2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第四章概率與統(tǒng)計(jì)4.2.4.2離散型隨機(jī)變量的方差課時(shí)素養(yǎng)檢測(cè)含解析新人教B版選擇性必修第二冊(cè)

PAGE課時(shí)素養(yǎng)檢測(cè)十五離散型隨機(jī)變量的方差(30分鐘55分)一、選擇題(每小題5分，共25分，多選題全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分)1.(多選題)若隨機(jī)變量X聽(tīng)從兩點(diǎn)分布，其中PQUOTE=QUOTE，E(X)，D(X)分別為隨機(jī)變量X的均值與方差，則下列結(jié)論正確的是 ()A.P(X=1)=E(X) B.E(3X+2)=4C.D(3X+2)=4 D.DQUOTE=QUOTE【解析】選AB.隨機(jī)變量X聽(tīng)從兩點(diǎn)分布，其中PQUOTE=QUOTE，所以P(X=1)=QUOTE，E(X)=0×QUOTE+1×QUOTE=QUOTE，D(X)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE，在A中，P(X=1)=E(X)，故A正確；在B中，E(3X+2)=3E(X)+2=3×QUOTE+2=4，故B正確；在C中，D(3X+2)=9D(X)=9×QUOTE=2，故C錯(cuò)誤；在D中，D(X)=QUOTE，故D錯(cuò)誤.2.隨機(jī)變量X的分布列如下：X-101Pab若E(X)=QUOTE，則D(X)的值是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.由題設(shè)可得a+b=QUOTE，b-a=QUOTE?a=QUOTE，b=QUOTE，所以由數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式可得：E(X)=-1×QUOTE+0×QUOTE+1×QUOTE=QUOTE，D(X)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.3.隨機(jī)變量ξ的分布列如下表，且E(ξ)=1.1，則D(ξ)= ()ξ01xPpA.0.36 B.0.52 C.0.49 D.0.684【解析】選C.先由隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)求得p=QUOTE.由E(ξ)=0×QUOTE+1×QUOTE+QUOTEx=1.1，得x=2，所以D(ξ)=(0-1.1)2×QUOTE+(1-1.1)2×QUOTE+(2-1.1)2×QUOTE=0.49.4.已知隨機(jī)變量X的取值為1，2，3，若PQUOTE=QUOTE，EQUOTE=QUOTE，則DQUOTE= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.設(shè)P(X=1)=p，P(X=2)=q，所以E(X)=p+2q+3×QUOTE=QUOTE①，QUOTE+p+q=1②，由①②得，p=QUOTE，q=QUOTE，所以D(X)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.5.已知隨機(jī)變量ξ，η的分布列如下表所示，則 ()ξ123Pη123PA.E(ξ)<E(η)，D(ξ)<D(η)B.E(ξ)<E(η)，D(ξ)>D(η)C.E(ξ)<E(η)，D(ξ)=D(η)D.E(ξ)=E(η)，D(ξ)=D(η)【解析】選C.由題意得E(ξ)=1×QUOTE+2×QUOTE+3×QUOTE=QUOTE，D(ξ)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE；E(η)=1×QUOTE+2×QUOTE+3×QUOTE=QUOTE，D(η)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE，所以E(ξ)<E(η)，D(ξ)=Dη.二、填空題(每小題5分，共10分)6.有兩臺(tái)自動(dòng)包裝機(jī)甲與乙，包裝質(zhì)量分別為隨機(jī)變量X1，X2，已知E(X1)=E(X2)，D(X1)>D(X2)，則自動(dòng)包裝機(jī)________的包裝質(zhì)量較好.

【解析】因?yàn)镋(X1)=E(X2)，D(X1)>D(X2)，故乙包裝機(jī)的包裝質(zhì)量穩(wěn)定.答案：乙7.已知隨機(jī)變量X的分布列為：X-101Pa隨機(jī)變量Y=2X+1，則X的數(shù)學(xué)期望E(X)=________；Y的方差D(Y)=________.

【解析】由隨機(jī)變量X的分布列得：QUOTE+QUOTE+a=1，解得a=QUOTE，所以E(X)=-1×QUOTE+0×QUOTE+1×QUOTE=-QUOTE，D(X)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE，因?yàn)殡S機(jī)變量Y=2X+1，所以Y的方差D(Y)=4D(X)=QUOTE.答案：-QUOTEQUOTE三、解答題(每小題10分，共20分)8.已知隨機(jī)變量X的分布列為X01xPp若E(X)=QUOTE.(1)求D(X)的值；(2)若Y=3X-2，求D(Y)的值.【解析】由QUOTE+QUOTE+p=1，得p=QUOTE，又E(X)=0×QUOTE+1×QUOTE+QUOTEx=QUOTE，所以x=2.(1)D(X)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE=QUOTE.(2)因?yàn)閅=3X-2，所以D(Y)=D(3X-2)=9D(X)=5.9.甲、乙兩人輪番射擊，每人每次射擊一次，先射中者獲勝，射擊進(jìn)行到有人獲勝或每人都已射擊3次時(shí)結(jié)束.設(shè)甲每次射擊命中的概率為QUOTE，乙每次射擊命中的概率為QUOTE，且每次射擊互不影響，約定由甲先射擊.(1)求甲獲勝的概率；(2)求射擊結(jié)束時(shí)甲的射擊次數(shù)x的分布列和數(shù)學(xué)期望及方差.【解析】(1)記甲第i次射中獲勝為AiQUOTE，則A1，A2，A3彼此互斥，甲獲勝的事務(wù)為A1+A2+A3，因?yàn)镻QUOTE=QUOTE，PQUOTE=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE，PQUOTE=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE，所以PQUOTE=PQUOTE+PQUOTE+PQUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE，即甲獲勝的概率為QUOTE.(2)X全部可能的取值為1，2，3.則PQUOTE=QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE，PQUOTE=QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE，PQUOTE=QUOTE×QUOTE×1=QUOTE.所以X的分布列為X123P所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)=1×QUOTE+2×QUOTE+3×QUOTE=QUOTE，X的方差D(X)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分，共20分，多選題全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分)1.已知ξ的分布列為ξ-101p則在下列式中①E(ξ)=-QUOTE；②D(ξ)=QUOTE；③P(ξ=0)=QUOTE.正確的個(gè)數(shù)是 ()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選C.由題意，依據(jù)隨機(jī)變量的分布列的期望與方差的計(jì)算公式可得：EQUOTE=(-1)×QUOTE+0×QUOTE+1×QUOTE=-QUOTE，所以①正確；DQUOTE=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE，所以②不正確；又由分布列可知P(ξ=0)=QUOTE，所以③正確.2.已知隨機(jī)變量X+ξ=8，若X～BQUOTE，則EQUOTE，DQUOTE分別為 ()A.6和2.4 B.6和5.6C.2和2.4 D.2和5.6【解析】選C.因?yàn)閄～BQUOTE，所以EQUOTE=10×0.6=6，DQUOTE=10×0.6×0.4=2.4.因?yàn)閄+ξ=8，所以ξ=8-X，由期望和方差的性質(zhì)可得EQUOTE=EQUOTE=8-EQUOTE=2，DQUOTE=DQUOTE=DQUOTE=2.4.3.(多選題)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234Pq0.40.10.20.2若離散型隨機(jī)變量Y滿意Y=2X+1，則下列結(jié)果正確的有 ()A.q=0.1 B.E(X)=2，D(X)=1.4C.E(X)=2，D(X)=1.8 D.E(Y)=5，D(Y)=7.2【解析】選ACD.因?yàn)閝+0.4+0.1+0.2+0.2=1，所以q=0.1，故A正確；又E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2=2，D(X)=(0-2)2×0.1+(1-2)2×0.4+(2-2)2×0.1+(3-2)2×0.2+(4-2)2×0.2=1.8，故C正確；因?yàn)閅=2X+1，所以E(Y)=2E(X)+1=5，D(Y)=4D(X)=7.2，故D正確.4.設(shè)0<p<1，隨機(jī)變量ξ的分布列是ξ-101P則當(dāng)p在(0，1)內(nèi)漸漸增大時(shí) ()A.D(ξ)增大 B.D(ξ)減小C.D(ξ)先增大后減小 D.D(ξ)先減小后增大【解析】選A.因?yàn)?<p<1，所以由隨機(jī)變量ξ的分布列的性質(zhì)得EQUOTE=QUOTE×QUOTE+0×QUOTE+1×QUOTE=QUOTE-QUOTE，DQUOTE=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=-QUOTE+QUOTE，所以當(dāng)p在(0，1)內(nèi)增大時(shí)，D(ξ)遞增.二、填空題(每小題5分，共20分)5.隨機(jī)變量ξ的取值為0，1，2.若P(ξ=0)=QUOTE，E(ξ)=1，則D(ξ)=________.

【解析】設(shè)P(ξ=1)=a，P(ξ=2)=b，則QUOTE解得QUOTE所以D(ξ)=(0-1)2×QUOTE+(1-1)2×QUOTE+(2-1)2×QUOTE=QUOTE.答案：QUOTE6.已知不透亮口袋中裝有除顏色外其余完全相同的2個(gè)白球和3個(gè)黑球，現(xiàn)從中隨機(jī)取出一球，再換回一個(gè)不同顏色的球(即若取出的是白球，則放回一個(gè)黑球；若取出的是黑球，則放回一個(gè)白球).記換好后袋中的白球個(gè)數(shù)為X，則X的數(shù)學(xué)期望E(X)=________，方差D(X)=________.

【解析】依題意可知X的可能取值為1，3，且PQUOTE=QUOTE，PQUOTE=QUOTE.故X的分布列為X13P所以EQUOTE=1×QUOTE+3×QUOTE=QUOTE，DQUOTE=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案：QUOTEQUOTE7.已知隨機(jī)變量X的分布列為X012Pa2ab當(dāng)D(X)最大時(shí)，E(X)=________.

【解析】由題知b=1-3a，所以E(X)=2a+2(1-3a)=2-4a，D(X)=(4a-2)2·a+(4a-1)2·2a+(4a)2·(1-3a)=-16a2+6a，故當(dāng)a=QUOTE時(shí)D(X)最大，此時(shí)E(X)=QUOTE.答案：QUOTE8.隨機(jī)變量X的概率分布為P(X=n)=QUOTE(n=1，2，3)，其中a是常數(shù)，則DQUOTE=________.

【解析】由題意得QUOTE+QUOTE+QUOTE=aQUOTE=QUOTEa=1，則a=QUOTE，所以PQUOTE=QUOTE，PQUOTE=QUOTE，PQUOTE=QUOTE，則E(X)=QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE，D(X)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE，所以D(aX)=a2D(X)=QUOTE.答案：QUOTE三、解答題(每小題10分，共20分)9.某試驗(yàn)中學(xué)從高二年級(jí)部中選拔一個(gè)班級(jí)代表學(xué)校參與“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)學(xué)問(wèn)大賽”，經(jīng)過(guò)層層選拔，甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)入最終決賽，規(guī)定回答1個(gè)相關(guān)問(wèn)題做最終的評(píng)判選擇由哪個(gè)班級(jí)代表學(xué)校參與大賽.每個(gè)班級(jí)6名選手，現(xiàn)從每個(gè)班級(jí)6名選手中隨機(jī)抽取3人回答這個(gè)問(wèn)題.已知這6人中，甲班級(jí)有4人可以正確回答這道題目，而乙班級(jí)6人中能正確回答這道題目的概率每人均為QUOTE，甲、乙兩班級(jí)每個(gè)人對(duì)問(wèn)題的回答都是相互獨(dú)立，互不影響的.(1)求甲、乙兩個(gè)班級(jí)抽取的6人都能正確回答的概率；(2)分別求甲、乙兩個(gè)班級(jí)能正確回答題目人數(shù)的期望E(X)、E(Y)和方差D(X)、D(Y)，并由此分析由哪個(gè)班級(jí)代表學(xué)校參與大賽更好？【解析】(1)甲、乙兩個(gè)班級(jí)抽取的6人都能正確回答的概率為QUOTE×QUOTE=QUOTE.(2)甲班級(jí)能正確回答題目的人數(shù)為X，X的取值分別為1，2，3，P(X=1)=QUOTE=QUOTE，P(X=2)=QUOTE=QUOTE，P(X=3)=QUOTE=QUOTE，則E(X)=1×QUOTE+2×QUOTE+3×QUOTE=2，D(X)=(1-2)2×QUOTE+(2-2)2×QUOTE+(3-2)2×QUOTE=QUOTE.乙班級(jí)能正確回答題目的人數(shù)為Y，Y取值分別為0，1，2，3，因?yàn)閅～BQUOTE，所以E(Y)=3×QUOTE=2，D(Y)=3×QUOTE×QUOTE=QUOTE，由E(X)=E(Y