平面向量的數量積及其應用學案-高考數學一輪復習

平面向量平面向量的數量積及其應用學案思維導圖【核心知識整合】考點1：平面向量的數量積1.兩個向量的夾角向量的夾角：已知兩個非零向量，如圖，是平面上的任意一點，作，則叫做向量與的夾角.記作.當時，向量同向；當時，向量垂直，記作；當時，向量反向.2.平面向量數量積的有關概念定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角為，把數量叫做向量與的數量積（或內積），記作，即.坐標表示：設向量，則.這就是說，兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積的和.運算律：（1）交換律：；（2）數乘結合律：；（3）分配律：.3.投影向量如圖，設是兩個非零向量，，過的起點和終點，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，這種變換稱為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.考點2：平面向量數量積的性質1.平面向量數量積的性質設是非零向量，它們的夾角是是與方向相同的單位向量，則（1）；（2）；（3）當與同向時，；當與反向時，，特別地，或；（4）由可得，；（5）2.向量垂直的坐標表示設向量，則.考點3：平面向量的數量積的應用1.常見應用已知，則（1）證明垂直問題，常用向量垂直的充要條件：（2）求向量夾角問題，利用夾角公式：（3）求線段的長度：向量的?；?考點4：向量中常用的結論在中，所對的邊分別為.（1）在的條件下，存在使得為的內心；為的的內心.（2）為的外心（3）為的重心.（4）為的垂心.[典型例題]1.已知向量，，，且，則實數k的值為()A. D.[答案]：C[解析].又，，即，解得.故選C.2.已知,,,則a與b的夾角為()A. B. C. D.[答案]：B[解析]由,解得,所以,則a與b的夾角為,故選B.3.在QUOTE△ABC△ABC中，QUOTEAC=3,BC=4,∠C=90°AC=3,BC=4,∠C=90°，，.P為QUOTE△ABC△ABC所在平面內的動點，且QUOTEPC=1PC=1，則QUOTEPA?PBPA?PB的取值范圍是()A.QUOTE[-5,3][-5,3] B.QUOTE[-3,5][-3,5] C.QUOTE[-6,4][-6,4] D.QUOTE[-4,6][-4,6][答案]：D[解析]以C為坐標原點，CA，CB所在直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標系，則，，設，則，，，所以，又表示圓上一點到點的距離的平方，圓心到點的距離為，所以，即，故選D.[變式訓練]1.已知向量，，則()A. B. C. D.[答案]：B[解析]由題意知，，，所以，故選B.2.已知，，a與的夾角為，則().[答案]：B[解析]因為，所以，又因為，a與的夾角為，所以，所以，故選B.3.已知，是非零向量且滿足，，則的形狀為()A.等腰三角形 B.等邊三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形[答案]：B[解析]，是非零向量且滿足，，，，，.是等邊三角形，故選B.【規(guī)律總結】1.平面向量的線性運算要抓住兩條主線：一是基于“形”，通過作出向量，結合圖形分析；二是基于