【小問(wèn)2詳解】由，令，解得，所以在上的增區(qū)間為，故在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間為與.17.將函數(shù)（其中）的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，且為偶函數(shù)．（1）求函數(shù)的解析式和對(duì)稱(chēng)中心；（2）若對(duì)，當(dāng)時(shí)，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1），對(duì)稱(chēng)中心為（2）【解析】【分析】（1）借助函數(shù)平移與偶函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可得，即可得的解析式，結(jié)合余弦型函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性即可得解；（2）由題意可得在上單調(diào)遞增，結(jié)合三角恒等變換與正弦型函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算即可得解.【小問(wèn)1詳解】將向左平移后得，由偶函數(shù)，故，又，故，即，，令，解得，即的對(duì)稱(chēng)中心為；【小問(wèn)2詳解】由，故，即，即，令，由題意可知在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則有，解得.18.如圖，已知是的外心，，，，，．（1）判斷形狀，且求時(shí)的值；（2）當(dāng)時(shí)，①求的值（用含的式子表示）；②若，求集合中的最小元素．【答案】（1）為等邊三角形；（2）①②【解析】【分析】（1）借助向量的數(shù)量積公式計(jì)算即可得其夾角，即可得其形狀，由題意可得的中點(diǎn)為，即可結(jié)合向量的線性運(yùn)算得解；（2）①由題意可得、、分別為，，的等分點(diǎn)，借助向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積公式計(jì)算即可得；②借助一次函數(shù)的單調(diào)性逐步計(jì)算即可得.【小問(wèn)1詳解】，，則，即，故為等邊三角形，由題意知的中點(diǎn)為，且，，，故；【小問(wèn)2詳解】①由為等邊三角形，為外接圓的圓心，故，，，，，，，，，又，故、、分別為，，的等分點(diǎn)，；同理，故；②令，由，故，可以看為自變量為的一次函數(shù)，在時(shí)取得最小值，同理，由，在時(shí)取得最小值，，在時(shí)取得最小值，，故的最小值為，即集合中的最小元素為.19.已知函數(shù)，其中為常數(shù)．（1）當(dāng)，時(shí)，若，求的值；（2）設(shè)函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，①求t取值范圍；②證明：．【答案】（1）（2）①；②證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）將代入后可得，結(jié)合范圍計(jì)算即可得解；（2）①借助換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可得；②由韋達(dá)定理可得，，結(jié)合三角函數(shù)在上的單調(diào)性與①中所得