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文檔簡介
⑶動點M到點的距離與到軸的距離之積為1，設點M的軌跡為E，求證：通過原點的直線中，有且僅有一條直線是E的分割線.【答案】(1)證明見解析；（2）；（3）證明見解析.【解析】試題分析：本題屬于新定義問題，（1）我們只要利用題設定義求出的值，若，則結論就可得證；（2）直線是曲線的分隔線，首先直線與曲線無交點，即直線方程與曲線方程聯立方程組，方程組應無實解，方程組變形為，此方程就無實解，留意分類探討，按二次項系數為0和不為0分類，然后在曲線上找到兩點位于直線的兩側．則可得到所求范圍；（3）首先求出軌跡的方程，化簡為，過原點的直線中，當斜率存在時設其方程為，然后解方程組，變形為，這個方程有無實數解，干脆推斷不便利，可轉化為推斷函數與的圖象有無交點，而這可利用函數圖象干脆推斷．是開口方向向上的二次函數，是冪函數，其圖象確定有交點，因此直線不是的分隔線，過原點的直線還有一條就是，它明顯與曲線無交點，又曲線上兩點確定在直線兩側，故它是分隔線，結論得證．試題解析：（1）由題得，，∴被直線分隔.（2）由題得，直線與曲線無交點即無解∴或，∴.又對隨意的，點和在曲線上，滿意，被直線分隔，所以所求的范圍是．（3）由題得，設，∴，化簡得，點的軌跡方程為①當過原點的直線斜率存在時，設方程為.聯立方程，.令，因為，所以方程有實解，直線與曲線有交點．直線不是曲線的分隔線．【考點】新定義，直線與曲線的公共點問題.【名師點睛】推斷直線l與圓錐曲線C的位置關系時，通常將直線l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)代入圓錐曲線C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一個關于變量x(或變量y)的一元方程．即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,Fx，y＝0，))消去y，得ax2＋bx＋c＝0.(1)當a≠0時，設一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判別式為Δ，則Δ>0?直線與圓錐曲線C相交；Δ＝0?直線與圓錐曲線C相切；Δ<0?直線與圓錐曲線C相離．(2)當a＝0，b≠0時，即得到一個一次方程，則直線l與圓錐曲線C相交，且只有一個交點，此時，若C為雙曲線，則直線l與
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