新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點(diǎn)7-1 圓的最值與范圍問題（8題型+滿分技巧+限時(shí)檢測(cè)）（解析版）

重難點(diǎn)7-1圓的最值與范圍問題與圓相關(guān)的最值問題是近幾年高考數(shù)學(xué)對(duì)圓的考查的重點(diǎn)內(nèi)容。主要考查與圓相關(guān)的參數(shù)范圍問題和圓相關(guān)的長度或面積的最值及問題。一般以選擇題和填空題的形式考查，但還需注意與圓錐曲線相結(jié)合的問題?！绢}型1圓上一點(diǎn)到定點(diǎn)的最值范圍】滿分技巧圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離最值問題：一般都是轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓心的距離處理，加半徑為最大值，減半徑為最小值。已知圓及圓外一定點(diǎn)，設(shè)圓的半徑為，則圓上點(diǎn)到點(diǎn)距離的最小值為，最大值為，即連結(jié)并延長，為與圓的交點(diǎn)，為延長線與圓的交點(diǎn).【例1】（2024·山東濟(jì)南·高三濟(jì)南一中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．8B．9C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)辄c(diǎn)SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡是以SKIPIF1<0為圓心，3為半徑的圓，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0在圓外，所以SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.故選：C【變式1-1】（2024·北京朝陽·高三統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，已知點(diǎn)SKIPIF1<0，動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】設(shè)SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，即動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡是以SKIPIF1<0為圓心，半徑為1的圓，又SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0到圓心SKIPIF1<0的距離再加上半徑，即SKIPIF1<0.故選：D【變式1-2】（2023·山東濰坊·昌邑市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．2B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．3【答案】B【解析】設(shè)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡是以SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑的圓，∴SKIPIF1<0即為圓上動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)SKIPIF1<0的距離，∴SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.故選：B.【變式1-3】（2023·上海·高三市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若點(diǎn)SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)．SKIPIF1<0點(diǎn)在圓SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】∵點(diǎn)SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0到圓心SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，由圓的定義可知，點(diǎn)SKIPIF1<0的運(yùn)動(dòng)軌跡為以SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0的圓SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0點(diǎn)在圓SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0的最小值為：SKIPIF1<0.故選：B.【變式1-4】（2024·重慶·統(tǒng)考一模）過點(diǎn)SKIPIF1<0作圓SKIPIF1<0的兩條切線，切點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0為直角三角形，SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，則SKIPIF1<0的取值范圍為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】圓SKIPIF1<0的圓心SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0切圓SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0為直角三角形，得SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即四邊形SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0，因此點(diǎn)SKIPIF1<0在以點(diǎn)SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑的圓上，而SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.故選：D【題型2圓上一點(diǎn)到直線的最值范圍】滿分技巧圓上的點(diǎn)到直線的距離最值問題：已知圓和圓外的一條直線，則圓上點(diǎn)到直線距離的最小值為，距離的最大值為（過圓心作的垂線，垂足為，與圓交于，其反向延長線交圓于【例2】（2023·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0，則圓SKIPIF1<0上的點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離的最大值為（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】由題知，圓SKIPIF1<0，其中圓心SKIPIF1<0，半徑為1，直線SKIPIF1<0過定點(diǎn)SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離的最大值為SKIPIF1<0到圓心的距離加上圓的半徑，即SKIPIF1<0.故選：C【變式2-1】（2024·廣東湛江·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)P為直線SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，過P作圓SKIPIF1<0的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，若點(diǎn)M為圓SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線AB的距離的最大值為．【答案】SKIPIF1<0【解析】設(shè)SKIPIF1<0，則滿足SKIPIF1<0；易知圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0；圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，如下圖所示：易知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0；同理可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的兩組解，可得直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)等式SKIPIF1<0與SKIPIF1<0無關(guān)，所以直線SKIPIF1<0恒過定點(diǎn)SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0內(nèi)，當(dāng)SKIPIF1<0，且點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的延長線與圓SKIPIF1<0的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離最大；最大值為SKIPIF1<0.【變式2-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）圓SKIPIF1<0上到直線SKIPIF1<0的距離等于1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】由題意知SKIPIF1<0，圓心為SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，圓心到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，此時(shí)圓上有SKIPIF1<0個(gè)點(diǎn)滿足，當(dāng)SKIPIF1<0，此時(shí)圓上有SKIPIF1<0個(gè)點(diǎn)滿足，所以圓上到直線距離為SKIPIF1<0的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0.故C正確.故選：C.【變式2-3】（2024·重慶·高三重慶一中?？奸_學(xué)考試）已知點(diǎn)SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0到兩定點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距離分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0和點(diǎn)SKIPIF1<0距離的最小值為．【答案】SKIPIF1<0【解析】設(shè)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，也即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0點(diǎn)的軌跡是以SKIPIF1<0為圓心，半徑為SKIPIF1<0的圓，所以點(diǎn)SKIPIF1<0和點(diǎn)SKIPIF1<0距離的最小值為SKIPIF1<0.【變式2-4】（2024·廣東茂名·統(tǒng)考一模）動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0與兩個(gè)定點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的距離的最大值為.【答案】SKIPIF1<0【解析】令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的軌跡是圓心為SKIPIF1<0，半徑為2的圓上，又直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0可化為SKIPIF1<0，易知過定點(diǎn)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，故點(diǎn)SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0外，則圓心與定點(diǎn)所在直線與直線SKIPIF1<0垂直，圓心與直線SKIPIF1<0距離最大，所以點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0距離的最大值為SKIPIF1<0.【題型3過圓內(nèi)定點(diǎn)的最值范圍】滿分技巧過圓內(nèi)定點(diǎn)的弦長最值：已知圓及圓內(nèi)一定點(diǎn)，則過點(diǎn)的所有弦中最長為直徑，最短為與該直徑垂直的弦.【例3】（2024·福建福州·高三福州第一中學(xué)校考期末）設(shè)直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，則SKIPIF1<0的取值范圍為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】設(shè)直線SKIPIF1<0為l，方程變形為SKIPIF1<0，所以直線恒過定點(diǎn)SKIPIF1<0，因?yàn)閳A的方程為SKIPIF1<0，所以圓心SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在圓的內(nèi)部，當(dāng)直線SKIPIF1<0時(shí)，弦SKIPIF1<0最短，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)直線l過圓心時(shí)，弦SKIPIF1<0最長為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.故選：SKIPIF1<0.【變式3-1】（2023·山西忻州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）直線SKIPIF1<0被圓SKIPIF1<0所截得的弦長的最小值為.【答案】2【解析】直線SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即直線SKIPIF1<0過定點(diǎn)SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故點(diǎn)SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0，當(dāng)圓心和SKIPIF1<0的連線與直線SKIPIF1<0垂直時(shí)，直線SKIPIF1<0被圓SKIPIF1<0所截得的弦長最短，圓心為SKIPIF1<0，和SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，故弦長的最小值為SKIPIF1<0.【變式3-2】（2024·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圓C:SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0被圓C截得的弦長最短時(shí)，實(shí)數(shù)m的值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．1D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因?yàn)橹本€SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，方程可化為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故直線SKIPIF1<0過定點(diǎn)SKIPIF1<0，且在圓C:SKIPIF1<0內(nèi)，又SKIPIF1<0,故當(dāng)直線SKIPIF1<0被圓C截得的弦長最短時(shí)，有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故選：B.【變式3-3】（2023·河南·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）過圓SKIPIF1<0內(nèi)點(diǎn)SKIPIF1<0有若干條弦，它們的長度構(gòu)成公差為d的等差數(shù)列SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0分別為過點(diǎn)SKIPIF1<0的圓的最短弦長和最長弦長，則SKIPIF1<0的取值集合為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由題意可知：圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，因?yàn)閿?shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值集合為SKIPIF1<0.故選：C.【變式3-4】（2023·湖北·高三孝感高中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知圓SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0，當(dāng)圓SKIPIF1<0被直線SKIPIF1<0截得的弦長最短時(shí)，直線SKIPIF1<0的方程為.【答案】SKIPIF1<0【解析】由題意，直線SKIPIF1<0的方程化為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0∴直線SKIPIF1<0過定點(diǎn)SKIPIF1<0，顯然點(diǎn)SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0內(nèi)，要使直線SKIPIF1<0被圓SKIPIF1<0截得弦長最短，只需SKIPIF1<0與圓心SKIPIF1<0的連線垂直于直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，代入到直線SKIPIF1<0的方程并化簡得SKIPIF1<0.【題型4圓的切線長的最值范圍】滿分技巧切線長度的最值求法1、代數(shù)法：利用勾股定理求出切線長，把切線長中的變量統(tǒng)一成一個(gè)，轉(zhuǎn)化成函數(shù)求最值；2、幾何法：把切線長最值問題轉(zhuǎn)化成圓心到直線的距離問題．已知圓和圓外的一條直線，則過直線上的點(diǎn)作圓的切線，切線長的最小值為.【例4】（2024·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0上的一點(diǎn)，過點(diǎn)SKIPIF1<0作圓SKIPIF1<0的切線SKIPIF1<0，切點(diǎn)為SKIPIF1<0，則切線長SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由題意可知，圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，由圓的幾何性質(zhì)可知，SKIPIF1<0，由勾股定理可得SKIPIF1<0,所以要使切線長SKIPIF1<0取最小值，只需SKIPIF1<0取最小值即可.當(dāng)直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0垂直時(shí)，SKIPIF1<0取最小值SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0.故選：A.【變式4-1】（2023·湖南長沙·高三雅禮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在標(biāo)準(zhǔn)單位圓上，過點(diǎn)P作圓C：SKIPIF1<0的切線，切點(diǎn)為Q，則SKIPIF1<0的最小值為．【答案】SKIPIF1<0【解析】圓C的圓心為SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，標(biāo)準(zhǔn)單位圓的圓心為SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，可知圓C與標(biāo)準(zhǔn)單位圓外離，即點(diǎn)P在圓C外，由題意可知：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上時(shí)，等號(hào)成立，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.【變式4-2】（2023·河北石家莊·高三統(tǒng)考期中）已知?jiǎng)狱c(diǎn)SKIPIF1<0到兩個(gè)定點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距離之比為SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作圓SKIPIF1<0的切線，切點(diǎn)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】設(shè)SKIPIF1<0，由題可知SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0.圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑為2.如圖，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以，當(dāng)SKIPIF1<0取得最小值時(shí)，SKIPIF1<0有最小值，由圖可知，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故選：A【變式4-3】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)SKIPIF1<0是拋物線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)SKIPIF1<0作圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的切線，切點(diǎn)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為.【答案】SKIPIF1<0【解析】設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取最小值SKIPIF1<0.又由圓的切線性質(zhì)可得此時(shí)SKIPIF1<0.【變式4-4】（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知圓SKIPIF1<0和點(diǎn)SKIPIF1<0，由圓外一點(diǎn)SKIPIF1<0向圓SKIPIF1<0引切線，切點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】設(shè)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0.故選：C.【題型5距離和差的最值范圍】滿分技巧圓中的距離和差問題可借助圓的幾何特性進(jìn)行舉例轉(zhuǎn)化，有時(shí)需結(jié)合對(duì)稱性及三點(diǎn)共線距離最短的性質(zhì)求解最值?！纠?】（2024·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測(cè)）已知SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0上一點(diǎn)，過點(diǎn)SKIPIF1<0作圓SKIPIF1<0的切線SKIPIF1<0（SKIPIF1<0點(diǎn)為切點(diǎn)），SKIPIF1<0為圓SKIPIF1<0上一動(dòng)點(diǎn)．則SKIPIF1<0的最小值是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】如圖所示，連接SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，且垂足為SKIPIF1<0要使得SKIPIF1<0取得最小值，即SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，顯然，當(dāng)SKIPIF1<0最小時(shí)，SKIPIF1<0同時(shí)取得最小值，所以，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：B.【變式5-1】（2024·江西·高三校聯(lián)考期末）已知A為圓C：SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，B為圓E：SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，P為直線SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最大值為.【答案】SKIPIF1<0【解析】設(shè)SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0的對(duì)稱點(diǎn)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，則圓SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0對(duì)稱的圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0的值最大，則SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0為SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0的對(duì)稱圓SKIPIF1<0上的點(diǎn)）三點(diǎn)共線，且該直線過SKIPIF1<0兩點(diǎn)，如圖，其最大值為SKIPIF1<0.【變式5-2】（2023·江蘇蘇州·高三?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)SKIPIF1<0，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)Q是圓SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最大值為.【答案】SKIPIF1<0【解析】由圓SKIPIF1<0，可得圓心SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，又由點(diǎn)SKIPIF1<0，可得點(diǎn)SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)Q是圓SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，則SKIPIF1<0，如圖所示，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0的對(duì)稱點(diǎn)為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0的交點(diǎn)為SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立方程組SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合時(shí)，此時(shí)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0取得最大值，最大值為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.【變式5-3】（2023·上海青浦·高三?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0，若點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）.A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】設(shè)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，化簡整理得SKIPIF1<0，故點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡是以SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑的圓，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故選：C.【變式5-4】（2023·河南鄭州·高三鄭州市宇華實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期中）已知圓O：SKIPIF1<0和點(diǎn)SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0，M為圓O上的動(dòng)點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】取SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0∽SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0三點(diǎn)共線時(shí)，SKIPIF1<0取得最小值，最小值為SKIPIF1<0.故選：C【題型6與角度有關(guān)的最值范圍】滿分技巧與角度有關(guān)的最值范圍問題的處理方法：利用三角函數(shù)定義，將三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為邊的比值，觀察線段之間的關(guān)系再進(jìn)行處理。【例6】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切的兩條直線的夾角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為．【答案】SKIPIF1<0【解析】如圖所示，圓SKIPIF1<0可化為SKIPIF1<0，則圓心SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0．設(shè)切線為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因?yàn)閳ASKIPIF1<0的半徑為2，所以在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的延長線與圓SKIPIF1<0的交點(diǎn)時(shí)，線段SKIPIF1<0的長最大，此時(shí)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0．【變式6-1】（2024·江蘇·徐州市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知SKIPIF1<0為拋物線SKIPIF1<0上一點(diǎn)，過SKIPIF1<0作圓SKIPIF1<0的兩條切線，切點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】如圖所示：因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0最大，SKIPIF1<0最小，且SKIPIF1<0，故C正確.故選：C【變式6-2】（2024·湖南長沙·長沙一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0最大值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡是以SKIPIF1<0為圓心，2為半徑的圓，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0三點(diǎn)共線，如圖所示，當(dāng)SKIPIF1<0與圓相切時(shí)，SKIPIF1<0為銳角且最大，SKIPIF1<0最大，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故選：B【變式6-3】（2024·云南昆明·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），過SKIPIF1<0上任意一點(diǎn)SKIPIF1<0向圓SKIPIF1<0引切線，切點(diǎn)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，圓心SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值為2，而圓心SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的距離等于2，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故選：D．【變式6-4】（2024·江西贛州·南康中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在SKIPIF1<0中，已知D為邊BC上一點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0的最大值為2，則常數(shù)SKIPIF1<0的值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】令SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0外接圓半徑為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的外接圓方程為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令圓心SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，即點(diǎn)SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0被SKIPIF1<0分割的優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)，如下圖，要使SKIPIF1<0的最大，只需SKIPIF1<0與圓相切，由上易知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，由圓的性質(zhì)有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0（負(fù)值舍），故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故選：D【題型7代數(shù)式幾何意義的最值范圍】滿分技巧利用代數(shù)法的幾何意義求最值1、形如的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)和點(diǎn)的動(dòng)直線斜率的最值問題；2、形如的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)和點(diǎn)距離的平方的最值問題；3、形如的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線縱截距的最值問題【例7】（2023·河南駐馬店·高三河南省駐馬店高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）若點(diǎn)SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0:SKIPIF1<0上一點(diǎn),則SKIPIF1<0的最小值為（）A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】圓SKIPIF1<0:SKIPIF1<0可化為SKIPIF1<0SKIPIF1<0表示點(diǎn)SKIPIF1<0到點(diǎn)SKIPIF1<0的距離的平方,因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故選：B.【變式7-1】（2023·江蘇·高三泰州中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知平面四邊形SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0，坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是【答案】SKIPIF1<0【解析】設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0到點(diǎn)SKIPIF1<0的距離平方，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0到圓上的點(diǎn)的距離的最小值為SKIPIF1<0，最大值為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的范圍是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的范圍是SKIPIF1<0，也即SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.【變式7-2】（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）已知SKIPIF1<0是曲線SKIPIF1<0上的點(diǎn)，則SKIPIF1<0的取值范圍是.【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，由題意可知,作出圖形，如圖所示，因?yàn)镾KIPIF1<0是曲線SKIPIF1<0上的點(diǎn)，則SKIPIF1<0表示過點(diǎn)SKIPIF1<0兩點(diǎn)直線的斜率，顯然當(dāng)SKIPIF1<0位于SKIPIF1<0處時(shí)，SKIPIF1<0有最大值SKIPIF1<0，顯然當(dāng)SKIPIF1<0位于SKIPIF1<0處時(shí)，SKIPIF1<0有最小值SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0故SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0【變式7-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足方程SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為；SKIPIF1<0的最大值為．【答案】SKIPIF1<0；SKIPIF1<0【解析】由題意得：將方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的軌跡是以SKIPIF1<0為圓心、1為半徑的圓；SKIPIF1<0的幾何意義為SKIPIF1<0到SKIPIF1<0距離SKIPIF1<0的平方；如上圖可知：當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合時(shí)，SKIPIF1<0到SKIPIF1<0距離SKIPIF1<0最大，此時(shí)SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；因?yàn)椋篠KIPIF1<0，故可設(shè)：SKIPIF1<0，所以圓與直線SKIPIF1<0需有交點(diǎn)，即圓心SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以：SKIPIF1<0最大值為SKIPIF1<0．【變式7-4】（2024·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)?？家荒＃┮阎本€SKIPIF1<0交圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．9B．16C．27D．30【答案】D【解析】由題設(shè)直線與SKIPIF1<0軸的交點(diǎn)為SKIPIF1<0，設(shè)弦SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的軌跡是以SKIPIF1<0為圓心，1為半徑的圓，設(shè)直線SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的最小距離為SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0分別作直線SKIPIF1<0的垂線，垂足分別為SKIPIF1<0，則四邊形SKIPIF1<0是直角梯形，且SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0是直角梯形的中位線，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值為30.故選：D.【題型8圓中面積的最值范圍】滿分技巧與圓有關(guān)的面積最值問題一般轉(zhuǎn)化為尋求圓的半徑相關(guān)的函數(shù)關(guān)系或者幾何圖形的關(guān)系，借助函數(shù)求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有時(shí)可以通過轉(zhuǎn)化思想，利用數(shù)形結(jié)合思想求解?！纠?】（2023·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）直線SKIPIF1<0分別與SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0面積的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】依題意，直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0軸于SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0軸于SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0的圓心SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，而圓的半徑為SKIPIF1<0，于是圓SKIPIF1<0上的點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0的范圍為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0.故選：C【變式8-1】（2024·廣東廣州·高三玉巖中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知點(diǎn)SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓SKIPIF1<0的兩條切線，切點(diǎn)分別是點(diǎn)A，B，則四邊形PACB的面積的最小值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】圓C：SKIPIF1<0，即圓C：SKIPIF1<0，圓心坐標(biāo)SKIPIF1<0，半徑為3；由題意過點(diǎn)P作圓C：SKIPIF1<0的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，可知四邊形PACB的面積是兩個(gè)全等的三角形的面積的和，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，顯然PC最小時(shí)四邊形面積最小，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以四邊形PACB的面積的最小值為SKIPIF1<0，故選：B.【變式8-2】（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)點(diǎn)P是圓SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓SKIPIF1<0的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則四邊形PACB面積的最大值為.【答案】SKIPIF1<0【解析】圓C的方程SKIPIF1<0可化為SKIPIF1<0，則圓心為SKIPIF1<0，半徑為2，連接PC，則在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以四邊形PACB的面積SKIPIF1<0，（由切線長定理知SKIPIF1<