第46講重難點(diǎn)突破02 向量中的隱圓問(wèn)題（五大題型）（原卷版）-2025數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（含2024年高考真題+回歸教材）

2/8重難點(diǎn)突破02向量中的隱圓問(wèn)題目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧與總結(jié) 202題型歸納與總結(jié) 3題型一：數(shù)量積隱圓 3題型二：平方和隱圓 3題型三：定冪方和隱圓 4題型四：與向量模相關(guān)構(gòu)成隱圓 4題型五：線段比定值隱圓（阿氏圓） 503過(guò)關(guān)測(cè)試 6

技巧一．向量極化恒等式推出的隱圓乘積型：定理：平面內(nèi)，若為定點(diǎn)，且,則的軌跡是以為圓心為半徑的圓證明：由，根據(jù)極化恒等式可知，，所以，的軌跡是以為圓心為半徑的圓．技巧二．極化恒等式和型：定理：若為定點(diǎn)，滿足,則的軌跡是以中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓。證明：，所以，即的軌跡是以中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓．技巧三．定冪方和型若為定點(diǎn)，，則的軌跡為圓．證明：．技巧四．與向量模相關(guān)構(gòu)成隱圓坐標(biāo)法妙解技巧五．阿氏圓一般地，平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被叫做阿氏圓．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是線段AB的中垂線．題型一：數(shù)量積隱圓【典例1-1】已知平面向量滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2024·遼寧鞍山·一模）已知平面向量，，滿足，若，則的最小值為

A． B． C． D．0【變式1-1】設(shè)平面向量滿足與的夾角為且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2024·遼寧沈陽(yáng)·二模）已知平面向量，，，滿足，，，則的最小值為（

）A．1 B． C．3 D．題型二：平方和隱圓【典例2-1】已知是單位向量，滿足，則的最大值為_(kāi)_______．【典例2-2】已知平面向量、滿足，，設(shè)，則________.【變式2-1】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，圓，若圓上存在點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【變式2-2】在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與點(diǎn)，若直線上存在點(diǎn)滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．題型三：定冪方和隱圓【典例3-1】已知點(diǎn)，，直線：上存在點(diǎn)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【典例3-2】（2024·浙江·高三期末）已如平面向量、、，滿足，，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【變式3-1】（2024·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)?？计谥校┮阎矫鎲挝幌蛄?，的夾角為60°，向量滿足，若對(duì)任意的，記的最小值為M，則M的最大值為A． B． C． D．【變式3-2】已知，是兩個(gè)單位向量，與，共面的向量滿足，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．1題型四：與向量模相關(guān)構(gòu)成隱圓【典例4-1】已知平面向量，，且，，向量滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【典例4-2】已知向量滿足，且向量在方向上的投影向量為．若動(dòng)點(diǎn)C滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式4-1】（2024·高三·浙江·期末）已知，是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿足，則最小值為.【變式4-2】已知、、、都是平面向量，且，若，則的最小值為_(kāi)___________．【變式4-3】已知是單位向量，.若向量滿足，則||的最大值是________.題型五：線段比定值隱圓（阿氏圓）【典例5-1】已知平面向量，，，滿足，且，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【典例5-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量，，滿足，且，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式5-1】已知平面向量滿足，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式5-2】（2024·高三·山東日照·期中）已知平面向量，，滿足⊥，且，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式5-3】已知平面向量，，滿足：，，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．1．已知平面向量滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．2．已知是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是()A． B．C． D．23．（2024·高三·黑龍江哈爾濱·期中）已知向量，是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是（

）A． B． C． D．4．已知，是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是（

）A． B．2 C． D．5．已知是平面內(nèi)的三個(gè)單位向量，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．6．（2024·北京朝陽(yáng)·一模）在中，，，點(diǎn)在線段上.當(dāng)取得最小值時(shí)，（

）A． B． C． D．7．（2024·高三·重慶·開(kāi)學(xué)考試）在同一直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，則的最小值為（

）A． B．C． D．8．已知向量，，滿足，，，，則的最小值等于（

）A． B． C．4 D．9．已知，，是平面向量，是單位向量，若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．10．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，滿足，，則的最小值為（

）A． B． C．8 D．211．已知是平面內(nèi)的三個(gè)單位向量，若，則的最小值是．12．已知是平面中的三個(gè)單位向量，且，則的最小值是.13．在平面內(nèi)，已知非零向量與單位向量的夾角為，若向量滿足，則的最小值為.14．（2024·高三·浙江·開(kāi)學(xué)考試）平面中存在三個(gè)向量，，，若，，且，且滿足，則的最小值．15．已知圓，點(diǎn)，M、N為圓O上兩個(gè)不同的點(diǎn)，且若，則的最小值為.16．已知是邊長(zhǎng)為2的正三角形，點(diǎn)在平面內(nèi)且，則的最大值為，最小值為.17．已知為單位向量，且，則的最小值為.18．設(shè)向量滿足，與的夾角為，則的最大值為19．設(shè)是單位向量，且，向量滿足，則的取值范圍是