一輪復(fù)習(xí)-三角形“四心”的向量表示

三角形“四心”的向量表示一、外心ABCABCABCABCABCABCABC三角形三邊的中垂線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)為三角形外接圓的圓心，稱外心。證明外心定理證明:設(shè)AB、BC的中垂線交于點(diǎn)O，則有OA=OB=OC，故O也在AC的中垂線上，因?yàn)镺到三頂點(diǎn)的距離相等，故點(diǎn)O是ΔABC外接圓的圓心．因而稱為外心．OO點(diǎn)評(píng)：本題將平面向量模的定義與三角形外心的定義及性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)巧妙結(jié)合。到的三頂點(diǎn)距離相等。故是解析：由向量模的定義知的外心

，選B。O是的外心若為內(nèi)一點(diǎn)，則是的（

）A．內(nèi)心

B．外心

C．垂心

D．重心B二、垂心ABCABCABC三角形三邊上的高交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫三角形的垂心。DEF證明:AD、BE、CF為ΔABC三條高，過點(diǎn)A、B、C分別作對(duì)邊的平行線相交成ΔA′B′C′，AD為B′C′的中垂線；同理BE、CF也分別為A′C′、A′B′的中垂線，由外心定理，它們交于一點(diǎn)，命題得證．證明垂心定理A′B′C′例1．如圖，AD、BE、CF是△ABC的三條高，求證：AD、BE、CF相交于一點(diǎn)。ABCDEFH又∵點(diǎn)D在AH的延長(zhǎng)線上，∴AD、BE、CF相交于一點(diǎn)．證：設(shè)BE、CF交于一點(diǎn)H，垂心ABCO證：設(shè)例2．已知O為⊿ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足:求證：化簡(jiǎn)：同理：從而垂心1.O是的垂心是△ABC的邊BC的高AD上的任意向量，過垂心.例3．

O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，

動(dòng)點(diǎn)P滿足則P的軌跡一定通過△ABC的

_______∵∴∴在△ABC的邊BC的高AD上.P的軌跡一定通過△ABC的垂心.所以，時(shí)，解:解:例4.（2005全國(guó)Ⅰ）點(diǎn)O是ΔABC所在平面上一點(diǎn)，若，則點(diǎn)O是ΔABC的（）（A）三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)（B）三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)（C）三條中線的交點(diǎn)（D）三條高線的交點(diǎn)則O在CA邊的高線上,同理可得O在CB邊的高線上.D垂心5.(2005湖南)P是△ABC所在平面上一點(diǎn)，若 則P是△ABC的（）

A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心D三、重心ABCABCABC三角形三邊中線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫三角形的重心。證明重心定理

E

F

D

G3.O是的重心為的重心.是BC邊上的中線AD上的任意向量，過重心.2.在中，給出等于已知AD是中BC邊的中線;例1．P是△ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn).G是△ABC的重心證明:∵G是△ABC的重心即由此可得（反之亦然（證略））思考：若O為△ABC外心，G是△ABC的重心，則O為△ABC的內(nèi)心、垂心呢？例2．證明：三角形重心與頂點(diǎn)的距離等于它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的兩倍．

A

B

C

E

F

D

G證：設(shè)∵A,G,D共線，B,G,E共線．∴可設(shè)即：AG=2GD

同理可得：AG=2GD,CG=2GF

．重心例2．證明：三角形重心與頂點(diǎn)的距離等于它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的兩倍．另證:

A

B

C

E

F

D

G重心想想看？四、內(nèi)心ABCABCABCABCABC三角形三內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)為三角形內(nèi)切圓的圓心，稱內(nèi)心。證明內(nèi)心定理證明:設(shè)∠A、∠C的平分線相交于I,過I作ID⊥BC，IE⊥AC，IF⊥AB，則有IE=IF=ID．因此I也在∠C的平分線上，即三角形三內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)．II

E

F

D1.設(shè)a,b,c是三角形的三條邊長(zhǎng)，O是三角形ABC內(nèi)心的充要條件是ACBOabc2.O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，

動(dòng)點(diǎn)P滿足

則P的軌跡一定通過△ABC的（

）

A．外心

B．內(nèi)心

C．重心

D．垂心B內(nèi)心是∠BAC的角平分線上的任意向量，過內(nèi)心；

3.（2006陜西）已知非零向量與滿足

則△ABC為（）

A．三邊均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等邊三角形D．等邊三角形解法一：根據(jù)四個(gè)選擇項(xiàng)的特點(diǎn)，本題可采用驗(yàn)證法來處理.不妨先驗(yàn)證等邊三角形，剛好適合題意，則可同時(shí)排除其他三個(gè)選擇項(xiàng)，故答案必選D.D解法二：由于所在直線穿過△ABC的內(nèi)心，則由(等腰三角形的三線合一定理)；又，所以,即△ABC為等邊三角形，故答案選D.注:

等邊三角形(即正三角形)的“外心、垂心、重心、內(nèi)心、中心”五心合一！

法一抓住了該題選擇項(xiàng)的特點(diǎn)而采用了驗(yàn)證法,是處理本題的巧妙方法；法二要求學(xué)生能領(lǐng)會(huì)一些向量表達(dá)式與三角形某個(gè)“心”的關(guān)系，如

所在直線一定通過△ABC的內(nèi)心;

所在直線過BC邊的中點(diǎn)，從而一定通過△ABC的重心；

所在直線一定通過△ABC的垂心等.【總結(jié)】(1).是用數(shù)量積給出的三角形面積公式;(2).則是用向量坐標(biāo)給出的三角形面積公式.4.在△ABC中:

(1)若CA＝a，CB＝b，求證△ABC的面積

(2)若CA＝(a1，a2)，CB＝(b1，b2)，求證：△ABC的面積

解:ABCP思考:

如圖，設(shè)點(diǎn)O在內(nèi)部，且有則

的面積與的面積的比為___________．

(2004年全國(guó)奧賽題)

3作AC、BC邊上的中點(diǎn)E、D，解1:DEABCO作AC邊上的中點(diǎn)E，解2:思考:

如